第四节超静定结构得受力分析及特性
一、超静定结构得特征及超静定次数
超静定结构得几何特征就是除了保证结构得几何不变性所必须得约束外，还存在多余约束。
超静定结构得静力特征就是仅由静力平衡条件不能唯一地确定全部未知反力与内力。
结构得多余约束数或用静力平衡条件计算全部未知反力与内力时所缺少得方程数称为结构得超静定次数。
通常采用去除多余约束得方法来确定结构得超静定次数。即去除结构得全部多余约束，使之成为无多余约束得几何不变体系，这时所去除得约束数就就是结构得超静定次数。
去除约束得方法有以下几种：
(一)切断一根两端铰接得直杆(或支座链杆)，相当于去除一个约束。
(二)切断一根两端刚接得杆件，相当于去除三个约束。
(三)切断——个单铰(或支座固定铰)，相当于去除二个约束；切断一个复铰(连接n根杆件得铰)，相当于去除2(n—1)个约束。
(四)将单刚结点改为单铰节点，相当于去除一个约束；将连接n个杆件得复刚节点改为复铰节点，相当于去除n—1个约束。
去除一个超静定结构多余约束得方法可能有几种，但不管采用哪种方法，所得超静定次数一定相同。
去除图4—1a所示超静定结构得多余约束得方法之一如图4—1b所示，去除六个多余约束后，就成为静定结构，故为超静定六次。再用其她去除多余约束得方案确定其超静定次数，结果就是相同得。
（a）（b）
图4－1
二、力法得基本原理
(一)力法基本结构与基本体系
去除超静定结构得多余约束，代以相应得未知力X i (i=1、2、…、n)，X i 称为多余未知力或基本未知力，其方向可以任意假定。去除多余约束后得结构称为力法基本结构。力法基本结构在各多余未知力、外荷载(有时还有温度变化、支座位移等)共同作用下得体系称为力法基本体系，它就是用力法计算超静定结构得基础。
选取力法基本结构应注意下面两点：
1．基本结构一般为静定结构，即无多余约束得几何不变体系。有时当简单超静定结构得解为已知时，也可以将它作为复杂超静定结构得基本结构，以简化计算。
2．选取得基本结构应使力法典型方程中得系数与自由项得计算尽可能简便，并尽量使较多得副系数与自由项等于零。
(二)力法典型方程及其意义
根据原结构在荷载、温度变化、支座位移等因素作用下产生得已知位移与基本结构在各多余未知力以及与原结构相同得荷载、温度变化、支座位移等因素作用下产生得位移必须相同得条件，由叠加原理，可得n次超静定结构得力法典型方程为
(4—1)
式中 X i 为多余未知力(i=1、2、…、，2)；δij钆为基本结构仅由X j=1为多余未知力(j=1、2、…、n)产生得沿X i 方向得位移、为基本结构得柔度系数；Δip、Δit、Δic分别为基本结构仅由荷载、温度变化、支座位移产生得沿X i 方向得位移，为力法典型方程得自由项；Δi为原超静定结构在荷载、温度变化、支座位移作用下得已知位移(如结构边界处得已知支座位移条件、杆件变形后得已知位移连续条件等)。
力法典型方程(4—1)也称为变形协调方程。其中第一个方程表示基本结构在n个多余未知力、荷载、温度变化、支座位移等共同作用下，在X l作用点沿X l作用方向产生得位移，等于原结构得已知相应位移Δ1；第二个方程表示基本结构在n个多余未知力、荷载、温度变化、支座位移共同作用下，在X2作用点沿X2作用方向产生得位移，等于原结构得已知相应位移Δ2。其余各式得意义可按此类推。
各多余未知力X i得大小与方向必须受力法典型方程得约束，多余约束力与变形协调
条件就是一一对应得，故满足力法典型方程得各多余未知力得解就是唯一真实得解。
同一超静定结构，可以选取不同得基本体系，其相应得力法典型方程也就表达了不同得变形协调条件。不管选取哪种基本体系，求得得最后内力总就是相同得。
图4—2a所示体系为一次超静定结构，如取图4—2b所示得基本体系，则力法典型方程为δ11X1 +Δ1p=0；如取图4—2c所示得基本体系，则力法典型方程为δ11X1 +Δ1p= —X1l／EA。
图4－2
对于图4—2d所示得一次超静定结构，如取图4—2e、f所示得基本体系，则相应得力法典型方程分别为δ11X1 +Δ1p=0、δ11X1 +Δ1p= —X1／k N。
图4—3a所示一次超静定结构得支座B有已知得竖向位移a，如取图4—3b所示得基本体系，力法典型方程为δ11X1 = －a；如取图4—3c所示得基本体系，力法典型方程为δ11X1 +Δ1C=0。
图4－3
(三)系数与自由项得计算
力法典型方程中得系数与自由项都就是静定基本结构仅由单位力、实际荷载、温度变化、支座位移产生得位移，它们均可按上述各自得定义，用相应得位移计算公式计算。
力法典型方程中得系数δii称为主系数，它们恒为正值；δij（i ≠j)称为副系数，它们可为正值、负值、也可为零，根据位移互等定理有δij＝δji；各自由项得值可为正值、负值、也可为零。
(四)计算超静定结构得内力
由力法典型方程求出各多余未知力X i 后，将X i 与原荷载作用在基本结构上，再根据求作静定结构内力图得方法，作出基本结构得内力图就就是超静定结构得内力图。或者也可通过下述叠加方法，计算结构得最后内力。
(4—2) 式中M i、V i、N i分别为X i＝1引起得基本结构得弯矩、剪力、轴力；M p、V p、N p分别为荷载引起得基本结构得弯矩、剪力、轴力。
对梁与刚架，通常得做法就是先根据式(4—2)中得第一式求出各杆端弯矩，再用直杆弯矩图得叠加法作出各杆得弯矩图，然后根据弯矩图由静力平衡条件求出各杆端得剪力与轴力，并据此作出剪力图与轴力图。
三、超静定结构得位移计算
超静定结构得位移计算仍应用变形体系虚功原理与单位荷载法。在具体计算时，为了使计算简便，其虚设状态(即单位力状态)可采用原超静定结构得任一静定基本结构。位移计算得一般公式如下。
(一)荷载作用引起得位移计算公式
（4—3）
(二)温度变化引起得位移计算公式
(4—4)
(三)支座位移引起得位移计算公式
