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∵ 如图,AD平分∠BAC(已知)
∴ BD = CD ,( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
(×)
B
A
D
C
∵ 如图, DC⊥AC,DB⊥AB (已知)
∴
BD = CD
,(
在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等。
)
A
(×) B
D
C
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC,DB⊥AB (已知)
∴点Q在∠AOB的平分线上
判定:到角的两边的距离相 等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为:
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE ∴点Q在∠AOB的平分线上.
例:如图,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明:过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA, 垂足为D、E、F
∴ DB = DC ,( 在角的平分线上的点到这个 )
角的两边的距离相等。
√
B
A
不必再证全等
D C
1、在Rt△ABC中,BD是角平分线,DE⊥AB, 垂足为E,DE与DC相等吗?为什么?
2 、 如 图 ,OC 是 ∠ AOB 的 平 分 线 , 点 P 在 OC 上 ,PD
⊥OA,PE⊥OB, 垂 足 分 别, 是 D 、 E,PD=4cm, 则 PE=__________cm.
与角的两边分别交于C、
D两点;
2、分别以C__、__D_为圆心, _超__过__C__D__一_的半长为半径 B
D
O
作弧,两条圆弧交于
∠AOB内一点_E___; 3、作射线_O__E__; _O__E__就是所求作的射线。
想一想:为什么OC是角平分线呢?
已知:OM=ON,MC=NC。
求证:OC平分∠AOB。
M C D
F
A
EB
N
到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
用数学语言表示为:
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE. ∴点Q在∠AOB的平分线上.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 用数学语言表示为: ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD=QE
➢
凡 事都 是多 棱镜 ,不同 的角 度会 看到 不同 的结 果。若 能把 一些 事看 淡了 ,就会 有个 好心 境, 若把 很多 事看开 了 ,就会 有个 好心 情。 让聚散 离合 犹如 月缺 月圆 那样 寻常,
凡事 都是 多棱 镜,不 同的 角度 会
凡 事都 是多棱 镜 ,不同 的角 度会 看到 不同的 结果 。若 能把 一些 事看 淡了, 就会 有个 好心 境, 若把很 多事 看开 了, 就会 有个 好心情 。 让聚散 离合 犹如 月缺月 圆那 样寻常 ,让 得失 利弊犹 如花 开花谢 那样 自然 ,不计 较, 也不刻 意执 着; 让生命 中各 种的 喜怒哀 乐,就 像风 儿一 样,来 了, 不管是 清风 拂面 ,还是 寒风 凛冽, 都报 以自 然的微 笑, 坦然的 接受 命运 的馈赠 , 把是非 曲折, 都当 作是 人生的 定数 ,不
人
的
一
生
说
白
了
,
也
就
是
三
万
余
天
,
贫
穷
与
富
贵
,
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
,
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
,
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
,
芸
芸
众
生
皆
是
客
,
时
光
深
处
,
流
年
似
水
,
转
瞬
间
,
光
阴
就
会
老
去
,
留
ห้องสมุดไป่ตู้
在
心
头
的
,
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
,
淡
看
流
年
,
掬
一
捧
岁
月
,
握
一
份
懂
得
,
红
尘
纷
扰
口
罗
不
∠PDO= ∠PEO(已证) ∠1= ∠2 (已证)
OP=OP (公共边)
∴ △PDO ≌ △PEO(AAS)
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
归纳:
利用此性质
怎样书写推理过
程?
A
D
C
1
P
2
O
EB
角平分线上 的点到角两 边的距离相
等。
∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA,
PE ⊥ OB(已知) ∴PD=PE(角平分 线的性质)
线OP,由作法得的根据是( )
A
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
C P
O
D
B
活动 1
C
1〉平分平角∠AOB
BO
A
D
2〉通过上面的步骤,得到射线OC以后, 把它反向延长得到直线CD,直线CD与直线 AB是什么关系?
3〉结论:作平角的平分线即可平分平角, 由此也得到过直线外一点作这条直线的垂 线的方法。
求证:点P到三边AB,BC,CA所在直线 的距离相等.
H
D
C
更上一层楼!
F PE A
BG
利用结论,解决问题
练一练
1、如图,为了促进当
地旅游发展,某地要在
三条公路围成的一块平
地上修建一个度假村.要
使这个度假村到三条公
路的距离相等,应在何处
修建?
想一想
在确定度假村的位置时,一定要画 出三个角的平分线吗?你是怎样思考
A
M 证明:在△OMC和△ONC中, C
OM=ON,
MC=NC,
OC=OC,
∴ △OMC≌ △ONC ∴∠MOC=∠NOC
B
N
O
即:OC平分∠AOB
1、尺规作图作的 AOB 平分线方法如下:
以O为圆心,任意长为半径画弧交OA、OB
于C、D,再分别以点C、D为圆心,以大于
1 2
CD
长为半径画弧,两弧交于点P,作射
人
性
的
▪
▪
什
么
事
情
都
是
相
对
的
,
做
为
销
售
者
,
站
在
销
售
者
的
角
色
,
是
非
常
欣
赏
算
命
的
营
销
技
巧
;
同
时
作
为
管
理
者
,
思
路
决
定
出
路
,
计
划
决
定
目
标
的
价
值
▪
▪
按
照
逻
辑
倒
退
,
现
在
您
收
入
不
够
,
那
是
您
把
自
身
的
价
值
定
位
太
低
,
再
则
您
是
自
己
的
思
维
逻
辑
不
清
▪
▪
学
习
有
五
道
知
道
学
到
用
到
悟
道
得
到
,
5
个
环
节
取
其
适
合
自
己
的
精
华
祛
其
▪
▪
审
、
敲
、
已知“一个点在一个角的平分线上”。结论为“这个点到这个角两边得距离相等”
已知:如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于
点E
求证: PD=PE 证明:∵OC平分∠ AOB (已知)
A
D
1
C P
2
O
EB
∴ ∠1= ∠2(角平分线的定义) ∵PD ⊥ OA,PE ⊥ OB(已知) ∴ ∠PDO= ∠PEO(垂直的定义) 在△PDO和△PEO中
已知:如图,QD⊥OA,QE⊥OB, 点D、E为垂足,QD=QE. 求证:点Q在∠AOB的平分线上.
