2020中考数学 难题突破 二次函数与几何综合（含答案）
1. 如图①，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-4，0），B（1，0），C（0，3），点P在抛物线y=ax2+bx+c上，且在x轴的上方，点P的横坐标记为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图②，过点P作y轴的平行线交直线AC于点M，交x轴于点N，若MC平分∠PMO，求t的值；
（3）点D在直线AC上，点E在y轴上，且位于点C的上方，那么在抛物线上是否存在点P，使得以点C，D，E，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的面积；若不存在，请说明理由．
第1题图
解：（1）如解图①，
第1题解图①
设抛物线的解析式为(4)1yaxx（），把（0，3）代入得到34a， ∴抛物线的解析式为3(4)14yxx（），即239344yxx-.
(2) 如解图②中,
第1题解图②
∵A（-4，0），C（0，3），
∴直线AC的解析式为334yx，
∵P的横坐标为t，
∴M（t,334t），
∵CM平分PMO，∴CMOCMP,
∵PM//OC，∴CMPMCO
∴CMOMCO∴OM=OC=3,
∴223+94tt（+3）
解得7225t或0（舍弃）.∴t的值为7225.
(3)设239(,3)44Pttt,
①当CE为对角线时，四边形CPED为菱形，如解图③，则点P和D关于y轴对称，
第1题解图③
∴239(,3)44Dttt
把239(,3)44Dttt代入334yx得233933444ttt-，
解得10t(舍去)，22t，
此时PD=4,CE=3,此时菱形的面积162PDCE;
②当CE为菱形的边时，四边形CEPD为菱形，如解图④，则PD∥y轴，CD=PD，
第1题解图④
∴3(,3)4Dtt，
∴2239333(3)34444PDttttt，
而2222325(33)416CDttt，即5,4CDt
∴235344ttt，解得10t(舍去)，273t， ∴3512PD，
此时菱形面积是35724512336.
综上所述，菱形的面积是6或24536.
2. 如图①，若在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线228833yxx与x轴交于点A、C，与y轴交于点B．
（1）设抛物线的顶点为D，求四边形OADB的面积；
（2）如图②，动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒2个长度单位的速度沿折线OAB按O→A→B的路线运动，点Q以每秒4个单位长度的速度沿折线按O→B→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设t秒时△OPQ的面积为S．
①求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
②判断在①的过程中，t为何值时，△OPQ的面积最大，最大面积是多少？
第2题图
解：(1) ∵抛物线228833yxx与x轴交于点A、C,与y轴交于点B， ∴点A的坐标为(6,0),点C的坐标为(-2,0),点B的坐标为(0,-8).
∵22282328(2)3333yxxx,
∴顶点D的坐标为(2,323).
在解图①中,过点D作DE⊥x轴于点E,则OE=2，DE=323,AE=6-2=4,OB=8,
∴S四边形OADB=S梯形OEDB+ADES132132(8)242323=40.
第2题解图
（2）①∵AB2=OA2+OB2=62+82=100，
∴AB=10．
设t秒时，P、Q两点相遇，则：2t+4t=6+8+10，
解得：t=4．
点P在OA上运动的时间为：6÷2=3（s），
点Q在OB上运动的时间为：8÷4=2（s）．
当0≤t≤2时，如解图②，点P在OA上，点Q在OB上，OP=2t，OQ=4t，
∴21124422SOPOQttt, 即S关于t的函数关系式为：24(02)Stt;
当23t时，如解图③,点P在OA上，点Q在BA上，OP=2t，BQ=4t-8,
过点Q作QF⊥OB于F,由△QFB∽△AOB得：FBOBBQBA,即84810FBt,∴4(48)5FBt,∴48(48)5OFt,
∴211416722[8(48)]22555SOPOFtttt,
即S关于t的函数关系式为：21672(23)55Sttt;
当3＜t≤4时，如解图④，P、Q两点都在AB上，AP=2t-6，BQ=4t-8，
PQ=AB-（AP+BQ）=10-（2t-6+4t-8）=24-6t,
∵△AOB的AB边上的高6824105OAOBAB，
∴12472288(246)2555Stt,
即S关于t的函数关系式为：72288(34)55Stt.
