一、选择题
1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )
A ．0,2
B ．0，12
C ．0，－12
D ．2，－12
解析：∵2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)，
所以零点为0和－12
. 答案：C
2．函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( )
A ．大于0
B ．小于0
C ．等于0
D ．无法确定
解析：因f (x )在(－2,2)有一个零点，不能说明f (－2)f (2)的符号；如f (x )＝x 2，更不能判断f (－1)·f (1)的值．
答案：D
3．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x
的零点所在的大致区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2)
C ．(2，e)
D ．(3,4)
解析：∵f (1)·f (2)＝(ln 2－2)·(ln 3－1)<0，
∴零点在(1,2)内．
答案：B
4．(2012·大庆实验中学模拟)根据表格中的数据，可以断定函数f (x )＝e x －x －2的一个零点所在的区间是： x ＋2
1 2 3 4 5 x
－1 0 1 2 3 e x
0.37 1 2.72 7.39 20.09
A ．(－1,0)
B ．(1,2)
C ．(0,1)
D ．(2,3)
解析：f (1)＝2.72－3<0，f (2)＝7.39－4>0，
故f (1)f (2)<0.
∴由零点定理知一个零点所在区间是(1,2)．
答案：B
5．(2011·陕西高考)方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( )
A ．没有根
B ．有且仅有一个根
C ．有且仅有两个根
D ．有无穷多个根
解析：求解方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转
化为求解函数f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 在(－∞，＋∞)内的交点个数问
题．由f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 的图象易知有两交点，即原方程有且仅
有两个根．
答案：C
二、填空题
6．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且只有一个零点，则实数m 的值为________． 解析：由题知：方程4x ＋m ·2x ＋1＝0只有一个零点．
令2x ＝t (t >0)，
∴方程t 2＋m ·t ＋1＝0只有一个正根，
∴由图象可知⎩⎪⎨⎪⎧
－m 2>0，Δ＝0，
∴m ＝－2. 答案：－2
7．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －1的图象与x 轴只有一个交点，则实数m 的取值的集合是________．
解析：当m ＝1时，f (x )＝4x －1，其图象和x 轴只有一个交点⎝⎛⎭⎫14，0.
当m ≠1时，依题意得Δ＝4(m ＋1)2＋4(m －1)＝0，即m 2＋3m ＝0，解得m ＝－3或m ＝0.
∴m 的取值的集合为{－3,0,1}．
答案：{－3,0,1}
三、解答题
8．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14
. 证明：存在x 0∈⎝⎛⎭
⎫0，12，使f (x 0)＝x 0. 证明：令g (x )＝f (x )－x .
∵g (0)＝14，g ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12－12＝－18，
∴g (0)·g ⎝⎛⎭⎫12<0.
又函数g (x )在[0，12
]上连续， ∴存在x 0∈⎝⎛⎭
⎫0，12，使g (x 0)＝0.即f (x 0)＝x 0. 9．若g (x )＝x ＋e 2x
(x >0)，g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围． 解：法一：∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，
等号成立的条件是x ＝e ，
故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，
因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有零点．
法二：作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象如图：
可知若使g (x )＝m 有零点，
则只需m ≥2e.
法三：由g (x )＝m 得x 2－mx ＋e 2＝0.
此方程有大于零的根且e 2>0，
故根据根与系数的关系得m >0，
故⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，Δ＝m 2－4e 2≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧
m >0，m ≥2e 或m ≤－2e ， 故m ≥2e.
10．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围． 解：设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]，
①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解，
∵f (0)＝1>0，则应有f (2)≤0，
又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m ≤－32
. ②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则
⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，0<－m －12<2，
f (2)≥0
∴⎩⎪⎨⎪⎧ (m －1)2－4≥0，－34＋(m －1)×2＋1≥0.
