第一轮复习教案：第4课时_二次根式

第____周星期___第___节本学期学案累计: 课时上课时间:______ 签名：____我们的追求:让每位同学都得到发展我们的约定:我的课堂,我作主!课时4．二次根式【课前预测】1.（07福州）当{ EMBED Equation.DSMT4 |x___________时，二次根式在实数范围内有意义．2.（07上海）计算：__________．3.（06长春）计算：= _____________.4．下面与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．5.（08荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）A. B. C. D.【考点呈现】1．二次根式的有关概念⑴式子叫做二次根式．注意被开方数只能是．并且根式.⑵简二次根式被开方数所含因数是，因式是，不含能的二次根式，叫做最简二次根式．(3) 同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数几个二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质⑴ 0；⑵（≥0）⑶；⑶（）；⑷（）.3．二次根式的运算(1) 二次根式的加减：①先把各个二次根式化成；②再把分别合并，合并时，仅合并，不变.【考题例析】例1 （08芜湖）估计132202⨯+的运算结果应在（）A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间例2 计算：⑴（ 07台州）；【考题训练】1．（06南昌）计算： ．2.（06南通）式子有意义的x 取值范围是________．3.（06海淀）下列根式中能与合并的二次根式为（ ）A ．B ．C ．D ．4．（08大连）若，则xy 的值为 ( )A ．a 2B ．b 2C ．b a +D ．b a -5．在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是 ．6．（1）（06无锡）计算：º；（2）（08宜宾）计算：.﹡7．（08广州）如图，实数、在数轴上的位置，化简 .。

中考专题复习《二次根式》复习课教学设计一、教材分析《二次根式》是数学北师大版八年级上册第二章的内容。

本章内容是《数学课程标准》中“数与代数”领域的重要内容，也是中考的必考内容。

它与“实数”、“整式”、“勾股定理”紧密联系，同时也是学习“解直角三角形”、“一元二次方程”、“二次函数”等内容的重要基础。

本章通过对二次根式的概念、性质和运算法则、运算规律等的探究，发展学生的思维能力，有效改变学生的学习方式，使学生掌握认识事物的一般规律。

本章内容不论在知识、数学思考方法上，还是在对学生的能力培养上都是非常重要的。

二、学情分析由于新课内容结束离综合性复习时间较长，大多数学生对本章的知识都有遗忘，因此需要一个回顾、理解、归纳、巩固的过程。

同时，随着学生知识面的拓展以及一些章节中对二次根式的应用，学生对这一章的内容也有了更多的认识。

在复习时，应该说学生还是容易接受的。

另外，本章内容与整式、勾股定理联系紧密，因此在复习本章的同时，还要注意强调知识之间相互联系。

三、复习目标1．知识与技能目标（1）理解二次根式的概念和意义，并熟练掌握二次根式的性质和运算法则。

（2）会用二次根式的意义和性质进行化简和运算、求字母的取值范围。

（3）会运用二次根式的性质及运算，解决简单的实际数学问题。

2、过程与方法目标（1）经历梳理本章考点，形成知识体系，培养学生归纳和概括能力。

（2）经历应用性质解决问题的过程，发展运算能力，体验数学的严谨性。

（3）经历本章的复习过程，渗透转化、分类讨论和类比等数学思想方法。

3、情感与态度目标（1）通过中考试题再现，吸引学生注意力，激发学生学习兴趣，增加学生学习的信心，为完成本复习课打下良好的基础。

（3）通过本章的复习过程，进一步让学生体会数学知识（二次根式）来源于实际又反过来应用于实际的辩证唯物主义思想。

四、教学重点、难点教学重点：运用二次根式的意义和性质进行求取值范围、化简和运算；梳理整章知识，形成二次根式知识体系。

第4课时 二次根式【课标要求】了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化)。

【知识要点】1.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含 ；⑵被开方数中不含 ； ⑶分母中不含 。

