2019-2020学年成都市青羊区树德中学八年级(上)期末数学试卷(含解析)

2019-2020学年成都市青羊区树德中学八年级（上）期末数学试卷
（考试时间：120分钟满分：150分）
A卷（共100分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．4的算术平方根是（）
A．B．±2 C．2 D．±
2．下列四个实数中，无理数是（）
A．3.14 B．﹣πC．0 D．
3．下列各组数为勾股数的是（）
A．7，12，13 B．3，4，7 C．3，4，6 D．8，15，17
4．下列命题是假命题的是（）
A．对顶角相等
B．两直线平行，同旁内角相等
C．平行于同一条直线的两直线平行
D．同位角相等，两直线平行
5．已知是方程mx+y﹣1＝0的解，则m的值是（）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2
6．已知A，B两点在y＝2x+1上，A的坐标为（1，m），B的坐标为（3，n），则（）
A．m＝n B．m＜n C．m＞n D．无法确定
7．若m＝，则m介于哪两个整数之间（）
A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜5
8．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列判断正确的是（）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
9．下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：
甲乙丙丁
平均数（环）9.1 9.1 9.1 9.1
方差7.6 8.6 9.6 9.7
根据表中数据，要从中选择一名成绩发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的角平分线，则三角形ADC的面积为（）
A．3 B．10 C．12 D．15
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．函数中，自变量x的取值范围是．
12．在平面直角坐标系中，若点A的坐标为（8，4），则点A到y轴的距离为．
13．如图所示，一根长为7cm的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为3cm，高为4cm，则吸管露出在杯外面的最短长度为cm．
14．如图，把一张三角形纸片（△ABC）进行折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为DE，点D，点E分别在AB和AC上，DE∥BC，若∠B＝75°，则∠BDF的度数为．
三、解答题（共54分）
15．（10分）计算：
（1）（）﹣2+﹣（2）（﹣）2﹣（+）（﹣）
16．（12分）解方程组：
（1）（2）
17．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．（1）△ABC关于y轴对称图形为△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形．
（2）求△ABC的面积．
（3）若P点在x轴上，当BP+CP最小时，直接写出BP+CP最小值为．
18．（8分）为了解学生参加户外活动的情况，树德中学对学生每天参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图示，请回答下列问题：
（1）被抽样调查的学生有人，并补全条形统计图；
（2）每天户外活动时间的中位数是（小时）；
（3）该校共有2000名学生，请估计该校每天户外活动时间超过1小时的学生有多少人？
19．（8分）某汽车制造厂生产一款电动汽车，计划一个月生产200辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）若工厂现在有熟练工人30人，求还需要招聘多少新工人才能完成一个月的生产计划？
20．（10分）在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点D、E、C三点在同一条直线上，连接BD．
（1）如图1，求证：△ADB≌△AEC
（2）如图2，当∠BAC＝∠DAE＝90°时，试猜想线段AD，BD，CD之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC＝∠DAE＝120°时，请直接写出线段AD，BD，CD之间的数量关系式为：（不写证明过程）
B卷（50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
21．若一个直角三角形的三边分别为x，4，5，则x＝．
22．当x＝2+时，x2﹣4x+2020＝．
23．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x+y＝36的解，则k的值为．24．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A1，如图所示，依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形A n B n∁n C n﹣1，使得点A1，A2，A3，…A n在直线l上，点C1，C2，C3，…∁n在y轴正半轴上，则正方形A n B n∁n C n﹣1的面积是．
25．如图，在平面直角坐标系中，A（，1），B（2，0），点P为线段OB上一动点，将△AOP沿AO翻折得到△AOC，将△ABP沿AB翻折得到△ABD，则△ACD面积的最小值为．
二、解答题（共30分）
26．（8分）甲、乙两人参加从A地到B地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题：
（1）先到达终点（填“甲”或“乙”）；甲的速度是米/分钟；
（2）甲与乙何时相遇？
（3）在甲、乙相遇之前，何时甲与乙相距250米？
27．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．
（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝度；
（2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；
（3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH2＝2AE2．
28．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且OB＝OA，直线l2：y＝k2x+b经过点C（，1），与x轴、y轴、直线AB分别交于点E、F、D三点．
（1）求直线l1的解析式；
