具有形如X n 二1 bX n ①的递推公式的数列用叫做 线性递推数列
将①式两边同时加上-『人1，即：
整理得：
b
y = 令巴二/「丫人为等比数列，则其公比q“-y 且满足 y-a
2 即满足：y=ayb ②
设②式具有两个不相等的实数根 r ，s ，贝y ：
Y
n — x n 1 - 以 n ^③
Z n 二焉 i _SX n ④
分别是公比为a-r , a-s 的等比数列，并得：
且由③、④可得：
又由韦达定理可得：
于是有:
(X 2 -rx i )(a -r)n4 -化 - sx i )(a -s)n ‘
s -r X 2 一 rX i n4 X 2 一 SX i n4 s 一—: ------------------------------ r X 2 -凶 n X 2 —S^ n s 「一2 r r 2 +b 9r n C 2s n
由以上推导可知，线性递推数列的通项公式⑤只与数列的第一、二项和
2 2 方程y =a y b 的两根有关。也就是说，只需知道 X 1, X 2和方程y =a y b 的
Y n -Z n X n s —r X 2 凶(a-rT-^^a-s 严 s 「r s -r
-b r -r
s 2 b
两根r , S ,即可得出线性递推数列的通项公式。可见方程 y 二ay b 包含 了线性递推数列的重要信息，故将之称为线性递推数列的 特征方程 例：(斐波拉契数列)已知数列 用满足：
X| =X 2=1 且 X nq2 =X n"X n (n >1, N)求数列 g ｝的通项公式。 解：该数列属于线性递推数列，其特征方程为：
x^x 1 1 .,5 1 - 一5
r = s —
解之得： 2 ， 2
5 .故所求通项公式为: X n=C 1『^ 故可设数列的通项公式为
+ C 2 I
X
1 = C 1 又
=1 X2gi 、5
C
2 I' c -迈 C 5
1 2 解得： 5，
