圆锥曲线的统一定义(终)

(
P
x |
c)2 a2
ly x|
2
c a
化简得
·c a2c2O x2 a2 yF2 a2 a2c2
x
令 a2 c2 b2，上式可化为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
结论：平面内到一个定点F的距离与到一条 定直线l （ F不在l上）的距离的比值是常数 e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆；
(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆.
(2)当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线.
(3)当 e =1 时, 点的轨迹是抛物线.
其中，常数 e 叫做圆锥曲线的离心率,定点F 叫做圆锥曲线的焦点, 定直线 l 就是该圆锥 曲线的准线.
： （1）三种曲线分别有几条准线？ （2）准线方程分别是什么？
表达式|PF1-PF2|=2a (2a<F1F2)
3、抛物线的定义：
平面内到定点F的距离和到定直线l的距离相等的点的 轨迹 表达式PF=d (d为动点到定直线距离）
二、探究
PF 1 d
：当这个比值是一个不等于1的常 数时，动点P的轨迹又是什么曲线呢？
tongyi-dingyi.gsp
探究实验 提出猜想 证明猜想
：在推导椭圆的标准方程时，我们曾得
到这样一个方程：a2cx a x c2 y2
将其变形为
x c2 y2
a2 x
c a
，
c
能解释这个方程的几何意义吗？
：已知点P（x,y）到定点F（c,0）的距离与
它到定直线l：x a2 c
的距离的比是常数
c a
（a＞c＞0），求点P的轨迹。
yຫໍສະໝຸດ Baidu
解:根据题意可得
2018年11月1日
什么是圆锥曲线？
一、复习回顾
1、椭圆的定义：
平面内到两定点 F1、F2 距离之和等于常数 2a (2a>F1F2）的点的轨迹
表达式 PF1+PF2=2a(2a>F1F2）
2 、双曲线的定义：
平面内到两定点F1、F2 距离之差的绝对值等于常数2a (2a< F1F2)的点的轨迹
距离为4，求P点到右准线的距离．
思路1：利用统一定义先求点P到左准线的距离， 再用两准线间的距离为定值，求出点P到右焦点 的距离。 思路2：利用椭圆定义求出点P到右焦点的距离， 再用统一定义先求点P到右准线的距离。
三、课堂小结
1、理解圆锥曲线的统一定义； 2、学会分析代数式的几何意义； 3、会求动点的轨迹方程； 4、注重数形结合和分类讨论的分析方法. 5、利用圆锥曲线统一定义解决相关的
简单的圆锥曲线问题。
：如果我们在例１中，将条件 （a＞c＞0）改为（c＞a＞0），点 P的轨迹又发生如何变化呢？
结论：平面内到一个定点F的距离与到一条 定直线l（ F不在l上）的距离的比值是常数 e(e>1)的点的轨迹是双曲线；
：我们对上面三种情况总结归纳出圆锥曲 线的一种统一定义 ：
平面内到一定点F 与到一条定直线 l 的距离之 比为常数 e 的点的轨迹.( 注：点F 不在直线l 上）
c
(c, 0)
a2 x
c
(0, c)
y a2 c
二、例题
：求下列曲线的准线方程．
（1）x2 y2 1 25 9
（2）4 y2 x2 16 y2 x2
化为： 1 4 16
（1）准线方程为：x 25 , x 25 44
（2）准线方程为：y 2 5 , y 2 5
5
5
：已知椭圆 x2 y2 1 上一点P到左焦点的 64 36
抛物线有一条准线
根据图形的对称性可知, 椭圆和双曲线都有两条准线.
标准方程
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)
y2 x2 1 a2 b2 (a b 0)
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0)
y2 a2
x2 b2
1
(a 0,b 0)
图形
焦点坐标 准线方程
(c, 0)
a2 x
c
(0, c) y a2