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第4章超静定结构§4.1 超静定结构特性●由于多余约束的存在产生的影响1. 内力状态单由平衡条件不能惟一确定，必须同时考虑变形条件。
2. 具有较强的防护能力，抵抗突然破坏。
3. 内力分布范围广，分布较静定结构均匀，内力峰值也小。
4. 结构刚度和稳定性都有所提高。
●各杆刚度改变对内力的影响1. 荷载作用下内力分布与各杆刚度比值有关，与其绝对值无关。
2. 计算内力时，允许采用相对刚度。
3. 设计结构断面时，需要经过一个试算过程。
4. 可通过改变杆件刚度达到调整内力状态目的。
●温度和沉陷等变形因素的影响1. 在超静定结构中，支座移动、温度改变、材料收缩、制造误差等因素都可以引起内力，即在无荷载下产生自内力。
2. 由上述因素引起的自内力，一般与各杆刚度的绝对值成正比。
不应盲目增大结构截面尺寸，以期提高结构抵抗能力。
3. 预应力结构是主动利用自内力调节超静定结构内力的典型范例。
§4.2 力法原理●计算超静定结构的最基本方法超静定结构是具有多余联系（约束）的静定结构，其反力和内力（归根结底是内力）不能或不能全部根据静力平衡条件确定。
力法计算超静定结构的过程一般是在去掉多余联系的静定基本结构上进行，并选取多余力（也称赘余力）为基本未知量（其个数等于原结构的超静定次数）。
根据基本体系应与原结构变形相同的位移条件建立方程，求解多余力后，原结构就转化为在荷载和多余力共同作用下的静定基本结构的计算问题。
这里，基本体系起了从超静定到静定、从静定再到超静定的过渡作用，即把未知的超静定问题转换成已知的静定问题来解决。
●基本结构的选择（解题技巧）1. 通常选取静定结构；也可根据需要采用比原结构超静定次数低的、内力已知的超静定结构；甚至可取几何可变（但能维持平衡）的特殊基本结构。
2. 根据结构特点灵活选取，使力法方程中尽可能多的副系数δij = 0。
3. 应选易于绘制弯矩图或使弯矩图限于局部、并且便于图乘计算的基本结构。
超静定结构受力分析及特性第三讲超静定结构受力分析及特性【内容提要】超静定次数确定，力法、位移法基本体系，力法方程及其意义，等截面直杆刚度方程，位移法基本未知量确定，位移法基本方程及其意义，等截面直杆的转动刚度，力矩分配系数与传递系数，单结点的力矩分配，对称性利用，半结构法，超静定结构位移计算，超静定结构特性。
【重点、难点】力法及力法方程，位移法及基本方程；力矩分配系数与传递系数，单结点的力矩分配，超静定结构位移计算。
一、超静定次数把超静定结构变为静定结构所需要解除的约束数称为超静定次数(或多余约束数)。
1．撤去一个活动铰支座(即一根支杆)，或切断一根链杆各相当于解除一个约束。
2．撤去一个固定铰支座(即两根支杆)，或拆开一个单铰结点，各相当于解除两个约束。
3．撤去一个固定支座，或切断一根受弯杆件各相当于解除三个约束。
4．将固定支座改为固定铰支座，或将受弯杆件切断改成铰接各相当于解除一个(承受弯矩的)约束。
5．边框周边安置一个单铰则其内部减少一个弯矩约束。
6．一个外形封闭和周边无铰的闭合框或刚架其内部具有三个多余约束，是三次超静定的。
k个周边无铰的闭合框的超静定次数等于3k。
二、力法(一)基本结构力法是解算超静定结构最古老的方法之一。
力法计算超静定结构是把超静定结构化为静定结构来计算，所以力法基本未知量的个数就是结构多余约束数。
以超静定结构在外因作用下多余约束(又称多余联系)上相应的多余力作为基本未知量，计算时将结构上的多余约束去掉，代之以多余力的作用，将这样所得的静定结构作为求解基本未知量的基本结构(或称为基本体系)。
(二)解题思路根据基本结构在原有外力及多余力的共同作用下，在去掉多余约束处沿多余力方向的位移应与原结构相应的位移相同的条件，建立力法方程，解方程即可求得各多余力。
将多余力视为基本结构的荷载，则可作基本结构内力图，也就是原结构的内力图。