综上所述：S关于t的函数关系式为：224(02)1672(23)5572288(34)55ttSttttt;
②当02t时，2=42=16S最大;
当23t时，22167216981S=()55545ttt; 当94t时，81=5S最大;
当34t时，7228872=-3555S.
图③ 图④
第2题解图
综上所述，当94t时, △OPQ的面积最大,最大面积为815.
3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2平移，使平移后的抛物线经过点A（-3，0）、B（1，0）．
（1）求平移后的抛物线的表达式；
（2）设平移后的抛物线交y轴于点C，在平移后的抛物线的对称轴上有一动点P，当BP与CP之和最小时，P点坐标是多少？
（3）若y=x2与平移后的抛物线对称轴交于D点，那么，在平移后的抛物线的对称轴上，是否存在一点M，使得以M、O、D为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求点M坐标；若不存在，说明理由．
第3题图
解：（1）设平移后抛物线的表达式为y=a（x+3）（x-1）．
∵由平移的性质可知原抛物线与平移后抛物线的开口大小与方向都相同，
∴平移后抛物线的二次项系数与原抛物线的二次项系数相同．
∴平移后抛物线的二次项系数为1，即a=1．
∴平移后抛物线的表达式为y=（x+3）（x-1），
整理得：y=x2+2x-3；
（2）∵y=x2+2x-3=（x+1）2-4，
∴抛物线对称轴为直线x=-1，与y轴的交点C（0，-3），
则点C关于直线x=-1的对称点C′（-2，-3），
如解图①，连接B，C′，与直线x=-1的交点即为所求点P，
由B（1，0），C′（-2，-3）可得直线BC′解析式为y=x-1，
则11yxx，
解得12xy,
∴点P坐标为（-1，-2）；
图① 图②
第3题解图
（3）如解图②，
由 21yxx，得11xy ，即D（-1，1）,
则DE=OE=1，
∴△DOE为等腰直角三角形，
∴45,135,2DOEODEBODOD,
∵1BO,
∴5BD,
∵135BOD
∴点M只能在D上方，
∵135BODODM，
∴当DMODDOOB或DMOBDOOD时，以M、O、 D为顶点的三角形与△AOB相似，
①若DMODDOOB，则212DM，解得2DM，
此时点M坐标为（-1，3）； ②若DMOBDOOD，则122DM，解得1DM，
此时点M坐标为（-1，2）；
综上，点M坐标为（-1，3）或（-1，2）．
4. 如图，二次函数y=0.5x2+bx+c的图象过点B（0，1）和C（4，3）两点，与x轴交于点D、点E，过点B和点C的直线与x轴交于点A．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在x轴上有一动点P，随着点P的移动，存在点P使△PBC是直角三角形，请你求出点P的坐标；
（3）若动点P从A点出发，在x轴上沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q也从A点出发，以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，直接写出a的值；若不存在，说明理由．
第4题图
解：(1) ∵二次函数2y0.5xbxc的图象过点B(0.1)和C(4,3)两点,
∴ 1384cbc， 解得：3,12bc，
∴抛物线解析式213122yxx，
(2)设点P坐标为（x,0），
∵P(x,0),B(0,1),C(4,3)，
∴222(0)(01)1PBxx，
222(4)(30)825CPxxx，
22(40)(31)25BC，
若90BCP，则222BPBCCP.
∴22120825xxx，
∴112x.
若90CBP,则222CPBCBP.
∴22120825xxx，
∴12x.
若90BPC,则222BCBPCP.
∴22182520xxx
∴121,3xx
综上所述：点P坐标为（1，0），（3，0），（12，0），（112，0） (3)存在.
∵抛物线解析式213122yxx与x轴交于点D，点E
∴21301,22xx
∴121,2xx，
∴点D（1，0），
∵点B（0，1），C（4，3），
∴直线BC解析式112yx.
当0y时，2x，
∴点A（-2，0），
∵点A（-2，0），点B（0，1），点D（1，0），
∴3,5ADAB，
设经过t秒，
∴2,APtAQat.
若APQADB∽，
∴APADAQAB，
即235tat，
∴253a.
若APQADB∽，
