高等数学1.3函数的极限PPT

x x0 x x0
若 0, x U ( x0 , ), 有f ( x ) g( x ), 则A B .
推论
设 lim f ( x ) A, lim g( x ) B, 且A B
x x0 x x0 0
则 0, x U ( x0 , ), 有f ( x ) g( x ).
x
lim f x A 或者
f x A x ;
设函数f x 当x小于某一负数时有定义 ，如果当 x 时，函数值f x 无限接近于某个确定的 常数A，那么就称当x 时，函数值f x 的极 限是A, 记为
x
lim f x A 或者
左极限与右极限称为单侧极限.
1.函数极限与 f ( x )在点x0是否有定义无关 ; 注意：
2. 与任意给定的正数 有关.
2.几何解释:
当x在x0的去心 邻 域时,函数y f ( x ) 图形完全落在以直 线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.
A
A
y
y f ( x)
A
渐近线.
2.另两种情形:
f ( x) A 10 . x 情形 : xlim
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x ) A .
2 . x 情形 : lim f ( x ) A
0
x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x ) A .
lim f x A 或者
x
f x A x .
类似于函数 f x 在 x0 处的左、右极限，我们有
，如果当 定义4 设函数f x 当x大于某一正数时有定义 x 时，函数值f x 无限接近于某个确定的 常数A，那么就称当x 时，函数值f x 的极 限是A, 记为
定理(保号性)
若 lim f ( x ) A, 且A 0(或A 0),
x x0 0
则 0,当x U ( x0 , )时, f ( x ) 0(或f ( x ) 0).
推论
若 lim f ( x ) A, 且 0,当x U ( x0 , )时,
x x0
定义2 设函数 f x 在点 x0 的一个左领域内有定义。
如果当
时，函数值 x x0
x f无限接近于某确定 x f的左极限是
的常数A,那么称为
A，亦称函数
x x0
时，函数 x x0
x f在点
x0 处的左极限是 A,记为
lim f x A或者f x0 A
lim f ( x ) A且 x lim f ( x ) A. 定理 : lim f ( x) A x x
3.几何解释:
y
A
sin x x
X

X
当x X或x X时, 函数 y f ( x )图形完全落在以 直线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.

近于某个确定的常数A,那么就称当 x x0时函数
f x 的极限是A，亦称函数 f x 在点 x0 的极限是A，
记为
x x0
lim f x A或者f x A x x0 ;
如果这样的常数A不存在，就称当 x x0时函 数 f x 没有极限，亦称函数 f x 在点 x0 处没 有极限，习惯上也常常表达为 lim f x 不存在。
二、函数极限的性质
1.有界性
定理 若在某个过程下 , f ( x ) 有极限 , 则存在 过程的一个时刻,在此时刻以后 f ( x ) 有界.
2.唯一性
定理 若lim f ( x )存在,则极限唯一.
3.不等式性质பைடு நூலகம்
定理(保序性)
0
设 lim f ( x ) A, lim g( x ) B.
第三节 函数的极限
一、函数极限的概念 二、函数极限的性质
1.自变量 x x0 函数的极限
问题: 函数 y f ( x ) 在 x x0 的过程中 , 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
例1 设有函数 f x 2 x 1 。定点 x0 2。不难看出，
o
x0

x0

x0
x
显然, 找到一个后,越小越好.
定理 : lim f ( x ) A f ( x0 ) f ( x0 ) A.
x x0
x 例6 验证 lim 不存在. x0 x
x x lim lim 证 x 0 x x 0 x
y
1
lim ( 1) 1
x 0
o
1
x
x x lim 1 1 lim lim x 0 x 0 x x 0 x
f ( x ) 不存在. 左右极限存在但不相等, lim x0
2.自变量趋向无穷大时函数的极限
sin x 观察函数 当 x 时的变化趋势. x
播放
问题: 函数 y f ( x ) 在 x 的过程中, 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
x x0
0
f ( x ) 0(或f ( x ) 0), 则A 0(或A 0).
例8 证明下列极限:
(1) lim x x0 , 其中, x0 R;
x x0
( 2) lim x
x x0
x0 , 其中, x0 R ;

π ( 3) lim arctan x . x 2
通过上面演示实验的观察: sin x 当 x 无限增大时, f ( x ) 无限接近于 0. x
定义3
设函数f x 当 x 大于某一正数时有定义 。如果 当x 时，函数值f x 无限接近于某个确定 的常数A，那么，就称当 x 时，函数f x 的 极限是A，并称函数f x 在无穷远处的极限是 A, 记为
1 例2 设有函数 f x ，定点 x0 1 ，不难 x 1 1 看出，当 x x0 时，对应的函数值 f x x 1
的绝对值无限制地增大，不能无限接近于任何一
个确定的常数
定义1 设函数 f x 在点 x0 的一个去心邻域 u x0 内
有定义。如果当 x x0时，函数值 f x 无限接
sin x 0. 例1 证明 lim x x
1 sin x sin x 1 证 , 0 x X x x
0, 取 X ,
sin x 0 , x
x
y
sin x x
1
则当 x X时恒有
sin x 故 lim 0. x x
定义 : 如果 lim f ( x ) c , 则直线 y c是函数y f ( x ) 的图形的水平渐近线 .
当 x x0 ，对应的函数值 f x 2 x 1 无限接近于5
然而，譬如说对于函数
2 x 1, x 2 g x 1, x 2 或者对于函数
不难看出，当 x x0 时，对应的函数值 g x 或者
h x 依然无限接近于常数5 h x 2 x 1, x 2,
f x A x .
定义类似地，我们有 命题2
x
lim f x A的充分必要条件是lim f x A且 lim f x A
x x
例6
1 由于当x 时，函数值f x 无限接近于0，所 x 1 1 以有 lim 0,以及直线y 0是曲线y 的一条水平 x x x
定义2 设函数 f x 在点 x0 的一个右领域内有定义。
如果当
时，函数值 x x0
x f无限接近于某确定
的右极限是 x f
的常数A,那么称为
A，亦称函数
x x0
时，函数 x x0
在点 x f
x0 处的右极限是 A,记为
lim f x A或者f x0 A