（2）如图1，连接CB，当CD⊥AB时，求点D的坐标和△BCD的面积；
（3）如图2，当点D在直线AB上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【解答】解：4的算术平方根是2．
故选：C．
2．【解答】解：﹣π是无理数，
故选：B．
3．【解答】解：A、不是勾股数，因为72+122≠132；
B、不是勾股数，因为32+42≠72；
C、不是勾股数，因为不是正整数；
D、是勾股数，因为82+152＝172；，且8，15，17是正整数．故选：D．
4．【解答】解：A、对顶角相等是真命题；
B、两直线平行，同旁内角互补，B是假命题；
C、平行于同一条直线的两直线平行是真命题；
D、同位角相等，两直线平行是真命题；
故选：B．
5．【解答】解：∵是方程mx+y﹣1＝0的解，
∴﹣2m+5﹣1＝0，
解得：m＝2．
故选：D．
6．【解答】解：∵点A（1，m），B（3，n）在y＝2x+1上，∴m＝3，n＝7．
∵3＜7，
∴m＜n．
故选：B．
7．【解答】解：∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴3＜m＜4，
故选：C．
8．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，∴k＜0，b＞0．
故选：C．
9．【解答】解：甲的平均数最大，方差最小，成绩最稳当，
所以选甲运动员参加比赛．
故选：A．
10．【解答】解：作DH⊥AC于H，如图，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DB＝DH，
∵×AB×CD＝DH×AC，
∴6（8﹣DH）＝10DH，解得DH＝3，
∴S△ADC＝×10×3＝15．
故选：D．
二、填空题
11．【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案是：x≥3．
12．【解答】解：∵点A的坐标为（8，4），
∴点A到y轴的距离为8．
故答案为：8．
13．【解答】解：设在杯里部分长为xcm，
则有：x2＝32+42，
解得：x＝5，
所以露在外面最短的长度为7cm﹣5cm＝2cm，故吸管露出杯口外的最短长度是2cm，
故答案为：2．
14．【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝75°，
又∵∠ADE＝∠EDF＝75°，
∴∠BDF＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
故答案为30°．
三、解答题
15．【解答】解：（1）原式＝4+2﹣
＝4+；
（2）原式＝3﹣2+2﹣（3﹣2）
＝5﹣2﹣1
＝4﹣2．
16．【解答】解：（1），
①+②得：7x＝14，
∴x＝2，
把x＝2代入①得：y＝1，
∴原方程组的解为；
（2）原方程组可化为，
②﹣①×2得：5y＝25，
∴y＝5，
把y＝5代入①得：x＝1，
∴原方程组的解为．
17．【解答】解：如图所示，
（1）△A1B1C1即为所求；
（2）△ABC的面积为：2×3﹣2×2﹣1×1﹣1×3＝2；
（3）作点B关于x轴的对称点B′，
连接CB′交x轴于点P，此时BP+CP最小，
BP+CP的最小值即为CB′＝．
故答案为．
18．【解答】解：（1）∵0.5小时的有100人占被调查总人数的20%，
∴被调查的人数有：100÷20%＝500，
1.5小时的人数有：500﹣100﹣200﹣80＝120，
补全的条形统计图如下图所示，
故答案为：500；
（2）由（1）可知被调查学生500人，由条形统计图可得，中位数是1小时，故答案为：1；
（3）由题意可得，
该校每天户外活动时间超过1小时的学生数为：×2000＝800人，
即该校每天户外活动时间超过1小时的学生有800人．
19．【解答】解：（1）设每名熟练工每月可以按装x辆电动汽车，每名新工人每月可以按装y辆电动汽车，依题意，得：，
解得：．
答：每名熟练工每月可以按装4辆电动汽车，每名新工人每月可以按装2辆电动汽车．
（2）设还需要招聘m名新工人才能完成一个月的生产计划，
依题意，得：4×30+2m＝200，
解得：m＝40．
答：还需要招聘40名新工人才能完成一个月的生产计划．
20．【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；
（2）CD＝AD+BD，
理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；
∴BD＝CE，
∵∠BAC＝90°，AD＝AE，
∴DE＝AD，
∵CD＝DE+CE，
∴CD＝AD+BD；
（3）作AH⊥CD于H．
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；
∴BD＝CE，
∵∠DAE＝120°，AD＝AE，
∴∠ADH＝30°，
∴AH＝AD，
∴DH＝＝AD，
∵AD＝AE，AH⊥DE，
∴DH＝HE，
∴CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD，
故答案为：CD＝AD+BD．
一、填空题
21．【解答】解：设第三边为x，
（1）若5是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：52+42＝x2，
∴x＝；
（2）若5是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：32+x2＝52，
∴x＝3；
∴第三边的长为3或．
故答案为：3或．
22．【解答】解：由已知得：x﹣2＝，
∴x2﹣4x+2020＝（x﹣2）2+2016
＝3+2016＝2019．
故答案为：2019．
23．【解答】解：
解方程组得，
因为方程组的解也是二元一次方程x+y＝36的解，
所以3k＝36，
解得k＝12．
故答案为12．
24．【解答】解：直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A₁（1，0），与y轴交于点D（0，﹣2），∴＝＝＝，
∵OA1＝OC1＝1，
∴A1B1C1O的面积是1；
∴DC1＝3，
∴C1A2＝，
∴A2B2C2C1的面积是；
∴DC2＝，
∴C2A3＝，
∴A3B3C3C2的面积是；
……
∴C n﹣1A n＝，
∴正方形A n B n∁n C n﹣1的面积是，
故答案为．
25．【解答】解：如图，作AH⊥OB于H．
∵A（，1），
∴OH＝，AH＝1，
∴tan∠OAH＝＝，
∴∠OAH＝60°，
∵B（2，0），
∴OH＝HB＝，
∵AH⊥OB，
∴AO＝AB，
∴∠OAH＝∠BAH＝60°，
由翻折的性质可知：AP＝AC＝AD，∠PAO＝∠CAO，∠BAP＝∠BAD，
∴∠OAC+∠BAD＝∠OAB＝120°，
∴∠CAD＝360°﹣2×120°＝120°，
∴△CAD是顶角为120°的等腰三角形，