2.同类二次根式：二次根式化成 后，若被开方数 ，则这几个二次根式就是同类二次根式。

3.二次根式的性质： （1）a a =2（0≥a ）， ()a a =2（0≥a ）（2）（3）ab =b a ∙（a ≥0,b ≥0）；（4）()0,0>≥=b a ba ba4.二次根式的运算：【典型例题】【例1】（07，福州）当x ___________时，二次根式【例2】（08，荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ） A.【例3】（06合并的二次根式为（ ） A.【例4】（08，广州）如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简：【例5】计算÷a （a ＞0）==a a 2 a -（a ＜0）0 （a =0）；【课堂检测】▲1.（07，上海）计算：2=_________ _．▲2.化简：（1= ．（2）3＋（5－3）＝________ _.▲3.（08，黄冈）化简=__ ____。

▲4．（08，中山）下列根式中不是最简二次根式的是（ ）A.▲5. 若无理数a 满足不等式14<<a ，请写出两个符合条件的无理数__________ ___. ▲6.）A.1-▲7.（08，重庆）计算28-的结果是（ ）A.6B.6C.2D.2 ▲8．（08，聊城）下列计算正确的是（ ） A．=B．=C．3=D3=-▲9.函数1y x =-的自变量x 的取值范围为 。

▲10.(08，益阳) 一个正方体的水晶砖，体积为100cm 3，它的棱长大约在A. 4cm~5cm 之间B. 5cm~6cm 之间C. 6cm~7cm 之间D. 7cm~8cm 之间▲11.（08，芜湖）估计算结果应在（ ）A ．6到7之间B ．7到8之间C ．8到9之间D ．9到10之间 ▲12.（08，大连）若b a y b a x +=-=,，则xy 的值为 ( )A.a 2B.b 2C.b a +D.b a - ▲13.若2-a ＋3-b ＝0，则=-b a 2 。

