立体几何证明------垂直 一.复习引入 1.空间两条直线的位置关系有：_________,_________,_________三种。 2.（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相_________. 3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。 4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行 5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么_________________________. 6.两个平面的位置关系:_________,_________. 7.判定定理1：如果一个平面内有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行. 8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________. 9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行. 10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都_____于另一个平面. 二．知识点梳理 知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义判定 语言描述如果直线l和平面α内的任意一条直 线都垂直，我们就说直线l与平面 互相垂直，记作l⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形 条件b为平面α内的任一直线，而l对这 一直线总有l⊥αl⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m?α，n?α 结论l⊥αl⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直） 知识点二、直线和平面垂直的性质 性质 语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条 直线垂直于这个平面内的所有直线 垂直于同一个平面的两条直线平行.
初中数学所有几何证明 定理 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
初中数学所有几何证明定理 证明题的思路 很多几何证明题的思路往往是填加辅助线，分析已知、求证与图形，探索证明。 对于证明题，有三种思考方式： (1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。 (2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显。 同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。 例如： 可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。 (3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，可以结合结论和已知条件认真的分析。 初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。
证明题要用到哪些原理？ 要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。 下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 二、证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。
1、勾股定理与几何证明的综合问题练习一、利用勾股定理证明一些重要的几何定理 1、如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是AB 边上的高. 证明：（1）CD2=AD ?BD （这个结果表明，利用勾股定理可以导出三角形相似的一系列结果） 1 1 1 （2）AC 2+ BC 2 = CD2 练习二、将勾股定理应用于四边形 1、四边形ABCD 的对角线为AC 和BD. （1）证明：若AC ⊥BD ，则AB2+CD2=AD2+BC 2； 2、一个四边形的顶点分别在一个边长为1 的正方形各边上，其边长依次为a、b、c、d. 求证： 2 ≤a2+b2+c2+d 2≤ 4 . 假设MNPQ 分别将正方形ABCD 的四个边分成了线段：m1 m2 n1 n2 p1 p2 q1 q2 ∵MNPQ 都在正方形ABCD 的四个边上，所以有四个直角三角形 ∴a2+b2+c2+d2=m12+m22+n12+n22+p12+p22+q12+q22∵m1+m2=正方形边长即为“1”（其他同理）∴a2+b2+c2+d2=m12+(1-m1)2+n12+(1-n1)2+p12+(1-p1)2+q12+(1-q1)2整理之后得到： a2+b2+c2+d2=2*(m1-/2)2+1/2+2*(n1-/2)2+1/2+2*(p1-/2)2+1/2+2*(q1-/2)2+1/2=2*[(m1-1/2)2+(n1-1/2)2+(p1-1/2)2+(q1-1/2)2] + 2 m1、n1、p1、q1 的长都是最大为1 最小为0 它们都等于1/2 时值最小，都等于1 时值最大那么a2+b2+c2+d2的最小值就是2，最大值就是4
立体几何公理、定理推论汇总 一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的。 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l α βαβ∈?=∈且 ！ 作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使， ） 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使， 公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。
符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 作用：用来证明线线平行。 二、平行关系 - 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1） 符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 1.线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2） 符号语言： ////a b a a b ααα???????? 图形语言： 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3） 符号语言：////a b a a b βαβα??????=? 图形语言： 2.面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4） 符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ??=?????? 图形语言： ! 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5） 符号语言：,,//oo oo ααββ???? ⊥⊥ 图形语言：
精品文档 . 牛顿三大定理 牛顿定理1：完全四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。 证明：四边形ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD中点M,AC中点L,EF中点N。取BE中点P,BC 中点R,PN∩CE=Q R,L,Q共线，QL/LR=EA/AB，M,R,P共线。RM/MP=CD/DE，N,P,Q共线，PN/NQ=BF/FC 三式相乘得:QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC 由梅涅劳斯定理 QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1 由梅涅劳斯定理的逆定理知:L,M,N三点共线 故牛顿定理1成立 牛顿定理2圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。 证明：设四边形ABCD是⊙I的外切四边形，E和F分别是它的对角线AC和BD的中点，连接EI只需证它过点F，即只需证△BEI与△DEI面积相等。 显然，S△BEI=S△BIC+S△CEI-S△BCE，而S△DEI=S△ADE+S△AIE-S△AID。注意两个式子，由ABCD外切于⊙I，AB+CD=AD+BC，S△BIC+S△AID=1/2*S四边形ABCD，S△ADE+S △BCE=1/2*S△ACD+1/2*S△ABC=1/2*S四边形ABCD。即S△BIC+S△AID=S△ADE+S△BCE，移项得S△BIC-S△BCE=S△ADE-S△AID，由E是AC中点，S△CEI=S△AEI，故S△BIC-S △CEI-S△BCE=S△ADE-S△AIE-S△AID，即S△BEI=△DEI，而F是BD中点，由共边比例定理EI过点F即EF过点I，故结论成立。证毕。 牛顿定理3圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。精品文档
一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 2. 线面相交 l 符号表示： 符号表示： 3. 线在面内 符号表示： 二．平行关系： 1.线线平行： 方法一：用线面平行实现。方法二：用面面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三：用线面垂直实现。若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 3.面面平行： 方法一：用线线平行实现。方法二：用线面平行实现 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l 。β α β α α // , // // ? ? ? ? ? ? ?且相交 m l m l 三．垂直关系： l
1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 方法二：用面面垂直实现。 α α⊥??? ????? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , αββαβα⊥???? ???⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 方法二：计算所成二面角为直角。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥????
