第十九讲 正态总体均值及方差的
区间估计
1. 单个正态总体方差的区间估计
设总体),(~2σμN X ， ),,(21n X X X 为来自X 的一个样本，已给定置信度（水平）为α-1，求2σ的置信区间。
①当μ已知时，由于),(~2σμN X i ，因此，
)1,0(~N X i σ
μ
-（,2,1=i n , ）。
由2χ分布的定义知：
∑
=-n
i i n X 1
22
2
)(~)(χσ
μ，
据)(2n χ分布上α分位点的定义，有：
αχσμχαα-=<-<∑
=-1)}()()({2
1
2
2
212
2
n X n P n
i i
从而
αχμσχμαα-=?????
??-<
?
???--=-∑∑1)()()()(2
11
22212
2
2n X n X P n
i i n
i i 故2σ的置信度为α-1的置信区间为：
?????
? ??---==∑∑)()(,)()(2
112212
22n X n X n
i i n i i ααχμχμ ②当μ未知时，据抽样分布有：
)1(~)1(22
2
--n S n χσ
类似以上过程，得到
第七章 参数估计
第5节 正态总体均值及方差
的区间估计
单个正态总体均值的区间估计 ①当2
σ已知时，μ的置信水平为α-1的置信区间为：
?
??? ?
?±2ασ
z n X （5.1） ②当2σ未知时，μ的置信水平
为α-1的置信区间为
???
? ??-±)1(2n t n S X α.（5.4）
注意：当分布不对称时，如2χ分布和F 分布，习惯上仍然取其对称的分位点，来确定置信区间，但所得区间不是最短的。
αχσχαα-=??
????????--<<---1)1()1()1()1(2122
22
22n S n n S n P 2σ的置信度为α-1的置信区间为：
?
??
?
??-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n αα
χχ σ的置信度为α-1的置信区间为：
????
? ??-----)1()1(,)1()1(21222
22n S n n S n α
α
χχ 例２ 有一大批袋装糖果, 现从中随机地取出16袋, 称得重量(以克计)如下:
506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 求总体标准差σ的置信水平为0.95的置信区间.
解：总体均值μ未知，σ的置信度为α-1的置信区间为：
?
???
? ??-----)1()1(,)1()1(21222
22n S n n S n ααχχ 此时，,975.02
1,025.02
,
05.0=-
==α
α
α
16=n ，查表得,488.27)15(025.0=χ
,262.6)15(975.0=χ由给出的数据算得
.4667.382=s 因此，σ的一个置信度为0.95
的置信区间为（4.58，9.60）.
2. 两个正态总体均值差的区间估计
设总体),(~),,(~2
2
2211σμσμN Y N X ，且X 与Y 相互独立，),,(21m X X X 来自X 的一个样本，),,,(21n Y Y Y 为来自Y 的一个样本，且设22
2
1
,,,S S Y X 分别为总体X 与Y 的样本均值与样本方差，对给定置信水平
α-1，求21μμ-的一个置信区间。 （1）当22
2
1
,σσ已知时，由第六章定理1知，
),
(~2
11m
N X σμ，),
(~22
2n
N Y σμ，
又X 与Y 相互独立，所以
),
(~22
21
21n
m
N Y X σ
σ
μμ+
--，
即
)1,0(~)
()(22
21
21N n
m
Y X σ
σ
μμ+
---；
所以可以得到21μμ-的一个置信水平为
α-1的置信区间为：
???
