高考数学复习第十一章计数原理.排列和组合课件理人教A版

������!
������ 写出C������ .
������!(������-������)!
3. 常用的几个恒等式
������ ������ ������ ������ ������+1 (1) C������ + C������ +1+ C������ +2+„+ C������ +������= C������ +������+1; ������-1
2 重复数字的三位数中奇数的个数为C3 × 4=, 3, 5 中任选两个所组成的无重复数字的三位
2 数中奇数的个数为C3 × 2=6.
故满足条件的奇数的总个数为 12+6=18.
5. 2012年上海春季高考有 8 所高校招生, 如果某 3 位同学恰好被其中 2所高 校录取, 那么录取方法的种数为 . 【答案】168
0!=1 , 所以
0 C������ =1. ������ -������ ������ (4) 组合数的性质: ①C������ = C������ ������ -1 ������ ������ ; ②C������ +1=C������ + C������
.
(1 ) 要搞清组合与排列的区别与联系: 组合与顺序无关, 排列与顺序有关; 排列可以分成先选取( 组合) 后排列两个步骤进行. (2)组合数公式有两种形式: ①乘积形式; ②阶乘形式. 前者多用于数字 计算, 后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算. 注意公式的逆用. 即 由
������ 个数, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数, 用符号C������ 表示 .
������ A ������! ������ ������ ������(������-1)(������ -2)„(������-������+1) (3) 组合数公式: C������ = ������= = , 由于 A������ ������! ������!(������-������)!

(1)当 m<n 时的排列称为选排列，排列数
Amn ＝n(n－1)×…×(n－m＋1)＝
n！ n－m！.
(2)当 m＝n 时的排列称为全排列，排列数
Ann＝n(n－1)×…×3×2×1＝n！.
规定 0！＝1.
4．组合
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的
个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数．用
符号 Cmn 表示． (1)Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！·…·n－m＋1
＝m！nn！－m！.
规定：C0n＝1. (2)Cmn ＝Cnn－m；
Cmn＋1＝Cmn ＋Cnm－1.
误区警示 1．正确区分“分类”与“分步”，恰当地进行分类， 使分类后不重、不漏． 2．正确区分是组合问题还是排列问题，要把“定序” 和“有序”区分开来． 3．正确区分分堆问题和分配问题
(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好 完成任务．步与步之间要相互独立．必须并且只需连续完 成这些步骤后，这件事才算最终完成．
所以区分一种分法是分类还是分步就看这．种．分．法．中．的． 一．种．方．法．能．否．完．成．这．件．事．情．．．
二、排列、组合问题的类型及解答策略 排列、组合问题，通常都是以选择题或填空题的形式 出现在试卷上，它联系实际，生动有趣；但题型多样，解 法灵活．实践证明，备考有效的方法是将题型与解法归类， 识别模式、熟练运用．下面介绍常见排列组合问题的解答 策略． (1)相邻元素捆绑法．在解决某几个元素必须相邻问题 时，可整体考虑将相邻元素视为一个元素参与排列．
答案：A
(6)选排问题先选后排法．对于排列组合的混合应用题， 一般解法是先选(组合)后排(排列)．
[例 6] 四个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒 子 中， 则恰 有一 个空盒 的放 法共 有 ________种 (用 数字作 答)．

（2）由排列数公式，五个不同的球放进不同的4个 盒子里（每盒一个）共有 种放法.
（3）将其中的4个球投入一个盒子里共有 C45C14
=20种放法. （4）全部投入4个不同的盒子里（没有空盒）共有
C52 A 44 种不同的放法.
1.对有限制条件的排列问题，要掌握基本的解题 思想方法：
(1)有特殊元素或特殊位置的排列，通常是先排特 殊元素或特殊位置.
A
22种，又男生的排列有
A
3种，女生的排列有
3
A
44种，由分
步乘法计数原理，所有不同的排列数为
A
2 2
A
3 3
A
4 4
=288.
（6）先排男生有A
3 3
种排法，此三人中间及两端恰
有4空供女生排列，有A
4种排法，从而共有
4
A
33· A
4=144不
4
同的排列.
（7）从7人的全排列中除去男生皆相邻的情况即可，
考点二 排列问题
有3名男生，4名女生，按下述要求，分别求出其不同排列 的种数. （1）选其中5人排成一行； （2）全体排成一行，其中甲只能在中间或者两头的位置； （3）全体排成一行，其中甲、乙必须在两头； （4）全体排成一行，其中甲不在首，乙不在尾； （5）全体排成一行，其中男、女生各站在一起； （6）全体排成一行，其中男生、女生都各不相邻； （7）全体排成一行，其中男生不能排在一起； （8）全体排成一行，其中甲、乙、丙按自左至右的顺序保
1.组合:一般地,从n个不 同元素中取出m(m≤n) 个元素 合成一,叫组做从n 个不同元素中取出m个 元素的一个组合. 2.组合数：从n个不同 元素中取出m(m≤n)个 不同元素 所有不同组 合的个，数叫做从n个不同 元素中取出m个元素的 组合数.

