极限的概念说课稿

《高等数学》之
《极限的概念》
许聪聪
流程
1
说课部分
教学目标 学生情况 重点难点 教学方法
教学内容 地位作用 设计思路 2 引入
授课部分
极限思想 数列的极限
函数的极限
极限的应用
一、说课
（一）教学内容 第一章 函数与极限 第二节 极限的概念 一、 数列的极限
二、 函数的极限
一、说课
（二）教学目标
知识目标
n
否则称该数列发散．
3
二、授课
数学理论篇
注： 1.数列是整标函数 xn f ( n). 2.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴 上依次取 x1 , x 2 ,, x n ,.
例1 观察下列数列的极限： n n 1 2 3 , , , , , （ 1） ; n 1 n 1 2 3 4
数学文化篇

正6 2
n 1

边形的面积 An
R
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
2
二、授课
2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭”
——《庄子.天下篇》
数学文化篇
1 第一天截完后所剩杖的长度为 X 1 ; 2 1 第二天截完后所剩杖的长度为 X 2 2 ; 2 1 第n天截完后所剩杖的长度为 X n n ; 2 1 Xn n 0 2
数学的素质教育
一、说课
4 3 2 1 数学应用篇
数学理论篇
数学文化篇
导入新课
1
二、授课
导入新课
请思考这两句诗的意境！
2
二、授课
刘徽(约225 – 295年)
我国古代魏末晋初的杰出数学家。他撰写《 重差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面 的评注，指出并纠正了其中的错误，在数学方法 和数学理论上作出了杰出的贡献 。他的 “ 割圆 术 ” 求圆周率 的方法 ：
x 时的极限, 记作 或 f ( x ) A( x ). lim f ( x ) A x
如果在上述定义中, 限制 x只取正值或者只取负值, 即有 lim f ( x ) A 或 lim f ( x ) A, 则称常数A
x x
为函数 f ( x ) 当 x 或 x 时的极限. 注意到 x 意味着同时考虑 x 与 x ,
（4） ( 1) n 1 ；
1 所以 lim =0 收敛于1 n n
x1
1
0