二次根式复习教案教案标题：二次根式复习教案一、教学目标：1. 知识目标：复习二次根式的定义、性质和运算规律。

2. 能力目标：培养学生对二次根式的理解和运用能力，提高解决实际问题的能力。

3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学思维和创新意识。

二、教学重点和难点：1. 重点：二次根式的定义和性质，二次根式的加减乘除运算。

2. 难点：二次根式的运算规律和实际问题的应用。

三、教学内容和安排：1. 复习二次根式的定义和性质：引导学生回顾二次根式的定义，以及二次根式的性质，如同底数、同指数的二次根式可以合并为一个二次根式等。

2. 二次根式的加减运算：通过例题讲解，引导学生掌握二次根式的加减运算规律，特别是要注意化简和合并同类项。

3. 二次根式的乘除运算：通过例题讲解，引导学生掌握二次根式的乘除运算规律，特别是要注意分子分母的有理化和化简。

4. 实际问题的应用：通过实际问题的讨论和解答，引导学生将二次根式的知识应用到实际生活中，培养学生的问题解决能力。

四、教学方法和手段：1. 讲授法：通过讲解和示范，引导学生理解和掌握二次根式的定义、性质和运算规律。

2. 练习法：设计一定数量和难度的练习题，让学生巩固和应用所学知识。

3. 实践法：引导学生通过实际问题的讨论和解答，将二次根式的知识应用到实际生活中。

五、教学评价和反馈：1. 课堂练习：布置一定数量和难度的练习题，让学生在课后进行练习，及时发现和纠正错误。

2. 课堂表现：通过课堂讨论和练习的表现，及时评价和反馈学生的学习情况，鼓励优秀，帮助落后。

六、教学资源准备：1. 教学课件：准备相关的教学课件，包括二次根式的定义、性质和运算规律的示意图和例题。

2. 教学工具：准备黑板、彩色粉笔、教学实物等教学工具。

七、教学反思和改进：1. 教师要及时总结课堂教学的得失，反思教学方法和手段的有效性，不断改进教学内容和安排，提高教学质量。

2. 学生的学习情况要及时反馈给家长，与家长密切合作，共同关注学生的学习进步。

二次根式【考点梳理】： 1.二次根式：(1)定义: 一般地，形如√a 的代数式叫做二次根式. 2．二次根式的化简：3．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式． （2）根号内不含分母 （3）分母上没有根号4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 5．二次根式的乘法、除法公式：（1a 0b 0≥≥，）（2a 0b 0≥，）6．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式．【思想方法】 非负性的应用【考点一】：二次根式有意义的条件【例题赏析】（2015•浙江滨州,第4题3分）如果式子有意义，那么x 的取值范围在数轴上表示出来，正确的是( ) A. B. C. D.【答案】C【解析】：先根据二次根式的意义，其有意义的条件是被开方数大于等于02x +6≥0，可解不等式得x ≥－3，因此可在数轴上表示为C . 故选C考点：二次根式的意义，不等式的解集【考点二】：二次根式的性质【例题赏析】（2015•四川资阳,第14题3分）已知：()260a +=，则224b b a--的值为_________．考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．.分析：首先根据非负数的性质可求出a 的值，和2b 2﹣2b=6，进而可求出2b 2﹣4b ﹣a 的值． 解答：解：∵（a+6）2+=0，∴a+6=0，b 2﹣2b ﹣3=0， 解得，a=﹣6，b 2﹣2b=3， 可得2b 2﹣2b=6，则2b 2﹣4b ﹣a=6﹣（﹣6）=12， 故答案为12．【考点三】：二次根式的运算 【例题赏析】（1）（2015•安徽省,第2题，4分）计算8×2的结果是（ ） A ．10 B ．4 C ． 6 D ．2 考点：二次根式的乘除法．.分析：直接利用二次根式的乘法运算法则求出即可． 解答：解：×==4．故选：B ．点评：此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键． （2）（2015•山东聊城,第14题3分）计算：（+）2﹣= 5 ．考点：二次根式的混合运算分析：先利用完全平方公式计算，再把二次根式化为最简二次根式，合并同类项进行计算解答：原式=2+2+3﹣2=5．故答案为：5．点评：本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，掌握运算顺序，先运用完全平方公式，再将二次根式化为最简二次根式的形式后再运算是解答此题的关键．（2）（2015·湖北省孝感市，第9题3分）已知32-=x ，则代数式3)32()347(2++++x x 的值是A ．0B ．3C ．32+D ．32-考点：二次根式的化简求值．.分析：未知数的值已给出，利用代入法即可求出． 