大学物理_机械振动和机械波讲解

原 矢点 量的A 旋在转x
x 轴上的投影 点的运动为
简谐运动.
以 o为
原矢点量的A 旋在转x
轴上的投影
点的运动为
简谐运动.
x Acos(t )
y vm t π

2
t an
A

0 a v
x
vm A an A 2
x Acos(t )
v A cos(t π )
积分常数，根据初始条件确定
v dx A sin(t )
dt
d2x 2x 0
dt 2
a

d2x dt 2

A 2
cos(t
)
2 单摆 mg sin mat

ml

d 2
ml


ml
dt 2


g
sin

0
l
5 时 ,sin
t t2 t1
xa Ab
tb
A2
t
x
o
A
v
π
A 0 A ta A
t π 3 T 1 T 2
3
2π 6
2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它 们间步调上的差异.（解决振动合成问题）
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
dt 2
2
mv dv kx dx 0 dt dt
d2x k x 0 dt 2 m
例4-3 质量为0.10kg 的物体，以振幅1.0102 m
作简谐运动，其最大加速度为 4.0m s2 ，求：
（1）振动的周期； （2）通过平衡位置的动能； （3）总能量； （4）物体在何处其动能和势能相等？
解 （1） T 0.314s
（2） Ek,max 2.0103 J
（3） E Ek,max 2.0103 J
（4） x 0.707cm
例4-4 一匀质细杆AB的两端, 用长度都为l 且不计质
量的细绳悬挂起来, 当棒以微小角度绕中心轴 OO' 扭
动时，求证其运动周期为： T 2 l / 3g 。
2
x
A
o
A
v
x
o
Tt
T 2
例4-1 一轻弹簧,下挂质量为10g 的重物时,伸 长4.9cm.用它和质量80g小球构成弹簧振子. 将小球由平衡位置向下拉1.0cm 后,给向上初 速度v=5.0cm/s.求振动周期及振动表达式.
解: 取向下为x轴正向.
5s1
振动方程为 x=0.0141cos(5t+ π/4) (SI)
解：设棒长为2R, 质量为m，在
棒扭动时, 其质心沿 OO上' 下运动。
因扭动角度 很小，可近似认为
细棒在水平面内转动。扭动角度
为 时, 细棒在水平面内转动角度
为，
l R
l
Ep mghc
Ek

1 I (d )2
2 dt
A
hc l(1 cos )
d 2 3g 0
令2 g
l

2 0
m cos(t )
转动
A
正向
l
Fm
o
mg
3 复摆(物理摆)
( 5 )
M mgl
mgl I d2
dt 2
令 2 mgl
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d2 2 0
dt 2 动力学判据
m cos(t )
x
O
于x 处时,弹簧元 ds 的质量 dm mds / l , 位移为sx / l
速度为 s dx
l dt
d2x
k

x0
dt 2 M m 3
§4-3 谐振动的旋转矢量投影表示法

当t 0时
A

o
x0 x
x0 Acos

A
以 o为
t t 时
o
t
x Acos(t )
而是具有向右的初速度 v0 0.30m s，1 求其运动方程.
x/m
o 0.05
例4-7 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，其振
幅为 0.08m，周期为 4s ，起始时刻物体在 x 0.04m
处，向 Ox 轴负方向运动（如图）.试求
（1）t 1.0s 时，物体所处的位置和所受的力；

频率
1
T 2π
圆频率 2π 2π
T
注意
弹簧振子周期 T 2π m
k
周期和频率仅与振动系 统本身的物理性质有关
简谐运动中，x 和 v
之间不存在一一对应的 关系.
x
A
o
v v
T
x t 曲线
v T t
A
2
x Acos(t )
v A sin(t )
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
（2）由起始位置运动到 x 0.04m 处所需要
的最短时间.
例4-8 一质点在X轴上作简谐运动, 选取该质点 向右运动通过A点时作为计时起点,经2s后质点 第一次经过B点, 再经过4s后第二次经过B点, A 和B处的速率相同,且AB=12cm, 求振动方程.
dt 2 l

O
B
O
思考:如何利用转动定律求解?
例4-5 劲度系数为k、原长为l、质量为m的均
匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为M 的物体，
在光滑水平面内作直线运动。求解其运动。
解：平衡时O 点为 s ds
M
坐标原点。物体运动
X
到x 处时，弹簧固定端 位移为零，位于M 一 端位移为x。当物体
l


2x

0
解决简谐运动方程问题的一般步骤: 1) 找到振动平衡位置,此时合力为零,选平衡位 置为原点,建立坐标系 2) 设振子离开原点x处,分析受力情况. 3) 应用牛顿定律. 4) 根据初始条件确定A和.
5) 写出振动表达式.
另外一个方法: 能量法
§4-2 谐振动的能量
以弹簧振子为例
F kx x Acos(t )
2
a A2 cos(t )
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
讨论 相位差：表示两个相位之差 .
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状
态间变化所需的时间. (t2 ) (t1 )
x Acos(t1 ) x Acos(t2 )
例4-2 如图所示，一边长为L的立方体木块浮于静
水中，浸入水中部分的高度为b。今用手将木块压
下去，放手让其开始运动。若忽略水对木块的黏
性阻力，并且水面开阔，不因木块运动而使水面
高度变化，证明木块作谐振动。
F浮
证明：以水面为原点建立坐标OX
b
x
d2x dt 2

