单相正弦交流电

图 3-1
单一参数的交流电路 1. 电压与电流的关系： 设加在负载两端的正弦交流电压的方向为参考方向，电压的 初相角为零， 即： uR URmSint 在任一瞬时时刻，流过负载的电流仍可由欧姆定律计算， 即：
uR URm i Sint ImSint R R
上式表明，纯电阻电路在正弦交流电压作用下，电阻中的电 流也是正弦形式。
u UmSin(t u ) 311Sin(314t 30)V
电流的瞬时值表达式为：
i Im Sin(t i) 14.14Sin(314t 60) A
正弦交流电的基本概念
20ms
• 课堂练习： • 按照下列正弦交流电瞬时值表达式，在平面坐标系中画出其 波形图。


U 2 0 j 30V


④ 将 U 1 与 U 2代数式相加得：
U U 1 U 2 40 0 j 0 30 40 j30
⑤ 将所得代数式结果转化为极坐标形式：


Ua a 2 b 2 402 302 50 V

b 30 arctg arctg 37 a 40
(2-2)
正弦量的相量表示法 ③ 指数形式
A A e j
A A
A a 2 b2
b arctg a
反过来，由指数式化成代数式时则根据：
(2-3) (2-4)
在电工技术常把指数形式写成极坐标式（如下表达式）
由“复数与向量”图可知，复数的代数表示式与指数表示式之间是可 以相互转换。其根据是：
1 I Im 0.707 Im 2
正弦交流电的基本概念
1 U Um 0.707Um 2
1 E Em 0.707 Em 2
一般情况下，所指正弦量的大小，均指有效值。在电气设备 铭牌所标注的额定电压、额定电流都是指有效值。交流电压表、 电流表上的读数也是指的有效值。
正弦交流电的基本概念
相量结果表达式：
b 30 arctg arctg 37 a 40
U 40 j30 5037V

正弦量瞬时值表达式：
u 50 2Sin(314t 0.21 )V
第三节、单一参数的交流电路
一、纯电阻电路
在交流电路中，凡是电阻起主要作用的负载，如白炽灯、电 炉、电烙铁等，其电感很小可忽略不计，则称为电阻元件；仅由 电阻元件构成的电路称为纯电阻电路。纯电阻电路如图3-1所示。
得结果：
A 8.66 j5
正弦量的相量表示法
二、复数的四则运算：
1. 复数的加减运算
复数的加减运算时将复数转换为代数式，将几个相加减的复数 实部加（减）实部，虚部加（减）虚部。 例如：
A1 a1 jb1
A2 a 2 jb2
A1 A2 a1 a2 j b1 b2
正弦量的相量表示法
2.相量表示法: 一般情况下，只用有向线段的初始位置（t=0的位置）来表示正弦量， 即把有向线段的长度表示为正弦量的大小，把有向线段与横轴正向的夹角 表示为正弦量的初相，这种表示正弦量的方法，叫做; 相量表示法。


I

Im
正弦交流电压、电流的最大值相量表示如下：
Um
+1

u1 40 2Sin314t V, u 2 30 2Sin 314t V。 2
1.用向量法（复数法）求解：
① 将两正弦量用相量表示：
U 1 400
② 按照复数加法原则有：


U 2 3090

U U 1 U 2



③ 将U 1和U 2 的极坐标式转换为代数式表示：
i 10Sin314t
i 20 Sin(2000 t ) 4

u 220 2Sin(1000 t 120 )
o
第二节、正弦量的相量表示法
一、复数的表示形式： 复数有三种表示方法：直角坐标式、三角函数式和指数式
① 直角坐标式
设A是一个复数,设a和b分别为它的实部和虚部,则有：
A=a+jb
•

•

Um Im R
单一参数的交流电路 2.电阻上的功率 ⑴ 瞬时功率
• 在交流电路中，电流、电压的大小和方向都是变化的，电压的瞬时值 uR与电流的瞬时值i的乘积称为瞬时功率，瞬时功率也就是一个变化的
pR 数值，用小写字母“
”表示，即：
pR ui UmSint ImSint UI UISin(2t ) 2
第三章、单相正弦交流电 第一节、正弦交流电的基本概念
第二节、正弦量的相量表示法
第三节、单一参数的交流电路 第四节、R.L.C 的串联交流电路
第五节、功率因数的提高
第六节、谐振电路
第一节、正弦交流电的基本概念
• 电的种类大致分为三种，日常工业、商业、家庭用电最多是正弦交流电。
(a)直流电
(b)正弦交流电 图1 电流波形图
（2）采用复数指数形式的直角坐标式求积和商。（先将A和B两复 数化为直角坐标式）
A a2 b2 32 42 5
B a2 b2 82 62 10
b 4 A arctg arctg 53o a 3 b 6 B arctg arctg 37 o a 8
• 例题： 某正弦电压的有效值U=220V，初相u=30；某正弦电流的 有效值 I=10A，初相 i= –60。它们的频率均为50Hz。试分别 写出电压和电流的瞬时值表达式，并画出它们的波形。
Um 2U 2 220V 311V 解：电压的最大值为 ： 电流的最大值为 ： Im = 2I = 2 10 = 14.14A 电压的瞬时值表达式为 ：
(c)脉冲电
正弦交流电的基本概念
一、正弦交流电压与电流特征量：
1. 在正弦电源激励下，电路中电压和电流均按正弦规律变化这样的电路 为正弦交流电路。 正弦电压或电流其大小与方向均随时间而周期性变化，如下图所示。
u( i)
2.
i
i

t
(a)正弦波形

U (b)正半周 R
U
R

(c)负半周
正弦交流电数学表达式：
式中： 是虚数单位.
(2-1)
正弦量的相量表示法
j b A
向量 OA 的长度 A 称为复数A
A

0
复数与向量
的模，向量 OA 与实轴正方向的 夹角 ，称为复数A的幅角， 可以表示为：
+1
a
b arctg a
② 复数A可以用三角函数形式表示为：
A a jb A (Cos jSin)
U 1 a 40Cos 40Cos0 40 1 40
U 1b 40Sin 40Sin0 40 0 0

