当△ABC为钝角三角形时，设 A>90 过A作单位向量 j
垂直于向量 AC, 则 j
B
- 与 AB, 的夹角为A 90,
j 与 BC,的夹角为90-C.
j
同样可证得
A
C
a b c.
图
sin A sin B sin C
这就是说，对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 来说，上面的关系式均成立.因此.我们得到下面的定理.
1、判断题:根据已知条件判断△ABC解的情况.
(1) b=1 ，a=2，B=30o 有一解；
.
(2)b=1， a=3，B=30o 无解；
.
(3)b=1，a= 3，B=30o 有一解；
.
(4)b=1，a= 3，B=150o 有一解； .
(5)b= 3，a=1，B=120o有两解.
.
j AC cos 90 o j CB cos(90 o C) j AB cos(90 o A)
a sin C c sin A
a c. sin A sin C
同理：若过C作 j 垂直于 CB
B
jA
C
图
得： b c . sin B sin C
a b c. sin A sin B sin C
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
B
a=bsinA 一解
讨论已知两边和一边对角的斜三角形的解：
（按角A分类）
A的范围 A为钝角或直角
A为锐角
a,b关系 a＞b a≤b
a≥b a＜bsinA a=bsinA a＞bsinA
解的情况 一解 无解 一解 无解 一解 两解
解：已知 b <a ，所以B<A，因此B也是锐角.
sin
B
b
sin a
A
50
sin 360 60
0.5131
B 310
C 180 0 ( A B) 180 0 (380 310 ) 1110
c a sin C 60 sin1110 91. sin A sin 380
三、小结：正弦定理，两种应用 已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解 或一解（见图示）
（R为△ABC外接圆半径）
3 每个等式可视为一个方程：知三求一
三、正弦定理的应用
从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求 其它的边和角。
例一、在△ABC中，已知 c 10 A=45 C=30
A=45 C=30 求b（保留两个有效数字）
解： sin B b sin A 28 sin 40 0 0.8999
a
20
B1 64 0 , B2 116 0. 当B1 640时,C1 180 0 (B1 A) 180 0 (640 400 ) 760.
c1
a sin C1 sin A
20 sin 76 0 sin 40 0
二.正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等，即
a b c. sin A sin B sin C
1正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所
对角的正弦比相等，即：
a sin
A
b sin B
c sin C
.
它适合于任何三角形。
2可以证明
a b c 2R. sin A sin B sin C
1.特例: 在Rt△ABC中,∠C=90°，
a
b
c
=
sin A
=
sin B sin C
，是否成立?
初中学过锐角三角函数定义:
A
a
b
sinA=
c
sinB= c
c b
Ba C
ab
c
∠C= 90°,易证
=
=
sin A sin B sin C
2．能否推广到斜三角形？
证明一（传统证法）在任意斜△ABC当中：
解： b c . sin B sin C
B 180 0 ( A C) 180 0 (450 300 ) 105 0
b
c sin B sin C
10 sin105 0 sin 300
19
例二、在△ABC中，已知 a 20 b=28 A=40
求B (精确到1)和c（保留两个有效数字）
30.
当B2 116 0时,C2 180 0 (B2 A) 180 0 (116 0 400 ) 240.
c2
a sin C2 sin A
20 sin 24 0 sin 40 0
13.
例三、在△ABC中，已知 a 60 b=50 A=38
求B (精确到1)和c（保留两个有效数字）
SABC
1 2
absin C
1 2
wenku.baidu.com
ac sin
B
1 2
bc sin
A
两边同除以
1 2
abc即得：
a b c. sin A sin B sin C
3．用向量证明：
证二：过A作单位向量 j垂直于 AC, AC CB AB
两边同乘以单位向量 j, j (AC CB) j AB
则： j AC j CB j AB
学习目标：
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正 弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三 角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
一.引入
引例： 为了测定河岸A点到对岸C点的距
离，在岸边选定1公里长的基线AB， 并测得∠ABC=120o，∠BAC=45o，如 何求A、C两点的距离？
.C .B .A
