一元一次方程的应用
一元一次方程的应用专题 (1)
知识框架 (2)
一、基础知识点 (2)
知识点 1 列方程解应用题的合理性 (2)
知识点 2 建立书写模型常见的数量关系 (2)
知识点 3 分析数量关系的常用方法 (3)
二、典型题型 (5)
题型1 和差倍分问题 (5)
题型2 总（分）量问题 (5)
题型3 调配问题 (5)
题型4 配套问题 (5)
题型5 分段计费问题 (6)
题型6 方案优化问题 (6)
题型7 利润问题、打折问题、盈亏问题 (6)
题型8 储蓄问题 (7)
题型9 行程问题 (7)
题型10 工程问题 (7)
题型11 等积问题 (8)
题型12 数字问题 (8)
题型13 积分问题 (8)
三、培优题型 (10)
题型1 设辅助未知数 (10)
题型2 商品销售问题（复杂） (10)
题型3 行程问题（复杂） (10)
题型4 工程问题（多个未知数） (10)
题型5 浓度问题 (11)
知识框架
一、基础知识点
知识点 1 列方程解应用题的合理性
列方程解实际问题，对于方程的解转为为实际问题的解答，一定要注意检验它是否符合实际情况。若不
符合，必须舍去。有时，要根据实际问题与数学问题的区别，对实际问题的解进行修正。同时，在设与答
时，单位要同一。
例1.一队学生去校外进行军事训练，他们以5千米/小时的速度行进，走了18分钟，学校要将一紧急通知传达给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米每小时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追
上学生队伍？
知识点 2 建立书写模型常见的数量关系
1）公式形数量关系
生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，
准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。
长方形面积=长×宽长方形周长=2（长+宽）
正方形面积=边长×边长正方形周长=4边长
2）约定型数量关系
利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算
数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。
3）基本数量关系
在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我
么把这类数量关系称为基本数量关系。
单价×数量=总价
速度×时间=路程
工作效率×时间=总工作量等。
例1.一只船在逆水中航行，船上一只救生圈掉入水中，5分钟后船员发现救生圈落水，船掉头追赶救生圈，
几分钟能够追上救生圈（调转船头时间不计）？
知识点 3 分析数量关系的常用方法
1）译式法分析数量关系
将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有
未知数的等式。
例 1.一个三位数，百位上的数字比十位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字的3倍少2，若将个位与百位数字调换位置后，所得的三位数与原来三位数的和是1171，求这个三位数。
2）列表分析数量关系
当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。
这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
例2.超市以每支4元的价格购进100支钢笔，卖出时每支的标价为6元，当卖出一部分钢笔后，剩余的以9折出售，卖完时超市盈利188元，其中打9折的钢笔有几支？
3）图解法分析数量关系
用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在
行程问题中，我们常常用此类方法。
例3.甲、乙两人相距285m，相向而行，甲从A地除法每秒走8米，乙从B地出发每秒走6米。如果甲先走12米，那么甲出发几秒后与乙相遇？
二、典型题型
题型 1 和差倍分问题
解题技巧：此类题型，需要弄清楚“倍数”“多”“少”等关系。
（1）甲是乙的a倍：甲=乙×a
（2）甲比乙多：甲=乙×（1+）
（3）甲比乙少：甲=乙×（1－）
例1.今年收入比去年提高20%，今年人均收入比去年的 1.5倍少1200元，求去年的人均收入是多少？
例2.把一根长100cm的木棍据成两段，使其中一段长比另一段的2倍少5cm，求分成的两段木棍的长度。
题型 2 总（分）量问题
解题技巧：此类题型，总量始终是不变的量，类似与工程问题，多利用这个不变量来列写等式方程。
例1.把一批图书分给同学，若每人分3本，则剩下20本；若每人分4本，则还差25本。问有多少同学？
例2.用A型机器和B型机器生产同样的产品，5台A型机器生产一天的产品装满8箱后还剩4个；7台B 型机器生产一天的产品装满11箱后还剩1个，每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品，求每箱产品有多少个产品？
题型 3 调配问题
解题技巧：调配问题中，调配前后总量始终保持不变，可利用这个关系列写等式方程，有时又在调配前后
的变化中找等量关系。
调出者的数量=原有的数量－调出的数量
调进者的数量=原有的数量+调入的数量
例 1.第一组有36人，第二组有24人。因工作需要，从第二组调了几个人到第一组，结果第一组的人数是
第二组的2倍，求从第二组调了几人到第一组。
例2.第二组比第一组人数的少30人，从第二组调出10人到第一组，那么第一组的人数比第二组多60人，
求第一组原来有多少人？
题型 4 配套问题
解题技巧：因工艺上的特点，某几个工序之间存在比例关系，需这几道工序的成对应比例才能完全配套完
成，这类题型为配套问题。配套问题，主要利用配套的比例来列写等式方程。
例1.某水利工程派35人去挖土和运土，如果每人每天挖2方或运3方土，那么应该怎么安排人员，正好使
挖出的土能及时运走？
例2.某车间有工人68人，平均每人每天可以加工大齿轮8个或小齿轮10个，又知一个大齿轮和三个小齿
轮配为一套，问应该如何安排劳力使生产的产品刚好配套？
题型 5 分段计费问题
解题技巧：此类题型，收费往往因为不同的分段，标准会不一样。因此，在列写此类问题的等式方程时，
需要先依据题意将路程进行合理分段，然后在按照不同分段中的收费标准列写等式方程。
例1. 某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3千米需付7元车费），超过3千米后，每增加1千米加收 2.4元（不足1千米按1千米计算），某人乘坐这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程是多少千米？
例2.一出租车起步价是 5 元，8公里内按起步价收费，8公里以上20公里以内按每增加1公里另收费0.5 ；20公里以上按每增加1公里另收费1元，一乘客付出车费21元，问他乘坐多少公里？
例3.某市居民用电基本价格为每度0.4元，若每月用电量超过a度，超过部分按基本电价的70％收费。（1）某户5月份用电84度，共交电费30.72元，求 a.