排列的分类与计算方法
01
02
03
排列的定义
排列是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行排序。
排列的分类
根据取出的元素是否重复 ，排列可分为重复排列和 不重复排列。
排列的计算方法
排列的计算公式为 nPr=n!/(n-r)!，其中n为 总元素个数，r为要取出的 元素个数。
组合的分类与计算方法
后再合并答案。
利用对称性
在某些问题中，可以利用对称性 来简化计算，例如在计算圆周率 时可以利用对称性来减少计算量
。
学会推理和猜测
在某些问题中，需要学会推理和 猜测，尝试不同的方法和思路，
以寻找正确的答案。
解题注意事项与易错点
注意细节
在解题过程中要注意细节，例如元素的重复、遗漏等问题，避免 出现错误。
组合的定义
组合是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行组合，不考虑排序。
组合的分类
根据取出的元素是否重复 ，组合可分为重复组合和 不重复组合。
组合的计算方法
组合的计算公式为 nCr=n!/(r!(n-r)!)，其中n 为总元素个数，r为要取出 的元素个数。
排列组合的复杂应用
排列与组合的应用
另一个应用是解决组合问题，例如，在从n个不同元素中 选出m个元素的所有组合的问题中，可以使用排列组合的 方法来解决。
排列组合在物理中的应用
排列组合在物理中也有着广泛的应用，其中最常见的是在量子力学和统计物理中 。例如，在量子力学中，波函数的对称性和反对称性可以通过排列组合来描述。
在统计物理中，分子和原子的分布和运动可以通过排列组合来描述。例如，在理 想气体中，分子的分布和运动可以通过组合数学的方法来描述。

解析： ∵C06＋C16＋C26＋C36＋C46＋C56＋C66＝26＝64， ∴C16＋C26＋C36＋C46＋C56＝64－2＝62. 答案： 62
• 7．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学 校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
• 1．书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学 书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有( )
• A．22种 B．350种
• C．32种 D．20种
• 解析： 由分类加法计数原理得，不同的选法有10＋7＋5＝22 种．
• 答案： A
• 2．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的 坐法种数为( )
两通项相乘得：C6r x3r Ck10x－4k＝C6r C1k0x3r －4k，
令
r 3
－
k 4
＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：
(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．
故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.
答案： 4 246
6．C16＋C26＋C36＋C46＋C56的值为________．
• A．3×3! B．3×(3！)3
• C．(3！)4 D．9!
• 解析： 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有 (3！)4种．
• 答案： C
• 3．(2013·山东卷)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的 三位数的个数为( )
• A．243 B．252
• C．261 D．279
• 解析： 能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无 重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三 位数的个数是900－648＝252.

人教A版数学（理科）一轮
2020版高考 全册精品 PPT课件
第1章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第2章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示 第二节 函数的单调性与最值 第三节 函数的奇偶性与周期性 第四节 二次函数与幂函数 第五节 指数与指数函数 第六节 对数与对数函数 第七节 函数的图象
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
23 答案
2 ． ( 教 材 改 编 ) 若 集 合 A ＝ D [由题意知 A＝{0,1,2}，由 a＝ {x∈N|x≤2 2}，a＝ 2，则下列结 2，知 a∉A.] 论正确的是( ) A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A
解2析4 答案
22
[基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( ) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( ) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则 x＝0,1.( ) (4)直线 y＝x＋3 与 y＝－2x＋6 的交点组成的集合是{1,4}．( )
第8章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 第二节 两条直线的位置关系 第三节 圆的方程 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 第五节 椭 圆
第1课时 椭圆的定义、标准方程及其性质 第2课时 直线与椭圆的位置关系
第六节 双曲线 第七节 抛物线 第八节 曲线与方程 第九节 圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题 高考大题增分课(五) 平面解析几何中的高考热点问题
第9章 算法初步、统计与统计案例 第一节 算法与程序框图 第二节 随机抽样 第三节 用样本估计总体 第四节 变量间的相关关系与统计案例