几何定理证明 1、重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边 中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。 先证明交于一点，如图一中线AD、BE交于G，延长CG 交AB于F，即证明F为AB中点即可，延长GD至H使 GD=DH，又BD=DC∴BDCG为平行四边形，∴BE∥CH， CF∥BH，又E为AC中点，EG为中位线，∴G为AH中 点，又CF∥BH，∴FG为中位线，即F为AB中点，∴三 条中线交于一点。 再证明2倍问题 证明1：如图：△ABC的中线AD、BE交于G（重心），求 证：AG＝2GD 取CE的中点F，连接DF， 则CE＝2EF＝AE ， ∴DF是△BCE的中位线， ∴GE∥DF ， AG／GD＝AE／EF＝2， ∴AG＝2GD 。 证明2：面积法（三条中线将三角形分成6个面积相等 的三角形） △ABC，AB、BC、CA中点分别为D、E、F，交于一点G。 ∵D、E、F为中点 ∴S△CAD=S△CDB=S△ABE=S△ACE=S△ABF=S△BCF =S△ABC／2 ∴S△ADG=S△CEG=S△BEG 同理S△BDG=S△BEG ∴S△ABG=2S△BEG ∴AG／GE=2即AG=2GE 证明3：相似三角形 △ABC，AB、BC、CA中点分别为D、E、F，交于一点G。 ∴DF//BC，DF=BC/2 ①（中位线定理）。 ∴△ADF∽△ABC, E为BC中点，∴H为DF中点（可证AH/AE=DH/BE=HF/EC, BE=EC, ∴DH=HF) ∴HF=DF/2 , BE=BC/2，又可由①知HF=BE/2 ∴HF//BE. 又∵∠BGE=∠FGH。 ∴△BGE∽△FGH ∴BG/GF=BE/HF=2。∴BG=（2/3）BF
勾股定理逆定理八种证 明方法 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]
证法1 作四个的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF =90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 证法2 作两个的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），做一个边长为c的正方形。斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C 三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC =90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠， 又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即 证法3 作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90°，
【】（） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三 个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上， B 、F 、 C 三点在一条直线上，C 、G 、 D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHA E ≌ R t ΔEBF,
∴∠AHE = ∠BEF. ∵∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴∠HEF = 180o―90o= 90o.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴∠HGD = ∠EHA. ∵∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵∠GHE = 90o, ∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于()2b a+. ∴()2 2 2 1 4c ab b a+ ? = + . ∴2 2 2c b a= +. 【证法3】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于 ab 2 1 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB.
