高中数学解题方法系列：圆锥曲线中求参数范围的六种策略
解析几何中求参数范围或与参数有关的问题，往往是高考的热点之一。
本文总结出六种求解这类问题的思考途径与策略。
一、利用题设条件中的不等关系
若题设条件中有不等关系，可直接利用该条件求参数的范围。
例1.双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（－1，0）到直线l的距离之和，求双曲线的离心率e的取值范围。
解析：直线l的方程为，即
由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线l的距离
同理得到点（－1，0）到直线l的距离
由，
即
于是得
即
解得
由于，所以e的取值范围是[，]。
二、应用判别式建立不等式关系
若题设中给出直线（或曲线）与曲线有公共点或无公共点时，可以把直线方程（或曲线方程）与曲线方程联立起来，消去某一个未知数，得到含另一个未知数的一元二次方程，就能利用判别式建立所含参数的不等式。
例2.设，两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线。
当直线l的斜率为2时，求直线l在y轴上截距的取值范围。
解析：设直线l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为
过点A、B的直线方程可写为
由，消y得
①
即是方程①的两个不同的解，得
，
且
设AB的中点N的坐标为（），则
，。
由，
于是。
即得直线l 在y 轴上截距的取值范围为。
点评：该题含有两个参数b ，m ，先由直线AB 与抛物线有两个不同的交点，应用判别式求出参数m 的范围，再由题意找出两个参数b ，m 之间的关系式，最后求出参数b 的取值范围。
例3已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是()0,31-F ，一条渐近线的方程是025=-y x ． （Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）若以()0≠k k 为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
2
81
，求k 的取值范围． 解：（Ⅰ）设双曲线C 的方程为22
221x y a b
-=（0,0a b >>）．由题设得
22952a b b a
⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得2
2
4
5
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为22145x y -=． （Ⅱ）解：设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．
点11(,)M x y ，22(,)N x y 的坐标满足方程组22145
y kx m
x y =+⎧⎪
⎨-
=⎪⎩
将①式代入②式，得22
()145
x kx m +-=，整理得222(54)84200k x kmx m ----=． 此方程有两个一等实根，于是2
504k -≠，且2
2
2
(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>．
整理得22
540m k +->． ③
由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00(,)x y 满足
12024254x x km x k +=
=-，00
2
554m
y kx m k =+=-．
从而线段MN 的垂直平分线方程为22
514()5454m km
y x k k k -
=----．
此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29(,0)54km k -，2
9(0,)54m
k -．由题设可得
22
19981||||254542
km m k k ⋅=--．整理得222
(54)||k m k -=，0k ≠． 将上式代入③式得
22
2(54)540||
k k k -+->，整理得22(45)(4||5)0k k k --->，0k ≠． 解得50||k <<
或5||4
k >． 所以k 的取值范围是5
555,)(,0)(0,)(,)4
224
(∞-
+--∞U U U ． 三、根据曲线的范围建立不等关系
由椭圆的简单几何性质知，椭圆上任一点的横、纵坐标是有界的，通过有界性就可能找到变
量间的不等关系。
例4设椭圆方程，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足
，点N 的坐标为。
当l 绕点M 旋转时，求：（1）动点P 的轨
迹方程；（2）
的最小值与最大值。
解析：（1）动点P 的轨迹方程是
即
（1）由点P 的轨迹方程知，
即。
所以，
故当时，取得最小值，最小值为；当时，取得最大值，最大值为。
点评：这种求最值问题，实质上是先建立目标函数，再由椭圆的范围确定自变量的取值范围，
最后求函数的最值。
例5 已知椭圆
)0(12
2
22>>=+b a b y a x ，A,B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P(x 0,0)，证明：a
b a x a b a 2
2022-<<--. 分析：欲证x 0满足关于参数a 、b 的不等式，须从题中找出不等关系，由椭圆的性质可知，椭圆上的点的坐标满足如下条件：-a ≤x ≤a,因此问题转化为寻求x 0与x 的关系。
由题设知，点P 在线段AB 的垂直平分线上，所以|AP|=|BP|，若设A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2),则有：(x 1-x 0)2-y 12=(x 2-x 0)2-y 22,因为点A 、B 在椭圆上，所以，
22222
2221222
2
1
,x a
b b y x a b b y -=-=，从而由-a ≤x 1≤a,-a ≤x 2≤a,可得：
a
b a x a b a 2
2022-<<--
四、挖掘曲线的隐含不等式
对于一些特殊曲线，它们自身都包含了一些不等关系。
如椭圆长轴长大于短轴长，也大于焦
距长，双曲线的实轴、虚轴长小于焦距长。
对于圆与椭圆，当点位于其内部或外部时，都满足一定的不等关系。
当然有些情况下，不等关系比较隐蔽，只有认真地分析题设中的条件与结论，才能找到所需的含参不等式。
