第八章结构的动力学模型修正
§8.1 概述
随着科学技术的进步，人们对工程结构设计的要求越来越高，因此在进行结构静、动力分析时，要求反映结构力学特征的模型正确可靠，就成为顺理成章的事，结构建模问题因而显得越来越重要。对结构振动分析而言，一个良好的数学模型是保证固有特性和振动响应计算、载荷预计、稳定性分析等得到可靠结果的前提。
上一世纪中期发展起来的有限元素法，为结构动力学建模提供了一个有力的手段。但由于各种原因，根据结构的力学模型用有限元素法建立的数学模型，常常不能准确反映实际结构的动力学特征。虽然在后来随着振动测试技术、信号处理技术的发展，使得以参数识别技术为基础的试验模态方法获得了大的发展，但由于参数识别也是以参数模型存在为前提条件，如果参数模型本身不能反映结构的本质与特征，则再好的数学识别技术也不能提高结构模型的精度。而且由参数识别得到的模态数据，往往远少于建模的需要。结构的动力学建模仍然有许多需要解决的问题。
要得到一个与实际结构动力学特性符合较好的模型，可以从两个途径来解决这个问题：一个途径是用理论分析（如有限元素法）建立模型，再用实测数据进行模型修正，称为结构动态修改或动力学模型修正；另一个途径是仅用测试数据，以参数模型为依据求得物理坐标下表征结构动态特性的质量、刚度、阻尼矩阵，即所谓物理参数识别问题。
因此，结构动力学模型修正的工程含义可以从两方面来阐述：
（1）计算模型的动力学模型修正。对于实际结构运用有限元法建立的数学模型，由于它不能准确反映实际结构的动态特性，需用实测数据进行修正，以获得能用于计算的数学模型。
（2）结构的动力学修改。
结构动力学修改的正问题是指：对已有结构做了局部修改后，在原结构模态参数已知的情况下，用快速简易的方法获得改动后结构的模态参数。即所谓结构重分析问题。
结构动力学修正的反问题是指：已知的原结构模态参数不符合要求，在
对结构模态参数的要求已给定的情况下，对结构进行修改，使改动后的结构模态参数符合要求。
如果将结构视为一个系统，则结构动力学模型修正的实质是：根据系统某些动态特性的要求（对计算模型的动力学模型修正就是实测数据），对已有系统进行有约束有目标的修改。从原理上看，这是一个有约束的结构优化设计问题。由于具体工程结构千差万别，结构动力学模型修正的具体方法也就各不相同。
§8.2 结构动力学模型修正的若干问题
本章所讨论的结构动力学模型修正问题，其对象是模态密度不高且已经用有限元方法离散后的结构。因此，当结构的刚度矩阵、质量矩阵等的元素有微小变化时，结构的固有频率、振型等也发生微小的变化。当模态密集或有重频时，上述结论就不再成立了。 1． 灵敏度分析
灵敏度的定义有两种：“因变量的变化”除以“自变量的变化”；“因变量的相对变化”除以“自变量的相对变化”。为了便于比较各个参数对动力学特性的影响，本章采用后一种定义。
对于有限元模型，结构的可修改参数体现在模型的物理参数中，易于用数学方法计算出动态特性对修改参数的灵敏度。
由复模态理论知，结构的质量矩阵][M 、刚度矩阵][K 和阻尼矩阵][C 的元素都是实数，而其动态特性则是复数。当然对于无阻尼系统的动态特性是实数，故可设函数
)
,,(21 x x y y =R x i ∈（实数域），C y ∈（复数域） （8－1）
则灵敏度定义为：
)0,0(ln ln //lim
)/(0≠≠∂∂=
∂∂⋅=∆∆=→∆y x x y
x y y x x x y y x y i i i
i i i x i i η （8－2）
由于y 为复数，故η也是复数，大小由其模决定，灵敏度的倒数称为稳定度。
灵敏度具有如下性质：
（1） 设∏==n
i i x y u 1
)(，
则 ∑∑===∂∂=∂∂=n
i i n i i x y x y x u x u 1
1)/()(l n )
(l n )(l n )(l n )/(ηη （8－3）
（2） 设)(/1x y u =， 则)/()/(x y x u ηη-= （8－4） （3） 若a ，b 为常数， 则)/()/()/(x y bx y x ay ηηη== （8－5） （4） 设)(y u u =，)(x y y =， 则)/()/()/(x y y u x u ηηη⋅= （8－6） （5） 设)(x y u m =，其中m 为非零的有理数，
则 )/()/(x y m x u ηη⋅= （8－7）
（6） 若∑==n
i i x y u 1)(，),2,1(0n i y =≥，
且)/(max m ax x y i ηη=及)/(min m in x y i ηη=，由：
u y
x y x y x y u x x y u x x u u x x u i n
i i i n i i n i i ∑∑∑=====∂∂=∂∂⋅=111)/()/()/(ηηη
所以有：∑∑∑===≤≤n
i i i n i i i n
i i i u y
x y u y x y u y x y 1
max 11min )/()/()/(ηηη
即： m a x m i n ηηη≤≤ （8－8）
上述灵敏度定义和性质可以用于振动系统灵敏度分析，得到特征值变化与特征向量、质量矩阵及刚度矩阵变化间的关系。
§8.3 实模态参数的灵敏度
无阻尼振动系统的特征方程为：
}0{}]){[]([2=-i i M K φω （8－9）
假定固有振型已经对质量归一化，记动态修改参数为j b ，将式（8－9）两端对j b 求偏导，并用到
T i T i M K }0{])[]([}{2=-ωφ （8－10）