?????+?±-n m z Y X 22212)(σσα
（2）当22
2
21σσσ==，但2σ未知时，由第六章定理4知：
)2(~)
()(1121-++
---n m t S Y X n
m
w
μμ
其中2
w w S S =，2
)1()1(22
21
2-+-+-=n m S
n S m S w
，
从而可得：21μμ-的一个置信水平为α-1的置信区间为：
()
n m w
S
n m t Y X 11
)2(2
+?-+±-α
在实际中常遇到下面的问题：已知产品的某一质量指标服从正态分布，但由于原料、设备条件、操作人员不同，或工艺过程的改变等因素，引起总体均值、总体方差有所改变，我们需要知道这些变化有多大，这就需要考虑两个正态总体均值差或方差比的估计问题。
例２: 为比较Ⅰ，Ⅱ两种型号步枪子弹的枪口速度，随机地取Ⅰ型子弹10发，得到枪口平均速度为)/(5001s m x =，标准差
)/(10.11s m s =，取Ⅱ型子弹20发，得到枪
口平均速度为)/(4962s m x =，标准差
)/(20.12s m s =，假设两总体都可认为近似地
服从正态分布，且由生产过程可认为它们的方差相等，求两总体均值差21μμ-的置信度为0.95的置信区间。
解：结合实际，可认为来自两个总体的样本相互独立。因两个总体的方差相等，却未知，所以21μμ-的一个置信水平为α-1的置信区间为：
()
n m w
S
n m t Y X 11
)2(2
+?-+±-α
其中2w w S S =，2
)1()1(2
2
212-+-+-=n m S n S m S w
此处，,025.02/,95.01==-αα
20,10==n m ,282=-+n m ,查表得 0484.2)28(025.0=t ，
又28
20.11910.192
22?+?=w
s ,
1688.12
==w w s s ，
故所求置信区间为：
()
()93.04)28(20110
1
025.02
1
±=+?±-t s x
x w
即 ()93.4,07.3
3. 两个正态总体方差比的区间估计
设总体),(~),,(~2
2
2211σμσμN Y N X ，
在该题中所得置信区间的下限大于0，在实际中我们就认为1μ比2μ大（可信度为95%）；相反，若下限小于0，则认为1μ与2μ没有显著的差别。
且X 与Y 相互独立，),,(21m X X X 来自X 的一个样本，),,,(21n Y Y Y 为来自Y 的一个
样本，且设2
221,,,S S Y X 分别为总体X 与Y 的
样本均值与样本方差，对给定置信水平
α-1，求2
2
21σσ的一个置信区间。 据抽样分布知：)
1,1(~//22
212
2
21--n m F S S σσ由F 分布的上α分位点的定义知，
ασσαα-=--<<---1)}
1,1(//)1,1({2222
212
2
211n m F S S n m F P 即
ασσαα-=??????????--<<---1)1,1(//)1,1(/22122212
2212221n m F S S n m F S S P
于是得2
221σσ的一个置信水平为α-1的置
信区间为：
?
??
? ??-----)1,1(/,
)1,1(/2
2122212221n m F S S n m F S S αα 例３: 研究由机器A 和机器B 生产的钢管的内径, 随机地抽取机器A 生产的管子18只, 测得样本方差;34.0221mm s =抽取机器B 生产
的管子13只, 测得样本方差.29.022
2
mm s =设两样本相互独立,且设两机器生产的管子的内径分别服从正态分布),(211σμN 和
),(222σμN , 这里2
22121,,,σσμμ均未知,求方差比2221/σσ的置信度为0.90的置信区间.
解：记机器A 生产的钢管为总体X, 机器B
生产的钢管为总体Y ，由题意知，
),,(~211σμN X ),(~2
2
2σμN Y ，且来自X 与Y 的两个样本相互独立，因此，2
2
21σσ的一个置信水平为α-1的置信区间为
?
??
? ??-----)1,1(/,
)1,1(/2
2122212221n m F s s n m F s s αα 此处，95.02
1,05.02
,
90.01=-
==-α
α
α，
,13,18==n m 查表求?)12,17(05.0=F
能够得到数据62.2)12,15(05.0=F ，
54.2)12,20(05.0=F ，采用线性插值方法有
62
.2)12,17(15
1762.254.2152005.0--=--F
得59.2)12,17(05.0≈F 。 又由F 函数的性质)
,(1
),(1m n F n m F αα-=
得
38
.21
)17,12(1)12,17(05.095.0==
F F .
于是所求置信区间为
??
?
???38.229.034.0,59.229.0/34.0 即 ()79.2,45.0
由于2
221σσ的置信区间包含1，在实际中我
们认为2221,σσ两者没有显著差别。
（课间休息）
4. （0—1）分布参数的区间估计 问题：设有一容量50>n 的大样本，它来自（0—1）分布的总体X ，X 的分布律为
1,0,)
1();(1=-=-x p p p x f x
x
，
(独立同分布的中心极限定理)
（林德伯格—勒维定理）
设 ,,,,21n X X X 相互独立，服从同一分布, 且具有数学期望和方
其中p 为未知参数。现在来求p 的置信水平为α-1的置信区间。
易知（0—1）分布的均值和方差分别为
).1(,2p p p -==σμ
设大样本n X X X ,,,21 来自（0—1）分布的总体X ，由中心极限定理知
)1,0(~)
1()
1(1
N p np np X n p np np
X n
i i 近似
--=
--∑=
于是有
ααα-≈??
????????<--<-1)1(2/2/z p np np X n z P
从而得到p 的一个置信水平为α-1的置信
区间为???
?
??-±-a ac b b 242， 其中22/αz n a +=，()
2
2
/2αz X n b +-=，2X n c =。 例４: 从一大批产品中任取100件产品进行检验，发现其中有 60 件是一级品。试求这批产品的一级品率 p 的置信度为 95%的置信区间.
