第七章 多元函数微分学
作业1 多元函数
1．填空题
（1）已知函数22,y f x y x y x ⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭，则(),f x y =()()
222
11x y y -+； （2）49
arcsin
222
2-+++=y x y x z 的定义域是(){}
22,49x y x y ≤+≤； （3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是
(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+⋃<<≤+；
（4）函数⎪⎩⎪
⎨⎧=≠=0,
0,sin ),(x y x x xy
y x f 的连续范围是 全平面 ；
（5）函数2222y x z y x
+=-在2
2y x =处间断.
2．求下列极限
`
（1
）00
x y →→；
解：0000
31
lim 6x t t y t →→→→===-
（2）22()
lim (e
x y x y x y -+→+∞→+∞
+）.
解：3
y x =22()2()lim (e lim (e 2x y x y x y
x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞
→+∞
⎡⎤+=+-⎣
⎦）） 由于1lim e lim lim 0t
t t t t t t t e e
-→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0t
t t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====，
故22()
2()
lim (e
lim (e 20x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞
→+∞→+∞
→+∞
⎡⎤+=+-=⎣⎦）） 3．讨论极限2630
0lim y x y
x y x +→→是否存在.
解：沿着曲线()()3
,,0,0y kx x y =→,有3
36626262000
lim lim 1x x y kx x y kx k
x y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26
30
0lim y x y
x y x +→→不存在 !
4．证明⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(22222
2y x y x y x xy
y x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y
都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续.
解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡
从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线
()(),,0,0y kx x y =→,有22
22222000
222lim lim 1x x y kx xy kx k
x y x k x k →→=→==+++因k 而异， 从而极限()0
lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续.
；
作业2 偏导数
1．填空题
（1）设22),(y x y x y x f +-
+=，则=
)4,3(x f 25
； （2）（3）设(),ln 2y f x y x x ⎛
⎫=+
⎪⎝⎭，则1
x y f y
==∂=
∂12
； （3）设2
sin x u xz y =+，则42u
x y z
∂=∂∂∂ 0 ；
（4）曲线22
:4
4
x y z y ⎧+=
⎪Γ⎨⎪=⎩
在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是4π. ￥
2．设2
e
x
y u =， 证明 02=∂∂+∂∂y
u y x u x
.
证:因为2223
12,x
x
y y
u u
x e e x y y y ∂∂-==∂∂ 所以222223*********x x x x
y y y y u u x x x x y xe ye e e x y y y y y
∂∂--+=+=+=∂∂
3. 设x
y
z ln =，求22x z ∂∂，y
x z
∂∂∂2.
解：ln ln x y
z e
⋅=，
从而2
2
2ln ln ln ln ln ln ln 222ln ln ln ln ln ,,x y x y x y x z y z y y y y e e e y x x x x x x ⋅⋅⋅∂∂--⎛⎫=⋅=⋅+⋅= ⎪∂∂⎝⎭
—
2ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln 1x y x y x z y x y x e e y x y x y x y xy
⋅⋅∂⋅+=⋅⋅+⋅⋅=∂∂
4．设y x z u arctan =， 证明 022222
2=∂∂+∂∂+∂∂z
u
y u x u . 解：因为()()222222222221
1022,1u
yz u yz x xyz
z x
y x y x x x y x y y ∂∂-⋅-=⋅
⋅===∂+∂⎛⎫+++ ⎪
⎝⎭
()()2222222222221
022,1u x xz u xz y xyz
z y
y x y y x x y x y y ∂--∂-⋅=⋅⋅==-=∂+∂⎛⎫+++ ⎪
⎝⎭
22arctan ,0,u x u
z y x
∂∂==∂∂ 所以()()
2222222222222200u u u xyz xyz
x y z x y x y ∂∂∂-++=++=∂∂∂++ 5．设函数()()222
1sin ,
0,0,
x x y x f x y x
x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩.
（1）试求(),f x y 的偏导函数； 解：当()(
)()3
2
2
2
221
11
0,,42sin cos x x f x y x xy
x x y x
x x
-≠=+++⋅
()21,2sin y f x y x y x =，()()()322211
,42sin cos x f x y x xy x y x x
=+-+
(
当()()()
()222
001sin 0,0,0,0,lim lim 00x x x x x y f x y f y x x f y x x
→→+--≠===-
()()()0
00,0,00
0,lim
lim 00
y y y f y y f y f y y y ∆→→+∆--===∆-∆，
()()()322211
,42sin cos x f x y x xy x y x x
=+-+