1
0
1
xn (1)
n 1
所以发散 趋势不定，
3
二、授课
n (1) n1 （ 5） ; n
数学理论篇
趋势不直观，观察下面动画
n ( 1) n 1 lim 1 n n
1
发现数学美
数学史融入数学教学
了解数学
数学文化融入数学教学
2
爱上数学
3
享用数学
信息化方式引入数学教学
数学建模思想渗入数学教学
.
4
一、说课
内容梳理 极限思想
（5分钟） 数学文化篇 文化价值
（10分钟） 数列的极限 数学理论篇 科学价值
函数的极限（15分钟）
极限的应用 （10分钟）
数学应用篇
应用价值 艺术价值
理解数列极限及函数极限的概念及 思想，并判断简单函数的极限
用极限及辩证的思维模式去思考 问题、分析问题、解决问题
能力目标
素质目标
高度概括能力 抽象思维能力
一、说课
（三）重点、难点
教学重点
数列极限的概念及求法 函数极限的概念及判断
教学难点
数列极限概念的理解 函数极限概念的理解与判断
一、说课
（四）本节在本门课中的地位与作用
连 续 导 数
不 定 积 分
微 分 方 程
一元 函数
极限
定积分
灵魂
多元 函数 无穷 级数
一、说课
（五）学生情况
高中阶段接触过极限的概念
只能对最简单的数列进行判断 只能对最简单的函数进行计算 对极限思想的理解不够
学生情况
一、说课
（六）教学方法
教学内容
讲授 讨论
对比
教法
启发
问题 驱动法
一、说课
（七）设计思路
n n
arctan x不存在. 所以极限 lim x
2
3
二、授课
2. 自变量趋向有限值时函数的极限
数学理论篇
引例 讨论当 x 1 时，函数 f ( x) x 1 的变化趋势，
x2 1 以及函数 g ( x) 的变化趋势？ x 1
lim f ( x) lim( x 1) 2
x1 x1
x2 1 lim( x 1) 2 lim g ( x) lim x1 x1 x1 x 1
y f(x)=x+1
y f(x)=x+1 (1,2)
极限与有无 定义无关
x
(1,2)
Biblioteka Baidu
-1 O
1
-1 O
1
x
图１
图2
3
二、授课
数学理论篇
定义4 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某一去心领域内有 定义. 如果当 x x0 ( x x0 ) 时,函数 f ( x ) 无限接 近于常数 A, 则称常数 A 为函数 f ( x ) 当 x x0
可以得到下面的定理:
3
二、授课
f ( x ) A 的充分必要条件是 定理1 极限 lim x
x
数学理论篇
lim f ( x ) lim f ( x ) A.
x
对称美
lim arctan x, lim arctan x, 及 lim arctan x. 例 2 讨论极限 n n n y 解 lim arctan x x 2 2 lim arctan x x 2 由于 O x lim arctan x lim arctan x,
数学文化篇
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不割， 则与圆周合体而无所失矣”
它包含了 ―用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”
的重要极限思想
2
二、授课
1、割圆术：
数学文化篇
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
播放
2
二、授课
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
0
x x0
lim f ( x ) lim f ( x) A.
x x0
3
二、授课
例3. 讨论函数
是否存在？
数学理论篇
当x 1 时，极限
y
解 从右图易见，
e
2
。 。
•
1
O
显然 e 2 , 从而 故函数 f (x) 当 x 1 时极限不存在。察，但不要过分依赖图像
强调：可以借助图像去观
x1
0
2 3
4 x3 5
xn
1
n ； 所以 lim 1 n n 1 收敛于1
1 2
x 2 3 x4
4
3
二、授课
n 2 （ 2） ; 2 , 4 , 8 ,
数学理论篇
2
,2 ,
16
n
;
x4
1 3
x3
4
8
所以 lim 2
n
n
=
0
x1 x2
x3
发散
1 2
x2
1 1 1 1 （3） ;1, , , , , ; 2 3 n n xn
n 1 n 1 1 5 1 5 1 通项：Fn 2 2 5
一年后兔子共 有兔子233对
4
二、授课
与Fibonacci 数列紧密相关的一个重要极限
数学应用篇
Fn 5 1 lim 0.618 n F 2 n 1
与数列极限定义对比可得
1 的推广。 由高中知识可知，lim 0 。可看作nlim n x x y
定义 1 lim 0 此时， x x ，
O
1 注意到 lim 0 x x
x
y=A为函数 f(x) 的水平渐近线。
3
二、授课
数学理论篇
定义3: 如果当 x 的绝对值无限增大时, 函数 f ( x ) 无限接近于常数 A, 则称常数 A 为函数 f ( x ) 当
1.问题假设是建立 模型的关键；
2.注意假设的合理性。
4
二、授课
2 分析问题
仔兔
成兔
数学应用篇
目前 1
1月 1 2月 2 3月 3
4月 5
5月 8
6月 13
观察一下数列之间有什么样的关系？
4
二、授课
3 解决问题
数学应用篇
递推关系：
Fn2 Fn1 Fn
(n 0, 1, 2,).
写出数列 1，1，2，3，5，8，13，21， 34， 55， 89， 144， 233 Fibonacci数列
3
二、授课
极限 数列 无限接近 无限接近
数学理论篇
n x x 无
un A
f ( x) A
f ( x) A
量 变 到 质 变 统 一 美
函数
x
xx xx
穷
f ( x) A
x x0
0 0
点
f ( x) A f ( x) A f ( x) A
黄金分割
4 问题升华 （1）树的分枝
多年后成年兔子与 仔兔数量均以每月 61.8%速度增长
（2）证券投资的艾略特“波浪理论”
二、授课
内容小结
1. 数列极限的概念及简单计算
2. 函数极限，左、右极限概念及判定
思考与练习
f ( x) 存在, 是否一定有 lim f ( x) f ( x0 ) 1. 若极限 xlim x0 x x0 2 a x , x 1 f ( x) 存在, 则 2. 设函数 f ( x) 2 x 1, x 1 且 lim x 1
收敛于1。
播放
3
二、授课
n （ 1） ; n 1
n （ 2） 2 ;
数学理论篇
单调增加趋近于1 单调增加但无极限 单调增加趋近于0
单调数列不一定有极限
1 （ 3） ;
（4） ( 1) n 1 ；
n (1) （ 5） n
n 1

n
时的极限. 记作 lim f ( x ) A 或 f ( x ) A)( x x0 ). x x
当自变量 x 从左侧(或右侧)趋于 x0 时, 函数 f ( x ) 趋于常数 A , 则称 A 为 f ( x ) 在点 x0 处的左极限 (或右极限), 记为
0
lim f ( x ) A 或 x x
4
二、授课
1 提出问题
数学应用篇
有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生 下小兔一对，以后每月生产一对小兔。而所生小兔 亦在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以 后亦每月生产小兔一对，试问一年后共有小兔几对？ 以后每月的增长速度怎么样？
问题假设
1 假定每产一对小兔必一雌一雄； 2 均无死亡。

摆动无极限
;
摆动不一定发散
无穷发散 （2） 发 散 摆动发散 （4）
左右摆动趋近于1
单调增加收敛 （1） 收 敛 单调减少收敛 （3） 左右摆动收敛 （5）
3
二、授课 （二）函数的极限
把数列推广到一般函数
1. 自变量趋向无穷时函数的极限
数学理论篇
1 引例 考察函数 y 当 x无限增大时的变化趋势。 x 1
0
lim f ( x ) A
x x0
3
二、授课
y y
数学理论篇
f ( x)
A
A
f ( x)
x x O O x0 x x x0 注意到 x x0 意味着同时考虑 x x0 与 x x0 , 可以得到下面的定理: f ( x ) A 的充分必要条件为 定理2 极限 lim x x
a 3
.
P47 10 ; 11
课后作业
3
二、授课
（一）数列的极限
定义1 按一定次序排列的一列数
数学理论篇
这一列有序的数就叫数列. 记为x n .其中的每个数称 为数列的项, x n 称为通项(一般项).
x1 , x2 ,, xn ,
简洁美
un 无限 定义2 对于数列{un }， 如果当n无限增大时，
接近于某个确定的常数A，则称A为数列{un } 的极限， 或称数列收敛于A, 记为 lim{un } A 或 un A(n )