淮北师范大学
2011届学士学位论文
定积分与不等式的证明
系别、专业数学科学学院信息与计算科学
研究方向定积分的拓展应用
学生姓名孙鹏
学号20071102050
指导教师姓名陈昊
指导教师职称讲师
2011年4月15日
定积分与不等式的证明
孙鹏
（淮北师范大学数学科学学院,淮北,235000）
摘要
定积分不等式证明是常见的一种题型，本文首先给出定积分的定义以及性质，然后从定积分基本理论出发，从不同角度分析研究定积分不等式的特点并利用各种技巧和方法，归纳总结出利用重要积分公式，定积分中值定理，变上限积分及构造辅助函数等五种证明定积分不等式的方法。然后根据文中所给出的五种分类,通过分析各种方法所需的条件，巧妙利用函数的各种特性对定积分不等式的问题进行按条件化归,得出这五种方法适用的条件。最后通过阐述定积分在几何学、物理学和工程学中的应用，得出定积分不等式是与应用联系发展起来的结论。
关键词：定积分，不等式，中值定理，辅助函数
Definite integral and Inequality
Sun Peng
(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University,Huaibei,235000))
Abstract
Definite Integral Inequality is a common kinds of questions, this paper gives the definition and properties of definite integral, and then proceed from the basic theory of the definite integral, from the perspective of the different characteristics of the definite integral inequality and the use of various techniques and methods, summarized summarize the important points using the formula, will be integral mean value theorem, variable upper limit and construct the auxiliary functions such as integration of five proved the definite integral inequality. Then the text given in five categories, by analyzing the conditions required for a variety of ways, clever use of the function of various characteristics of the problems set by inequality conditions of return, the five methods applied obtained articlesPieces. Finally, describes the definite integral in geometry, physics and engineering application, come to the definite integral inequality is linked with the application of the conclusions developed.
Key words: integral, inequality, mean value theorem, the auxiliary function
目录
一、引言 (1)
二、定积分不等式证明的原理，概念及定理 (1)
1、定积分在不等式证明中应用的原理 (1)
2、定积分不等式证明中用到的定义与公式 (1)
三、定积分不等式的一些常用证明方法 (5)
1、由变上限函数的特性证明 (5)
2、利用定积分中值定理证明 (5)
3、利用泰勒公式证明定积分不等式 (6)
4、构造辅助函数来证明定积分不等式 (6)
5、利用二重积分法证明定积分不等式 (6)
四、定积分在不等式证明中的应用实例 (6)
1、例1由变上限函数的特性证明 (6)
2、例2利用定积分中值定理证明 (7)
3、例3利用泰勒公式证明定积分不等式 (8)
4、例4构造辅助函数来证明定积分不等式 (8)
5、例5利用二重积分法证明定积分不等式 (9)
五、结论 (10)
参考文献 (11)
一、引言
不等式是数学分析中在进行计算和证明时经常用到的非常重要的工具，同时也是数学分析中研究的重要问题之一。不等式的研究对数学分析的发展起着巨大的推动作用. 在数学分析中有关不等式研究的主要工具和方法有函数的凹凸性、微分中值定理、积分中值定理、单调性、极值原理、无穷级数和一些重要不等式等。
微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的性态，定积分理论是微积分学的一个重要内容, 定积分等式与不等式证明是常见问题,在学习过程中很多人感到难以把握证明的思想方法，而这方面的综合介绍又很少见。为此，本文结合典型例题，介绍了定积分不等式的几种典型证法，这对掌握微积分学的一些重要结果也是有益的。
二、定积分不等式证明的原理，概念及定理 （1）定积分在不等式证明中应用的原理
定积分在不等式证明中的应用所依据的原理是：若在区间[,]a b 上连续函数
(),()f x g x 满足()()f x g x ≤，其中不等号至少对于[],a b 中某一点处成立，则有
()()b
b
a
a
f x dx
g x dx ≤⎰
⎰ 。
（2）定积分不等式证明中用到的定义与公式 定积分的定义：
定义[1] 设f 是定义在[],a b 上的一个函数，J 是一个确定的实数，若对任给的一个正数ε，总存在某一个正数δ，使对[],a b 的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集{}i ξ，只要T δ<，就有
()0
1l i m n
i i i f x J
λξε
→=∆-<∑
（2.1）
则称函数f 在区间[],a b 上可积或黎曼可积；数J 成为f 在[],a b 上的定积分或黎曼积分，记作 J=()b
a f x dx ⎰。 (2.2)