解：产品的一级品率p 是(0—1)分布的参数，且样本的容量较大，因此，一级品率 p 的一个置信水平为0.95的置信区间为
???
?
??-±-a ac b b 242 其中22/αz n a +=，()
2
2
/2αz X n b +-=，2X n c =。 此处，025.02/,95.01==-αα，100=n ，
6.0100
60
==
x ，由P61页查表得差：,)(μ=i X E ,)(2σ=i X D
,,,2,1n i =, 则
)
(lim )(lim 1x x n n X P x F n i i n n n Φ=???
?
???
???????≤-=∑=∞
→∞→σμ 中心极限定理的另类描述：
均值为μ, 方差为02>σ的独立同分布的随机变量 ,,,,21n X X X 的算术平均值X , 当n 充分大时近似地服从均值为μ,方差为n /2σ的正态分布.
由于不等式
2/2/)
1(ααz p np np
X n z <--<
-等价于
()
2
2
2
/)1(αz p np np X n -<-，将不等式化简，
2
2
2222222
/2/2p nz p nz p n p X n X n αα-<+-2
22222
/2/2p z p z np p X n X n αα-<+- ()()0
22
2
2
2
2
/2
/<++-+X
n p z X n p z n αα以p 为自变量的函数
()()
2
2222
/2/2X n p z X n p z n y ++-+=αα对应于一个开口朝上的抛物线。设该抛物线与坐标横轴p 轴的交点
分别为21,p p （21p p <），则0 以随机变量X 表示某件产品是否是一级品（X=1表示产品是一级 960.1025.0=z ，于是， 48.103=a ，84.123-=b ，36=c 一级品率 p 的一个置信水平为0.95的置信区间为)69.0,50.0(. 5. 单侧置信区间 , 1}{, ),,,(,,,,)10( 2121αθθθθθαα-≥>Θ∈=< 对于任意确定的统计量若由样本对于给定值 定义 . 1,1) ,(的单侧置信下限信水平为的置称为的单侧置信区间为的置信水平是则称随机区间αθθαθθ--∞+ , 1}{ ),,,,( 21αθθθθθ-≥<Θ∈=P X X X n 满足对于任意又如果统计量 . 1 , 1 ), (的单侧置信上限信水平为的置称为的单侧置信区间为的置信水平是则称随机区间αθθαθθ--∞- 正态总体均值与方差的单侧置信区间 置信上限。 的单侧的单侧置信下限和求水平给定置信是一个样本未知均为方差是的均值是设正态总体 ,1 , ,,, , )( , 2212σμασμ-n X X X X ,)1(~/ 有由--n t n S X μ 品，X=0表示产品不是一级品），则X 服从（0—1）分布，分布律为{}x x p p x X P --==1)1( 请大家思考如何从正态分布表中查025.0z 的值. 在某些实际问题中, 例如, 对于设备、元件的寿命来说, 平均寿命长是我们希望的, 我们关心的是平均寿命的“下限”; 与之相反, 在考虑产品的废品率 p 时, 我们常关心参数 p 的“上限”, 这就引出了单侧置信区间的概念. ,1)1(/ αμ α-=? ?? ?? ?-<-n t n S X P ,1)1( αμα-=? ?? ???-->n t n S X P 即 置信区间 的单侧的一个置信水平为于是得αμ-1 ,),1(?? ? ??∞+-- n t n S X α 的单侧置信下限为的置信水平为αμ-1 ).1(-- =n t n S X αμ ),1(~)1( 22 2 --n S n χσ又根据 ,1)1()1( 2 12 2αχσα-=??????->--n S n P 有 ,1)1()1( 2122αχσα-=? ?????--<-n S n P 即 单侧置信区间 的的一个置信水平为于是得ασ-12 ,)1()1(,0212??? ? ??---n S n αχ 的单侧置信上限为 的置信水平为ασ-12 .) 1()1(212 2 --=-n S n αχσ 例５: 设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验,测得寿命(以小时计)为 1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均值的置信水平为 0.95 的单侧置信下限. 解：的置信下限的置信水平为αμ-1为 )1(-- =n t n s x αμ ,1160,5,95.01===-x n α此处， ,1318.2)4(,995005.02==t s 的置信下限的置信水平为.950μ .1065)1(=-- =n t n s x αμ §12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X (1)均值 称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D (X )＝∑n i ＝1 (x i －E (X ))2 p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D X 为随机变量X 的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b . (2)D (aX ＋b )＝a 2 D (X )．(a ，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X 服从两点分布，则E (X )＝__p __，D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝__np __，D (X )＝np (1－p )． 4．正态分布 (1)正态曲线：函数φμ，σ(x )＝1 2πσ e －x －μ2 2σ2 ，x ∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ为参数(σ>0， μ∈R )．