（2）若该户6月份的电费平均每度0.36元，求6月份共用电多少度？应交电费多少元？
题型 6 方案优化问题
解题技巧：此类题型，一般会提供多种方案供选择，要求我们选出最合算的方案。解此类题型，有2种思路。
思路1：分别求解出每种方案的最终费用，在比较优劣
思路2：求解出每种方案费用相同时的临界点，在根据临界点进行讨论分析。
例1.某单位急需用车，但又不需买车，他们准备和一个个体车主或一国营出租公司中的一家签定月租车合
同，个体车主的收费是3元/千米，国营出租公司的月租费为2000元，另外每行驶1千米收2元，
(1) 这个单位若每月平均跑1500千米，租用哪个公司的车比较合算？
(2) 每月跑多少千米两家公司的费用一样?
例2 运送一批木材，甲公司收费是3000元起步，每公里另收5元；乙公司起步价位1000元，每公里另收8元。
（1）当路程为100千米时，选用哪家公司？
（2）什么情况下，两家公司的收费一样？
题型7 利润问题、打折问题、盈亏问题（P77；P90）
解题技巧：此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。
利润=售价－进价
利润率=
售价=标价×销售折扣
例1.七年级社会实践小组调查发现，某衬衫进价为80元，购进了500件，并以每件120元的价格销售了400件。剩下衬衫，准备降价销售。请你帮忙计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好盈利45%的预期目标？
例2.书店举行购书优惠活动：
（1）一次性购书不超过100元，不享受优惠；
（2）一次性购书超过100元，但不超过200元，一律九折；
（3）一次性购书200元或以上，一律七折
小林在这次活动中，两次购书总共付费229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小林两次购书原价的总和是多少？
题型8 储蓄问题
解题技巧：本金、利息、年利率、利息税税率和实得本利和之间的相等关系：
本金×利率=利息
利息×税率=利息税
本金+利息－利息税=实得本利和
例 1. 小明把压岁钱按定期一年存入银行。当时一年期存款的年利率为 1.98％，利息税的税率为20％.到期支取时，扣除利息税后小明实得本利和为507.92元。问小明存入银行的压岁钱有多少元？
例 2.老王把5000元按一年期的定期储蓄存入银行。到期支取时，扣去利息税后实得本利和为5080元。已知利息税税率为20％，问当时一年期定期储蓄的年利率为多少？
题型9 行程问题
解题技巧：行程问题总公式为：路程=速度×时间。行程问题可分为3大类，不同类型的问题，在求解速度
时有所不同，具体如下：
（1）相遇问题：总速度=甲的速度+乙的速度
（2）追击问题：总速度=追击者速度－被追击者速度（快－慢）
（3）航行问题：顺水（风）速度=静水（风）速度+水（风）速
逆水（风）速度=静水（风）速度－水（风）速
例 1.甲、乙两地相距100千米，小张与小王分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，小张的速度比小王的
速度每小时快10千米，经过2小时相遇，小张和小王的速度分别是多少？
例2.一列火车匀速行驶，完全通过一条长300米的隧道需要20秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下
发光，灯光照在火车上的时间是10秒，求火车的速度。
例3.一辆慢车从A地开往300千米的B地，一辆快车同时从B地开往A地，若慢车速度为40千米每小时，快车速度是慢车速度的 1.5倍，他们出发多久后相距100千米？
题型10 工程问题
解题技巧：我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不
同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。
例1.一件工程单独甲做20小时，乙要12小时，现由甲先单独做4小时，然后乙加入合做，一共需要合做
几个小时？
例2.加工一批零件，由一人做需要100小时，现在计划先由若干人做2小时，再增加5人做9小时，恰好完成任务，先安排多少人做2小时？
题型11 等积问题
解题技巧：图形无论如何切割或边形，其面积或体积始终不变，利用这个不变的特点，列写等式方程。
例1.某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形零件毛坯，需要截取直径40毫米的圆钢多长？
例2.如图一个铁片长30cm,宽20cm，打算从四个角各截去一个小正方形，然后把四边折起来做一个无盖的铁盒，铁盒的底面周长为60cm,问铁盒的高是多少？
20cm
30cm
题型12 数字问题
解题技巧：任何一个正数N=都可以表示为
++…+。利用这个特点和题干中的关系，寻找等式方程。
例1.一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字大5，并且这个两位数比它的两个数位上的数字之和的
8倍还要大5，求这个两位数。
例 2.一个两位数，十位上的数与个位上的数字之和为11，如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得
的新数比原来的数大63，求原来的两位数。
题型13 积分问题
解题技巧：此类问题，主要是通过积分来列写等式方程。需要注意，有些比赛结果只有胜负；有的比赛结
果又胜负和平局。
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数
比赛积分=胜场积分+负场积分+平场积分
例1.足球赛8轮，胜一场记3分，平一场记1分，输一场不得分。在这次足球比赛中，猛虎队平的场次是
负的场次的2倍，且8场比赛共得17分，该队共胜多少场？
例2.足球比赛，胜一场记3分，平一场记1分，输一场不得分。一支足球队在某个赛季中共比赛14场，现在已比8场，输了1场，共得17分。问：
（1）前8场比赛中，这支球队共胜多少场？
（2）打满14场，最高能得多少分？
（3）通过比赛分析，到比赛结束，得分不低于29分，则后面的6场比赛至少要胜几场才能达到预期目标？
三、培优题型
题型 1 设辅助未知数
解题技巧：我们解决数学问题时，除了应设的未知数外，增设一些辅助未知数，其目的不是要具体地求出
它们的值，而是以此作为桥梁，沟通数量之间的关系，架起连接以质量和未知量。
例1.从下午3点步行到晚上8点，先走平路，然后上山，到达山顶后就按原路下山，再走平路返回出发地。
若他走平路每小时4千米，上山每小时3小时，下山每小时6千米，问这个人一共走了多少千米？
例2.一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干粗细相同的进水管，打开4个进水管时，需要5小时注满水池。打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池。现在要在2小时内将水池注满，至少要打