解答：解：把x=2﹣代入代数式（7+4）x 2+（2+）x+得：=（7+4）（7﹣4）+4﹣3+=49﹣48+1+=2+．故选C ．点评：此题考查二次根式的化简求值，关键是代入后利用平方差公式进行计算．【考点四】：二次根式的化简求值 【例题赏析】（1）（2015•毕节市）（第16题）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则﹣|a ﹣b|=﹣b ．考点： 实数与数轴；二次根式的性质与化简．.分析：首先根据数轴即可确定a，b的符号，然后根据算术平方根的定义、绝对值的性质即可化简．解答：解：根据数轴可得：b＞0，a＜0，且|a|＞|b|，∴a﹣b＜0，则﹣|a﹣b|=﹣a﹣（b﹣a）=﹣a﹣b+a=﹣b，故答案为：﹣b．点评：本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是根据数轴即可确定a，b的符号．（2）(2015年陕西省,16,5分)计算：×（﹣）+|﹣2|+（12）﹣3．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式=﹣+2+8，然后化简后合并即可．解答：原式=﹣+2+8=﹣3+2+8=8﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂、【真题专练】1.（2015•绵阳第6题，3分）要使代数式有意义，则x的（）A．最大值是23B．最小值是23C．最大值是32D．最小值是32．点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键2.（2015•四川省内江市，第5题，3分）函数y=+中自变量x的取值范围是（）3.（2015·湖南省益阳市，第8题5分）计算：= ．4．（2015•山东日照，第13题3分））若=3﹣x，则x的取值范围是．5.（2015•黔南州）（第8题）函数y=+的自变量x的取值范围是（） A．x≤3 B．x≠4 C．x≥3且x≠4 D．x≤3或x≠46.（2015•聊城）计算：（+）2﹣= ．7.（2015•四川巴中,第13题3分）若a、b、c为三角形的三边，且a、b 满足+（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围是．8.（2015•衡阳, 第15题3分）计算：﹣= ．9.（2015•四川攀枝花第13题4分）若y=++2，则x y= ．10.（2015•黄石第18题7分）先化简，再求值：÷（﹣1），其中x=2﹣．11.（2014•湖北荆门,第18题4分）（1）计算：×﹣4××（1﹣）0；（2）（2014•湖北荆门,第8题4分）先化简，再求值：（+）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．【真题演练参考答案】1.（2015•绵阳第6题，3分）要使代数式有意义，则x的（）A．最大值是23B．最小值是23C．最大值是32D．最小值是32考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．解答：∵代数式有意义，∴2﹣3x≥0，解得x≤23．故选：A．点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键2.（2015•四川省内江市，第5题，3分）函数y=+中自变量x的取值范围是（）A．x≤2 B．x≤2且x≠1 C．x＜2且x≠1 D．x≠1考点：函数自变量的取值范围．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．解答：根据二次根式有意义，分式有意义得：2﹣x≥0且x﹣1≠0，解得：x≤2且x≠1．故选：B．点评：本题考查函数自变量的取值范围，涉及的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3.（2015·湖南省益阳市，第8题5分）计算：= ．考点：二次根式的乘除法．专题：计算题．分析：原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．解答：原式===4．故答案为：4点评：此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（2015•山东日照，第13题3分））若=3﹣x，则x的取值范围是x≤3．考点：二次根式的性质与化简．.分析：根据二次根式的性质得出3﹣x≥0，求出即可．解答：∵=3﹣x，∴3﹣x≥0，解得：x≤3，故答案为：x≤3．点评：本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0时，=a，当a＜0时，=﹣a．5.（2015•黔南州）（第8题）函数y=+的自变量x的取值范围是（）A．x≤3 B．x≠4 C．x≥3且x≠4 D．x≤3或x≠4考点：函数自变量的取值范围．