福建高三毕业质量检查测试理科数学

2021届福建省高三毕业班质量检查测试数学〔理〕试题一、单项选择题21 .集合A xy ln x 1 ,B xx 4 0 那么AI B =A. xx 2B. x 1 x 2C. x 1 x 2 D【答案】C【解析】可求出集合A, B,然后进行交集的运算即可.【详解】. . ,・, 2 ■八人A x y ln x 1 {x|x> 1} ,B x x 4 0 x 2 x,An B={x|1 <x< 2}.应选：C.【点睛】考查描述法的定义,对数函数的定义域,一元二次不等式的解法,交集的运算.2.假设复数z满足Z 1 i 1 i,那么zA. iB. 1 iC. & D【答案】D【解析】把等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简求得z,算公式求解.【详解】1 i 1 i i由〔z+1〕 i=1 + i,得z+1 ----------------------- 2——1 i,i iz= - i,贝U | z| = 1.应选D.【点睛】此题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是根底题.3.经统计,某市高三学生期末数学成绩X : N 85, 2,且P 80 X该市任选一名高三学生,其成绩不低于90分的概率是A. 0.35 B, 0.65 C, 0.7 D 再由复数模的计90 0.3,那么从0.85【答案】A【解析】由直接利用正态分布曲线的对称性求解.【详解】•••学生成绩X服从正态分布N (85, 02),且P (80VXV90) =0.3,•- P (X>90) 1[1 - P (80vXv90) ] - 1 0.3 0.35 ,2 2・•・从该市任选一名高三学生,其成绩不低于90分的概率是0.35.应选A.【点睛】此题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量科和b的应用,考查曲线的对称性,属于根底题.x y 1 04 .假设x, y满足约束条件x y 1 0 ,那么z x 2y的最小值是y 1 0A.—5B. —4C. 0D.2【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影局部)由z= x+2y 得y 1x — z2 2平移直线y 1x 1z, 2 2由图象可知当直线y -x 1z经过点A ( - 2, - 1)时, 2 2直线y工x 工z的截距最小, 2 2此时z最小.将A (-2, - 1)的坐标代入目标函数z=x+2y,得z= -4.即z= x+2y的最小值为一4;应选：B.【点睛】此题主要考查线性规划的应用, 结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是 解决此类问题的根本方法.5.某简单几何体的三视图如下图 ,假设该几何体的所有顶点都在球 .的球面上,那么球OB. 4V3 D- 3273【解析】由三视图复原几何体,可知该几何体为直三棱柱,底面为等腰直角三角形,直角边长为2,侧棱长为2,然后将其放入正方体进行求解.8.2 3的体积是由三视图复原原几何体如可知该几何体为直三棱柱,底面为等腰直角三角形,直角边长为 2,侧棱长为2.把该三棱锥补形为正方体,那么正方体体对角线长为 j 22 2 22 2J3 .,该三棱柱外接球的半径为 J 3. 体积V 4〔括3 473 .3应选B. 【点睛】此题考查空间几何体的三视图,考查多面体外接球外表积与体积的求法,是中档题.6.将函数y sin 2x — 的图象向右平移 —个单位长度后,所得图象的一个对称中 6 6心为〔〕A.—,0B. 一, 0C. 一, 0D.1, 0 12432【答案】A【解析】根据平移法那么得到 f x sin 2x —,再计算对称中央横坐标满足 6 k -一 一、x — — , k Z ,斛仔答案. 12 2 【详解】函数y sin 2x 一 的图象向右平移 —个单位长度得到函数： 6 6f x sin 2 x —— sin 2x —,对称中央横坐标满足： 66 6此题考查了三角函数平移, 三角函数的对称中央, 意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.7• a V 2,b 5/5,c 7/7,那么A. a b cB acbC bac D. c b aKk. ,,k - 2k -6一120时,对称中央为 一,012【答案】A【解析】根据募函数的单调性即可求出. 【详解】a 盘,b 5/5,c 7/7,贝U a 70=235=( 25) 7= 327= ( 27)5=1285, b70=514= ( 52) 7= 257c 70= 710= ( 72) 5= 495, . . a>c, a>b,又 b 70= 514= ( 57) 2= ( 78125) 2c 70= 710= ( 75) 2= ( 16807) 2,b>c,a> b>c,应选A. 