我们称函数φμ、σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质： ①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1 σ2π； ④曲线与x 轴之间的面积为__1__； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着__μ__的变化而沿x 轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ__越小__，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ__越大__，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示． 方差： 方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。 方差是衡量源数据和期望值相差的度量值。 历史： “方差”（variance）这一词语率先由罗纳德·费雪（Ronald Fisher）在其论文《The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance》中提出。 统计学意义： 当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。因此方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小。 样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。 最近进展： 方差不仅仅表达了样本偏离均值的程度，更是揭示了样本内部彼此波动的程度，也可以理解为方差代表了样本彼此波动的期望。当然，这个结论是在二阶统计矩下成立。 样本方差： 先求出总体各单位变量值与其算术平均数的离差的平方，然后再对此变量取平均数，就叫做样本方差。样本方差用来表示一列数的变异程度。样本均值又叫样本均数。即为样本的均值。 均值是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。 简介： 在许多实际情况下，人口的真实差异事先是不知道的，必须以某种方式计算。当处理非常大的人口时，不可能对人口中的每个物体进行计数，因此必须对人口样本进行计算。样本方差也可以应用于从该分布的样本的连续分布的方差的估计。 第十九讲 正态总体均值及方差的 区间估计 1. 单个正态总体方差的区间估计 设总体),(~2σμN X ， ),,(21n X X X 为来自X 的一个样本，已给定置信度（水平）为α-1，求2σ的置信区间。 ①当μ已知时，由于),(~2σμN X i ，因此， )1,0(~N X i σ μ -（,2,1=i n , ）。 由2χ分布的定义知： ∑ =-n i i n X 1 22 2 )(~)(χσ μ， 据)(2n χ分布上α分位点的定义，有： αχσμχαα-=<-<∑ =-1)}()()({2 1 2 2 212 2 n X n P n i i 从而 αχμσχμαα-=????? ??-< 第5章用样本推断总体 5.1总体平均数与方差的估计 【知识与技能】 1.掌握用样本平均数估计总体平均数 2.掌握用样本方差估计总体方差. 【过程与方法】 通过对具体事例的分析、探讨，掌握简单随机样本在大多数情况下，当样本容量足够大时，样本的平均数和方差能反应总体相应的情况. 【情感态度】 感受数学在生活中的应用. 【教学重点】 样本平均数、方差估计总体平均数、方差的综合应用. 【教学难点】 体会统计思想，并会用样本平均数和方差估计总体平均数和方差. 一、情景导入，初步认知 一所学校要从两名短跑速度较快的同学中选拔一名去参加市里的比赛，为了使选拔公平，每名同学都进行10次测试，结果两名同学测试的结果的平均数是相同的，那么，派谁去参加比赛更好呢？ 【教学说明】通过具体事例的引入，提高学生学习的兴趣. 二、思考探究，获取新知 1.我们在研究某个总体时，一般用数据表示总体中每个个体的某种数量特性，所有这些数据组成一个总体，而样本则是从总体中抽取的部分数据，因此，样本蕴含着总体的许多信息，这使我们有可能通过样本的某些特性去推断总体的相应特性. 2.从总体中抽取样本，然后通过对样本的分析，去推断总体的情况，这是统计的基本思想，用样本平均数，样本方差分别去估计总体平均数，总体方差就是 这一思想的体现，实践和理论都表明：对于简单的随机样本，在大多数情况下，当样本容量足够大时，这种估计是合理的. 3.思考：（1）如何估计某城市所有家庭一年内平均丢弃的塑料袋个数？ （2）在检查甲、乙两种棉花的纤维长度时，如何估计哪种棉花的纤维长度比较整齐？ 【归纳结论】由于简单随机样本客观地反映了实际情况，能够代表总体，因此我们可以用简单随机样本的平均数与方差分别去估计总体的平均数与方差. 4.探究：某农科院在某地区选择了自然条件相同的两个试验区，用相同的管理技术试种甲、乙两个品种的水稻各100亩.如何确定哪个品种的水稻在该地区更有推广价值呢？ 为了选择合适的稻种，我们需要关心这两种水稻的平均产量及产量的稳定性（即方差），于是，待水稻成熟后，各自从这100亩水稻随机抽取10亩水稻，记录它们的亩产量（样本），数据如下表所示： 我们可以求出这10亩甲、乙品种的水稻的平均产量.因此，我们可以用这个产量来估计这两种水稻大面积种植后的平均产量. 我们还可以计算出这10亩甲、乙品种的水稻的方差，从而利用这两个方差来估计. 这两种水稻大面积种植后的稳定性（即方差），从而得出哪种水稻值得推广. 5.通过上面的探究，怎样用样本去估计总体，才能使估计更加合理？ 【归纳结论】①抽取的样本要具有随机性；②样本容量要足够大. 6.如何用样本方差估计总体方差？ 【归纳结论】方差能够反映一组数据与其平均值的离散程度的大小.方差越大，离散程度越大，稳定性越差.用样本方差估计总体方差的具体方法为：①计算样本平均数；②计算样本方差；③用样本方差估计总体方差. 【教学说明】引导学生思考，让学生讨论，合作完成.培养学生互助、协作的精神. 概率分布以及期望和方差 上课时间: 上课教师： 上课重点:掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差 上课规划：解题技巧和方法 一 两点分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p <<，1q p =-，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布． 