课时作业
[自主梳理] 1．排列的有关概念 (1)定义：一般地，从 n 个 不同 元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的顺序 排成一列，叫作从 n 个 不同 元素中取出 m 个元素的一个排列． (2)相同排列：两个排列相同，当且仅当两个排列的元素 完全相同 ，且元素的 排列顺序 也相同．
2．排列数与排列数公式
后面，则他可选的密码个数共有( )
A．A66
B．A68
C．A35＋A33
D．A35·A33
解析：分两步．第一步选 3 个数字安排在后三位，有 A35种方法，第二步把 3 个字母
安排在前三位，有 A33种方法，故共有 A35·A33个密码．
答案：D
探究三 “在”与“不在”的问题 [典例 3] 7 位同学站成一排． (1)若甲站在中间的位置，则共有多少种不同的排法？ (2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (3)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ (4)甲不能站排头、乙不能站排尾的排法共有多少种？ [解析] (1)先考虑甲站在中间，有 1 种排法，再在余下的 6 个位置排另外 6 位同学， 共 A66＝720 种排法． (2)先考虑甲、乙站在两端，有 A22种排法，再在余下的 5 个位置排另外 5 位同学，有 A55种排法，共 A22A55＝240 种排法．
1.2 排列与组合 1.2.1 排 列重点：排列的概念；排列数公
2.了解排列数的概念．
式；用排列知识解决简单的实
3.掌握排列数公式的推导方法．
际问题．
4.能用排列知识解决简单的实际问题. 难点：排列数公式的推导方法.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要 表现在某元素不排在某个位子上或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法 主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子．

跟踪训练1 (1)(2023·武汉模拟)源于探索外太空的渴望，航天事业在 21世纪获得了长足的发展.太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件， 宇航员常常在太空旅行中进行科学实验.在某次太空旅行中，宇航员们负 责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也 不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有
(1)0！＝ 1 ；Ann＝__n_！__. 性质 (2)Cmn ＝Cnn－m；Cmn＋1＝_C_mn_＋__C__mn _－_1
常用结论
1.排列数、组合数常用公式 (1)Amn ＝(n－m＋1)Amn －1. (2)Amn ＝nAmn－－11. (3)(n＋1)！－n！＝n·n！. (4)kCkn＝nCkn－－11. (5)Cmn ＋Cmn－1＋…＋Cmm＋1＋Cmm＝Cmn＋＋11.
教材改编题
3.将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至 少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有__3_6__种.
第一步，先从 4 名学生中任取两人组成一组，与剩下 2 人分成三组， 有 C24＝6(种)不同的方法；第二步，将分成的三组安排到甲、乙、丙三 地，则有 A33＝6(种)不同的方法.故共有 6×6＝36(种)不同的安排方案.
常用结论
2.解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排. (2)合理分类与准确分步. (3)排列、组合混合问题要先选后排. (4)相邻问题捆绑处理. (5)不相邻问题插空处理. (6)定序问题倍缩法处理.
常用结论
(7)分排问题直排处理. (8)“小集团”排列问题先整体后局部. (9)构造模型. (10)正难则反，等价转化.
方法一 从特殊位置入手(直接法) 分三步完成，第一步先填个位，有 A13种填法，第二步再填十万位，有 A14种填法，第三步填其他位，有 A44种填法，故无重复数字的六位奇数 共有 A13A14A44＝288(个).

解答
类型二 排列的列举问题 例2 (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可 以组成多少个？ 解 由题意作“树状图”，如下.
故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个.
解答
(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列. 解 由题意作“树状图”，如下.
跟踪训练2 写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的 所有可能站法. 解 由题意作“树状图”，如下，
故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB， CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.
解答
类型三 排列数公式及应用 例3 (1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且，n<55)； 解 因为55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－ (55－n)＋1＝15(个)元素， 所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝A1659－n.
们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题
A.1
B.3
C.2√ D.4
解析 因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，
结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位
置有关，故是排列问题.
12345
解析 答案
2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为 A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B.甲乙，丙乙、丙甲
B.[2,6] C.(7,12)
D√.{8}
解析 由 Ax8<6Ax8－2，得8－8！x！<6×108－！x！，
化简得x2－19x＋84<0，