立体证明题（2） 1.如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥ 平面ACE． （1）求证：AE⊥平面BCE； （2）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值． 2.等腰△ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP=． （1）求证：平面EFP⊥平面ABFE； （2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．
3.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且 PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点． （Ⅰ）求证：EF∥平面PAD； （Ⅱ）求证：EF⊥平面PDC． 4.如图：正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直，且∠BCD=90°，∠CBD=30°． （1）求证：AB⊥CD； （2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值． 5.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD 是平行四边形，∠ADC=120°，AB=2AD． （1）求证：平面PAD⊥平面PBD； （2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
6.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC 1=2，E 是AB 中点． （Ⅰ）求证：AB 1⊥平面A 1CE ； （Ⅱ）求直线A 1C 1与平面A 1CE 所成角的正弦值． 7.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AD=CD=2AB=2，E ，F 分别为PC ，CD 的中点． （Ⅰ）证明：AB ⊥平面BEF ； （Ⅱ）若PA= ，求二面角E ﹣BD ﹣C ． 8.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=AD=2，四边形ABCD 满足AB ⊥AD ，BC ∥AD 且BC=4，点M 为PC 中点． （1）求证：DM ⊥平面PBC ； （2）若点E 为BC 边上的动点，且λ=EC BE ，是否存在实数λ，使得二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值为 3 2 ？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．
初中数学所有几何证明定理 证明题的思路 很多几何证明题的思路往往是填加辅助线，分析已知、求证与图形，探索证明。对于证明题，有三种思考方式： (1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。 (2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显。 同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。 例如： 可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。 (3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，可以结合结论和已知条件认真的分析。 初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。 证明题要用到哪些原理？
要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。 下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 二、证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
勾股定理五种证明方法 【证法1】 做 8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 214214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【 证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角 形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点 在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +. ∴ ()2 2214c ab b a +?=+. ∴ 222c b a =+. 【证法3】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为
一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 2. 线面相交 l 符号表示： 符号表示： 3. 线在面内 符号表示： 二．平行关系： 1.线线平行： 方法一：用线面平行实现。方法二：用面面平行 实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三：用线面垂直实现。若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 3.面面平行： 方法一：用线线平行实现。方法二：用线面 平行实现 l
βααβ//',',' //'//??? ?? ? ? ? ??且相交且相交m l m l m m l l 。βαβαα//,////??? ????且相交m l m l 三．垂直关系： 1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 方法二：用面面垂直实现。 α α⊥??? ????? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , αββαβα⊥???? ???⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 方法二：计算所成二面角为直角。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥????
勾股定理的证明 【证法1】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A 、E 、 B 三点在一条直线上，B 、F 、 C 三点在一条直线上，C 、G 、 D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHA E ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BE F . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于(a +∴ ()2 2 21 4c ab b a +?=+. ∴ 2 22c b a =+. 【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角
初中几何证明题要用到的一些定理 证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 *9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 *12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 *6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的
弧对的圆周角。 *7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 8.相似三角形的对应角相等。 *9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等 证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。 2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。 4.三角形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。 6.平行于同一直线的两直线平行。 7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。证明两条直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为点N，求证：AN2-BN2=AC2． 证明：∵MN⊥AB于N，∴BN2=BM2-MN2，AN2=AM2-MN2，∴BN2-AN2=BM2-AM2，又∵∠C=90°，∴AM2=AC2+CM2 ，∴BN2-AN2=BM2-AC2-CM2， 又∵BM=CM，∴BN2-AN2=-AC2，即AN2-BN2=AC2． 【例2】四边形ABCD，AC⊥BD ，探究AB2，CD2，BC2，AD2之间的数量关系． 【解析】AD2+BC2=AB2+CD2，设AC与BD的交点为E ∵AC⊥BD， ∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2； 故答案为：AD2+BC2=AB2+CD2， 1.我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个 四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30°．求证：四边形ABCD是以DC、BC为勾股边的勾股四边形． 证明：连接CE， ∵△DBE是由△ABC的顶点B按顺时针方向旋转60°而得， ∴AC=DE，BC=BE，∠CBE=60°，
∴△BCE是等边三角形， ∴∠BCE=60°，EC=BC， 又∵∠DCB=30°， ∴∠DCE=90°， ∴在Rt△DCE中，DE2=DC2+CE2 ∴AC2=DC2+BC2即四边形ABCD是以DC，BC为勾股边的勾股四边形． 2.在△ABC中，AD⊥BC于D，求证：AB2+CD2=AC2+BD2． 证明：在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AB2-BD2=AD2； 在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AC2-CD2=AD2， ∴AB2-BD2=AC2-CD2=AD2， 则AB2+CD2=AC2+BD2． 3.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC边上任意一点，求证：BD2+CD2=2AD2． 证明：作AE⊥BC于E，如图所示： ∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC， ∴BD2+CD2=（BE+DE）2+（CE-DE） 2=2AE2+2DE2=2AD2． 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，点P、Q分别在BC、AC上，求证：AP2+BQ2=AB2+PQ2． 证明：∵在RT△APC中，AP2=AC2+CP2，在RT△BCQ中，BQ2=BC2+CQ2， ∴AP2+BQ2=AC2+CP2+BC2+CQ2， ∵在RT△ABC中，AC2+BC2=AB2，在RT△APC中，PC2+CQ2=PQ2， ∴AP2+BQ2=AC2+CP2+BC2+CQ2=AB2+PQ2． 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC的中点，DE⊥AB于点E．求证：BC2=BE2-AE2．
【证法1】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即 a^2+b^2+4*(ab/2)=c^2+4*(ab/2)， 整理得到：a^2+b^2=c^2。 【证法2】 以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 ab/2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴∠AHE = ∠BEF. ∵∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c^2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴∠HGD = ∠EHA. ∵∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵∠GHE = 90o, ∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于(a+b)^2. ∴(a+b)^2=c^2+4*(ab/2)，∴ a^2+b^2=c^2。
【证法3】 以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB. ∵∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c^2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于(b-a)^2. ∴(b-a)^2+4*(ab/2)=c^2，∴ a^2+b^2=c^2。 【证法4】 以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴∠ADE = ∠BEC.