原结构的位移计算亦可在基本结构上进行，这样更为方便。
静定结构受力分析和特性静定结构受力分析和特性静定结构是没有多余约束的几何不变体系，是结构工程师考试的主要考点，下面为大家介绍一下静定结构受力分析和特性，一起来看看!一、静定结构的定义在任意荷载作用下，其全部支座反力和内力都可由静力平衡条件确定，即满足静力平衡条件的静定结构的反力和内力的解答是唯一的。
但必须指出，静定结构任意截面上的应力和应变却不能仅由静力平衡条件确定，还需要附加其他条件和假设才能求解。
二、计算静定结构反力和内力的基本方法在静定结构的受力分析中不涉及结构材料的性质，将整个结构或结构中的任一杆件都作为刚体看待。
静定结构受力分析的基本方法有以下三种。
(一)数解法将受力结构的整体及结构中的某个或某些隔离体作为计算对象，根据静力平衡条件建立力系的平衡方程，再由平衡方程求解结构的支座反力和内力。
(二)图解法静力平衡条件也可用力系图解法中的闭合力多边形和闭合索多边形来代替。
其中闭合力多边形相当于静力投影平衡方程，闭合索多边形相当于力矩平衡方程。
据此即可用图解法确定静定结构的支座反力和内力。
(三)基于刚体系虚位移原理的方法受力处于平衡的刚体系，要求该力系在满足刚体系约束条件的微小的虚位移上所做的虚功总和等于零。
据此，如欲求静定结构上某约束力(反力或内力)时，可去除相应的约束，使所得的机构沿该约束力方向产生微小的虚位移，然后由虚位移原理即可求出该约束力。
三、直杆弯矩图的叠加法绘制线弹性结构中直杆段的弯矩图，采用直杆弯矩图的叠加法。
直杆弯矩图的叠加法可叙述为：任一直杆，如果已知两端的弯矩，则杆件的弯矩图等于在两端弯矩坐标的连线上再叠加将该杆作为简支梁在荷载作用下的弯矩图，如图2-1所示。
作弯矩图时，弯矩值坐标绘在杆件受拉一边，弯矩图中不要标明正、负号。
(a) (b)图2-1四、直杆内力图的特征在直杆中，根据荷载集度q，弯矩M、剪力V之间的微分关系dV/dx=q，dM/dx=V、d2M/dx2=q，可推出荷载与内力图的一些对应关系，这些对应关系构成了弯矩图与剪力图的形状特征(表2—1)。
超静定结构的特性
超静定结构有下面几点主要特性
(一)同时满足超静定结构的平衡条件、变形协调条件和物理条件(力与变形的对应关系)的超静定结构内力的解是唯一真实的解。
力法和位移法的解题方法虽然不同，但在这两个基本方法中，却都综合应用了结构的平衡条件、几何条件和物理条件。
(二)超静定结构在荷载作用下的内力与各杆EI、EA的相对比值有关，而与各杆EI、EA的绝对值无关。
因此，在设计超静定结构之前，必须预先假定各杆的截面尺寸、选定材料的类别。
待内力求出后，再复核截面尺寸，若截面尺寸不合理，还要重复计算。
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另外，也可以通过改变各杆刚度比值的办法来达到调整结构内力分布的目的。
(三)超静定结构在/考试大/非荷载因素(温度变化、杆件制造误差、支座位移等)作用下会产生内力(这种内力状态有时称为自内力状态)，且这种内力与各杆EI、EA的绝对值有关(成正比)。
因此，为了提高结构对温度变化、支座位移等因素的抵抗能力，增大结构截面尺寸并不是有效的措施，为了减小自内力的不利影响，可以采用设置温度缝、沉降缝等构造措施。
(四)超静定结构由于存在多余约束，故它与相应的静定结构比较而言，超静定结构的内力分布较为均匀，刚度和稳定性都有所提高。
超静定结构的内力分析分析方法力法，位移法，以及由位移法派生出来的力矩分配法。
分析方法的基础力法：静定结构的内力分析，静定结构的位移计算位移法：单跨超静定梁的转角位移方程分析思路力法：从超静定结构上（原结构）中去掉多余约束（注意：去掉多余约束后，此时的几何组成体系为几何不变体系，而所去掉的多余约束也就是力法的基本未知量数目）得到的一个静定结构（即力法分析的基本结构）；然后在基本结构上作用与原结构相同的荷载，在去掉多于约束处作用相应的未知力，得到基本体系；利用基本体系在未知力作用处的位移与原结构在此处的位移相等的条件，建立力法的典型方程，从而求解出多余未知力。
