引言
本实验要求计算0≤ω<2π上X(e jw)和Y(e jw)在n=64的等分频率点上的值，这由DFT就可以得到。值得指出的是，当DFT得到的X(k)中k取遍1,2,…,N时，在频谱X(e jw)上正好对应了0≤ω<2π。由于n=64并不小，所以还可以考虑由X(k)来近似拟合出X(e jw)，这就是能够近似画出在0≤ω≤2π上画出|X(e jw)|和
|Y(e jw)|对ω的图的理论保证。
通过卷积法同样可以求得系统在某个输入下的输出，这一方法可以用来验证使用DFT算法求输出的正确性。在实验的最后还补充了一个关于两种方法在速度上的简单对比，以此说明DFT的FFT算法的优越性（效率高）。
设计中涉及的内容
在离散时间、连续频率的傅里叶变换中，由于卷积性质知道，对系统输出的计算可以通过求x[n]和h[n]的DTFT，将得到的X(e jw)和H(e jw)相乘就可以得到Y(e jw)，进而再通过反变换得到y[n]。这就避免了在时域进行繁琐的卷积求解。
在数字信号处理（DSP）中，对于有限长序列存在一种离散时间、离散频率的傅里叶变换，称为DFT（Discrete Fourier Transform）。DFT变换的定义为：
k=1,2,…,N
j=1,2,…,N 其中
可以看出，DFT是对有限长序列频谱的离散化。通过DFT使时域有限长序列与频域有限长序列相对应，从而可在频域用计算机进行信号处理。更重要的是DFT具有两种高效的快速算法FFT（Fast Fourier Transform）。当序列长度为2的整数次幂时，可以采用最快的基2算法，否则采用一般的混合算法。具体的算法可参阅Matlab 6.0或以上版本的Function Reference。
一种更为通俗的解释是，DFT是对频谱采样得到的结果，即DFT所求到的X(k)，它只是一组等分频率点上的X(e jw)，通过DFT并没有得到整个频谱。这也是它被称为DFT的原因（Discrete）。
三、设计步骤（包括分析、代码和波形）
实验主要涉及LTI系统对信号的加工，需要我们通过卷积、FFT和IFFT来灵活计算系统的单位脉冲响应和输出：
假设一个特定的LTI系统对输入x[n]=(-3/4)n的响应是:
y[n]=2/5(1/2)n u[n]+3/5(-3/4)n u[n]
要求用fft和ifft确定这个系统的单位脉冲响应.
(1).将在区间0≤n≤N-1上x[n]和y[n]的值存入向量x和y中,这里n=64。画出这两个信号,并确信在这个区间以外,它们基本等于零,因此可以放心截断.
(2).用fft计算在区间0≤ω<2π内n=64的等分频率点上的X(e jω)和Y(e jω),并在0≤ω≤2π上画出|X(e jω)|和| Y(e jω)|对ω的图;
(3).在相同的64个频率样本点上计算出H(e jω),用ifft计算在区间0≤n≤N-1内的h[n];
(4).用计算卷积y1=conv(h1,X)验证h[n]是正确的.
(5).给该系统输入信号x[n]=n,-2<=n<=5,使用conv卷积函数，求系统输出。画出输出波形。
下面是第(1)小题的代码。这一部分需要注意的是stem函数，它可以用来画离散信号的波形：
n=0:1:63; %生成序列的横坐标
x=(-3/4).^n; %生成序列x[n]，存放于一个下标为[1..64]的一维向量中
y=(2/5)*(1/2).^n+(3/5)*(-3/4).^n; %生成序列y[n]，存放于一个下标为[1..64]的一维向量中
subplot(2,1,1);stem(n,x);
xlabel('n');ylabel('x[n]'); %画出x[n]
subplot(2,1,2);stem(n,y);
xlabel('n');ylabel('y[n]'); %画出y[n]
下面的图给出了x[n]和y[n]的波形。
下面是第(2)小题的代码。应该注意到abs和angle函数可以用来分解出复数的模和幅角。另外，plot函数可以将离散序列画成连续曲线：
dftx=fft(x); %求x[n]的DFT
dfty=fft(y); %求y[n]的DFT
%特别注意:DFT算出的只是对连续频谱的64个采样值,而非整个频谱
%但是可以利用这些采样值来近似拟合出频谱,这就是下面的工作了
figure(2); %新开一个Figure窗口
magdftx=abs(dftx); %求x[n]的DFT的模
magdfty=abs(dfty); %求y[n]的DFT的模
subplot(2,1,1);plot(n,magdftx);
%通过plot命令将离散序列近似拟合为连续频谱曲线
xlabel('n');ylabel('x[n] Spectrum Magnitude');
subplot(2,1,2);plot(n,magdfty);
xlabel('n');ylabel('y[n] Spectrum Magnitude');
得到的波形如下图：
在实验原理部分已经提及，横坐标n从0到63的取值正好对应着频谱当中0≤ω<2π上的频率。可以看到，这两个信号中模较大（也可以说是能量较大）的频率分量都集中在高频部分，这同第(1)小题绘制出的信号波形是吻合的。在时域x[0]和y[0]点附近，信号x[n]和y[n]都呈现出高频的振荡。
第(3)小题的工作是紧接着第(2)小题展开的，H(e jw)正是Y(e jw)除以X(e jw)的结果。表示矩阵的对应元素相除。代码如下：
dfth=dfty./dftx; %利用傅里叶变换的卷积性质求得系统频率响应的DFT
h=ifft(dfth); %求h[n]
magdfth=abs(dfth); %求h[n]的DFT的模
angdfth=angle(dfth); %求h[n]的DFT的相位
%为了更加形象,把h[n]和它频谱的模和相位都画出来
figure(3);
subplot(3,1,1);stem(n,h);
xlabel('n');ylabel('h[n]');
subplot(3,1,2);plot(n,magdfth);
xlabel('n');ylabel('h[n] Spectrum Magnitude');
subplot(3,1,3);plot(n,angdfth);
xlabel('n');ylabel('h[n] Spectrum Angle');
得到的波形为：