3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ基础知识 4.基本方法 5.基本能力 6.基本应用
3.(多选题)(离散型随机变量的概念)下列随机变量 X 是离散型随机变量的是( ) A．某市每天查到违章驾车的车辆数 X B．某网站中的歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数 X C．一天内的温度 X D．射手对目标进行射击，击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分，用 X 表示该射手在 一次射击中的得分 【解析】选 ABD.因为 A，B，D 的结果均可以一一列出，而 C 不能一一列出．
第六节 离散型随机变量及其
分布列、均值与方差
第十一章
计数原理、概率、随机变量及其分布
知识梳理·思维激活 考点探究·悟法培优
【考试要求】 1．了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及数字特点 2．掌握离散型随机变量的分布列 3．掌握离散型随机变量的均值与方差 【高考考情】 考点考法：离散型随机变量的分布列、均值及方差是高考考查重点，一般以 实际问题为命题载体，考查分布列、均值与方差在决策问题中的应用．试题 以选择题、填空题、解答题形式呈现，难度中档． 核心素养：数据分析、数学运算、逻辑推理
x＋0.1＋0.3＋y＝1， 【解析】选 D.由
7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝8.9，
解得 y＝0.4.
6．(离散型随机变量的方差)有甲、乙两种品牌的手表，它们的日误差分别为 X，Y(单 位：s)，其分布列如下：
X －1 0 1 P 0.1 0.8 0.1
Y －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 则两种品牌中质量好的是__________． 【解析】E(X)＝E(Y)＝0，D(X)＝0.2，D(Y)＝1.2. 因为 E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，所以甲品牌质量好． 答案：甲

各个步骤之间不重复、不遗漏.
2.排列与组合的概念
名称
排列
组合
定义
一定的顺序
按照__________排成一列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
作为一组
微点拨定义中规定m≤n,如果m<n,则这样的排列只是取一部分元素作排列,
叫做选排列;如果m=n,则这样的排列是取出所有元素作排列,叫做全排列.
微思考排列问题与组合问题的区别是什么?
解析 (方法 1 直接法)甲在 6 种课外读物中任选 2 种,有C62 种选法,乙在甲选
的 2 种课外读物中挑一种有C21 种选法,乙在甲选 2 种课外读物后剩下的 4 种
中选一种有C41 种选法,则这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法共有
C62
·C21
·C41
=
6×5
×2×4=120
种.
2×1
第13题
第13题
第19题 第21题 第12题
优化 备考策略
1.概率与统计在高考命题中常整体统筹,本章在高考中至少命制一道客观
题,对于解答题,要么倾向于考查概率和分布列,要么侧重成对数据的统计
分析.有时也把二者综合命题.
2.从考查内容上看,选择、填空题中主要考查排列组合、古典概型、条件
概率、正态分布等.解答题常以现实生产、生活、科技等真实情境为背景,

.


A
-1
有 种方法.
自主诊断
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)
1.在分类加法计数原理中,每类方案中的每种方法都能直接完成这件事.
( √ )
2.所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( × )

2021/4/17
机变量及其分布112排列组合与二项式定理课件新人教B
10
【常用结论】 1.(a+b)n的展开式的三个重要特征 (1)项数：项数为n+1. (2)各项次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数和为n. (3)顺序：字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0；字母b按 升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项增1直到n.
2021/4/17
机变量及其分布112排列组合与二项式定理课件新人教B
2
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随
2021/4/17
机变量及其分布112排列组合与二项式定理课件新人教B
3
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随
2021/4/17
机变量及其分布112排列组合与二项式定理课件新人教B
23
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油。
(4) kCkn＝nCkn－ 11 . (
)
(5) C
r an-rbr是(a+b)n的展开式中的第r项.
n
(
)
(6)二项展开式中某项的系数与该项的二项式系数一定相同. ( )
新课改地区高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随
2021/4/17
机变量及其分布112排列组合与二项式定理课件新人教B
13
提示:(1)√.
【解析】选C. (x 1 )12 的展开式的第4项
3x
T4=
C