1 平面几何中几个重要定理及其证明 一、塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得 ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-=== -， 所以 APC BPC S AD DB S ??=．同理可得 APB APC S BE EC S ??=， BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是?ABC 的顶点，若 1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有 // 1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有 A B C D F P A B C D E F P D /
v1.0 可编辑可修改 【证法1】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、 C 三点在一条直线上，C 、G 、 D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2.
v1.0 可编辑可修改 ∴∠HGD = ∠EHA. ∵∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵∠GHE = 90o, ∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于()2b a+. ∴()2 2 2 1 4c ab b a+ ? = + . ∴2 2 2c b a= +. 【证法3】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于 ab 2 1 . 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB. ∵∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于()2a b-. ∴ ()2 2 2 1 4c a b ab= - + ? .
圆的相关定理及其几何证明 典题探究 例1：如图，圆是的外接圆，过点C 作圆的切线交的延长线于点.若 O ABC ?O BA D ，，则线段的长是 ；圆的半径是 . CD =2AB AC ==AD O 例2：如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E （E 在A ,O 之间），EF BC ^,垂 足为F ．若6AB =，5CF CB × =，则AE =
例3：如图已知与圆相切于，半径，交于，若, PA O A OC OP ⊥AC PO B 1OC =，则 ， ． 2OP =PA ==PB 例4：如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知， O P O PA PBC 30BPA ∠=?，, 则 ,圆的半径等于 11BC =1PB =PA =O 演练方阵 A 档（巩固专练） 1．如图，已知直线PD 切⊙O 于点D ，直线PO 交⊙O 于点E,F.若，则⊙O 的21PF PD =+=半径为 ； . EFD ∠=A B C O P
D C B P A O
C B A 5．如图所示，以直角三角形的直角边为直径作⊙，交斜边于点，过点 ABC AC O AB D 作⊙的切线，交边于点.则 . D O BC E =BC BE 6．如图，直线AM 与圆相切于点M, ABC 与ADE 是圆的两条割线，且BD ⊥AD ，连接MD 、EC 。则下面结论中，错误的结论是( ) A ．∠ECA = 90o B ．∠CEM=∠DMA+∠DBA C ．AM 2 = AD·AE D ．AD·D E = AB·BC 7．如图，切圆O 于点,为圆O 的直径，交圆O 于点，为的中点，AB A AC BC D E CD 且则__________；__________. 5,6,BD AC ==CD =AE =
1、勾股定理与几何证明的综合问题 1 2 练习一、利用勾股定理证明一些重要的几何定理 3 4 1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高. 证5 明： 6 （1）BD AD CD ?=2 7 （这个结果表明，利用勾股定理可以导出三角形相似的一系列结果） 8 （2） 222111CD BC AC =+ 9 10 11 12 13 14 15 练习二、将勾股定理应用于四边形 16 1、四边形ABCD 的对角线为AC 和BD . 17 （1）证明：若BD AC ⊥，则2222BC AD CD AB +=+； 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
2、一个四边形的顶点分别在一个边长为1的正方形各边上，其边长依次为a 、28 b 、 c 、 d . 29 求证：422222≤+++≤d c b a . 30 31 假设MNPQ 分别将正方形ABCD 的四个边分成了线段：m1 m2 n1 n2 p1 p2 q1 q2 32 ∵MNPQ 都在正方形ABCD 的四个边上，所以有四个直角三角形33 ∴a2+b2+c2+d2=m12+m22+n12+n22+p12+p22+q12+q22∵m1+m2=正方形边长即为34 “1”（其他同理）35 ∴a2+b2+c2+d2=m12+(1-m1)2+n12+(1-n1)2+p12+(1-p1)2+q12+(1-q1)2整理之36 后得到：37 a2+b2+c2+d2=2*(m1-1/2)2+1/2+2*(n1-1/2)2+1/2+2*(p1-1/2)2+1/2+2*(q1-1/38 2)2+1/2=2*[(m1-1/2)2+(n1-1/2)2+(p1-1/2)2+(q1-1/2)2] + 2m1、n1、p1、q139 的长都是最大为1最小为0它们都等于1/2时值最小，都等于1时值最大那么40 a2+b2+c2+d2的最小值就是2，最大值就是4 41 42 43 44 45 46 练习三、勾股定理结合图形变换 47 48 1、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AD ⊥BC ，BD ＝3，CD ＝2，求△ABC 的面49 积。 50 51 52 53