分析：首先根据当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零，可得3﹣x≥0；然后根据自变量取值要使分母不为零，可得x﹣4≠0，据此求出函数y=+的自变量x的取值范围即可．解答：解：要使函数y=+有意义，则所以x≤3，即函数y=+的自变量x的取值范围是：x≤3．故选：A．点评：此题主要考查了自变量的取值范围，解答此题的关键是要明确：（1）当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．（2）当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．（3）当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．（4）对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．6.（2015•聊城）计算：（+）2﹣= ．考点：二次根式的混合运算．分析：先利用完全平方公式计算，再把二次根式化为最简二次根式，合并同类项进行计算解答：原式=2+2+3﹣2=5．故答案为：5．点评：本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，掌握运算顺序，先运用完全平方公式，再将二次根式化为最简二次根式的形式后再运算是解答此题的关键．7.（2015•四川巴中,第13题3分）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足+（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围是．考点：三角形三边关系；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．分析：根据非负数的性质列式求出a、b，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边只差小于第三边求解即可．解答：由题意得，a2﹣9=0，b﹣2=0，解得a=3，b=2，∵3﹣2=1，3+2=5，∴1＜c＜5．故答案为：1＜c＜5．点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0；三角形的三边关系．8.（2015•衡阳, 第15题3分）计算：﹣= ．考点：二次根式的加减法．分析：运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．解答：解：原式=2﹣=．故答案为：．点评：合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．9.（2015•四川攀枝花第13题4分）若y=++2，则x y= ．考点：二次根式有意义的条件．.专题：计算题．分析：根据二次根式有意义的条件得出x﹣3≥0，3﹣x≥0，求出x，代入求出y即可．解答：解：y=有意义，必须x﹣3≥0，3﹣x≥0，解得：x=3，代入得：y=0+0+2=2，∴x y=32=9．故答案为：9．点评：本题主要考查对二次根式有意义的条件的理解和掌握，能求出x y的值是解此题的关键．10.（2015•黄石第18题7分）先化简，再求值：÷（﹣1），其中x=2﹣．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．解答：原式=÷=﹣•=﹣x+2，当x=2﹣时，原式=﹣2++2=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11.（2014•湖北荆门,第18题4分）（1）计算：×﹣4××（1﹣）0；（2）（2014•湖北荆门,第8题4分）先化简，再求值：（+）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．考点：二次根式的混合运算；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；分式的化简求值；零指数幂．专题：计算题．分析：（1）根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义得到原式=﹣4××1=2﹣，然后合并即可；（2）先把分子和分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再计算括号内的运算，然后约分得到原式=，再根据非负数的性质得到a+1=0，b﹣=0，解得a=﹣1，b=，然后把a和b的值代入计算即可．解答：解：（1）原式=﹣4××1=2﹣=；（2）原式=[﹣]•=（﹣]•=•=，∵+|b﹣|=0，∴a+1=0，b﹣=0，解得a=﹣1，b=，当a=﹣1，b=时，原式=﹣=﹣点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、非负数的性质和分式的化简求值．。