(2)方法 1：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人， 有 A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有 A22种站法，根椐分 步计数原理，共有 A55·A22＝240 种站法．
方法 2：先把甲、乙以外的 4 个人作全排列，有 A44种站法， 再在 5 个空档中选出一个供甲、乙放入，有 A15种站法，最后 让甲、乙全排列，有 A22种方法，共有 A44·A15·A22＝240 种．
三 几何型排列组合问题
【例 3】已知平面 a∥β 在 a 内有 4 个点，在 β 内有 6 个点． (1)过这 10 个点中的 3 点作一平面，最多可作多少个
不同平面？ (2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？ (3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？
【解析】 (1)所作出的平面有三类： ①α 内 1 点，β 内 2 点确定的平面，有 C14·C26个； ②α 内 2 点，β 内 1 点确定平面，有 C24·C16个； ③α，β 本身，共 2 个． 所以所作的平面最多有 C14·C26＋C24·C16＋2＝98(个)．
(2)要使六位数为奇数，其个位数字必须是 1 或 3 或 5，所 以所求六位奇数的个数是 A13A14A44＝288.
(3)要使六位数能被 5 整除，个位数字必须是 0 或 5，当个 位数字是 0 时，有 A55个；当个位数字是 5 时，有 4A44个，因 此，能被 5 整除的六位数的个数是 A55＋4A44＝216.
相邻问题捆绑法；
不相邻问题插空法；
多排问题单排法； 定序问题倍缩法； 定位问题优先法； 有序分配问题分步法； 多元问题分类法； 交叉问题集合法； 至少(或至多)问题间接法； 选排问题先取后排法； 局部与整体问题排除法； 复杂问题转化法.
3.解答组合应用题的总体思路 (1)⑥ 整体分类 .从集合的意义讲,分类要 做到各类的并集等于全集,以保证分类的不 遗漏，任何两类的交集等于空集，以保证分 类的不重复,计算结果是使用分类计数原理. (2)⑦ 局部分步 .整体分类以后,对每一类 进行局部分步,分步要做到步骤连续,以保证 分步的不遗漏.同时步骤要独立,以保证分步 的不重复.计算结果时用分步计数原理.

20
解析 1由排列的概念可知，排成三排可转化为排成
一排后，前二人站第一排，中间三人站第二排，最后二 人站第三排，故共有A 7 5040种排法． 7
2 先满足甲的要求，在一排中间五个位置中选一个位置
站甲，有A1 种，然后让其余的人站剩下的位置，有A 6 种， 5 6 故共有A1 A 6 =3600种排法． 5 6 3 先将女生排好，共有A 4 种，然后在女生之间(不含首末 4 位置)的三个位置插入男生，共有A 3 种，故共有A 4 A 3 144 3 4 3 种排法．
4 都是女同学的有C5 5种方法，因此符合要求
的选派方法有126 1 5 120种．
19
题型二
简单排列应用问题
例2
现有3名男生，名女生，分别求符合下列各条 4
件下的不同排列方法总数．
1 排成前后三排：前排2人，中排3人，后排2人； 2 全体排成一排：甲不站排头也不站排尾； 3 全体排成一排：男女相间．
24
3 方法1：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A 4 种， 4
然后将甲、乙按条件插入站队，有3A 2 种，故共有 2 A 4 3A 2 144种站法． 4 2 方法2：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、 乙之间的两个位置上，有A 2 种，然后把甲、乙及中 4 间2人看作一个 大元素 与余下 人作全排列有 A 2 A 3 A 2 144种站法． 4 3 2
3 3
种方
法，最后对甲、乙进行排列，有A 2 种方法，故共有 2
25
题型三
计数原理及应用
例3 1 (2010湖南卷)在某种信息传输过程中，用4
个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同 排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 ( )

组合数性质：
C
m n
C nm n
C
m n
C
m n
1
Cm n1
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 位题主置最,排先然需分常,排后以先析用末排免安法也位首不排和是共位合特元最有共要殊素基_有求元_分本_的_素_析的_元,法方再素C是法处占31C解,理了若41 决其这以排它两元列元个素组素位分合.置析若问为以
三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个
独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有 A55 种，第二步将4舞蹈插入第一步排
好的6个元素中间包含首尾两个空位共有
种 A64不同的方法 由分步计数原理,节目的 不同顺序共有A55 A64 种
一般地,元素分成多排的排列问题, 可归结前排为一排考虑后,再排分段研究.
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内, 每盒至少装一个球,共有多少不同的装 法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共
有C__52种方法.再把5个元素(包含一个复合
元素)装入4个不同的盒内有_A__44__种方法.
本题还有如下分类标准： *以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素 的性质进行分类，按事件发生的连续过程分 步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不 漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。

abd bad dab adb bda dba 排列
acd
acd cad dac adc cda dca
bcd
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
观察上图，也可以这样理解求“从4个元素中取出3个
元素的排列数 ”:

