变式2-1
设双曲线x 2 -y 2 =1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0， b)两点，且a 2 原b 2点到直线l的距离为 c，求3 双曲线的离心率．
解析：由l过两点(a,0)、(0，b)，得l的4 方程为bx+ay-
ab=0.
由原点到l的距离为3 c，
则m=( )
A. - 1
4
B. -4
C.4
D.
1 4
4. 已知曲线 x 2 =y12和直线ax+by+1=0(a，b为非零实数)．在
同一坐标系中a，2 它b们2 的图像可能为( )
5. (教材改编题) 以椭圆
x2 169
= 11y424的焦点为顶点，x轴上顶点
为焦点的双曲线的标准方程为________.
by=22 1(a>0，b>0)
y a
=22 1bx(22a>0，b>0)
图形
-
性质 范围
对称性
________
对称轴：________ 对称中心：______
________
对称轴：______ 对称中心：______
顶点 渐近线 离心率
实虚轴
a、b、 c的关
系
顶点坐标：
A1______，A2______
顶点坐标：
A1______， A2______
______________
3. 等轴双曲线
__________等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2-y2= λ(λ 0)，离心率e=______．
答案：1. (1)①差的绝对值 ②小于
(2)F1，F2 |F1F2| 2. x≥a或x≤-a，y∈R x∈R，y≤-a或y≥a 坐标轴 原点
8.
题型二 双曲线的几何性质
【例2】 已知双曲线的方程是16x2-9y2=144.
(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且 |PF1|×|PF2|=32，求∠F1PF2的大小．
解：(1)由16x2-9y2=144，得x2 y2 ，1 ∴a=3，b=4，c=5，焦点坐标9 F116(-5,0)，F2(5,0)，离心率e=53 ， 渐近线方程为y=± 4 x.
又由C、D，知a>0，b<0，故选C.
5.
x2 25
y2 144
解1析：椭圆的焦点为F1(-5,0)，F2(5,0)，顶点A1(-13,0)
，A2(13,0)，由题意知双曲线的焦点为F1(-13,0)，F2(13,0)，顶点是
A1(-5,0)，A2(5,0)，则双曲线中a=5，c=13，所以b2=c2-a2=144
B. 10或2 C. 6+2 5 D. 6±2 5
2平 ( . 面(2内)01一1个·山动东点滨14 M州满模足拟|M)已F知1|-F|M1、FF2|2=是2椭，圆则动x42点=yM321的的轨两迹个是焦点，
A. 双曲线
1 B. 双曲线的一个分支
C. 两条射线 4 D. 一条射线
3. (教材改编题)双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，
坐标轴 原点
(-a,0) (a,0) (0，-a) (0，a)
y=± b x y=± ax (1，+∞)
a
b
2a 2b a2+b2
a2 b2
3. 实轴和虚轴 2
基础达标
1. (教材改编题)已知双曲线x2-4y2=4上一点P到双曲线的一个
焦点的距离等于6，那么P点到另一焦点的距离等于( )
A. 10
3
(2)||PF1|-|PF2||=6，
cos∠F1PF2=
|PF 1|2|PF2|2 =|F 1F2|2
2|PF 1||PF2|
= 3666441=000，
|P F 1 | |P F 2 |2 2 |P F 1 ||P F 2 | |F 1 F 2 |2 2 |P F 1 ||P F 2 |
∴∠F1PF2=90°.
____________
c=e __ac，__e_∈_________，其中 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它 的长|A1A2|=______；线段B1B2叫
做双曲线的虚轴，它的长
|B1B2|=____；a叫做双曲线的实 半轴长，b叫做双曲线的虚半轴
长
c2=________(c>a>0，c>b>0)
值．
解：因为c2=1+3=4，所以c=2, F1(-2,0)，
|MF1|=
=10.
82 62
又|PF1|-|PF2|=2a=2，
所以|PM|+|PF2|≥|MF1|-|PF1|+|PF2|=|MF1|-
(|PF1|-|PF2|)=10-2=8，当且仅当M、P、F1三
点共线时取等号，所以|PM|+|PF2|的最小值为
第六节 双曲线
基础梳理
1. 双曲线的定义 (1)平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件：
①到两个定点F1、F2的距离的________等于常数2a； ②2a______|F1F2|.
(2)上述双曲线的焦点是________，焦距是________． 2. 双曲线的标准方程和几何性质
标准方 程
x2 a2
，故所求的双曲线为
x2 y2 1 25 144
经典例题
题型一 双曲线的定义及标准方程
【例1】 已知动圆M与圆C1：(x+4)2+y2=2外切，与圆C2： (x-4)2+y2=半径为r，则由已知得|MC1|=r+2 ， |MC2|=r- 2 .
∴|MC1|-|MC2|=2 2 .又C1(-4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|=8， ∴2<|C1C2|.
根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(-4，0)，C2(4,0)为焦
点的双曲线的右支．
∵a=，c=4，∴b2=c2-a2=14，
∴点M的轨迹方程是 x2 y2 (1x≥ )． 2 2 14
变式1-1
如图，F1、F2是双曲线x2-y2/3=1的左、右焦点，M(6,6)为 双曲线内部一点，P为双曲线右支上一点，求|PM|+|PF2|的最小
答案：1. B
解析：由
x
2
-y2=1，得a=2，根据双曲线的定义知
4
||PF1|-6|=4，所以|PF1|=10或2.
2. D 解析：由已知，a2=1，b2=m1- ，且b=2a，
则 4. aC3=. A1解，析b解=：析 m1对：，于∵即ba 直=线 m=112 应2，，有∴解kb==得-2maba>.=∴0-c，14 2=.故aa2+、bb2异=5号a2，，2排e=除ac A=、5 B；.