二次根式教案--【教学参考】一、教学目标：1. 让学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算法则。

2. 培养学生运用二次根式解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学知识的兴趣和自信心。

二、教学内容：1. 二次根式的概念与性质2. 二次根式的运算方法3. 二次根式在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：二次根式的概念、性质和运算法则。

2. 教学难点：二次根式在实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解二次根式的概念、性质和运算法则。

2. 利用例题，演示二次根式的运算过程。

3. 引导学生运用二次根式解决实际问题，培养学生的实践能力。

4. 组织小组讨论，让学生互相交流学习心得。

五、教学过程：1. 导入：通过生活实例，引入二次根式的概念。

2. 新课讲解：讲解二次根式的性质和运算法则，引导学生积极参与，提问解答。

3. 例题演示：挑选典型例题，演示二次根式的运算过程，分析解题思路。

4. 实践环节：让学生尝试解决实际问题，运用二次根式进行计算。

5. 总结提升：对本节课的内容进行总结，强调二次根式在实际问题中的应用。

6. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。

7. 课后反思：对本节课的教学效果进行反思，为下一步教学做好准备。

六、教学评价：1. 通过课堂表现、作业完成情况和小组讨论，评价学生对二次根式概念、性质和运算法则的理解掌握程度。

2. 结合学生解决实际问题的能力，评价其对二次根式的应用水平。

3. 收集学生反馈意见，了解教学方法的适用性，为改进教学提供依据。

七、教学拓展：1. 介绍二次根式在科学、工程等领域的应用，激发学生学习兴趣。

2. 引导学生探索二次根式的其他性质和运算规律，提高学生的数学思维能力。

3. 组织数学竞赛或小组竞赛，鼓励学生积极参与，提高学习积极性。

八、教学资源：1. 教材、教辅资料：提供二次根式的相关教材、教辅资料，方便学生复习巩固知识。

2. 网络资源：推荐相关数学网站、论坛，便于学生查阅资料、交流学习。

第4讲:二次根式一、复习目标1．掌握二次根式有意义的条件和基本性质( a )2＝a (a ≥0)． 2．能用二次根式的性质2a ＝|a |来化简根式．3．能识别最简二次根式、同类二次根式．4．能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算.二、课时安排1课时三、复习重难点1.掌握二次根式有意义的条件和基本性质( a )2＝a (a ≥0)．2.能根据运算法则进行二次根式的加减乘除运算以及混合运算.四、教学过程（一）知识梳理二次根式概念1．形如________的式子叫做二次根式．2．二次根式有意义的条件要使二次根式a 有意义，则a 0.3、最简二次根式、同类二次根式概念我们把满足被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的______或______的二次根式，叫做最简二次根式．同类二次根式的概念几个二次根式化成________________以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式．二次根式的性质1．(a)2＝a(______)．2．a2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧ a≥0， a<0.3．ab＝______(a≥0，b≥0)．4．ab＝______(a≥0，b＞0)．二次根式的运算1．二次根式的加减法合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．2．二次根式的乘除法(1)二次根式的乘法：a·b＝____(a≥0，b≥0)．(2)二次根式的除法：ab＝____(a≥0，b＞0)．3、把分母中的根号化去掉(1)1a＝ (2)1a＋b＝（二）题型、方法归纳考点1 二次根式概念技巧归纳：此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零等列不等式组，转化为求不等式组的解集．考点2 二次根式的性质技巧归纳：1. a的非负性的意义；2. a3、比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到根号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到根号内．考点3 二次根式的运算技巧归纳：1、二次根式的性质，两个重要公式，积的算术平方根，商的算术平方根；2、二次根式的加减乘除运算．2、此类分式与二次根式综合计算与化简问题，一般先化简再代入求值；最后的结果要化为分母没有根号的数或者是最简二次根式．（三）典例精讲例1 1x有意义的x的取值范围是_____[解析]要使有意义，则1－x≥0，所以x≤1.点析：此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零等列不等式组，转化为求不等式组的解集．例2 已知实数x ，y 满||x －4＋y －8＝，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是( ) A. 20或16 B ．20 C ．16 D ．以上答案均不对解析：根据题意 x-4=0，y+8=0 解得x=4,y=8（1）若4是腰长，则三角形的三边长为4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20故选B ； 例3、 12的负的平方根介于( )A ．－5与－4之间B ．－4与－3之间C ．－3与－2之间D ．－2与－1之间答案：B例4计算48÷3－12×12＋24 解析：先做二次根式的乘除运算，并化为最简二次根式，再合并同类二次根式． 解：48÷3－12×12＋24＝16－6＋24＝4－6＋26＝4＋ 6. 点析：利用二次根式的性质，先把每个二次根式化简，然后进行运算；在中考中二次根式常与零指数、负指数结合在一起考查．例5 先化简，再求值⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋1·x x 2＋2x ＋1()x ＋12－()x －12其中x ＝12解：原式＝1x ()x ＋1·x ||x ＋14x ＝||x ＋14x ()x ＋1. ①当x ＋1＞0时，原式＝14x ②当x ＋1＜0时，原式＝－14x. ∵当x ＝12时，x ＋1＞0，∴原式＝12. 点析：此类分式与二次根式综合计算与化简问题，一般先化简再代入求值；最后的结果要化为分母没有根号的数或者是最简二次根式．例6 50－15＋220－45＋22解：原式＝52－55＋45－35＋22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35－55＝1122＋455. （四）归纳小结 本部分内容要求熟练掌握二次根式概念、性质及二次根式的运算。

