例3.当x_0时，求函数y =「x(2-x)的取值范围. 解：作出函数y =-x(2 -x) = x 2 -2x 在x_0内的图象.
二次函数的最值问题
二次函数 y =ax ? +bx + c ( a HO)是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基 础•在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量
x 取任意实数时的最值情况(当a ■ 0时,
2
函数在x=-—处取得最小值4a 仝旦，无最大值；当acO 时，函数在x=-—处取得
2a
4a
2a
本节我们将在这个基础上继续学习当自变量
x 在某个范围内取值时，函数的最值问
题.同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用.
二次函数求最值(一般范围类)
例1 •当-2玉x 玄2时，求函数y = x 2 - 2x - 3的最大值和最小值. 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图， 观察图象的最高点和最低点， 由此得
到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量
x 的值.
_ -4，当
X _ -2 时，y max 二 5 •
例2.当1乞X 乞2时，求函数y = -X 2 - X
T 的最大值和最小值.
解：作出函数的图象•当x=1时，y min - -1，当x =2时，y max 一 -5 .
由上述两例可以看到， 二次函数在自变量 x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一 段.那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值.
根据二次函数对称轴的位置， 函数在所给自变量 x 的范围的图象形状各异. 下面给出- 些常见情况：
最大值
4ac -b 2 4a
无最小值.
解:
y
min
1 2
5 解：函数y x -x
的对称轴为x = 1 .画出其草图.
2
2
1 5 （1）当对称轴在所给范围左侧•即
t .1时： 当x =t 时，y min
t 2-t- 2
2
⑵ 当对称轴在所给范围之间•即
t _ 1 _ t • 1二0 _ t _ 1时：
1 2 5
当 x = 1 时，y min=2 1
一1—㊁二一3 ； ⑶ 当对称轴在所给范围右侧•即 t 1 .^= t ：. 0时：
1 2
5 1 2 当 X =t 1 时，y min (t 1)2 - (t 1) t 2 -3 .
1 2
—t — 3,t < 0 2
y - -3,0 zt ^1
32 —t —5,t>1 .2 2
在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：
二次函数求最值（经济类问题）
例1•为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定 对购买彩电的农户实行政府补贴. 规定每购买一台彩电， 政府补贴若干元，经调查某商场销 售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系•随着补 贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益 Z （元）会相应降低且Z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系.
置.
可以看出：当X =1时，y min 二-1，无最大值. 所以，当x _ 0时，函数的取值范围是 y _ -1 •
例4.当t 乞X 乞t • 1时，求函数
- x -号的最小值（其中t 为常数）.
分析：由于X 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位
综上所述:
政府补贴款额x 之间的函数关系式； （3）要使该商场销售彩电的总收益 w （元）最大，政府应将每台补贴款额 x 定为多少？
并求出总收益 w 的最大值.
分析：（1）政府未出台补贴措施前，商场销售彩电台数为 800台，每台彩电的收益为
200元；（2）禾U 用两个图像中提供的点的坐标求各自的解析式； （3）商场销售彩电的总收益
=商场销售彩电台数X 每台家电的收益，将（ 2）中的关系式代入得到二次函数，再求二次
函数的最大值.
解：（1）该商场销售家电的总收益为
800 200=160000 （元）;
（2 ）依题意可设 y =k ,x 800 , Z =k 2x 200 ,.有 400k , 800 =1200 ,
1 1 200k
2 200 =160，解得 k =1, k 2
•所以 y =x 800 , Z x 200.
5
5
r 1
、 1
（3） W = yZ = （x 800） x 200
（x-100）2 162000，政府应将每台补 I 5
丿5
贴款额x 定为100元，总收益有最大值，其最大值为
162000元.
说明：本题中有两个函数图像，在解题时要结合起来思考，不可顾此失彼
例2•凯里市某大型酒店有包房 100间，在每天晚餐营业时间， 每间包房收包房费100 元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高
20元，则减少10间包房租出，若每间包房
收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高 20元的这种方法变化下去.
（1） 设每间包房收费提高 x （元），则每间包房的收入为 y 1 （元），但会减少y 2间包房 租
出，请分别写出 y 1、y 2与x 之间的函数关系式.
（2） 为了投资少而利润大，每间包房提高 x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收 入为
y （元），请写出y 与x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获 得最大包房费收入，并说明理由•
分析：（1）提价后每间包房的收入=原每间包房收包房费 +每间包房收包房提高费，包
房减少数=每间包房收包房提高费数量的一半；
（2）酒店老板每天晚餐包房总收入=提价后
每间包房的收入X 每天包房租出的数量，得到二次函数后再求
y 取得最大值时x 的值.
1
解：（1） y 1 =100 x , y 2
x ； 2
1 1
2
（2） y =（100 • x ） "100 x ）y （x -50）
11250 ,因为提价前包房费总收入
2 2
(1)
(2)