g b
x

0
mg X
d2x dt 2
娥眉月
上弦月
满月
下弦月
3 相位 (位相,周相) t x Acos(t ) 1） t ( x, v) 存在一一对应的关系;
物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态.
2）相位在 0 ~ 2π 内变化，质点无相同的运动状态； 相差 2nπ (n为整数) 质点运动状态全同.（周期性）
第二篇 机械振动和机械波
教学基本要求
一 掌握描述简谐运动的各个物理量 （特别是相位）的物理意义及各量间的关系.
二 掌握描述简谐运动的旋转矢量法， 并会用于简谐运动规律的讨论和分析.
三 掌握简谐运动的基本特征，能建立 一维简谐运动的微分方程，能根据给定的初 始条件写出一维简谐运动的运动方程，并理 解其物理意义.
3）初相位 (t 0) 描述质点初始时刻的运动状态.
( 取 [ π π] 或 [0 2π] )
四 常数 A和 的确定
x Acos(t ) v A sin(t )
初始条件 t 0 x x0 v v0
x0 A cos v0 Asin
4）加速度与位移成正比而方向相反 a 2 x
弹簧振子 k m 单摆 g l
复摆
mgl I
三 描述简谐振动的物理量(三要素)
1 振幅
A xmax
2 周期、频率
x Acos(t )
x xt图
A
o
Tt
T
A
2
Acos[(t T ) ]
周期 T 2π
法一: 解析法
法二: 旋转矢量法
§4-4 谐振动的合成
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
A2
A
x x1 x2
x Acos(t )
x 0
x2 2 1
x1A1
(t 2 ) (t 1) 2 1
0同步 x
π 反相
x
超前
为其它
落后
x
o
o
o
t
t
t
3) 关于旋转矢量法的理解:
旋转矢量本身并不做简谐运动,只是用其投影 点的运动来表示谐振动, 各物理量直观.
在旋转矢量法中,相位表现为角度,处理方便, 但不是角度.相位的物理含义在于可据以描述 物体在任一时刻的运动状态.
o
Tt
A 2 cos(t π ) A 2
简谐运动的描述和特征
1）物体受线性回复力作用 F kx 平衡位置 x 0
2）简谐运动的动力学描述 d2 x 2 x 0
dt 2
3）简谐运动的运动学描述 x Acos(t ) v A sin(t )
四 理解同方向、同频率简谐运动的合 成规律，了解拍的特点.
五 了解阻尼振动、受迫振动和共振的 发生条件及规律.
本章重点
相位概念的理解及掌握简谐振动的基本规律。 同方向同频率简谐振动的合成。
本章难点
相位概念的理解。
引言
任一物理量在某一定值附近往复变化均称为 振动.
机械振动 物体围绕一固定位置往复运动. 其运动形式有直线、平面和空间振动. 例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以 及晶体中原子的振动等.
3 相位 (位相,周相) t 1）t (x, v) 存在一一对应的关系;
3 相位 (位相,周相) t x Acos(t )
1） t ( x, v) 存在一一对应的关系;
物理意义：可据以描述物体在任一时刻的运动状态 月相: 新月, 娥眉月, 上弦月, 满月, 下弦月, 残月等
v A sin(t )
Ek

1 2
mv2

1 2
m 2 A2
sin2 (t
)
Ep

1 2
k x2

1 2
k A2
cos2 (t
)
2 k /m
E

Ek

Ep

1 2
k A2

A（2 振幅的动力学意义）
线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒
x, v
简谐运动能量图
周期和非周期振动
简谐振动 最简单、最基本的振动.
简谐振动
合成 分解
复杂振动
谐振子 作简谐振动的物体.
§4-1 简谐振动
一 简谐振动的特征方程 1 弹簧振子
l0 k
A
平衡位置
m x0 F 0
x
o
A

Fm
ox
x
F kx ma x Acos(t )
令 2 k
m
a 2x
A
x02

v02
2
tan v0 x0
对给定振动系统，周期由系统本身性质 决定，振幅和初相由初始条件决定.
讨论
已知 t 0, x 0, v 0求
0 Acos
π
2
v0 A sin 0
sin 0 取 π
2
x Acos(t π )
例4-6 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹
簧的劲度系数 k 0.72N m1，物体的质量 m 20g.
（1）把物体从平衡位置向右拉到 x 0.05m 处停
下后再释放，求简谐运动方程； （2）求物体从初位置运动到第一次经过
A 处时的
速度；
2
（3）如果物体在 x 0.05m 处时速度不等于零，
xt 0
o
t x Acost
T v t v A sint
能量
o T T T 3T 42 4
E 1 kA2 2
Ep

1 2
k A2
cos2 t
t Ek

1 2
m 2 A2
sin2 t
推导
能量守恒
简谐振动方程
E 1 mv2 1 kx2 常量
2
2
d (1 mv2 1 kx2 ) 0
运动学判据
o 转动正向

l
*C
P
（ C点为质心）
二 谐振动的速度和加速度
x xt图
x Acos(t )
A
o
t
T
取 0
A
v vt 图
v A sin(t ) A
o
Tt
A cos(t π ) A
2
a a t图
a A 2 cos(t ) A 2