一元二次函数的平移问题
运用二次函数图象的平移变换
任意抛物线y=a（x-h）2+k（a≠0），可以由抛物线y=ax2经过平移得到:
①将y＝ax2向上移动k个单位得：
y＝ax2＋k，
②将y＝ax2向左移动h个单位得：
y＝a（x＋h）2，
③将y＝ax2先向上移动k（k＞0）个单位，再向右移动h（h＞0）个单位，便得函数 y＝a（x－h）2＋k的图象.
平移顺序:先上下再左右(上加下减,左加右减)
【例1】将二次函数y=-2x2+4x+6的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的解析式.
【分析】二次函数图象的平移即每一个点的平移，我们可通过二次函数的特殊点顶点坐标的变化来确定平移后的解析式.
解：配方法得：
y=-2（x2-2x）+6
=-2（x2-2x+1-1）+6
=-2（x-1）2+8.
顶点为（1，8），将顶点按要求平移得新抛物线顶点为（0，6）.
∴平移后抛物线解析式为y=-2x2+6.
【小结】平移抛物线只改变了抛物线的位置，而不改变它的形状、大小及开口方向，即a值不变.左右平移时横坐标变化，上下平移时纵坐标变化.
【例2】（2006·泸州）二次函数y＝x2的图象向右平移3个单位，得到新图象的函数表达式是（）.
Ａ. y=x2+3Ｂ. y=x2+3
Ｃ. y=（x＋3）2Ｄ. y=（x－3）2
【分析】二次函数y＝x2的顶点坐标为（0，0），顶点按要求平移后变为（3，0），选项中只有 y=（x－3）2的顶点是（3，0）.
解：D.
【例3】（2006·兰州）已知y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把 x轴、y轴分别向上，向右平移2个单位，那么在新的坐标系下抛物线的解析式为（）. Ａ. y=2（x-2）2+2
Ｂ. y=2（x+2）2-2
Ｃ. y=2（x-2）2-2
Ｄ. y=2（x+2）2+2
【分析】若抛物线不动，把x、y轴分别向上、向右平移2个单位相当于将该抛物线在原坐标系内向下再向左平移两个单位，由此可得该抛物线在x、y平移后得解析式为y=2（x+2）2-2 .
解：B
【小结】将坐标系平移，实质是将抛物线向相反方向各移动了2个单位，即向下，向左平移2个单位，注意换位思考，逆向思维.
【例4】（2006·杭州）有三个二次函数，甲：y＝x2－1；乙：y＝－x2＋1；丙：y ＝x2＋2x－1.则下列叙述正确的是（）.
A.甲的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合
B.甲的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合
C.丙的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合
D.甲、乙、丙3个图形经过适当的平行移动后，都可以重合
【分析】根据函数解析式画出3个函数的草图发现，甲、乙与乙、丙开口方向均相反，不能够经过平行移动使得图象重合；所以排除A、C、D.函数丙y＝x2＋2x－1可以化成y＝（x＋1）2－2，这样就可以看出甲的图形经过向左移动1个单位，向下移动1个单位与丙重合.
解：B.
二次函数图像平移
1. 抛物线y=-x2+2x-1的开口方向是______，顶点坐标是______．
2. c=______时，抛物线y=x2+3x+c过原点．
3. 抛物线y=2x2-6x+1的顶点坐标是_______．
4. 抛物线y=2x2+x-1的顶点坐标是________，对称轴是_______．
5. 函数y=ax2+bx+c的图象与函数y=ax2的图象______相同．
6. 抛物线y=-x2+2x-1的开口方向是向__________，顶点坐标是__________，对称轴是直
线_________．
7. 二次函数y=(x+2)2-2，当x=______时，y有最小值，且y最小值=_______．
8. 二次函数y=-2x2+12x-13的图象开口向______，的顶点坐标是_______，对称轴
是；
9. 函数y=-x2+4x+3的图像开口向______，的顶点坐标是_______，对称轴是；
10、已知y=x2+6x+m与函数y=(x-n)2是同一个函数，则它的顶点坐标是 [ ]
A.(0，-3)
B.(0，3)
C.(-3，0)
D.(3，0)
11、已知图象过(2，-3)，(6，5)，(-1，12)三点，则二次函数解析式是 [ ]
A.y=x2+6x-5
B.y=-x2-6x-5
C.y=x2-6x+5
D.y=-x2-6x+5
12、已知抛物线y=x2-2(k+1)x+16的顶点在x轴上，则k的值是______．
13、若抛物线的顶点为(-2，3)，并且经过(-1，5)，则解析式为______．
14．将抛物线y=-2(x-1)2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线解析式为______．
15、必须 [ ]
A．向上平移3个单位； B．向下平移3个单位；
C．向左平移3个单位； D．向右平移3个单位．
16．要从抛物线y=-2x2的图象得到y=-2x2-1的图象，则抛物线y=-2x2必须 [ ]
A．向上平移1个单位； B．向下平移1个单位； C．向左平移1个单位； D．向右平移1个单位．
17．将抛物线y=-3x 2
的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解
析式为 [ ]
A ．y=-3(x-1)2-2；
B ．y=-3(x-1)2+2；
C ．y=-3(x+1)2-2；
D ．y=-3(x+1)2+2．
18．要从抛物线y=2x 2得到y=2(x-1)2+3的图象，则抛物线y=2x 2必须 [ ]
A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位；
B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位；
C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位；
D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位． 19、=-x 2
必须 [ ] A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位；B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位；
C ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位；
D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位． 20、
位，则所得抛物线解析式为___ ２1．抛物线232
y x =-向左平移1个单位得到抛物线（ ） A ．2312y x =--Ｂ．2312y x =-+Ｃ．23(1)2
y x =-+Ｄ． 22．函数213y x =
与2123y x =+的图象的不同之处是（ ） Ａ．对称轴 Ｂ．开口方向 Ｃ．顶点 Ｄ．形状
23．把y= -x 2-4x+１化成y= a (x+m)2 +n 的形式是（ ）
A ．2(2)3y x =---
B ．2(2)5y x =--+
C ． 2(2)3y x =-+-
D ． 2(2)5y x =-++
24. 把二次函数2x y -=的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个
新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( )
A. ()522+--=x y
B. ()522++-=x y
C. ()522
---=x y D. ()522
-+-=x y