例6已知某椭圆的焦点是，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交
点为B ，且。
椭圆上不同的两点A （
）、
满足条件：
成等差数列。
（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC 中点的横坐标；（3）设弦AC 的垂直平分线的方程为
，求m 的取值范围。
解析：（1）椭圆方程为。
（2）设弦AC中点，可得。
（3）由在椭圆上，得
两式相减得
，
即
将，，代入上式，得
9×4＋25即（当k＝0时也成立）。
由点P（4，）在弦AC的垂直平分线上，得即。
由P（）在线段BB”上（B”与B关于轴对称），
得所以。
五、利用基本不等式建立不等关系
对于某些与参数范围有关的题目，如果利用上述四种方法不易建立符合题意的不等关系，就看能否利用代数中的基本不等式建立符合题意的不等关系。
例7.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴的长为4，左准线l与x 轴的交点为M，。
（1）求椭圆的方程；（2）若点P在直线l上运动，求∠F1PF2的最大值。
解析：（1）求得椭圆的方程为
（2）设P ，，则直线的斜率，直线PF 2的斜率。
因为，
所以
为锐角。
所以。
当时，tan ∠F 1PF 2取得最大值，此时∠F 1PF 2最大，故∠F 1PF 2的最大
值为。
六函数思想求参数范围
例8双曲线22
221(0,0)x y a b a b
+=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其上
的一点，且12||2||PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
Ａ．(1,3)
Ｂ．(1,3]
Ｃ．(3,)+∞
Ｄ．[3,)+∞
解：如图，设2PF m =，12(0)F PF θθπ∠=<≤，当P 在右顶点处θπ=，
222(2)4cos 254cos 2m m m c
e a θθ+-===-∵1cos 1θ-<≤，∴(]1,3e ∈
点评：本题考查离心率的公式及其意义，另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边来求解,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 例9设A 、B 分别是直线y=
552x 和y=-5
5
2x 上的两个动点，并且|
AB |=
20，动点P 满足
+=.记动点P 的轨迹为C.
（1）求轨迹C 的方程；
（2）若点D 的坐标为（0，16），M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM λ=，求实数λ的取值范
围.
.解：（1）设P （x ，y ），因为A 、B 分别为直线y=
552x 和y=-5
5
2x 上的点，
故可设A(x 1,
552x 1)，B(x 2,-5
5
2x 2).
∵OB OA OP +=，
∴⎪⎩
⎪
⎨⎧-=+=).(552,
2121x x y x x x .∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,25,2121y x x x x x
又|
AB |=20,
∴(x 1-x 2)2+
5
4
(x 1+x 2)2=20. ∴54y 2+5
4x 2
=20,即曲线C 的方程为162522y x +=1. （2）设N （s ，t ），M （x ，y ），则由DM λ=，可得（x ，y-16）=λ(s ，t-16).
故x=λs,y=16+λ(t -16).
∵M 、N 在曲线C 上，
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+.
116)1616(25
,116
252
222
2λλλt s t s 消去s 得16)1616(16)16(222+-+-λλλt t =1.
由题意知λ≠0，且λ≠1，解得t=λ
λ215
17-. 又|t|≤4,∴|
λλ215
17-|≤4. 解得5
3≤λ≤35
(λ≠1).
故实数λ的取值范围是5
3≤λ≤35
(λ≠1).
例10
已知椭圆).0(1:22
22>>=+b a b
y a x C
（1）设椭圆的半焦 距2
2
2
,,,1c b a c 且=成等差数列，求椭圆C 的方程；
（2）设（1）中的椭圆C 与直线1+=kx y 相交于P 、Q 两点，求OQ OP ⋅的取值范围(其中O 为坐标
原点)
解：由已知 ，,12,12
2
2
2
+=+=a b b a 且
解得,2,32
2==b a
所以椭圆C 的方程是.12
32
2=+y x （2）将1+=kx y 代入椭圆方程，
得,12
)1(32
2=++kx x 化简得，,036)23(2
2
=-++kx x k 240b ac =-≥> k R ∈
设),(),,(2211y x Q y x P 则,2
33
,23622
1221+-=+-
=+k x x k k x x 所以，)1)(1(21212121+++=+=⋅kx kx x x y y x x
1)()1(21212++++=x x k x x k
,233
22316123623)1(32
222222++-=+--=++-++-=k k k k k k k 令f(k)=OP OQ ⋅u u u r u u u r 则f(k)=23
232
k -++ k R ∈
由,21
2
3322,232330,223,02
222-≤++-<-≤+<≥+≥k k k k
所以⋅的取值范围是.2
1,2⎥⎦
⎤ ⎝
⎛--
例11直线y=kx+1和双曲线2
2
1y
x -=的左支交于A. B 两点直线L 过P(-2.0)和线段AB 的中点求L 在y
轴上的截距b 的取值范围
解：2211
y kx y x ⎧-=⎪⎨=+⎪⎩⇒（1-2k ）2220kx x --=
则22
2
248(1)0201201k
k k k k
⎧⎪=+-⎪⎪⎪⎨-⎪⎪-⎪⎪-⎩<f p f
解得1k p p
设M(x,y)为AB 的中点Q(0,b)(L 与 y 轴的交点)则22
1111y kx k x k k ⎧
=+=⎪
-⎪
⎪
⎨⎪⎪=-⎪⎩
所以M(
2
1k k
-,
2
11k
-),.p M Q Q 三点共线∴b=
2
222
k k -++
1k p p
∴2(2b b -f p 或
例12．已知抛物线)1(2
+=x p y (p>0),直线x+y=m 与x 轴的交点在抛物线的准线右边.
（1）求证：直线与抛物线总有2个交点；
（2）设直线与抛物线的交点为M,N,且OM ⊥ON （O 为原点），求p 关于m 的函数f(m)的表达式； （3）在（2）的条件下，若m 变化，使得原点O 到直线MN 的距离不大于2
2
，求p 的取值范围. 解：（1）准线14--
=p x ，由于直线x+y=m 与x 轴的交点在抛物线的准线右边，所以14
-->p
m ，044>++p m ，由⎩⎨
⎧=++=m
y x x p y )1(2，得0)1(2=+-+m p py y ，0)1(42
>++=∆m p p ，所以直线与抛物线总有2个交点；
（2）M,N 的坐标分别为),(),,(2211y x y x ，OM ⊥ON ，
02121=+y y x x 即0))((2121=+--y y y m y m ，又)1(,2121+-=-=+m p y y p y y .整理得，2
2
+=m m p .
（3）原点O 到直线MN 的距离不大于2/2，解得1≤m ，p 的取值范围.
42
4)2(-++
+=m m p =44
-+t t 在∈t []3,1内，10≤≤p .
例13已知梯形ABCD 中，|AB|=2|CD|，点E 满足→
→
=EC AE λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当
4
3
32≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。
分析：显然，我们只要找到e 与λ的关系，然后利用解不等式或求函数的值域即可求出e 的范围。
解：如图建立坐标系，这时CD ⊥y 轴，
因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称。
依题意，记A(-C,0)，C(
,2C h)，E(x 0,y 0),其中c=||2
1AB 为双曲线的半焦距，h 是梯形的高。
由→→=EC AE λ,即(x 0+c,y 0)= λ(2
c -x 0,h-y 0)得:x 0=λλλλ+=⋅+-1)1(2)2(0h y c .设双曲线的方程为12222=-b
y a x ,则离心率e=a c 。
由点C 、E 在双曲线上,将点C 、E 的坐标和e=a c 代入双曲线的方程得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----------=+-+--------------------=-)2(1)1()12(4)1(1422222222
b
h e
b h e λλλλ 将（1）式代入（2）式,整理得42e (4-4λ)=1+2λ,故λ=12
32+-e . 依题设4332≤≤λ得4
32e 3- 1322≤+≤,解得107≤≤e . 所以双曲线的离心率的取值范围是107≤≤e .
例14已知抛物线y 2=2px (p ≠0)上存在关于直线x+y=1对称的相异两点，求p 的取值范围。
分析：解决本题的关键是找到关于p 的不等式。
设抛物线上关于直线x+y=1对称的两点是M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)，设直线MN 的方程为y=x+b.代入抛物线方程，得：x 2+(2b-2p)x+b 2=0.则x 1+x 2=2p-2b,y 1+y 2=( x 1+x 2)+2b=2p.则MN 的中点P 的坐标为 (p-b,p).因为点P 在直线x+y=1上，所以2p- b=1，即b=2p-1。
又∆=(2b-2p)2-4b 2=4p 2-8bp>0,将b=2p-1代入得:4p 2-8p(2p-1)>0,3p 2-2p<0.解得： 0<p<3
2. 15是否存在常数a 、b 、c ，使函数f(x)=b
ax c x ++2满足下列条件： （1）函数f(x)是奇函数；
（2）；f(1)<f(3) ；
（3）不等式0≤f(x)≤2
3的解集是[-2,-1]∪[2,4]？ 若存在，则求出不等式f(-2+sin θ) ≤m 对任意θ∈R 恒成立的实数m 的取值范围；若不存在，说明理由。
解：由函数f(x)是奇函数得：b=0。
又不等式0≤f(x)≤
23的解集是[-2,-1]∪[2,4]，所以-2、-1、2、4是程f(x)=0与f(x)=2
3的根，从而:
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-+-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-+-23
442310220)2()2(2222a c a c a
c a c ）（或,解得：a=2，c=-4，故： f(x)= x x 242-。
