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x x0
一般地如果当x从点x0右侧（即x<x0)无限趋近 于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数 f(x)在点x0处的右极限，记作
lim f (x) a
xx0
根据函数在一点处的极限、左 极限、右极限的定义，可以得 出：
lim f (x) a
xx0
lim f (x) lim f (x) a
定义(3) lim f (x) a x
如果 lim f (x) a x
且
lim f (x) a
x
那么就说 当x趋向于无穷大时,函
数f(x)的极限是a,记着:
定义（4）（函数在一点处的极限）
lim f (x) a
xx0
一般地,当自变量x无限趋近于常数 x0时（但x不等于x0）,如果函数f(x) 无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于 x0时时,函数f(x)的极限是a,记着:
lim f (x) a
x
问题？？？
lim f (x) 和 lim f (x)
x
x
一定存在吗？？？
问题？？？
若 和 存在 lim f (x) x
lim f (x)
x
它们的值一定相等吗？？？
定义(3)
如果 lim f (x) a 且 lim f (x) a
x
x
那么就说 当x趋向于无穷大时,函数f(x)的极
且两个极限值相等
谢谢欣赏
欢迎督查指导
限是a,记着: lim f (x) a x
注意:必须两个条件都满足, 才能说-------
对于常数函数f(x)=c(x∈R), 也有 lim f (x) C x
❖重要结论： lim ax ? lim ax ?
x
x
记忆方法：数形结合法（指数函 数的图象）
（2）当 x x0 时
函数f(x)的极限
数列极限复习
❖定义:
一般地,如果当项数n无限增大时, 无穷数列｛an｝的项an无限地趋 近于某个常数a,（既｜an-a｜无 限地接近于0），那么就说数列 ｛an｝以a为极限，或者说数列 ｛an｝的极限是a
记着:
lim
n
an
a
❖重要结论
(1)常数c的极限等于 它本身,
即 limC C n
(2) lim an n
x无限趋近于x0，应理解为x可以用任何方式 无限趋近于x0
阅读：P80例2 练习: P81练习2
想一想：
可以总结出什么规律？
左极限定义：
一般地如果当x从点x0左侧（即x<x0)无限趋近
于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数
f(x)在点x0处的左极限，记作
lim f (x) a
右极限定义：
xx0
xx0
练习1：P83练习1、2 练习2: P83习题1
举例说明：
（1）lim x x0
f (x) 与 lim f (x) xx0
可以都不存在
（2）xlimx0
f
(x)
与
lim
xx0
f
(x)
可以都存在，
但两个极限值不相等
（3）xlimx0
f
(x)
与
lim
xx0
f (x)
可以都存在，
(3)
lim
n
A1ns B1nt
A2ns1 B2 nt 1
…… ……
（1）当 x 时
函数f(x)的极限
y1 x
x
1
y
1
10
100
1000 10000 100000
0.1
0.01 0.001 0.0001 0.00001
❖当自变量x取正值并无限增大时(即x趋向于正无穷大 时),函数y的值无限趋近于0,即｜y-o｜可以变得任意 小.
你能否举例说明？
（
）
定义（4）
一般地,当自变量x无限趋近于常数x0时（但x不等 于x0）,如果函数f(x) 无限趋近于一个常数a,就 说当x趋近于x0时时,函数f(x)的极限是a,记着:
lim f (x) a
xx0
lim f (x) 也叫做函数f(x)在点x=x0处的极限
xx0
x无限趋近于常数x0，是指x从x0的左、右两边趋近于x0
问题（1）：讨论当x无限趋近于2（从左、右两边）时，
函数 y x2
的变化趋势：
lim x2 4
x2
问题（1）：讨论当x无限趋近于1 （从左、右两边）
时，函数
x2 1
y
的变化趋势： x 1
lim x2 1 2 x1 x 1
问题？？？
当 x从x0的左、右两边趋近于x0时， f(x)的极限一定相等吗？
❖一般地，设C为常数，则 lim C C
x x0
x2 1
由例2及
lim
2
x1 x 1
，百度文库
你能总结出一般性结论吗？
本节课主要学 习了哪些问题？
第二课时
函数的左、右极限
说出下列函数极限的定义：
（1） lim f (x) a x
（2）
lim f (x) a
x
（3） lim f (x) a x
（4） lim f (x) a xx0
定义(1): lim f (x) a x
一般地,当自变量x取正值并无限增大时, 函数f(x)的值无限趋近于一个常数a,就 说当x趋向于正无穷大时,函数f(x)的极 限是a,记着:
定义(2): lim f (x) a x
一般地,当自变量x取负值并且绝对值无 限增大时,函数f(x)的值无限趋近于一 个常数a,就说当x趋向于负无穷大时,函 数f(x)的极限是a,记着:
❖同样地,当自变量x取负值并且它的绝对值无限 增大时(即x趋向于负无穷大时),函数y的值也无 限趋近于0,
定义(1):
一般地,当自变量x取正值并无限增大时,函数f(x) 的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷
大时,函数f(x)的极限是a,记着: lim f (x) a x
定义(2):
一般地,当自变量x取负值并且绝对值无限增大时, 函数f(x)的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向 于负无穷大时,函数f(x)的极限是a,记着:
