基于Hermitian 矩阵的特征分解算法
曾富红;司伟建;曲志昱
【摘要】研究了基于多重信号分类(MUSIC)算法的特征分解算法，即关于Hermitian矩阵的特征分解。该算法的运算过程均是对低阶矩阵进行运算，并且其中将复数运算转化成了实数运算，不仅降低了运算的复杂度，而且所得到的特征值精度较高。该算法的此特性使得其易于在数字信号处理器(DSP)中实现，应用于实际工程中具有较高的实时性。通过计算机仿真实验以及DSP实现验证了本算法的有效性以及实时性。%The eigendecomposition algorithm is studied,which is about the eigendecomposition of the Hermitian matrix and based on MUSIC algorithm.Most of the operations about this algorithm are low order matrix operations and some plural operations are transformed to real operations.It can reduce the complexity of computation and the eigenvalues have high precision.The feature of the proposed algorithm makes it easier to conduct DSP implement and when it is applied to practical engineering;it has the high real-time performance. At last, through the computer simulation experiment and the DSP implementation,the effectiveness and real-time performance of the algorithm are verified.
【期刊名称】《沈阳大学学报》
【年(卷),期】2016(028)006
【总页数】6页(P511-516)
【关键词】特征分解方法;Hermitian矩阵;精度;实时性
【作者】曾富红;司伟建;曲志昱
【作者单位】哈尔滨工程大学信息与通信工程学院，黑龙江哈尔滨 150001;哈尔滨工程大学信息与通信工程学院，黑龙江哈尔滨 150001;哈尔滨工程大学信息与通信工程学院，黑龙江哈尔滨 150001
【正文语种】中文
【中图分类】TN911.7
空间谱估计技术是阵列信号处理中的一个重要分支,其估计精度较高,可接近克拉美-罗界(Cramer-Rao Bound, CRB)[1].以多重信号分类(multiple signal classification, MUSIC)算法[2-5]和旋转不变子空间(estimation of signal parameters via rotational invariance techniques, ESPRIT)算法[6-8]为代表的子空间分解类算法因其精确的角度估计和超分辨性能而被广泛用于波达方向(direction of arrival, DOA)估计[9].其中,算法中所涉及到的噪声子空间或信号子空间是通过对接收数据协方差矩阵进行特征分解所得到的.在实际工程中应用此算法进行DOA估计时,一方面要考虑估计角度的精度,另一方面需要考虑算法程序的运行时间.若在算法程序中的各个模块都能保证运算的精度以及实时性,那么将很容易达到这两点.特征分解作为此类算法中至关重要的部分,对其进行研究得到精度高并且实时性好的特征分解方法将能提高算法的测向效率.
“householder变换+一般QR”特征分解方法为在文献[10]中记录的方法的基础上将其从实数域拓展到了复数域内,为先将Hermitian矩阵通过householder变换成对称三对角矩阵,然后再对其使用QR方法进行特征分解[11];“householder变换+单步QR”特征分解方法也是如此,不同之处在于使用了位移的QR算法,能够加
快收敛速度;雅克比方法为参考文献[12]将Hermitian矩阵转化为实对称矩阵,然后应用jacobi方法进行特征分解.本文所介绍的特征分解方法----二阶主子阵实数化法与jacobi方法[13]相结合的特征分解方法不仅精度高而且实时性好.本算法的主要思想是在每个迭代中,将矩阵的一个二阶主子阵用酉对角阵相似变换成二阶的实对称矩阵,然后再利用jacobi方法将此二阶实对称矩阵对角化.通过不断循环,不断选取不同的二阶主子阵,应用jacobi方法进行对角化,直到整个矩阵最终近似为对角阵[14-15].此种特征值分解方法与首先利用复Hermitian矩阵的实数部分与虚数部分构成实对称矩阵,然后应用jacobi方法对此实对称矩阵进行特征分解求取特征值与特征向量的方法不同.本特征分解算法直接对复Hermitian矩阵进行特征分解,不需要将n阶复Hermitian矩阵先转换成2n阶实对称矩阵,如此便避免了在更高阶矩阵上进行特征分解,减少了计算量,从而可以提高实时性.
1.1 核心思想
设待特征分解的复Hermitian矩阵为A.此特征值分解方法的核心思想是得到合适的酉矩阵U使得UHAU=Λ=diag(λ1,λ2,…,λn).
令A1=A,依次构造正交相似矩阵序列
其中,U(pk,qk)是平面(pk,qk)上的一个旋转矩阵.得出酉矩阵U(pk,qk)的具体推导过程如下所示.
设在Hermitian矩阵A=B+i C中,ap q=bp q+icp q≠0,(p根据反对角线上的元素作酉对角阵,有
在式(3)中,φ=angle(ap q),其中e-jφ=cosφ-jsinφ,故有
因而通过酉对角化,有
.
通过式(5)所得到的为二阶实对称矩阵.然后再将其通过jacobi旋转变换之后得到对