二次根式【考点梳理】：1.二次根式：(1)定义:一般地，形如√a的代数式叫做二次根式.2．二次根式的化简：3．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式．（2）根号内不含分母（3）分母上没有根号4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．5．二次根式的乘法、除法公式：（1a0b0≥≥，）（2a0b0≥，）6．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式．【思想方法】非负性的应用【考点一】：二次根式有意义的条件【例题赏析】（2015•浙江滨州,第4题3分）如果式子有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】：先根据二次根式的意义，其有意义的条件是被开方数大于等于02x+6≥0，可解不等式得x≥－3，因此可在数轴上表示为C.故选C考点：二次根式的意义，不等式的解集【考点二】：二次根式的性质【例题赏析】（2015•四川资阳,第14题3分）已知：()260a+=，则224b b--的值为_________．考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．.分析：首先根据非负数的性质可求出a的值，和2b2﹣2b=6，进而可求出2b2﹣4b﹣a解答：解：∵（a+6）2+=0，∴a+6=0，b2﹣2b﹣3=0，解得，a=﹣6，b2﹣2b=3，可得2b2﹣2b=6，则2b2﹣4b﹣a=6﹣（﹣6）=12，故答案为12．【考点三】：二次根式的运算【例题赏析】（1）（2015•安徽省,第2题，4分）计算8×2的结果是（）A．10 B．4 C． 6 D．2考点：二次根式的乘除法．.分析：直接利用二次根式的乘法运算法则求出即可．解答：解：×==4．故选：B．点评：此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．（2）（2015•山东聊城,第14题3分）计算：（+）2﹣= 5 ．考点：二次根式的混合运算分析：先利用完全平方公式计算，再把二次根式化为最简二次根式，合并同类项进行计算解答：原式=2+2+3﹣2=5．故答案为：5．点评：平方公式，再将二次根式化为最简二次根式的形式后再运算是解答此题的关键．（2）（2015·湖北省孝感市，第9题3分）已知32-=x，则代数3)32()347(2++++xx的值是A．0B．3C．32+D．32-考点：二次根式的化简求值．.分析：未知数的值已给出，利用代入法即可求出．解答：解：把x=2﹣代入代数式（7+4）x2+（2+）x+得：=（7+4）（7﹣4）+4﹣3+=49﹣48+1+=2+．故选C ．点评：此题考查二次根式的化简求值，关键是代入后利用平方差公式进行计算．【考点四】：二次根式的化简求值 【例题赏析】（1）（2015•毕节市）（第16题）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则﹣|a ﹣b|=﹣b ．考点： 实数与数轴；二次根式的性质与化简．. 分析： 首先根据数轴即可确定a ，b 可化简．解答： 解：根据数轴可得：b ＞0，a ＜0，且|a|＞|b|， ∴a ﹣b ＜0， 则﹣|a ﹣b|=﹣a ﹣（b ﹣a ）=﹣a ﹣b+a=﹣b ，故答案为：﹣b ．点评： 本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是根据数轴即可确定a ，b 的符号． （2）(2015年陕西省,16,5分)计算：×（﹣）+|﹣2|+（12）﹣3． 考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂． 专题：计算题．分析：根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式=﹣+2+8化简后合并即可． 解答：原式=﹣+2+8 =﹣3+2+8 =8﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂、【真题专练】1. （2015•绵阳第6题，3分）要使代数式有意义，则x 的（ ）A ．最大值是23 B ．最小值是23 C ．最大值是32 D ．最小值是32．点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键2.（2015•四川省内江市，第5题，3分）函数y=+中自变量x的取值范围是A．x≤2 B．x≤2且x≠1 C．x＜2且x≠1 D．x≠13.（2015·湖南省益阳市，第8题5分）计算：= ．4．（2015•山东日照，第13题3分））若=3﹣x，则x的取值范围是．5.（2015•黔南州）（第8题）函数y=+的自变量x的取值范围是（）A．x≤3 B．x≠4 C．x≥3且x≠4 D．x≤3或x≠46.（2015•聊城）计算：（+）2﹣= ．7.（2015•四川巴中,第13题3分）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围是．8.（2015•衡阳, 第15题3分）计算：﹣= ．9.（2015•四川攀枝花第13题4分）若y=++2，则x y= ．10.（2015•黄石第18题7分）先化简，再求值：÷（﹣1），其中x=2﹣．11.（2014•湖北荆门,第18题4分）（1）计算：×﹣4××（1﹣）0；（2）（2014•湖北荆门,第8题4分）先化简，再求值：（+）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．【真题演练参考答案】1.（2015•绵阳第6题，3分）要使代数式有意义，则x的（）A．最大值是23B．最小值是23C．最大值是32D．最小值是32考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．解答：∵代数式有意义，∴2﹣3x≥0，解得x≤23．故选：A．点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键2.（2015•四川省内江市，第5题，3分）函数y=+中自变量x的取值范围是（）A．x≤2 B．x≤2且x≠1 C．x＜2且x≠1 D．x≠1考点：函数自变量的取值范围．