【点睛】此题考查了不等式的大小比拟,掌握嘉函数的单调性是关键,属于根底题8 .某商场通过转动如下图的质地均匀的6等分的圆盘进行抽奖活动,当指针指向阴影区域时为中奖.规定每位顾客有 3次抽奖时机,但中奖1次就停止抽奖.假设每次抽奖相 互独立,那么顾客中奖的概率是1【解析】由题意应用几何概型面积之比得一次中奖概率 -,分为三类讨论中奖可能得答3案. 【详解】由题意应用几何概型面积之比得一次中奖概率 -3. ......... . , 一 1 第一次就中奖的概率 -,3 .2 1 2第二次中奖概率为-1 2 ,3 3 9 一2 2 14第三次中奖概率为 --1,3 3 3 27_.. ......... . (1)2 419A.C.4 27 5B.D.3 19 27所以顾客中奖的概率为-2——3 9 27 27应选D.【点睛】此题考查了几何概型求概率及互斥事件的概率问题, 应用面积比是解决问题的关键, 属于简单题.9 .设椭圆E的两焦点分别为F1, F2,以F1为圆心,F1F2为半径的圆与E交于P, Q两点,假设PF1F2为直角三角形,那么E的离心率为〔〕A. B. 2i1 C.巨 D. 72 12 2【答案】B【解析】由PFR为直角三角形,得PF1F2 900,可得|PF- 2c,| PF2 2j2c,利用椭圆的定义和离心率的概念,即可求解^【详解】如下图,由于PF1F2为直角三角形,所以PF1F2 90°,所以P E| 2c,|PF2 2j2c,贝U 2c 272c 2a,解得e | J2 1 ,应选 B【点睛】此题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用, 其中解答中合理利用椭圆的定义和离心率的概念求解是解答的关键,着重考查了运算与求解水平,属于根底题10.如图,AB是圆锥SO的底面O的直径,D是圆O上异于A, B的任意一点,以AO为直径的圆与AD的另一个交点为C,P为SD的中点.现给出以下结论:① SAC为直角三角形②平面SAD 平面SBD③平面PAB必与圆锥SO的某条母线平行其中正确结论的个数是A. 0B. 1C. 2 D . 3【答案】C【解析】①根据线面垂直的判定定理证实AC,平面SOC即可②假设平面SAD,平面SBD,根据面面垂直的性质定理推出矛盾即可③连接DO并延长交圆于E,连接PO, SE,利用中位线的性质进行判断即可【详解】①; SO,底面圆O,SOX AC,C在以AO为直径的圆上,. ACXOC,. OCASO=O,. AC,平面SOC, AC± SC,即①△ SAC为直角三角形正确,故①正确,②假设平面SAD,平面SBD,在平面SA D中过A作AH,SD交SD于H,那么AH,平面SBD, AH ± BD,又•「BDLAD , BD,面SAD,又CO//BD , • . CO,面SAD, . COX SC又在△ SOC中,SO± OC,在一个三角形内不可能有两个直角,故平面SAD,平面SBD不成立, 故②错误,③连接DO并延长交圆于E,连接PO, SE,••• P为SD的中点,O为ED的中点,OP是△ SDE的中位线,PO// SE,即SE//平面APB,即平面PAB必与圆锥SO的母线SE平行.故③正确, 故正确是①③,应选C.涉及空间直线平行和垂直的判断, 结合相应的判定定理1< a< 1可得g (x)为奇函数且在(-1,1)上为增函数,据此f (a)+ f(a +1) >2? 1< a 1<1 ,a> a 1解可得a 的取值范围,即可得答案.1 x根据题意,函数f (x) = lnL^1 x的定义域为(-1,1),应选：C.此题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,关键构造新函数是解决此题的关键. 11.函数f2,那么a 的取值范围是A.1, 2C.- ,02【解析】根据题意, 由函数的解析式求出函数的定义域,设g (x) = f (x) - 1,分析x +1 ,有1―x>0,解可得-1vxv 1,即函数1 xf (x)设 g (x) = f (x)-g (x),那么函数/ । 1 x—1 = In —1 xg (x)为奇函数;1 x. 1 xx,贝U g ( - x) = In ---------( - x) = - [In ----------x]=分析易得：g (x)=In 1-x x 在(-1, 1)上为增函数,1 xf (a) + f (a +1 ) > 2? f(a) — 1 > — [f(a+1) - 1]? g (a) >- g(s+1 ) ?g (a)>g 1< a< 1(—a — 1)1<a a 〉解可得: 1八-< a< 0, 2 即a 的取值范围为(-,0);2g (x) = f (x) — 1,属BE此题主要考查命题的真假判断,于中档题.12.