U 1 40 j 0V

正弦量的相量表示法
U 2 a 30Cos 30Cos90 30 0 0

U 2b 30Sin 30Sin90 30 1 30

Im

正弦交流电压、电流的有效值相量表示如下：
（相量图表示法）
U

I
最大值相量及有效值相量分别复数表示如下：
U m Um Um Cos jSin U U U Cos jSin

正弦量的相量表示法
例题：已知
求
u u1 u 2 ?
单一参数的交流电路
（1）纯电阻电路中，电压u和电流i为同频率、同相位，其波 形如图 3-2 所示；
b) 电压和电流的波形 c) 相量图 图 3-2
• （2）电压u和电流i的最大值之间、有效值之间的关系仍然 满足欧姆定律，分别为： U Rm UR Im I R R 同样可以用相量表示为：
U I R
2. 复数的乘法运算 复数做乘法运算将复数转换成指数形式的极坐标表达式，按照两 复数的模相乘做为积的模，两复数的模角相加后的和作为积的模角。 例如：
A1 A1 1
A2 A2 2
A1 A2 A1 A2 1 2
正弦量的相量表示法
3.复数的除法运算 复数做除法运算时将复数转换成指数形式的极坐标表达式，按照两复 数的模相除做为商的模，两复数的模角相减后的和作为商的模角。
正弦交流电的基本概念
2. 描述正弦量变化快慢的几种方法： ⑴. 周期T：变化一周所需的时间（单位：秒、毫秒） ⑵. 频率f ： 每秒变化的次数 (单位：赫兹、千赫兹)
⑶. 角频率ω：每秒变化的弧度（单位：弧度/秒）
周期、频率、角频率三者之间关系
1 T f
2 2 f T
正弦交流电的基本概念
得结果如下： 正弦量瞬时值表达式：
U 40 j30 5037V u 50 2Sin(314t 0.21 )V

正弦量的相量表示法
2. 用相量图求解：
由相量图的几何关系得以下结果：


U
37


U U12 U 22 402 302V 50V
U2
U2
U1
1
t 2 t 1 2 1
正弦交流电的基本概念
当 =(2 – 1) > 0 时，称 i2 与 i1 超前角； 当 =(2 – 1) < 0 时，称 i2 与 i1 滞后角； 当 =(2 – 1) = 0 时，称 i2 与 i1 同相。 三、正弦交流电的有效值： 定义：交流电和直流电分别通过同一电阻，两者在相同时间 内消耗的电能相等，即产生的热量相等时，则此直流电的数 值叫做交流电的有效值。 根据交流电有效值的定义，可以推导出交流电的电压、 电流、电动势的有效值与最大值之间关系如下：
(2-5)
a A Cos
b A Sin
(2-6)
正弦量的相量表示法 例题1：将复数 A 8 j 6 转换成极坐标表达式。
解：依照题意已知a=8，b=6。复数的模则为：
A a 2 b 2 82 62 10
b 6 幅角为： arctg arctg 37 a 8
例如：
A1 A1 1 2 A2 A2
正弦量的相量表示法
例题：已知两复数
A 3 j 4 ， B 8 j 6 。求它们的和、差、积、商.
解：（1）采用直角坐标式求和、差。
A B 3 8 j 4 6 11 j10
A B 3 8 j 4 6 5 j 2
得结果：
A A 1037
正弦量的相量表示法 例题2：将复数 A 10 30 转换成代数式
解：依据题意已知a=10，b=–30°，由式2-6可得：
a A Cos 10Cos 30 8.66
b A Sin 10Sin 30 5
3. 相位和初相位：
：正弦波的相位角或初相位。 （t ）
： t = 0 时的相位，称为初相位或初相角。
i
t

初相位 ：给出了观察正弦波的起点或参考点
正弦交Hale Waihona Puke Baidu电的基本概念
二、同频率正弦交流电的相位差 i
i1

1
i2
t
2
i1 I m1 sin t i2
I m 2 sin t 2
A 5 A B 51053 37 5090 53 37 0.516 B 10
正弦量的相量表示法
二、相量的概念与正弦量的相量表示法 1. 相量的基本概念： • ⑴ 正弦交流量不仅有大小而且有相位参数,要同时表示出这 二个参数必须采用矢量或复数。 • ⑵ 正弦周期量才能用相量表示，非正弦周期量不能用相 量 表示。且只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上。 • ⑶ 正弦量用相量表示可简化正弦交流电路的分析与计算。 只包含幅值与初相位两个要素。
i = Imsin(t )
正弦交流电的基本概念
正弦波的特征表现在变化的快慢、大小及初始值三个方面， 因此，正弦交流电数学表达式包含三个要素，即频率、幅值 和初相位。
一、正弦交流电的三要素
最大值
t
T

1. 最大值：交流电压、电流、电动势顺势中的最大数值，称为 最大值，以大写字母带下标m(max)表示。