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布． X 1 0 P 0.8 0.2 两点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布． （2）典型分布的期望与方差： 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ． 1、在抛掷一枚图钉的随机试验中，令10X ?=? ? ，针尖向上； ，针尖向下.，如果针尖向上的 概率为p ，试写出随机变量X 的概率分布． 2、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的 知识内容 典例分析 白球个数”，即???=，当取到红球时， ，当取到白球时， 01X ，求随机变量X 的概率分布． 3、若随机变量X 的概率分布如下： X 1 P 29C C - 38C - 试求出C ，并写出X 的分布列． 3、抛掷一颗骰子两次，定义随机变量 ?? ?=)(,1)(,0的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点 面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点 ξ 试写出随机变量ξ的分布列． 4、篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为P ． ⑴ 记投篮1次得分X ，求方差()D X 的最大值； ⑵ 当⑴中()D X 取最大值时，甲投3次篮，求所得总分Y 的分布列及Y 的期望与方差． 二 超几何分布 考点174 用样本数字特征估计总体数字特征（平均数，方差，标准差等） 1．(13辽宁T16) 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加 该小组 的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本 数据中的 最大值为 . 【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征. 【难易程度】较难 【参考答案】10 【试题解析】设5个班级中参加的人数分别为12345,,,,,x x x x x 则由题意知 2222212345 123457,(7)(7)(7)(7)(7)20,5 x x x x x x x x x x ++++=-+-+-+-+-=五个 整数的平 方和为20，则必为0119920++++=，由73x -=可得10x =或4x =，由71x -=可 得8x =或6x =，由上可知参加的人数分别为4，6，7，8，10，故样本数据中的最大值为10. 2.（13上海T10）设非零常d 是等差数列12319,,,,x x x x L 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x L ，则方差_______D ξ=. 【测量目标】方差. 【难易程度】中等 |d 【试题解析】 1 1219 110 1918 19 +2 9 1919 x d x x x E x d x ξ ? + ++ ===+= … （步骤1） 2 2222222 (981019)30 19 d D d ξ=+++++++= L L．（步骤2） 3.(13北京T16) 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天． JC113 （Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率； （Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【测量目标】离散型随机变量的分布列，期望和方差；用样本数字特征估计总体数字特征. 【难易程度】中等 【试题解析】（Ⅰ）设 i A表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)． 根据题意，P( i A)＝ 1 13 ，且 i j A A I＝?(i≠j)． 设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝ 58 A A U. 所以P(B)＝P( 58 A A U)＝P( 5 A)＋P( 8 A)＝ 2 13 .（步骤1） （Ⅱ）由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且 P(X＝1)＝()()()()() 3671136711 4 13 P A A A A P A P A P A P A =+++= U U U， 高中数学--离散型随机变量的均值与方差、正态分布 1．已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，D (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为( ) A ．n ＝4，p ＝0.6 B ．n ＝6，p ＝0.4 C ．n ＝8，p ＝0.3 D ．n ＝24，p ＝0.1 【解析】 由题意得??? ?? np ＝2.4， np 1－p ＝1.44， 解得??? ?? n ＝6， p ＝0.4. 【答案】 B 2．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1＞0)和N (μ2，σ2 2)(σ2＞0)的密度函数图象 如图所示，则有( ) A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D ．μ1＞μ2，σ1＞σ2 【解析】 根据正态分布N (μ，σ2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x ＝μ对称，在x ＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A. 【答案】 A 3．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为均值、方差、正态分布__学生用
样本方差的期望
第十九讲正态总体均值及方差的区间估计
总体平均数与方差的估计
概率分布以及期望和方差
用样本数字特征估计总体数字特征(平均数,方差,实用标准差等)
高中数学--离散型随机变量的均值与方差、正态分布