空间中的平行关系的判定-平行的判定

例1. 已知空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，
AD的中点，求证：EF//平面BCD. 证明：连接BD，在△ABD中， ∵ E，F分别是AB，AD的中点，
∴ EF // BD， 又∵ BD 平面BCD， EF 平面BCD， ∴ EF//平面BCD. E B C
A F D
类型一 直线与平面平行的判定问题
答案
源自文库
梳理
判定定理
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定理
图形
文字
符号
aβ bβ ⇒a∥β a∩b＝P ________ a∥α b∥α
平面与平面 平行的判定 定理
如果一个平面内的
两条相交直线 都平
行于另一个平面，那
么这两个平面平行
类型二 平面与平面平行的判定 例4 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，
A.1个
C.3个 解析
B.2个
D.4个
√
由直线与平面平行的判定定理知 ， EF 与平面 AB′ ，平面
BC′，平面CD′，平面AD′均平行. 故与EF平行的平面有4个.
解析 答案
1
2
3
4
5
2.过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面
A.不可能作出 B.只能作出一个
跟踪训练2
如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)求证：BC1∥平面AB1D1； 证明 ∵BC1
平面 AB1D1，AD1 平面 AB1D1，BC1∥AD1，
证明
∴BC1∥平面AB1D1.
(2)若E，F分别是D1C，BD的中点，求证：EF∥平面ADD1A1.
证明 ∵点F为BD的中点，∴F为AC的中点，
AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
证明
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明
反思与感悟
判定平面与平面平行的四种常用方法 (1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法. (2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面 . 证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平 面平行的相交直线，若找不到再作辅助线. (3) 转化为线线平行：平面 α 内的两条相交直线与平面 β 内的两条相交直 线分别平行，则α∥β. (4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
平面 ABC，所以 MN∥平面 ABC.
解析 答案
同理，AB 平面 ABC，MN
以柱体为背景证明线面平行 例3 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E，F分别是棱AB，BC， A1C1的中点，求证：EF∥平面A1CD.
证明
反思与感悟
证明以柱体为背景包装的线面平行证明题时，常用线面平行的判定 定理，遇到题目中含有线段中点时，常利用取中点去寻找平行线.
以锥体为背景证明线面平行 例2 如图， S 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， M ， N 分别是 SA ，
AM DN BD上的点，且 SM ＝ NB .
求证：MN∥平面SBC.
证明
引申探究
本例中若M，N分别是SA，BD的中点，试证明MN∥平面SBC.
证明 连接 AC ，由平行四边形的性质可知， AC 必过 BD 的中点 N ，在
平面 SBC，所以 MN∥平面 SBC.
△SAC中，M，N分别为SA，AC的中点，所以MN∥SC，
又因为 SC 平面 SBC，MN
证明
反思与感悟
利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形
中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理.
平行的判定
若平面外一条直线与
定理
a α 此平面内一条直线平行， b α ⇒a∥α ____________________________ a∥b 则该直线与此平面平行
已知 l α，m α，l // m， 求证：l //α. 从正面思考这个问题，有一 P 定的难度，不妨从反面想一 想。 如果一条直线l和平面α相交，则l和α一定有公
又∵点E为D1C的中点，∴EF∥AD1，
∵EF 平面 ADD1A1，AD1 平面 ADD1A1， ∴EF∥平面ADD1A1.
证明
知识点二
平面与平面平行的判定定理
思考1
三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与 平面α平行吗？ 答案 不一定.
答案
思考2
三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平 面与平面α平行吗？ 答案 平行.
第一章
§5 平行关系
5.1 平行关系的判定
知识点一
直线与平面平行的判定定理
思考
如图，一块矩形木板 ABCD 的一边 AB 在平面 α 内，把这块木板绕 AB 转动， 在转动过程中，AB的对边CD(不落在α 内)和平面α有何位置关系？ 答案 平行.
答案
梳理
判定定理 表示
定理 图形 文字 符号
直线与平面
跟踪训练 3
如图所示，在正方体 ABCD － A1B1C1D1 中， O 为底面
ABCD 的中心， P 是DD1 的中点，设 Q是CC1 上的点，问：当点 Q在
什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
解答
当堂训练
1.在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为平面ABCD和平面
A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有
共点，可设l∩α=P。


再设l与m确定的平面为β， 则依据平面基本性质3，点P 一定在平面α与平面β的交线 m上。 于是l和m相交，这和l // m矛盾。 所以可以断定l与α不可能有公共点。 即l // α.
P


题型探究
小试身手：
以下命题（其中a，b表示直线，表示平面） ①若a∥b，b，则a∥ ②若a∥，b∥，则a∥b ③若a∥b，b∥，则a∥ ④若a∥，b，则a∥b 其中正确命题的个数是（ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
跟踪训练1
在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的
平面ABD与平面ABC 重心，则四面体的四个面中与MN平行的是____________________.
解析 如图，取CD的中点E，连接AE，BE.
则EM∶MA＝1∶2，
EN∶BN＝1∶2，
所以MN∥AB.
又 AB 平面 ABD，MN 平面 ABD，所以 MN∥平面 ABD，