2020中考数学 难题突破 二次函数与几何综合（含答案）
1. 如图①，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-4，0），B （1，0），C （0，3），点P 在抛物线y=ax 2+bx+c 上，且在x 轴的上方，点P 的横坐标记为t ． （1）求抛物线的解析式；
（2）如图②，过点P 作y 轴的平行线交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ，若MC 平分∠PMO ，求t 的值；
（3）点D 在直线AC 上，点E 在y 轴上，且位于点C 的上方，那么在抛物线上是否存在点P ，使得以点C ，D ，E ，P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的面积；若不存在，请说明理由．
第1题图
解：（1）如解图①，
第1题解图①
设抛物线的解析式为(4)1y a x x =+-（），把（0，3）代入得到3
4
a =-，
∴抛物线的解析式为3(4)14y x x =-+-（），即239344
y x x =-+-.
(2) 如解图②中,
第1题解图②
∵A （-4，0），C （0，3）， ∴直线AC 的解析式为334
y x =+， ∵P 的横坐标为t ， ∴M （t ,3
34
t +），
∵CM 平分PMO ∠，∴CMO CMP ∠=∠, ∵PM //OC ，∴CMP MCO ∠=∠ ∴CMO MCO ∠=∠∴OM=OC =3,
∴
22
3+94
t t =（+3） 解得7225t =-
或0（舍弃）.∴t 的值为7225-. (3)设239(,3)4
4
P t t t --+,
①当CE 为对角线时，四边形CPED 为菱形，如解图③，则点P 和D 关于y 轴对称，
第1题解图③
∴239(,3)4
4
D t t t ---+
把239(,3)44D t t t --+代入334y x =+得233933444
t t t -+=-+-， 解得10t =(舍去)，22t =-，
此时PD =4,CE =3,此时菱形的面积1
62
PD CE =⋅=;
②当CE 为菱形的边时，四边形CEPD 为菱形，如解图④，则PD ∥y 轴，CD=PD ，
第1题解图④
∴3(,3)4
D t t +，
∴223
9333(3)34
4
4
4
PD t t t t t =--+-+=--， 而2222325(33)4
16CD t t t =++-=
，即5,4
CD t =- ∴23534
4t t t --=-，解得10t =(舍去)，273
t =-，
∴3512
PD =
， 此时菱形面积是
35724512336
⨯=. 综上所述，菱形的面积是6或
245
36
.
2. 如图①，若在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，抛物线22
883
3
y x x =--与x 轴交于点A 、C ，与y 轴交于点B ．
（1）设抛物线的顶点为D ，求四边形OADB 的面积；
（2）如图②，动点P 、Q 同时从点O 出发，其中点P 以每秒2个长度单位的速度沿折线OAB 按O→A→B 的路线运动，点Q 以每秒4个单位长度的速度沿折线按O→B→A 的路线运动，当P 、Q 两点相遇时，它们都停止运动，设t 秒时△OPQ
的面积为S ．
①求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；
②判断在①的过程中，t 为何值时，△OPQ 的面积最大，最大面积是多少？
第2题图
解：(1) ∵抛物线22883
3
y x x =--与x 轴交于点A 、C ,与y 轴交于点B ，
∴点A 的坐标为(6,0),点C 的坐标为(-2,0),点B 的坐标为(0,-8). ∵22282328(2)3
3
3
3
y x x x =--=--, ∴顶点D 的坐标为(2,323
-
). 在解图①中,过点D 作DE ⊥x 轴于点E ,则OE =2，DE =32
3
,AE =6-2=4,OB =8, ∴S 四边形OADB =S 梯形OEDB +ADE S ∆132132
(8)242
323
=⨯+
⨯+⨯⨯=40.
第2题解图
（2）①∵AB 2=OA 2+OB 2=62+82=100， ∴AB =10．
设t 秒时，P 、Q 两点相遇，则：2t +4t =6+8+10， 解得：t =4．
点P 在OA 上运动的时间为：6÷2=3（s ）， 点Q 在OB 上运动的时间为：8÷4=2（s ）．
当0≤t ≤2时，如解图②，点P 在OA 上，点Q 在OB 上，OP =2t ，OQ =4t ， ∴21
12442
2
S OP OQ t t t =⋅=⨯⨯=,
即S 关于t 的函数关系式为：24(02)S t t =≤≤;
当23t <≤时，如解图③,点P 在OA 上，点Q 在BA 上，OP =2t ，BQ =4t -8, 过点Q 作QF ⊥OB 于F ,由△QFB ∽△AOB 得：
FB OB
BQ BA
=
,即84810FB t =-,∴4(48)5FB t =-,∴4
8(48)5
OF t =--, ∴211416722[8(48)]22555S OP OF t t t t =⋅=⨯⨯--=-+,
即S 关于t 的函数关系式为：21672
(23)55
S t t t =-
+<≤; 当3＜t ≤4时，如解图④，P 、Q 两点都在AB 上，AP =2t -6，BQ =4t -8， PQ=AB-（AP+BQ ）=10-（2t -6+4t -8）=24-6t , ∵△AOB 的AB 边上的高6824
105
OA OB AB ⨯===， ∴1
2472288
(246)2
555
S t t =⨯-⨯
=-+, 即S 关于t 的函数关系式为：72288
(34)55
S t t =-
+<≤. 综上所述：S 关于t 的函数关系式为：224(02)16
72(23)5
572288(34)5
5t t S t t t t t ⎧
⎪≤≤⎪
⎪=-+<≤⎨⎪⎪-+<≤⎪⎩;
②当02t ≤≤时，2=42=16S ⨯最大; 当23t <≤时，22167216981
S=()55545
t t t -
+=--+;