开多少个进水管？
题型 2 商品销售问题（复杂）
解题技巧：在解决复杂商品销售问题时，通常会多设原价为a这个未知数，虽然在解题过程中，这个未知
数会被消掉。但是，若不设这个未知数，许多关系就不好表达了。
例1.某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）
不得超过d%，试用p表示d。
例2.商店一种商品的进价降低了8%，而售价保持不变，可使得商品的利润提高10%，问原来的利润是多少？
例3.某商场经销一种商品，由于进货时价格比原价降低了 6.4%，使得利润增加了8%，求经销这种商品原来的利润率。
题型 3 行程问题（复杂）
解题技巧：行程问题时基本的数学模型，我们需要找到合适的数学模型，建立等量关系。在行程问题中，
最常见的方式是通过对速度的叠加与分解来建立等量关系。
例1.甲、乙分别从A、B两地出发相向而行，若同时出发，经过36分钟相遇；若甲比乙提前15分钟出发，乙出发后30分钟相遇，求甲由A地到B地、乙由B地到A地所用的时间。
例 2.某商场有一部自动扶梯匀速由下至上运动，甲、乙都急于上楼办事，因此在乘自动扶梯的同时匀速登
楼，甲登55级后达到楼上，乙登楼速度是甲的2倍，他登了60级后到达楼上，那么，由楼下到楼上自动
扶梯级数为多少级？
例 3.某人匀速走在马路上，马路的前后两端都有公共汽车站，每间隔相同时间发出一辆公共汽车，他发现
每隔15分钟有一辆汽车追上他；每隔10分钟有一辆公共汽车迎面驶来。问公共汽车每隔多少分钟发车一
辆（设每辆公共汽车速度相同）。
题型 4 工程问题（多个未知数）
解题技巧：工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复
杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。
例1.一项工程，甲单独做24小时完成，乙单独做36小时完成。先要求20小时完成，并且两人合作的时间
尽可能短，那么，甲乙合作多长时间？
例2.现有男、女工人1100人，其中全体男工和全体女工可用同样的天数完成同样的工作。若将男工人数和
女工人数对调一下，则全体男工25天能完成工作，让女工做36天才能完成。问男、女工人数各是多少？
例3.某项工程，如果由甲、乙两队承包，2天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，3天完成，需付150000元；由甲、丙队承包，2天完成，需付160000元。先在工程由一个对独承包，在保证一周完成的前
提下，那个承包队费用最少？
题型 5 浓度问题
解题技巧：糖与糖水总量的的比值叫作糖水的溶度。列写等式方程，需要分别算清溶质和溶液的质量，在
利用溶度问题的一些等量关系列写方程。
溶液=溶质+溶剂
溶度=
例1.设有甲、乙两个杯子。甲杯装有10升A溶液，乙杯中装有10升B溶液。先在从甲杯中取出一定量的
A溶液，倒入乙杯中并搅拌均匀。再从乙杯中取出等量的混合溶液倒入甲杯中。测得甲杯A溶液和B溶液
的比为5:1，求第一次从甲杯中取出的A溶液是多少升？
例2.130克含盐5%的盐水，与含盐9%的盐水混合，配成含盐 6.4%的盐水，这样配成的 6.4%的盐水有多少个？
例 3.在某种溶度的糖水中加入一杯水后，得到新糖水，它的溶度为20%；又在新糖水中加入与前一杯水质量相同的纯糖后，糖水的溶度变为33。求原来糖水的溶度。
一元一次方程培优训练 基础篇 一、选择题 1.把方程 103 .02.017.07.0=--x x 中的分母化为整数,正确的是( ） A.13 2177=--x x B ．13217710=--x x C ．1032017710=--x x D ．132017710=--x x 2．与方程ｘ+2＝3－2x 同解的方程是（ ） Ａ.2x+3=11 B.-3x+2=1 C.132 =- x D.23 1132-=+x x 3.甲、乙两人练习赛跑,甲每秒跑７m ，乙每秒跑6.5ｍ，甲让乙先跑５ｍ，设ｘ秒后甲可追上乙,则下列四个方程中不正确的是( ） A.７ｘ＝６.5ｘ+5 Ｂ.７x ＋5＝6.5x C.（7－6.５)x=5 D ．6.5ｘ=7ｘ-5 4．适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数是( ) A. ５ B. 4 C. 3 D. 2 5.电视机售价连续两次降价10％,降价后每台电视机的售价为a 元，则该电视机的原价为( ） A.０.81a 元 Ｂ.1.21a 元 C.21 .1a 元 Ｄ.81.0a 元 ６.一张试卷只有2５道选择题,做对一题得4分,做错１题倒扣１分，某学生做了全部试题共得70分，他做对了（ )道题。 A.17 B.1８ C.19 D.20 7.在高速公路上,一辆长4米，速度为110千米／时的轿车准备超越一辆长12米，速度为100千米/时的卡车,则轿车从开始追击到超越卡车，需要花费的时间约是（ ） A.1.6秒?? Ｂ.4.32秒 ? Ｃ.5.76秒 ? Ｄ.345.6秒 8．一项工程,甲单独做需x 天完成,乙单独做需ｙ天完成，两人合作这项工程需天数为( ） A ． y x +1 B.y x 11+ C.xy 1 D. y x 111+ 9、若2x =-是关于x 的方程233x x a += -的解，则代数式21 a a -的值是（ ） Ａ、0 B 、28 3- Ｃ、29- D 、2 9 10、一个六位数左端的数字是1，如果把左端的数字移到右端，那么所得的六位数等于原数的3倍，则原数为（ ) A 、142857 B 、1５74２8 C 、124875 Ｄ、17５248 二、填空题 11.当=a 时,关于x 的方程0121 4=+-a x 是一元一次方程。
初一数学基础知识讲义 第一讲和绝对值有关的问题 一、知识结构框图： 数 二、绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 也可以写成： () () () ||0 a a a a a a ? ?? =? ? - ?? 当为正数 当为0 当为负数 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。 三、典型例题 例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b
解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++ 的值（ C ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示： 所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。 例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。 解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧： 若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧： 若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ D ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程a a -=的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 。 例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()()()() 1111 112220072007ab a b a b a b ++++++++++L 0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x
第一讲数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成m n（0,, n m n ≠互质）。 4、性质：①顺序性（可比较大小）； ②四则运算的封闭性（0不作除数）； ③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0) || (0) a a a a a ≥ ? =? -≤ ?②非负性2 (||0,0) a a ≥≥ ③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若 |||||| 0, a b ab ab a b ab +- 则 的值等于多少？ 2．如果m是大于1的有理数，那么m一定小于它的（） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，求 220062007 ()()() x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，如下图所示，那 么|||| a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知 2 (3)|2|0 a b -+-=，求b a的值是（） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么 ,, a b b c c a b c c a a b --- ---中有几个负数？ 7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1， , a b a +的形式式，又可表示为0， b a，b 的形式，求 20062007 a b +。
七年级数学培优讲义 目录 第01讲与有理数有关的概念...................（3--9）第02讲有理数的加减法......................（10--16）第03讲有理数的乘除、乘方..................（17--23）第04讲整式................................（24--31）第05讲整式的加减..........................（32--37) 第06讲一元一次方程概念和等式性质...........(38--44) 第07讲一元一次方程解法...................(45--52) 第08讲实际问题与一元一次方程..............(53--60) 第09讲多姿多彩的图形......................(61--70) 第10讲直线、射线、线段....................(71--78) 第11讲角..................................(79--86) 第12讲与相交有关概念及平行线的判定........(87--95) 第13讲平行线的性质及其应用................(96--106)
第14讲平面直角坐标系（一）...............(107--112) 第15讲平面直角坐标系（二）...............(113--118) 第16讲认识三角形.........................(119--126) 第17讲认识多边形.........................(127--133) 第18讲二元一次方程组及其解法.............(134--142) 第19讲实际问题与二元一次方程组...........(143--154) 第20讲三元一次方程组和一元一次不等式组...(155--165) 第21讲一元一次不等式（组）的应用..........(166--174) 第22讲一元一次不等式（组）与方程（组）的结合.(175--184) 第23讲数据的收集与整理...................(185--197) 模拟测试一..................................(198--202) 模拟测试二..................................(203--206) 模拟测试三..................................(207--210)
七年级上册《一元一次方程》培优 专题一：一元一次方程概念的理解: 例：若()2219203m x x m -- +=+是关于x 的一元一次方程，则方程的解是 。 练习： 1.()()221180m x m x --+-=是关于x 的一元一次方程，则代数式()()199231101m m m +-++的值为 2.若方程()()321x k x -=+与62 k x k -=的解互为相反数，则k= 。 3.若k 为整数，则使得方程()199920012000k x x -=-的解也是整数的k 值有（ ） A.4个 B.8个 C.12个 D.16个 专题二：一元一次方程的解法 （一）利用一元一次方程的巧解： 例： （1）0.2?表示无限循环小数，你能运用方程的方法将0.2?化成分数吗？ （2）0.23??表示无限循环小数，你能运用方程的方法将0.23??化成分数吗？ （二）方程的解的分类讨论： 当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以华为ax=b 的形式，继续求解时，一般要对字母系数a 、b 进行讨论。 （1）当0a ≠时，方程有唯一解b x a =； （2）当0,0a b =≠时，方程无解； （3）当0,0a b ==时，方程有无数个解。 例：已知关于x 的方程()2132a x x -=-无解，试求a 的值。
练习： 1.如果a ，b 为定值，关于x 的方程 2236kx a x bk +-=+，无论k 为何值，它的根总是1，求a ，b 的值。 2.解方程 11x x a b a b ab --+-= 3.对于任何a 值，关于x ，y 的方程()11ax a y a +-=+有一个与a 无关的解，这个解是（ ） A.2,x y ==-1 B.2,1x y == C.2,1x y =-= D.2,1x y =-=- 4.问：当a 、b 满足什么条件时，方程251x a bx +-=-；(1)有唯一解；（2）有无数解； （3）无解 5.（1）a 为何值时，方程 ()112326 x x a x +=--有无数多个解？（2）a 为何值时，该方程无解？ 6.若关于x 的方程()()311x x k x -+=-无解，则k= 。 专题四：绝对值方程： 例4:解方程：（1）35x -= （2）30x -= （3）235x -= 例5：解方程： （1）215x x -++= （2）213x x -++= （3）212x x -++= 练习：19.解方程：（1）2313x x -=- （2）2313x x -=-
第一讲 数系扩张--有理数(一） 一、【典型例题解析】: 1、若|||||| 0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少? 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ) A ．相反数 B.倒数 Ｃ.绝对值 D.平方 ３、已知两数a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 的绝对值是2,求 220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置,如下图所示,那么||||a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=,求b a 的值是( ) A.2 B.3 C.9 D ．6 ６、 有３个有理数a,b,c,两两不等,那么 ,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ ７、 设三个互不相等的有理数,既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示 为０，b a , b 的形式,求20062007a b +。 8、 三个有理数,,a b c 的积为负数,和为正数,且 ||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数,且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 三、课堂备用练习题。 1、计算:１+２-3－4+５+6-７－８+…+2005＋２00６ 2、计算：1×2+2×3+３×4+…+n(n+1) 3、计算:59173365129 132******** +++++ - ４、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=,求,a b 的所有可能值。5、若三个有理数,,a b c 满足 ||||||1a b c a b c ++=,求||abc abc
绝对值与一元一次方程 知识纵横 绝对值是初中数学最活跃的概念之一, 能与数学中许多知识关联而生成新的问题,我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程. 解绝对值方程的基本方法有:一是设法去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的方程求解;一是数形结合,借助于图形的直观性求解.前者是通法,后者是技巧. 解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值的符号法则, 非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法. 例题求解 【例1】方程│5x+6│=6x-5 的解是. 思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解. 解:x=11 提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0 讨论. 【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a 的值的个数有( ). A.5 B.4 C.3 D.2 思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径. 解:选 B 提示:由已知即在数轴上表示 2a 的点到-7 与+1 的距离和等于 8, 所以 2a 表示-7 到1 之间的偶数. 【例 3】解方程: │x-│3x+1││=4; 思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程. 5解:x=- 4 3 或 x= 2 提示:原方程化为 x-│3x+1=4 或x-│3x+1│=-4
【例 4】解下列方程:
(1)│x+3│-│x -1│=x+1; (2)│x -1│+│x -5│=4. 思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解. 解:(1)提示:当 x<-3 时,原方程化为 x+3+(x-1)=x+1,得 x=-5; 当-3≤x<1 时,原方程化为 x+3+x-1=x+1,得 x=-1; 当 x≥1 时,原方程化为 x+3-(x-1)=x+1,得 x=3. 综上知原方程的解为 x=-5,-1,3. (2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数 x 的点到表示数 1 及 5 的距离和等于 4,画出数轴易得满足条件的数为 1≤x≤5,此即为原方程的解. 【例 5】已知关于 x 的方程│x-2│+│x -3│=a ,研究 a 存在的条件,对这个方程的解进行讨论. 思路点拨 方程解的情况取决于 a 的情况,a 与方程中常数 2、3 有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键, 运用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解. 解:提示:数轴上表示数x 的点到数轴上表示数2,3 的点的距离和的最小值为1,由此可 得方程解的情况是: (1) 当 a>1 时,原方程解为 x= 5 a ; 2 (2) 当 a=1 时,原方程解为 2≤x≤3; (3) 当 a<1 时,原方程无解.
一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成（互质）。 4、性质：①顺序性（可比较大小）； ②四则运算的封闭性（0不作除数）； ③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ①②非负性 ③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。 ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若的值等于多少？ 2．如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求 的值。 4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图所示，那 么化简的结果等于（ A. B. C.0 D. 5、已知，求的值是（） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么中有几个负数？ 7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式，又可表示为0，，的形式，求。
一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成（互质）。 4、性质：①顺序性（可比较大小）； ②四则运算的封闭性（0不作除数）； ③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ①②非负性 ③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。 ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若的值等于多少？ 2．如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求 的值。 4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图所示，那 么化简的结果等于（ A. B. C.0 D. 5、已知，求的值是（） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么中有几个负数？ 7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式，又可表示为0，，的形式，求。
一元一次方程应用题专题练习 1.某同学在解方程 5x-1=_J x+3 时，把］ 处的数字看错了，解得x=-4，则该同 学把■看成了（ ) A 3 B 、6 C 、-8 D 、8 2.若代数式3x 2a 1y 与x 9y 3ab 是同类项， 贝U a= ,b= . 3.有一列数，按一定的规律排列：- 1, 2 , - 4, 8, - 16, 32,- 64, 128,…，其中某 三个相邻数之和为 384,这三个数分别是 __________________ 4. 某商品的价格标签已丢失， 售货员只知道 它的进价为8元，打7折售出后， 仍可获利5%',你认为售货员应标在标签上的价格为 _______________________ 元. 5. 如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中， 在桶中加入水后，一根露出水面 的长度是它的一，另一根露出水面的长度是它的 .两根铁棒长度之和为 55cm. 3 5 此时木桶中水的深度是 ________________ cm. 6. 一个五位数最高位上的数字是 2,如果把这个数字移到个位数字的右边，那么所得的数 比原来的数的 3倍多489，原数为 __________________ 0.8x 0.9 x 5 0.3x 0.2 0.5 2 0.3 8.张婶去布店买了 28米的红布和黑布，其中红布每米 3元，黑布每米5元，结账时售货员 错把红布算作每米 5元，黑布每米3元，结果收了张婶108元钱，是布店受了损失，还 是张婶多付了钱？请说明你的理由。 7.解方程：4y 3(20 y) 6y 7(11 y) 2x 1 3 J=1 2x 1 3 10x 1 6 2x 1 4
第一讲 和绝对值有关的问题 一、 知识结构框图： 二、 绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 也可以写成： ()()() ||0a a a a a a ??? =??-??当为正数当为0当为负数 三、 典型例题 例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图： 则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 例3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 例4．（整体思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()() ()() 1111 112220072007ab a b a b a b ++++ ++++++ 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题： （1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离 可以表示为 ________________. （3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___. （4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ . 第二讲：代数式的化简求值问题 一、知识链接 1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容. 2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。 注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化 3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。 二、典型例题 例1．若多项式( ) x y x x x mx 5378522 2 2 +--++-的值与x 无关， 求()[] m m m m +---45222 的值. 例2．x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式63 5-++cx bx ax 的值。 例3．当代数式532 ++x x 的值为7时,求代数式2932 -+x x 的值. 例4． 已知012 =-+a a ，求200722 3 ++a a 的值.
第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____ 【例２】在－227 ，π，0.033. 3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0 ??????????????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数?????????????????正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926… 是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227 是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】
七年级数学 上册 培优训练
第一讲 有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0) ||(0) a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若|||||| 0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ) A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？
7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0， b a ， b 的形式，求20062007a b +。 8三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且 ||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 三、课堂备用练习题。 1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006 2、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) 3、计算：5917336512913248163264 +++++- 4、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。 5、若三个有理数,,a b c 满足||||||1a b c a b c ++=，求||abc abc 的值。
第一讲 数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0) ||(0) a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若||||||0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 220062007 ()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 6、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么 ,,a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为 0，b a ，b 的形式，求20062007a b +。
七年级数学上学期讲义第二讲授课时间：2017年9月16日授课时段：13:30—15:00 科目：有理数课时：2课时姓名：授课老师：徐老师 教学过程（内容）备注 例1.下列各对数中，互为相反数的是() A.＋(－8)和－8B．－(－8)和－|－8| C．－(－8)和|＋8|D．－(＋8)和－|－8| “一号一用”，即某个“－”号定为某种用途后，这个“－”号就不能再作他用． 例2.比较两个数的大小：﹣﹣．（填“＞”“＜”或“=”） 例3.数轴上的点A表示的数是-2，(1)向右平移3个单位，表示的数是 ___________ （2）与点A相距5个单位长度的点表示的数是________________ 例4.点M在数轴上距原点4个单位长度，将M向右移动2个单位长度至N 点，点N表示的数 例5.已知a=5，|b|=2，则a+b的值 例6.为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，-4，+13，-10，-12，+3，-13． （1）出车地记为0，最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？ （2）若汽车耗油量为0.1升/千米，这天上午汽车共耗油多少升？ 选择题 2．下面两个数互为相反数的是()
A.12和0.2 B.13和－0.333 C.－2.75和324 D.9和－(－9) 3．一天早晨的气温是7-℃，中午的气温比早晨上升了11℃，中午的气温是（） A ．11℃ B ．4℃ C ．18℃ D ．11-℃ 4.如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重 的角度看，最接近标准的是（ ） A ． B ． C ． D ． 5.已知两个有理数的和为负数，则这两个有理数（） A ．均为负数 B ．均不为零 C ．至少有一正数 D ．至少有一负数 6．规定向北为正，某人走了+5km 后，又继续走了-10km ，那么他实际上（ ） A ．向北走了15km B ．向南走了15km C ．向北走了5km D ．向南走了5km 7.在数轴上与-1距离等于5个单位的点所表示的数是（） A.6 B.4 C.－6 D.4或－6 8．如果0=+b a ，那么a ，b 两个有理数一定是（ ） A ．一正一负 B ．互为倒数 C ．互为相反数 D ．无法确定 9.有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则a 、b 、a -、b 的大小关系正确的是（） A ．b a a b >->> B ．a a b b ->>> C ．a b b a ->>> D ．b a b a >->> 10.下列说法，其中正确的个数为是（） ①正数和负数统称为有理数；②符号相反的两个数互为相反数③a 一定是正数；④a -一定是负数. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 11.非零有理数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，则a b c abc a b c abc +++所有可能的值为（）. A ．0B ．1或－1 C ．2或－2D ．0或－2 二．填空题 1.比较大小：3-1；π-________3.1432-_____34 -, 2.已知420x y -++=，则x ＝_____，y ＝_____
初一数学有理数经典讲 义 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