证明: ∵ QD⊥OA,QE⊥OB(已知), ∴ ∠QDO=∠QEO=90°(垂直的定义) 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO=QO(公共边) QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO(HL) ∴ ∠ QOD=∠QOE
公路
铁路
S
解: 设OD=Xm 则由题得 X = 1
解得x=0.025m
500
即OD=2.5cm
20000
作夹角的角平分线OC,截取 OD=2.5cm ,D即为所求。
O
公路
铁路
sD
C
▪ 反过来,到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢?
已知:如图,QD⊥OA,QE⊥OB, 点D、E为垂足,QD=QE. 求证:点Q在∠AOB的平分线上.
的?你是如何证明的?
拓展与延伸
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建
一个货物中转站,要求它到三条公路的距
离相等,则可供选择的地址有:( )
A.一处
B. 两处
C.三处
D.四处
分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。
拓展与延伸
3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
角的平分线的性质
复习提问
1、角平分线的概念
一条射线 把一个角分成两个相等的角,
这条射线叫做这个角的平分线。
A
1
C
o
2
B
练习1
▪ 如图所示:OD、OE分别是∠AOB、 ∠AOC的角平分线,请问∠DOE多少度?
C
D
E
A
B
尺规作图:
观察领悟作法,探索思考证明方法:
作法:1、以_点___为圆心,
A
C
__适__当__长为半径O作圆弧, E
像
如
果
我
自
己
弄
五
分
钟
就
弄
完
所
以
最
后
通
常
变
成
我
自
己
弄
。
但
这
样
做
有
一
个
不
好
的
后
果
就
是
当
你
真
的
五
➢
■
电
:
“
色
情
男
女
是
你
和
尔
东
口
罗
其
实
不
是
合
▪
■
电
:
《
《
我
是
算
命
先
生
▪
▪
年
前
无
聊
看
了
一
部
小
说
《
我
是
算
命
先
生
》
,
人
喜
欢
算
命
,
无
非
是
生
活
让
人
无
奈
,
没
有
办
法
改
变
现
态
的
情
况
下
,
把
希
望
寄
托
在
命
运
,
期
望
绝
处
逢
生
。
算
命
先
生
抓
住
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上
∴PD=PE
A
(在角平分线上的点到角的两边的距离相等)
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
ND
M
即点P到边AB、BC、 CA的距离相等
P
F
B
C
E
怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点?
练习:如图,△ABC的∠B的外角的平分线B D与∠C的外角的平分线CE相交于点P.
复习提问 2、点到直线距离:
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度, 叫做点到直线的距离。
P
线段的长度
A
O
B
活 动 2 角平分线的性质
A
折一折
A D
PC
O B
O EB
将∠ AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边), 然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?
可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠 形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距 离,这两个距离相等.
活动 3
探究角平分线的性质
(1)实验:画一个∠AOB,用尺规作出∠AOB的平分
线OP,过P作PD ⊥ OA,PE ⊥ OB
问题:①比较PD和PE 的大小关系(量一量)。
PD=PE
②再换一个新的位置看看情况会怎样? A
D C
P
(2)猜想: 角的平分线上的 点到角的两边的距离相等.
O
EB
(3)验证猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∠1=∠2,且AC=6cm,那么线段BE是△ABC
的
,AE+DE=
。
C D
A
B
(2)
E
(1)
2、如图(2) ,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,
AD平分∠CAB,并交BC于D, DE⊥AB于点E,
若AB=8CM,求△DEB的周长?
解决问题
如图,要在S区建一个贸易市场,使它到 铁路和公路距离相等, 离公路与铁路交叉处 500米,这个集贸市场应建在何处?(比例尺 为1︰20000)
A E
D
A
C
P
D B
E
B
C
O
在△OAB中,OE是它的角平分线,且EA=EB, EC、ED分别垂直OA,OB,垂足为C,D.
求证:AC=BD.
O
C
D
A
E
B
在△ABC中, ∠ C=90 ° ,AD为∠BAC 的平分线,DE⊥AB,BC=7,DE=3.
求BD的长。
A
E
CD
B
1、如图(1) ,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB,
打
、
千
、
▪
▪
使
用
规
▪
▪
先
审
后
敲
,
急
打
▪
▪
隆
卖
齐
施
,
敲
打
▪
▪
十
千
就
响
,
十
隆
▪
▪
先
千
后
往
,
无
往
▪
▪
有
千
无
隆
,
帝
寿
▪
是
➢
■
电
:
那
你
的
第
一
部
戏
有
没
有
胆
怯
,
像
费
里
尼
拍
第
一
部
戏
时
就
穿
戴
得
很
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
爬
上
来
的
我
清
楚
怎
么
运
作
这
个
东
西
(
电
影
拍
摄
)
所
以
为
什
么
很
多
时
候
在
现
场
我
不
想
等
。
你
可
以
但
是
当
我
拍
完
一
个
镜
头
,
下
一
个
镜
头
试
完
镜
后
我
希
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
,
1
5
分
钟
后
你
还
没
有
弄
完
我
就
不
耐
烦