【典例精讲】——答案
题型一：二次函数的解析式的求法
例1．已知二次函数()f x 满足(2)1,(1)1f f =--=-且()f x 的最大值是8，求此二次函数的解析式。 解法一：利用二次函数的一般式
设2()(0)f x ax bx c a =++≠ 由题意得：24214841
a b c ac b a a b c ++=-⎧⎪-⎪=⎨⎪-+=-⎪⎩解得447a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ ∴所求二次函数为2y 447x x =-++ 解法二：设()2()f x a x m n =-+
(2)(1)f f =- ∴抛物线对称轴为2(1)122x +-=
= 12m ∴= 又根据题意函数有最大值为8n =
2
1()82y f x a x ⎛⎫∴==-+ ⎪⎝⎭
(2)1f =- 212812a ⎛⎫∴-+=- ⎪⎝⎭
解之得4a =- 2
21()484472f x x x x ⎛⎫∴=--+=-++ ⎪⎝⎭
解法三：利用双根式
由已知()10f x +=的两根为122,1x x ==-
故可设2()21f x ax ax a =---，又函数有最大值max 8y = 即2
4(21)84a a a a
---= 0()4a a ∴==-舍或 2()447f x x x ∴=-++
例2．设二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且()0f x =的两实数根平方和为10，图象过点
(0,3), 求()f x 的解析式.
解 设2()(0)f x ax bx c a =++≠
由(2)(2)f x f x +=-知，该函数图象关于直线2x =对称,
∴ ,22=-
a
b 即4b a =- ① 又∵图象过()03，点，∴c=3. ② 102)(2)(2212212221=--=-+=+a
c a b x x x x x x ∴22210b ac a -= ③
由①②③得1,4,3a b c ==-=
故24()3f x x x -=+
题型二：二次函数最值或值域问题
例3．已知函数2142a y x ax =-+-
+在区间[0,1]上的最大值是2，求实数a 的值. 解：()221224
a y x a a ⎛⎫=--+-+ ⎪⎝⎭，对称轴为 2a x = （1）当012a ≤≤，即02a ≤≤时，()2max 124y a a =-+，由()21224
a a -+= 得32a a ==或，与02a ≤≤矛盾，不合要求
（2）当02a <，即0a <时，y 在[0,1]上单调递减，有max (0)2y f ==，12642
a a ⇒-+=⇒=- （3）当12a >，即2a >时，y 在[0,1]上单调递增，有max (1)2y f ==，11012423
a a a ⇒-+-+=⇒= 综上，得1063
a a =-=或 例4.已知函数2(21)3(0)()a x a f x ax +--≠=在区间322⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，上的最大值为1，求实数a 的值。 解：因为是求闭区间上的最值，则最大值可能产生在抛物线的端点或顶点上。
即函数()f x 的最大值只能在132x =-或22x =或0122a x a
-=
处取得 （1）令3()12f -=，解得103a =-，此时01223322202a x a -⎡⎤==-∈-⎢⎥⎣⎦
， 故()f x 的最大值不可能在132
x =-处取得。 （2）令(2)1f =，解得34a =，此时032121122324
a x a -+-==-<=（对称轴靠近32-，开口向上） 故当34
a =时取得最大值1 （3）令12()12a f a
-=
，解得32a -±=，要使()f x 在0x 处取得最大值， 必需0a <且0322x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，
，所以32a --= 综上，所求的a
值为3342--或
例5.
已知函数28()x f x x +=-，求函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值()h t 解：228(4)16()x x f x x +=--+=-
（1）当14t +<即3t <时，()f x 在[],1t t +上单调递增， 此时22()(1)(1)8(1)67h t f t t t t t =+=-+++=-++
（2）当41t t ≤≤+，即34t ≤≤时，()(4)16h t f ==
（3）当4t >时，()f x 在[],1t t +上单调递减。
此时2
()()8h t f t t t ==-+ 综上可知 2267(3)()16 (34)8(4)t t t h t t t t t ⎧-++<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩
例6.函数24()4f x x x -=-在闭区间[],1()t t t R +∈上的最小值为()g t
（1）试写出()g t 的函数表达式
（2）求()g t 的最小值
解：（1）()2
2()4428f x x x x =--=-- 当12t +<，即1t <时，()f x 在[],1t t +上是减函数2
()(1)27g t f t t t ∴=+=-- 当21t t ≤≤+，即12t ≤≤时，()(2)8g t f ∴==-
当2t >时，()f x 在[],1t t +上是增函数 2
()()44g t f t t t ∴==-- 从而2227(1)()-8 (12)44(2)t t t g t t t t t ⎧--<⎪=≤≤⎨⎪-->⎩
（2）当1t <时，22()27(1)88g t t t t =--=--≥-
当12t ≤≤时，()8g t =-
当2t >时，22()44(2)88g t t t t =--=--≥-
综上，()g t 的最小值为-8
题型三：已知二次函数的解析式，求其单调区间；已知二次函数的某一单调区间，求
参数的范围，这两类是常见题型，关键是利用二次函数的图像。
例7．已知二次函数24(1)3y ax a x =++-在[)2,+∞上递减，则a 的取值范围是 解：对称轴为4(1)2(1)2a a x a a
++=-=- 要想在[)2,+∞上递减，必需022(1)a a a <⎧⎪≤+⎨-⎪⎩ 102a a ⇒≥≤-或 所以12
a ≤- 题型四：二次函数的综合应用
例8．已知二次函数()y f x =的图象与x 轴交于A ，B 两点，且 ,32||=AB 它在y 轴上的截距 为4,又对任意的x 都有(1)(1)f x f x +=-。
（1）求二次函数的表达式；
（2）若二次函数的图象都在直线:l y x c =+的下方，求c 的取值范围.