第1步 , 从4个元素中取出3个元素作为一组 , 共有 种
不同的取法；
第1步 , 从n个元素中取出m个元素作为一组 , 共有

种不同的取法；

第2步, 将取出的m个元素做全排列, 共有 种不同的取法.
m
m
m
于是，根据分布乘法计数原理有 An = C n Am
m
An
m
n
(
n
1)(
n
2)

(
n
m
+
1)
因此， C n = m =
Am
m!
n( n - 1)( n - 2) ( n - m + 1)
和下午而得到的. 同样, 先选出甲、丙或乙、丙, 再分配上午
和下午也各有2种方法.
而从甲、乙、丙3名同选2名去参加一项活动，就只需
考虑选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序.
于是，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同学
作为一组的选法就只有如下3种情况：甲乙、甲丙、乙丙.
将具体背景舍去，问题1可以概括为：
格品中抽出2件合格品的抽法有 种，因此抽出的3件中恰
好有1件次品的抽法有 (种).
98 97
C C = 2
= 9506；
2！
1
2
2
98
例7 在100件产品中, 有98件合格品 , 2件次品 . 从这100

变式训练3 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共 有多少种不同的分配方式？
(1)分成1本、2本、3本三组； (2)分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人 3本； (3)分成每组都是2本的三组； (4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．
第三十八页，共45页。
解析：(1)分三步：先选一本有C
1 4
＋C
3 4
＋A
2 4
＝
20(种)．
方法二：“每个盒子都不空”的含义是“每个盒子中至
少有一个小球”，若用“挡板法”，可易得C36＝20.
第三十五页，共45页。
(2)可看做将6个相同小球放入三个不同盒子中，每盒非
空有多少种放法．转化为6个0,2个1的排列，要求1不排在两
端且不相邻，共有C
2 5
＝10种排法，因此方程x＋y＋z＝6有10
解析：重合的有x＋2y＝0与2x＋4y＝0；2x＋y＝0与4x＋ 2y＝0，∴有A25－2＝18(条)．
答案：C
第十二页，共45页。
2．某校开设10门课程供学生选修，其中A、B、C三门 由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修 三门，则每位同学不同的选修方案种数是( )
A．120 B．98 C．63 D．56
(2)甲、乙两人从 4 门课程中各选两门不同的选法种数为 C24C24，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为 C24种， 因此满足条件的不同选法种数为 C24C24－C24＝30(种).
第三十二页，共45页。
考点三 排列、组合的综合应用
[例3] (1)7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中， 试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？
123
312
A.6种

考纲 要求
1．理解排列与组合的概念． 2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式 ． 3．能利用排列与组合解决一些简单的实际问题．
热点 提示
1．排列、组合问题每年必考，以选择、填空题的 形式考查，或在解答题中和概率相结合进行考查． 2．以实际问题为背景，以考查排列数、组合数为 主，同时考查分类讨论的思想及解决实际问题的能 力．
排列与排列数
组合与组合数 1.组合：从n个不同元素中取 出m(m≤n)个元素 合成一组 ， 叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 2.组合数：从n个不同元素中 取出m(m≤n)个元素的 所有 不同组合的个数 ，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的 组合数．
1.排列：从n个不同元素中取 按照一定的 出m(m≤n)个元素， 顺序排成一列，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个排 列． 定义 2.排列数：从n个不同元素中 取出m(m≤n)个元素的 所有 不同排列的个数 ，叫做从n个 不同元素中取出m个元素的排 列数.
数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有
( A．9个 C．36个 B．24个 D．54个 ＝9种方法， )
解析：选出符合题意的三个数有
每三个数可排成
＝6个三位数，
∴共有9×6＝54个符合题意的三位数． 答案：D
2．停车场每排恰有10个停车位．当有7辆不同型号的 车已停放在同一排后，恰有 3 个空车位连在一起的排法有
6 A1 种，其余 6 人全排列，有 A 3 6种．由分步乘法计数原理得符 6 合条件的排法共有 A1 A 3 6＝2160 种．
(2)位置分析法(特殊位置优先安排)．先排最左边，除去
6 甲外，有 A1 种，余下的 6 个位置全排列有 A 6 6种，但应剔除乙 5 1 6 1 5 在最右边的排法数 A1 A ，则符合条件的排法共有 A A － A 5 5 6 6 5A5