保角变换法

第6章保角变换-数学物理方法

保角变换法求解定解问题

保角变换

§8.7 保角变换和曲线坐标学习思路：弹性力学问题的求解有赖于边界条件的简化。对于复杂的边界形状，如果利用空间的变换，将是简化问题求解的最好途径。保角变换就是充分发挥复变函数的特长，将孔口问题映射到ξ 平面的单位圆。这一节将介绍保角变换和曲

保角变换

( )−() ()( )− ( )4/5Email:onexf@xtu.edu.cn使用教材：《材料固体力学》上册周益春编著科学出版社其中 ==|() ，( )|=() () ()

如图3-6-3，将 (3-6-28) 代入，即作变换 z2 = R1 / z1 ，得到w f (z) f (x iy) u(x, y) iv(x, y)在复平面的区域 D 内解析，

平面上的边界．我们能证明，如果 (x, y) 满足拉普拉斯方 程，则经过保角变换后得到的 (u,v ) 也满足拉普拉斯方程．有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教

§1 复变函数的定义由两个实数x，y确定的数z=x+i y称为复数。x，y分别称为复数z的实部和虚部，记作x=Re z 和y =Im z。Re和Im分别为表示复数实部和虚部的符号。其中称为虚数单位。显然z可以用直角坐标系（x，y）表示，x称

1.4.P2（一）复位势在保角变换中的变化ζ 平面具有边 界的平面势流， Cζ 的平面势流，其W (ζ ) = (ξ ,η ) + iψ (ξ ,η )可通过复变函数z =

可以证明， 可以证明，W(z)的实部和虚部均满足拉普拉氏 的实部和虚部均满足拉普拉氏 方程。 方程。1.4.P3（二）复速度在保角变换时的变化ζ 平面上的复速度dW dW dz d

的夹角 ,等于它们在映射 1下所映成的通z过原点 0的两条象曲线的,则夹分角式线性映射是保.角的83）分式线性映射在扩充复平面上具有保圆性 分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射成扩

5 -10101.2 复变函数三次函数• 定义w = z3➢ 分析u + iv = (x+iy)3 = x3 +3ix2y3xy2 -iy3u = x3 –

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1 应用原理及特点在矿场水力压裂中，如何针对有效渗透率和厚 度不等的特定储层，设计出缝长和导流能力的优化 方案， 是应考虑的首要问题之一。另外需要一种计算裂缝井产能的简易方法。应用保角变换方法研究压裂井产能，其原理及特点是：①能将 z 平面

所围成的区域变换成上半平面的带形域 问题就容易解决了．例3 两个同轴圆柱构成柱形电容器，内外半径 分别为R1、R2，电势分别为 、 。求导体内 任一点的电势。解：用保角变换法 由于

列形式的复应力函数shnζ = shnξ cos nη + ichnξ sin η chnζ = chnξ cos nη + ishnξ sin η其中 n 为整数

VVkisin0VVk21 Rcos0sin 0u4k1 RVui4kRVcos0Vsin 0u V4kRVsincos0cos sin 04kRVsin0 sin Vcos u

二、儒可夫斯基变换变换函数z c2 式中：c —— 正、实常数。1.4.P5（一）变换特点1） 平面上无穷远点和原点都变换成 z 平面上的无穷远点。2） 平面上圆心在坐标原点，半径