未知力求出之后，按静定结构的分析方法求出各杆件的内力。
位移法：首先将超静定结构（原结构）拆成若干单跨超静定梁进行分析；然后再将单跨超静定梁组合成整体结构，组合的原则为各杆端发生与原结构相应结点相同的位移，从而建立位移法求解的方程。
建立位移法的方程的途径有两种：1．直接法利用单跨超静定梁的转角位移方程，将杆端力写成与杆端位移相关的表达式，再根据刚结点处的静力平衡条件（力矩平衡）以及结构某一部分的静力平衡条件（剪力平衡）建立位移法方程。
2．基本体系法将超静定结构（原结构）在可能产生位移（角位移和线位移）的结点上，加附加的约束控制结点不能转动和移动，这样得到位移法分析的基本结构；使基本结构承受与原结构相同的荷载，发生与原结构相同的结点位移，得到位移法分析的基本体系；基本体系上由各刚结点的力矩平衡条件以及某一部分（横梁）的剪力平衡条件建立位移法求解的方程。
分析步骤：1．确定所求解的未知数数目力法：原结构中去掉多余约束使之变成一个没有多余约束的几何不变体系，所去多余约束的数量。
位移法：（1）角位移：对应于刚结点的数目为角位移的数量（2）线位移：当不考虑杆件轴向变形，将所有刚结点改为铰结点，使原结构变成一个机动体系，然后在机动体系上添加附加链杆使机动体系变为几何不变体系，所需添加的链杆数目为线位移的数量。
第四节超静定结构得受力分析及特性一、超静定结构得特征及超静定次数超静定结构得几何特征就是除了保证结构得几何不变性所必须得约束外，还存在多余约束。
超静定结构得静力特征就是仅由静力平衡条件不能唯一地确定全部未知反力与内力。
结构得多余约束数或用静力平衡条件计算全部未知反力与内力时所缺少得方程数称为结构得超静定次数。
通常采用去除多余约束得方法来确定结构得超静定次数。
即去除结构得全部多余约束，使之成为无多余约束得几何不变体系，这时所去除得约束数就就是结构得超静定次数。
去除约束得方法有以下几种：(一)切断一根两端铰接得直杆(或支座链杆)，相当于去除一个约束。
(二)切断一根两端刚接得杆件，相当于去除三个约束。
(三)切断——个单铰(或支座固定铰)，相当于去除二个约束；切断一个复铰(连接n根杆件得铰)，相当于去除2(n—1)个约束。
(四)将单刚结点改为单铰节点，相当于去除一个约束；将连接n个杆件得复刚节点改为复铰节点，相当于去除n—1个约束。
去除一个超静定结构多余约束得方法可能有几种，但不管采用哪种方法，所得超静定次数一定相同。
去除图4—1a所示超静定结构得多余约束得方法之一如图4—1b所示，去除六个多余约束后，就成为静定结构，故为超静定六次。
再用其她去除多余约束得方案确定其超静定次数，结果就是相同得。
（a）（b）图4－1二、力法得基本原理(一)力法基本结构与基本体系去除超静定结构得多余约束，代以相应得未知力X i (i=1、2、…、n)，X i 称为多余未知力或基本未知力，其方向可以任意假定。
去除多余约束后得结构称为力法基本结构。
力法基本结构在各多余未知力、外荷载(有时还有温度变化、支座位移等)共同作用下得体系称为力法基本体系，它就是用力法计算超静定结构得基础。
选取力法基本结构应注意下面两点：1．基本结构一般为静定结构，即无多余约束得几何不变体系。
有时当简单超静定结构得解为已知时，也可以将它作为复杂超静定结构得基本结构，以简化计算。
2．选取得基本结构应使力法典型方程中得系数与自由项得计算尽可能简便，并尽量使较多得副系数与自由项等于零。
(二)力法典型方程及其意义根据原结构在荷载、温度变化、支座位移等因素作用下产生得已知位移与基本结构在各多余未知力以及与原结构相同得荷载、温度变化、支座位移等因素作用下产生得位移必须相同得条件，由叠加原理，可得n次超静定结构得力法典型方程为(4—1)式中 X i 为多余未知力(i=1、2、…、，2)；δij钆为基本结构仅由X j=1为多余未知力(j=1、2、…、n)产生得沿X i 方向得位移、为基本结构得柔度系数；Δip、Δit、Δic分别为基本结构仅由荷载、温度变化、支座位移产生得沿X i 方向得位移，为力法典型方程得自由项；Δi为原超静定结构在荷载、温度变化、支座位移作用下得已知位移(如结构边界处得已知支座位移条件、杆件变形后得已知位移连续条件等)。
