特殊的平行四边形
一：矩形
1.矩形的性质：
（1）矩形具备平行四边形的所有性质；
（2）矩形的四个角都是直角；
（3）矩形的对角线平分且相等
（4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；它也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
2.矩形的判定定理：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）对角线相等的平行四边形是矩形
（3）有三个角是直角的四边形是矩形
例题：
1.矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠AOB=60°，AC=10．
（1）求矩形较短边的长．
（2）矩形较长边的长．
（3）矩形的面积．
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，DF⊥AC于F点，若∠ADF=3∠FDC，则∠DEC的度数是____
3.已知，如图，△ABC中，CE、CF分别是∠ACB和它的邻补角∠ACD的平分线，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．
求证：
（1）四边形AECF是矩形；
（2）MN与BC的位置有何关系，证明你的结论．
1．如图，在▱ABCD中AB=6，BC=8，AC=10．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）求BD的长．
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180．（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
1.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2.菱形的性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质；
（2）菱形的四边都相等；
（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形；
菱形的面积公式：菱形的面积等于对角线乘积的一半。
3.菱形的判定定理：
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形；
例题：
1.如图所示，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=2a
（1）求∠ABC的度数；
（2）求对角线AC的长；
（3）求菱形ABCD的面积．
2.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F．
（1）求证：OE=CB；
（2）如果OC：OB=1：2，OE=√5，求菱形ABCD的面积．
3.已知：如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF∥BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形．
练习：
1．已知，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．
（1）如图1，若AC=BC，求证：四边形DECF为菱形；
（2）如图2，过C作CG∥AB交DE延长线于点G，连接EF，AG，在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有与△ADG面积相等的平行四边形．
2．如图，在△ABC中，DE分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连CF （1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=6，∠BEF=120°，求菱形BCFE的面积．
三：正方形
1.正方形的性质：
（1）正方形的四边都相等，四个角都是90°；
（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
2.正方形的判定方法：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；
（2）有一个内角是直角的菱形是正方形；
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（4）对角线相等的菱形是正方形；
（5）邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形是正方形；
（6）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（7）有三个内角为直角且有一组邻边相等的四边形是正方形．
例题：
1.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．
（1）试说明∠BAE=∠DAF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形，并说明你的理由．
2.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是正方形．
练习：
1．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．
求证：四边形OBEC是正方形．
2．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且∠EPB=90°，PM⊥AD，PN⊥AB．
（1）求证：四边形PMAN是正方形；
（2）求证：EM=BN．
综合练习：
1.如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB、BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD、EC．若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．
2.如图，将□ABCD的边BA延长到点E，使AE=AB，连接EC，交AD于点F，连接AC、ED．
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若∠AFC=2∠B，求证：四边形ACDE是矩形．
3.如图，在菱形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是BC边延长线上一点，且BD⊥DE．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AC=3，BD=4，求△DCE的周长．