在 ABC 中,B 30o ,BC 3, AB 2褥,点D 在边BC 上,点巳C 关于直线AD 的 对称点分别为B ,C ,那么 BBC 的面积的最大值为【解析】 解三角形,建立坐标系,设 AD 斜率为k,用k 表示出B'纵坐标,代入面积 公式得出面积关于 k 的函数,根据k 的范围和函数单调性求出面积最大值.由余弦定理可得 AC 2= AB 2+BC 2— 2AB ?BC Cos B= 12+9—2X273 3 — 3,. AC 网,且 AC 2+ BC 2=AB 2, . ACXBC,以C 为原点,以CB, CA 为坐标轴建立平面直角坐标系,如下图: 设直线AD 的方程为y= kx J3 ,6k 2.3k 2・ CC' // BB',石时,,(k) >0,当 73V k< £ 时,F (k)<0,A. 9_^32B.述7当D 与线段AB 的端点重合时,B, B', C '在同一条直线上,不符合题意, 旦设B ,〔 m,3n),显然 n< 0,S>A BB' C = Sk BB'BC 236k 2.3 k 2 19k 3 32,令 f (k)9k k 2 1(k<鱼),贝U f' (k)33k 2 23k 3-------------------- 5 (k 2 1)2令 f' ( k)=0可得k也或k 近〔舍〕,3• ・当 k<,当k J 3时,f (k)取得最大值f ( 73)法,属于较难题.二、填空题13 .向量此题考查了根据向量垂直求参数,意在考查学生的计算水平..91 n .................................... ..........................14 .假设(2x 2 —)n 展开式的二项式系数之和为64,那么展开式中的常数项是x【答案】60【解析】由题意利用二项式系数的性质求得 n 的值,在二项展开式的通项公式中,令的哥指数等于0,求出r 的值,即可求得常数项.假设(2x 2 l)n 展开式的二项式系数之和为64,那么2n =64, n=6.x那么展开式中的通项公式为 T r +1C ；?( - 1) r ?26「r ?x 12丁 令12-3r=0,求得r=4,49可得常数项为C 6 ?22= 60,3.3 2函数单调性判断与最值计算, 考查了用解析法解决几何问题的方rb 1,且根据0, 化简计算得到答案.故答案为:r,那么a r 2 a2.2.此题考查了余弦定理,故答案为60.【点睛】此题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.15.在平面直角坐标系xOy中,角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合, 终边交单位圆O于第一象限的点p a,b,且a b 7,那么cos5 —的值是2【答案】-3或-5 5【解析】根据a b 7且a2 b2 5公式和任意角三角函数定义可求得结果【详解】a b 7 35 a a由a2b21得：5或4a 0,b 0 b b 5cos - sin b 2 1及P a,b位于第一象限可求得a的值；根据诱导45352 5 5,一______ 3 4此题正确结果：-3或45 5【点睛】此题考查根据终边上的点求解三角函数值和诱导公式的应用,属于根底题^16.如图为陕西博物馆收藏的国宝一一唐・金筐宝钿团花纹金杯,杯身曲线内收,玲珑娇美,巧夺天工,是唐代金银细作的典范之作.该杯型几何体的主体局部可近似看作是双曲2 2线C：—匕1的右支与直线x 0,y 4,y 2围成的曲边四边形MABQ绕y 3 9轴旋转一周得到的几何体,如图N,P分别为C的渐近线与y 4,y 2的交点,曲边五边形MNOPQ绕y轴旋转一周得到的几何体的体积可由祖恒原理〔祖恒原理：哥势既同,那么积不容异〕.意思是：两等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等,那么这两个几何体的体积相等,那么这两个几何体的体积相等〕,据此求得该金杯的容积是由双曲线方程及定积分的几何意义,求得答案.2 2—1,得 X 2 3 —, 9 3由祖的I 原理可知,金杯的容积与曲形四边形 MABQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体的体 ,金杯的容积是 26兀. 故答案为26兀.此题考查祖的I 原理的应用及定积分的几何意义的应用,考查了求旋转体的体积的方法, 表达了等价转化、数形结合的数学思想,属于中档题.三、解做题17.数列 a n 的前n 项和S n 满足S n 2a n n . (1)求证数列a n 1是等比数列,并求a n ；(2)假设数列b n 为等差数列,且b 3 a 2,b 7 a 3,求数列a n b n 的前n 项T n .【答案】(1) a n 2n 1 (2) n 1 2n1 n n 1 22【解析】(1)由数列的递推式和等比数列的定义和通项公式,可得所求；(2)运用等差数列的通项公式可得bn 及&bn 的公式,由数列的错位相减法和等差数列、等比数列的求和公式,可得所求和. 