力法典型方程(4—1)也称为变形协调方程。
其中第一个方程表示基本结构在n个多余未知力、荷载、温度变化、支座位移等共同作用下，在X l作用点沿X l作用方向产生得位移，等于原结构得已知相应位移Δ1；第二个方程表示基本结构在n个多余未知力、荷载、温度变化、支座位移共同作用下，在X2作用点沿X2作用方向产生得位移，等于原结构得已知相应位移Δ2。
其余各式得意义可按此类推。
各多余未知力X i得大小与方向必须受力法典型方程得约束，多余约束力与变形协调条件就是一一对应得，故满足力法典型方程得各多余未知力得解就是唯一真实得解。
同一超静定结构，可以选取不同得基本体系，其相应得力法典型方程也就表达了不同得变形协调条件。
不管选取哪种基本体系，求得得最后内力总就是相同得。
图4—2a所示体系为一次超静定结构，如取图4—2b所示得基本体系，则力法典型方程为δ11X1 +Δ1p=0；如取图4—2c所示得基本体系，则力法典型方程为δ11X1 +Δ1p= —X1l／EA。
图4－2对于图4—2d所示得一次超静定结构，如取图4—2e、f所示得基本体系，则相应得力法典型方程分别为δ11X1 +Δ1p=0、δ11X1 +Δ1p= —X1／k N。
图4—3a所示一次超静定结构得支座B有已知得竖向位移a，如取图4—3b所示得基本体系，力法典型方程为δ11X1 = －a；如取图4—3c所示得基本体系，力法典型方程为δ11X1 +Δ1C=0。
图4－3(三)系数与自由项得计算力法典型方程中得系数与自由项都就是静定基本结构仅由单位力、实际荷载、温度变化、支座位移产生得位移，它们均可按上述各自得定义，用相应得位移计算公式计算。
力法典型方程中得系数δii称为主系数，它们恒为正值；δij（i ≠j)称为副系数，它们可为正值、负值、也可为零，根据位移互等定理有δij＝δji；各自由项得值可为正值、负值、也可为零。
(四)计算超静定结构得内力由力法典型方程求出各多余未知力X i 后，将X i 与原荷载作用在基本结构上，再根据求作静定结构内力图得方法，作出基本结构得内力图就就是超静定结构得内力图。
或者也可通过下述叠加方法，计算结构得最后内力。
(4—2) 式中M i、V i、N i分别为X i＝1引起得基本结构得弯矩、剪力、轴力；M p、V p、N p分别为荷载引起得基本结构得弯矩、剪力、轴力。
对梁与刚架，通常得做法就是先根据式(4—2)中得第一式求出各杆端弯矩，再用直杆弯矩图得叠加法作出各杆得弯矩图，然后根据弯矩图由静力平衡条件求出各杆端得剪力与轴力，并据此作出剪力图与轴力图。
三、超静定结构得位移计算超静定结构得位移计算仍应用变形体系虚功原理与单位荷载法。
在具体计算时，为了使计算简便，其虚设状态(即单位力状态)可采用原超静定结构得任一静定基本结构。
位移计算得一般公式如下。
(一)荷载作用引起得位移计算公式（4—3）(二)温度变化引起得位移计算公式(4—4)(三)支座位移引起得位移计算公式（4—5）上面三式中得M i、N i、V i与R i为虚设状态(原超静定结构得静定基本结构)得弯矩、轴力、剪力与支座反力；M、N、V、M t、N t、V t、M c、N c、V c分别为原超静定结构在荷载、温度变化、支座位移作用下产生得弯矩、轴力、剪力。
与静定结构一样，在符合一定得条件时，超静定结构得位移计算也可采用简化(实用)计算公式，以及采用图形相乘法代替积分计算。
四、超静定结构内力图得校核超静定结构得内力图必须同时满足静力平衡条件与原结构得变形条件。
1．平衡条件校核根据求得得反力与内力，取整个结构或结构得任一部分为隔离体，校核其就是否满足静力平衡条件。
2．变形条件校核根据已求得得内力计算超静定结构得位移，校核其就是否与原结构得已知位移条件一致。
