第一章典型例题
例3 ln2=0.69314718…，精确到10
－3
的近似值是多少？
解精确到10－3
＝0.001，即绝对误差限是＝0.0005, 故至少要保
留小数点后三位才可以。ln20.693 第二章典型例题
例1用顺序消去法解线性方程组
x
x
x
x x x x x x 解顺序消元
17
17
5.555
.0014125
.02
5
.105.555.0014121
4
2
1
41
23141
2]
b A [)
3()
2/1()2/3(231312r r r r r r 于是有同解方程组
17
175.555.01423
32
32
1
x x x x x x 回代得解
x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T
例2
取初始向量X (0)
=(0,0,0)T
,用雅可比迭代法求解线性方程组
x x
x
x x x x
x
x 解建立迭代格式
5
223
122)
(2
)
(1)
1(3)(3
)(1)1(2)(3
)(2
)1(1k k k k k k k k k x x x x
x
x
x x x (k=1,2,3,…)
第1次迭代,k=0
X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T
第2次迭代，k=1
3
53
2123
3
5
15
15232)
2(3
)2(2)2(1x x
x X (2)
＝(5,－3,－3)
T
第3次迭代，k=2
1
5)
3(2
5
213)
3(5
11)3(2)3(2)2(3
)
3(2)3(1x
x x
X (3)
＝(1,1,1)
T
第4次迭代，k=3
1
5121
213111
11212)2(3
)2(2)2(1x
x x X (4)
＝(1,1,1)T
例4
证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛
德尔迭代法发散。
证明例2中线性方程组的系数矩阵为
A ＝
1
2
2
111221
于是D ＝
1
00
010001D －1
＝D
2
2
001000L ~0
100220U
~雅可比迭代矩阵为
B 0＝
2
2
1012200
2
2
10122010
0010001)
U ~L ~(D
1
))
1(22[2)]
1(
2)
2(
[2221102221
122
B I 3
得到矩阵B 0的特征根03
,2,1，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收
敛。
高斯－赛德尔迭代矩阵为G ＝－U
~)L ~
D
(1
＝－
2
3202200
01002201
2
01100100
01002201
22
1
10011
)
2(2
3202
2
I 2
G 解得特征根为1
=0，
2,3
=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭
代发散。
例5填空选择题：
1. 用高斯列主元消去法解线性方程组
x
x
x
x x x x x 作第1次消元后的第2，3个方程分别
为
。
答案：
5
.35.125.15.03
2
3
2x x x x
解答选a 21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x 1+2x 2+3x 3=3，消元得到
5
.35.125.15.03
2
3
2
x x x x 是应填写的内容。
3.用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组
x
x
x
x x x x
x x 的迭代格式中
)
1(2
k x ＝
(k=0,1,2,…)
答案：)(3
)1(1
3
k k x
x
解答：高斯－赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x 2
的值时应该用上x 1的新值。
第三章典型例题
例1已知函数y=f(x)的观察数据为
x k －2 0 4 5 y k
5
1
－3
1
试构造拉格朗日插值多项式
P n (x)，并计算f(－1)的近似值。
[只给4对数据，求得的多项式不超过3次]
解先构造基函数
)
)(())()(()
)(()
(x
x
x x x x x l )
)()(())(
))(
((
))()(()
(x x x
x x x x l
