极限运算法则

原式
lim
5 x
4 x2
8 x3
x
2
5 x
3 x3
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8
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例7（课本例8）求 解: 由例6相同的方法得，
而函数
与函数
互为倒数，
所以，
lim
x
5x3 4x2 2x2 5x
8 3
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一般有如下结果：
lim
x
a0 xm b0 xn
x x0
a1
(
lim
x x0
x)n1
lim
x x0
an
a0 x0n
a1
x n1 0
an
f
(x0 )
又设有理分式函数 F (x) P(x) , 其中 P(x),Q(x)
Q(x)
都是多项式，于是，lim x x0
P(x)
P(
x0
),
lim
x x0
Q(
x)
Q(
x0
);
如果 Q(x0 ) 0, 则 lim P(x)
a1xm1 b1xn1
am bn
为非负常数 )
( 如课本 例5 )
( 如课本 例6 )
( 如课本 例7 )
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三、无穷小量的运算法则
定理3 有限个无穷小的代数和仍是无穷小
1 思考：lim
1
1
1
＝？
n n2 1 n2 2
n2 n
解答见课本第六节 例3
f
(u)
A,
则有
lim f [g(x) ] lim f (u) A 证明（略）
x x0
u u0
说明: 若定理中 lim g(x) , 则类似可得 x x0
lim f [g(x) ] lim f (u) A
x x0
u
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例9 求 解:
（补充题）
(3) 复合函数极限运算法则
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法
1) x x0 时, 用代入法 ( 分母不为 0 )
2)
x
x0
时,
对
0 0
型
,
约去公因子
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂
(2) 复合函数极限求法
设中间变量
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巩固练习
习 题 1-5 1 单数题 3 4 5
说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
定理4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小．（证明略）
例8 求
（课本习题1－5 5（2））
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四、复合函数的极限运算法则
定理5
设 lim x x0
g(x)
u0
,
且
x
满足 0
x x0 1 时,
g(x)
u0 ,
又 lim u u0
3 lim f (x) lim (a b)
x0 x
x0
x
可见
故
为什么？
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lim F (x) xx0
x x0
lim Q(x)
F (x0 )
x x0
如果 Q(x0 ) 0, 则不能直接用商的运算法则 !
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例4 （课本例5）
解: 当 x 1时，括号内两式的分母均趋于0，于是不能
直接应用四则运算法则来计算。 将函数变形得，
而
lim
x1
x 1 x2 1
=
lim
x1
x
1
1
=
1 2
.
所以，lim x1
arcsin
x 1 x2 1
=
lim
u1
arcsin
u
arcsin
1 2
6
.
2
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内容小结
1. 极限运算法则
(1) 数列和函数极限的四则运算法则
(2) 无穷小运算法则
注意使用条件
（２） lim[ f (x) g(x)] A B.
（３） lim[ f (x)g(x)] AB. （４） lim f (x) A .（B 0）
g(x) B 说明: 定理 2中的（1）、（2）可推广到有限个函数的 情形 . 推论 1 lim[C f (x)] C lim f (x) ( C 为常数 ) 推论 2 lim[ f (x)]n [ lim f (x) ] n ( n 为正整数 )
第一章
第五节 极限运算法则
（Techniques for Finding注解顺意Lim序与i有课ts）所本变的动讲
一、数列极限的四则运算 二、函数极限的四则运算法则
三、无穷小量的运算法则
四、复合函数的极限运算法则
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一、数列极限的四则运算
定理1
若
lim
n
xn
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例2 求 解:
例3 求 解: 易知，
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我们指出，设多项式 f (x) a0 xn a1xn1 an , 则
lim
x x0
f
(x)
lim
x x0
(a0
x
n
a1 x n 1
an )
a0 (lim x)n
1
1
1
1 x2
1
2
x
原式 = lim 1
t0 t
1 t2
1
1 t
lim
t0
1t2 1 t2
lim 1 1 t0 1 t2 1 2
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3. 设 是多项式 , 且
求
为什么？
解: 利用前一极限式可令
f (x) 2x3 2x2 a x b
再利用后一极限式 , 得
2 n n
n
1 ( lim1 lim 1 ) 2 n n n
1 (1 0) 1
2
2
自行练习课本P31例1
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二、函数极限的四则运算法则
定理2 若 lim f (x) A,lim g(x) B
（１） lim[ f (x) g(x)] A B.
A, lim
n
yn
B
,
则有
(1)
lim (
n
xn
yn
)
AB
(2)
lim
n
xn
yn
AB
(3)
当yn
0且B
0时,
lim
n
xn yn
A B
注意： 定理1中的（1）、（2）可推广到有限个收敛
数列的情形.
例如，如果
lim
n
xn
A,
lim
n
yn
ຫໍສະໝຸດ Baidu
B
,
lim
n
zn
C，
则有 lim n
xn yn zn
＝lim n
思考与练习
1. 若 lim f (x) 存在 , lim g (x)不存在 , 问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 矛盾.
存在 , 与已知条件
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2. 求
解法 1
原式 = lim
x
x lim x2 1 x x
解法 2 令 t 1 , 则 t 0
xn
lim
n
yn
lim
n
zn
＝A
B
C
lim
n
xn yn zn
＝lim n
xn
lim
n
yn
lim
n
zn＝A
B
C
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例1
（习题1-5 1（3））
解:
1 n (n 1)
原式 lim 2 n
n2
lim 1 (1 1 ) n 2 n
lim 1 lim(1 1 )
所以，
1
x 1
x2 x3
3
(x 1)(x 2) (1 x)(1 x x2 )
(x x2
x
2) 1
(x 2)
lim x1 x2 x 1
1
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例5（课本例6） 求
解:
原式
3 lim
5 x
7 x3
x
6
4 x
2 x2
例6（课本例7）求
解: