摘 要
反证法是一种重要的证明方法,它不仅对数学科学体系自身的完善有促进作用,而且对人的思维能力的培养和提高也有极其重要的作用.如果能恰当的使用反证法,就能达到化繁为简,化难为易,化不能为可能的目的.反证法的逻辑思维强,数学语言准确性高,对培养学生严谨的逻辑思维能力,阅读能力,树立正确的数学观具有重要的意义.
本论文主要研究的容有反证法的由来;具体阐述了反证法的定义,即反证法的概念、分类和作用;反证法具有广泛应用的科学根据;并且着重介绍了反证法的应用,包括反证法在初等数学和高等数学的应用,并提出应用反证法应注意的问题;针对各种问题提出一些具体的教学建议,从而为改进反证法教学提供参考.
关键词:反证法,否定,矛盾,应用Principle and application of the reduction to
absurdity
ABSTRACT:Reduction to absurdity is an important method, it not
only to improve its own system of mathematical science have
stimulative effect, but also has an extremely important role in
cultivating and improving the people's thinking ability. If you use
apagoge properly, can be simplified, the difficult easy, words can
not be as likely to. The logical thinking of reduction to absurdity,
the language of mathematics of high accuracy, to cultivate students'
rigorouslogical thinking ability, reading ability, is of great
significance to establish a correct conception of mathematics.
The origin of the main content of the paper is the reduction to
absurdity;expounds the definition of absurdity, and concept, apagoge
classification; the reduction to absurdity has wide application of
scientific basis; and introducesthe application of reduction to
absurdity, including the application of reduction to absurdity in
elementary mathematics and higher mathematics, and proposed should
note that the application of reduction to absurdity problems;to solve
these problems and puts forward some specific suggestions for
teaching, so as to provide reference for the improvement of the
teaching of reduction to absurdity.
Keywords: reduction to absurdity, negation, contradiction,
application 目 录
一、引言 ....................................................... 0
二、反证法的由来 ............................................... 0
三、反证法的概念及分类 ......................................... 0
（一）反证法的定义 ......................................... 0
（二）反证法的分类 ......................................... 0
1．归谬法 ............................................... 0
2．穷举法 ............................................... 1
（三）反证法的作用 ......................................... 1
四、 反证法的科学依据 .......................................... 2
（一）反证法的理论依据 ..................................... 2
（二）反证法的步骤 ......................................... 2
（三）反证法的可信性 ....................................... 2
五、反证法的应用 ............................................... 3
（一）反证法在初等数学中的应用 ............................. 3
（二）反证法在高等数学中的应用 ............................. 5
1．在数学分析中的应用 ................................... 5
2．在高等代数中的应用 ................................... 7
（三）应用反证法应注意的问题 ............................... 8
1．反设要正确 ........................................... 8
2．明确推理特点 ......................................... 8
3．善于灵活运用 ......................................... 9
4．了解矛盾种类 ......................................... 9
六、反证法的教学价值及建议 ..................................... 9
（一）反证法的教学价值 ..................................... 9
1．训练逆向思维 ......................................... 9
2．促进数学思维的形成 ................................... 9
3．培养思维严密性 ...................................... 10
4．渗透数学史 .......................................... 10
（二）反证法的教学建议 .................................... 10
1．多次反复,螺旋上升 ................................... 10
2．精心研究,训练反设 ................................... 11
3．渗透数学思想方法,训练严密 ........................... 11
七、结束语 .................................................... 11
八、参考文献 .................................................. 12
一、引言
在现代数学中反证法成为最有用和最有效的解决问题的方法之一,但在现行的各种教材中没有对反证法给出系统的介绍,学生在运用上又不如直接证法那样顺理成章,而且在归谬过程学生对所学的定义、定理以及命题本身又要有分析、判断、联想和创造能力,对在怎样的情况下才可采用反证法,学生又不容易判断,所以对反证法的理解和在恰当地应用上都存在不少的问题,因此本文就反证法做一些介绍和探讨.
二、反证法的由来
反证法顾名思义是一种证明方法,在数学和逻辑上是统一的.早期古希腊的数学在毕达哥拉斯学派的影响下认为万物皆数,用整数和几何图形构建了一个宇宙图式.万物皆数这个思想当时在数学家的脑海里是根深蒂固的.随着2的出现,希腊人渐渐开始重新审视他们的数学,图形和直观并不是万能的,推理和逻辑走上了数学的舞台.此时西方数学成为以证明为主的证明数学,他们要的是准确的数学,或者说他们的数学推崇准确性.表现形式就是:逻辑、演绎的体系.可见它是指证明的数学与算的数学正好相反.希腊人重视逻辑和演绎的证明,反证法最早应用在欧几里得的《几何原本》中.
三、反证法的概念及分类
（一）反证法的定义
反证法有多种不同的描述,其本质都是一样的.
最早的法国数学家J·阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了如下的描述:“反证法在于表明,若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾”.
维基百科中这样描述“反证法,就是由否定命题结论的正确性出发,根据题设条件、定义、法则、公理、定理,进行一系列正确的逻辑推理,最后得到一个矛盾的结果.”即就是结论的反面不能成立,从而肯定命题结论的正确性,这种驳倒命题结论反面的证法叫做反证法.
（二）反证法的分类
反证法分类分为:归谬法和穷举法.
1．归谬法
若命题的反面只有一种情形,则只需把这一种情形驳倒,便可达到反证的目的.
例1．两条直线同时平行于第三条直线,则原两条直线互相平行.
已知:，，EFCDEFAB////
求证:.//CDAB
现用反证法予以证明.
假设AB与CD不平行,
则PCDAB(利用平行定义的反面意义),
EFAB//(即EFAP//)、EFCD//(即EFCP//)(题设),
过P点有两条不同的直线与EF平行,但这与平行公理矛盾（平行公理）,临时假设AB不平行CD（矛盾律),
故CDAB//(排中律).
2．穷举法
若命题题设反面不止一种情况,则必须将其逐一驳倒,才能间接证明题设的正面成立.这就叫穷举法.
例2．若121xx,则有nnxx21,
证明:若不然,则有,
21211xxxxnn,与题设矛盾,
21212xxxxnn,与题设矛盾,
因此,nnxx21.
（三）反证法的作用
牛顿曾经说过:“反证法是数学家最精当的武器之一”.最早在数学中引用反证法的是古希腊毕达哥拉斯学派的希波克拉提斯（前460年左右）,在欧几里得的《几何原本》中也有不少用反证法的例.我国在五世纪时《邱建算经》中已有运用.反证法是数学证明中的一种重要方法,当正面不容易或者不能证明时,我们可以从命题的反面来思考问题,若能恰当使用,往往可以收到较好的效果.特别是有些数学命题至今除了反证法还别无它法,因此认识和掌握反证法就显得十分重要. A
C
E B
D
F
图1