一、有理数的相关概念： 1. 负数 （1）正数：大于0的数叫做正数。 （2）负数：在正数前面加上“-”的数叫做负数。 a) “-”读作负号。 b) 一个数前面的“+”、“-”叫做这个数的符号 （3）0：既不是正数也不是负数。 取一个基准量，记为0；大于（高于）基准量的数为正数，小于（低于）基准量的数为负数； 习题： 1、某仓库运进货物30吨，记作30吨，那么－50吨表示( )； 2、物体向东运动4m ，记作4m ，那么向西运动5m ，记作( ) 3、某零件的直经尺寸在图纸上是 10± 0．05 （mm ），表示这种零件的标准尺寸是 ______ （mm ），合格产品的零件尺寸范围是 （mm ）。 2. 有理数 分类1：有理数{ 整数{正整数负整数0分数{正分数 负分数 分类2：有理数{ 正有理数{正整数正分数负有理数{负整数负分数0 数的分类注意： a) 0非正非负，0是整数，0是自然数 b) 小数可以化为分数，所以小数属于分数 习题： 1、把下列各数分别填入相应的集合内：3-，2，17 -，0.21，0，－3.01，3.14159，10-． 整数集合:{ } 分数集合: { } 负数集合: { } 正数集合: { } 3.数轴：用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 a) 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； b) 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； c) 选取适当的长度为单位长度。 方向表示正负，距离表示数。 数轴上，唯一的点——唯一的数 （1) 给数描点，给点读数 （2) 比较大小：从左到右，由小变大； （3) 会找有特定限制的数，比如，小于4的正整数。 习题：
第一讲 数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0)||(0) a a a a a ≥?=? -≤? ② 非负性 2 (||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若|||||| 0,a b ab ab a b ab +- 则 的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求2 20062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ） A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2 (3) |2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 6、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么 ,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0， b a ，b 的形式，求2006 2007a b +。 8、 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则32 1ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且2007 2007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 三、课堂备用练习题。 1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006 2、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) 3、计算： 59173365129 132******** +++++- 4、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。5、若三个有理数,,a b c 满足||||||1a b c a b c ++=，求||abc abc 的值。 5、（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题： （1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 ________。 6、结合数轴求得23 x x -++的最小值为_____，取得最小值时x 的取值范围为____________。
优秀是训练出来的 理想教育初一（上）数学培优 扎实基础 提升能力 1 初一数学培优专题讲义四---几何图形初步 典型问题：（一）数线段——数角——数三角形 问题1、直线上有n 个点，可以得到多少条线段？ 问题2．如图，在∠AOB 内部从O 点引出两条射线OC 、OD ，则图中小于平角的角共有（ ）个 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 拓展：1、 在∠AOB 内部从O 点引出n 条射线图中小于平角的角共有多少个？ 类比：从O 点引出n 条射线图中小于平角的角共有多少个？ 类比联想：如图，可以得到多少三角形？ （二）与线段中点有关的问题 线段的中点定义： 文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点 图形语言：M 几何语言： ∵ M 是线段AB 的中点 ∴ 12 AM BM AB ==，22AM BM AB == 典型例题：1．由下列条件一定能得到“P 是线段AB 的中点”的是（ ） （A ）AP= 21AB （B ）AB ＝2PB （C ）AP ＝PB （D ）AP ＝PB=2 1AB 2．若点B 在直线AC 上，下列表达式：①AC AB 21=；②AB=BC ；③AC=2AB ；④AB+BC=AC ． 其中能表示B 是线段AC 的中点的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.如果点C 在线段AB 上,下列表达式①AC=12 AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB 中, 能表示C 是AB 中点的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4．已知线段MN ，P 是MN 的中点，Q 是PN 的中点，R 是MQ 的中点，那么MR = ______ MN ． 5．如图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 中点，若MN=a ，BC=b ，则线段AD 的长是（ ） A 2（a-b ） B 2a-b C a+b D a-b （三）与角有关的问题 D
练习题： 一、选择题： 1、下列各式中不是代数式的是（ ）A 、π B 、0 C 、 D 、a +b =b +a 2、用代数式表示比y 的2倍少1的数，正确的是（ ） A 、2( y – 1 ) B 、2y + 1 C 、2y – 1 D 、1 – 2y 3、随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑按原售价降低m 元后，又降价20%，现售价为n 元，那么该电脑的原售价为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 4、当时，代数式的值是（ ）A 、 B 、 C 、 D 、 5、已知公式 ，若m=5，n=3，则p 的值是（ ）A 、8 B 、 C 、 D 、 6、下列各式中，是同类项的是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 二、填空题： 7、某商品利润是a 元，利润率是20%，此商品进价是______________。 8、代数式 的意义是______________________________。 9、当m=2，n= –5时，的值是__________________。 10、化简__________________________________。 三、解答题： 11、已知当时，代数式的值是3，求代数式的值。 y x +1 元)54( m n +元)4 5 (m n +元)5(n m +元)5(m n +61,31==b a 2)(b a -1216 1 4136 1n m p 1 11+=811588 15 2 233xy y x -与yx xy 23-与x x 222 与yz xy 55与()c b a 2 +n m -2 2( )()=--+2 2 11m m 1,2 1 == y x z x xyz 282+z z +22