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．解答：根据二次根式有意义，分式有意义得：2﹣x≥0且x﹣1≠0，解得：x≤2且x≠1．故选：B．点评：本题考查函数自变量的取值范围，涉及的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3.（2015·湖南省益阳市，第8题5分）计算：= ．考点：二次根式的乘除法．专题：计算题．分析：原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．解答：原式===4．故答案为：4点评：此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（2015•山东日照，第13题3分））若=3﹣x，则x的取值范围是x≤3．考点：二次根式的性质与化简．.分析：根据二次根式的性质得出3﹣x≥0，求出即可．解答：∵=3﹣x，∴3﹣x≥0，解得：x≤3，故答案为：x≤3．点评：本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0时，=a，当a＜0时，=﹣a．5.（2015•黔南州）（第8题）函数y=+的自变量x的取值范围是（）A．x≤3 B．x≠4 C．x≥3且x≠4 D．x≤3或x≠4考点：函数自变量的取值范围．分析：首先根据当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零，可得3﹣x≥0；然后根据自变量取值要使分母不为零，可得x﹣4≠0，据此求出函数y=+的自变量x的取值范围即可．解答：解：要使函数y=+有意义，则所以x≤3，即函数y=+的自变量x的取值范围是：x≤3．故选：A．点评：此题主要考查了自变量的取值范围，解答此题的关键是要明确：（1）当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．（2）当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．（3）当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．（4）对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．6.（2015•聊城）计算：（+）2﹣= ．考点：二次根式的混合运算．分析：先利用完全平方公式计算，再把二次根式化为最简二次根式，合并同类项进行计算解答：原式=2+2+3﹣2=5．故答案为：5．点评：本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，掌握运算顺序，先运用完全平方公式，再将二次根式化为最简二次根式的形式后再运算是解答此题的关键．7.（2015•四川巴中,第13题3分）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足+（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围是．考点：三角形三边关系；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．分析：根据非负数的性质列式求出a、b，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边只差小于第三边求解即可．解答：由题意得，a2﹣9=0，b﹣2=0，解得a=3，b=2，∵3﹣2=1，3+2=5，∴1＜c＜5．故答案为：1＜c＜5．点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0；三角形的三边关系．8.（2015•衡阳, 第15题3分）计算：﹣= ．考点：二次根式的加减法．分析：运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．解答：解：原式=2﹣=．故答案为：．点评：合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．9.（2015•四川攀枝花第13题4分）若y=++2，则x y= ．考点：二次根式有意义的条件．.专题：计算题．分析：根据二次根式有意义的条件得出x﹣3≥0，3﹣x≥0，求出x，代入求出y即可．解答：解：y=有意义，必须x﹣3≥0，3﹣x≥0，解得：x=3，代入得：y=0+0+2=2，∴x y=32=9．[来#源~:中国*&教@育出版网]故答案为：9．点评：本题主要考查对二次根式有意义的条件的理解和掌握，能求出x y的值是解此题的关键．10.（2015•黄石第18题7分）先化简，再求值：÷（﹣1），其中x=2﹣．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．解答：原式=÷=﹣•=﹣x+2，当x=2﹣时，原式=﹣2++2=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11.（2014•湖北荆门,第18题4分）（1）计算：×﹣4××（1﹣）0；（2）（2014•湖北荆门,第8题4分）先化简，再求值：（+）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．考点：二次根式的混合运算；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；分式的化简求值；零指数幂．专题：计算题．分析：（1）根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义得到原式=﹣4××1=2﹣，然后合并即可；（2）先把分子和分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再计算括号内的运算，然后约分得到原式=，再根据非负数的性质得到a+1=0，b﹣=0，解得a=﹣1，b=，然后把a和b的值代入计算即可．解答：解：（1）原式=﹣4××1=2﹣=；（2）原式=[﹣]•=（﹣]•=•=，∵+|b﹣|=0，∴a+1=0，b﹣=0，解得a=﹣1，b=，当a=﹣1，b=时，原式=﹣=﹣点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、非负数的性质和分式的化简求值．。