对于具有无铰闭合外形得结构，在荷载作用下，校核任一切断截面两侧得相对转角时，位移条件得校核公式可简化为(4—6)[例4－1] 图4－4a所示超静定刚架，受均布荷载q、温度变化t1＝1、5t0C，t2＝2、5t0C，支座A顺时针向转动φA等因素共同作用，试求作其M图，并按变形条件校核M图。
杆件横截面为矩形，高为h=l ／10，EI为常数，线膨胀系数为α。
图4－4[解](1)取图4—4b所示得力法基本体系。
(2)力法典型方程为δ11X1 +Δ1p+Δ1t+Δ1c=0(3)计算系数与自由项基本结构得M l、N l、M p图分别如图4—4c、d、e所示。
杆件轴线处得温度变化为t0=2t℃，杆件两侧得温度差为Δt=t℃。
于就是由位移计算公式可求得(4)求基本未知力X l由力法典型方程得(5)作M图M如图4－4f所示。
(6)根据原结构得已知位移条件校核M图校核A截面得转角。
五、等截面直杆得转角位移方程(刚度方程)位移法就是以杆件得转角位移方程作为计算基础得。
转角位移方程表示杆件两端得杆端力与杆端位移之间得关系式。
(一)平面桁架杆件(图4—5)图4－5(4—7) 式中u、N分别表示杆端得轴向位移与轴向力，沿杆轴方向自A向B时为正。
式(4—7)称为拉、压杆得刚度方程。
(二)两端固定得平面等截面直杆(图4—6a)(4—8) 式中 i = EI／l称为线刚度。
杆端截面转角θA、θB、弦转角β = ΔAB／l，杆端弯矩M AB、M BA，固端弯矩M AB F、M BA F均以顺时针向转动为正。
杆端剪力Q AB、Q BA，固端剪力Q AB F、Q BA F均以绕隔离体顺时针向转动为正。
图4—6所示杆端位移、杆端弯矩、杆端剪力得方向均为正号。
图4－6(三)一端固定另一端铰支得平面等截面直杆(图4－6b)(4—9)(四)一端固定另一端定向(滑动)支座得平面等截面直杆(图4－6c)(4—10) 式(4—9)、(4—10)中各符号得意义及正、负号规定均与式(4—8)相同。
式(4—8)、(4—9)、(4—10)称为前述各相应杆件得转角位移方程，式中含有θA、θB、ΔAB得各项分别代表该项杆端位移引起得杆端弯矩与杆端剪力，其前面得系数称为杆件得刚度系数，它们只与杆件得长度l、支座形式与抗弯刚度EI有关，又称为形常数。
而固端弯矩、固端剪力则为仅由荷载产生得杆端弯矩、杆端剪力，它们均与荷载有关，几种常见荷载产生得固端弯矩与固端剪力见表4—1。
等截面直杆得固端弯矩与固端剪力表4—1六、位移法得基本未知量位移法以结构得刚结点得角位移与独立得结点线位移为基本未知量。
角位移数等于刚性结点得数目。
确定刚架独立得结点线位移数时，如果杆件得弯曲变形就是微小得，且忽略受弯直杆得轴向变形，则刚架独立得结点线位移数就就是刚架铰结图得自由度数(即运动得独立几何参数)。
所谓刚架得铰结图就就是将刚架得刚结点(包括固定支座)都改成铰结点后所形成得体系。
如图4—7a所示刚架得结点角位移未知数等于7，在刚架铰结图得结点1、2、3处增设三根支杆后成为几何不变(图4—7b)，即该铰结图得自由度为3，故刚架得全部结点位移未知数等于10。
图4－7如果考虑杆件得轴向变形，则平面结构每个结点得独立线位移未知数为2。
如图 4—7a所示刚架得结点独立线位移未知数为2×7＝14。
图4—7c所示刚架，其横梁不能弯曲，当不考虑各杆轴向变形时，两个刚结点不能转动，只有一个独立得结点线位移未知量。
图4—7d所示结构，如果考虑柱顶轴力杆得轴向变形，而不计受弯杆柱子得轴向变形，则有两个独立得结点线位移未知量。
七、位移法得基本原理(一)位移法基本体系在结构得结点角位移与独立得结点线位移处增设控制转角与线位移得附加约束，使结构得各杆成为互不相关得单杆体系，称为原结构得位移法基本结构。
位移法基本结构在各结点位移、外荷载(有时还有温度变化、支座位移等)作用下得体系称为位移法基本体系。
图4—8a所示刚架得基本体系如图4—8b所示。