根据垂线段最短可知，当AP与AH重合时，AC＝AD＝PA＝1，
此时△ACD的面积最小，最小值＝×1×1•sin60°＝．
故答案为．
二、解答题
26．【解答】解：（1）由函数图象可知甲跑完全程需要20分钟，乙跑完全程需要16分钟，所以乙先到达终点；
甲的速度＝＝250 米/分钟．
故答案为：乙；250．
（2）设甲跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系式为y＝kx，
根据图象，可得y＝x＝250x，
设甲乙相遇后（即10＜x＜16 ），乙跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系式为：y＝kx+b．根据图象，可得，
解得，
答：甲与乙在12分钟时相遇；
（3）设此时起跑了x分钟，
根据题意得，
解得x＝5．
答：在甲、乙相遇之前，5分钟时甲与乙相距250米．
27．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB，
∴AB＝AC＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，
∵∠AED＝20°，
∴∠ABE＝∠AED＝20°，
∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°
∴∠CAE＝50°，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，
∴∠AEC＝∠ACE＝65°，
∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，
故答案为：45；
（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，
理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，
∴∠BAE＝180°﹣2α，
∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，
∴∠AEC＝45°+α，
∴∠AEC﹣∠AED＝45°；
（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，
∵∠AEC﹣∠AED＝45°，
∴∠FEH＝45°，
∵AH⊥BE，
∴∠FHE＝∠FEH＝45°，
∴EF＝FH，且∠EFH＝90°，
∴EH＝EF，
∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，
∴∠GCH＝∠FHE＝45°，
∴GC＝GH，
∴CH＝CG，
∵∠BAC＝∠CGA＝90°，
∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，∴△AFB≌△CGA（AAS）
∴AF＝CG，
∴CH＝AF，
∵在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，
∴（AF）2+（EF）2＝2AE2，
∴EH2+CH2＝2AE2．
28．【解答】解：（1）y＝k1x+6，
当x＝0时，y＝6，
∴OB＝6，
∵OB＝OA，
∴OA＝2，
∴A（﹣2，0），
把A（﹣2，0）代入：y＝k1x+6中得：﹣2k1+6＝0，
k1＝，
∴直线l1的解析式为：y＝x+6；
（2）如图1，过C作CH⊥x轴于H，
∵C（，1），
∴OH＝，CH＝1，
Rt△ABO中，AB＝＝4，
∴AB＝2OA，
∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADE＝90°，
∴∠AED＝30°，
∴EH＝，
∴OE＝OH+EH＝2，
∴E（2，0），
把E（2，0）和C（，1）代入y＝k2x+b中得：，解得：，
∴直线l2：y＝﹣x+2，
∴F（0，2）即BF＝6﹣2＝4，
则，解得，
∴D（﹣，3），
∴S△BCD＝BF（x C﹣x D）＝＝4；
（3）分四种情况：
①当Q在y轴的正半轴上时，如图2，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，
∵△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，
∴∠CQD＝90°，CQ＝DQ，
∴∠DMQ＝∠CNQ＝90°，
∴∠MDQ＝∠CQN，
∴△DMQ≌△QNC（AAS），
∴DM＝QN，QM＝CN＝，
设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，﹣m+1），
∴OQ＝QN+ON＝OM+QM，
即﹣m+1＝m+6+，
m＝＝1﹣2，
∴Q（0，2）；
②当Q在x轴的负半轴上时，如图3，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，
同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），
∴DM＝QN，QM＝CN＝1，
设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m+1，0），
∴OQ＝QN﹣ON＝OM﹣QM，
即m+6﹣＝﹣m﹣1，
m＝5﹣4，
∴Q（6﹣4，0）；
③当Q在x轴的负半轴上时，如图4，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，
同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），
∴DM＝QN，QM＝CN＝1，
设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m﹣1，0），
∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，
即﹣m﹣6﹣＝﹣m+1，
m＝﹣4﹣5，
∴Q（﹣4﹣6，0）；
④当Q在y轴的负半轴上时，如图5，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，
同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），
∴DM＝QN，QM＝CN＝，
设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，m+1），
∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，
即﹣m﹣6+＝﹣m﹣1，
m＝﹣2﹣1，
∴Q（0，﹣2）；
综上，存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是（0，±2）或（6﹣4，0）或（﹣4﹣6，0）。