【详解】(1)当 n 1 时,S 2a 1 1 ,所以 a 1 1.由双曲线2C:—3 积相同,而曲形四边形MABQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体的体积为:44Vx 2dy2223 dy3y64 8 12 -6 - 26兀,99.(杯壁厚度忽略不计) 26【解由于S n 2a n n ①,所以当n 2时,S n i 2am n 1②, ①-②得 a n 2a n 2 a n i 1,所以 a n 2a n i 1.所以a n 1是首项为2,公比为2的等比数列. 所以4 1 2 2n ;所以a n 2n 1.(2)由(1)知,a 2 3 , a 3 7 ,所以 b 3 a 2 3, b 7 a 3 7 ,设b n 的公差为d ,那么＞ b 3所以 b n b 3 n 3 d n, 所以 a n b n n 2n 1 n 2n n .设数列 n 2n 的前n 项和为K n ,数列 n 的前n 项和为T n , 所以 K n 2 2 22 3 23 L n 2n ③,234n 1 _2K n 22 23 2 L n 2 ④,③-④得n2 1 2 … …2 3 nn 1n 1n 1K n 22 2L 2 n 2------------ n 21 n 22.1 2n 1所以 K n n 1 2 2,n n 1又由于T n 1 2 3 L n,2所以 K n T n n 1 2n 1 n n 1 2. 2 所以a n b n 的前n 项和为 n 1 2n 1 n n 1 2.2【点睛】此题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用, 求和,考查方程思想和运算水平,属于中档题.18 .如图,三棱柱ABC AB 1C 1中,底面ABC 是等边三角形所以 a n 1 a n 112am 1 1a n 112a n1 2 a n 11考查了数列的错位相减法侧面BCC 1B 1是矩形,AB ARN 是B i C 的中点,M 是棱AA i 上的点,且AA 〔 CM(1)证实：MN//平面ABC;(2)假设AB A i B ,求二面角A CM N 的余弦值.【答案】(1)见解析(2) 巫5【解析】(1)连结BM,推导出BCXBB i, AA i^BC,从而AA i±MC,进而AA i ,平面BCM, AA i ± MB,推导出四边形 AMNP 是平行四边形,从而 MN//AP,由此能证实 MN //平面 ABC.(2)推导出△ ABA i 是等腰直角三角形,设 AB J2a ,那么AA i=2a, BM = AM = a,推 导出 MCXBM, MCXAAi, BMXAAi,以 M 为坐标原点, MAi, MB, MC 为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角 A-CM-N 的余弦值.【详解】(i)如图i,在三棱柱ABC A i B i C i 中,连结BM ,由于BCC i B i 是矩形,所以 BC BB i ,由于 AA //BB i ,所以 AA i BC , 又由于AA i MC , BC MC C ,所以AA i 平面BCM , 所以AA i MB ,又由于AB AB ,所以M 是AA i 中点,i ―取BC 中点P,连结NP, AP ,由于N 是B 1c 的中点,那么NP//BB 1且NP - BB i ,2所以NP//MA 且NP MA,所以四边形 AMNP 是平行四边形,所以 MN//AP, 又由于MN 平面ABC, AP 平面ABC,所以MN//平面ABC .A i B,所以 ABA i 是等腰直角三角形,设 AB J2a ,〔2〕由于AB〔图1〕〔图2〕那么 AA i 2a, BM AM a 在 Rt ACM 中,AC J2a ,所以 MC a .贝U cosn 1, n 2此题考查线面平行的证实,考查了利用空间向量法求解二面角的方法, 线面、面面间的位置关系等根底知识,考查运算求解水平,是中档题.219 .在平面直角坐标系 xOy 中,圆F ： x 1y 2 1外的点P 在y 轴的右侧运动,H P到圆F 上的点的最小距离等于它到 y 轴的距离,记P 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)过点F 的直线交E 于A ,B 两点,以AB 为直径的圆D 与平行于y 轴的直线相切于点M ,线段DM 交E 于点N ,证实： AMB 的面积是 AMN 的面积的四倍.2【答案】(1) y 4x x 0 (2)见解析【解析】法—：(1)设P (x, y), x> 0, F (1, 0).由点P 在OF 外,可得点P 到.F 上的点的最小距离为|PF| - 1,由题意可得：|PF| - 1=x,利用两点之间的距离公式即在 BCM 中,CM 2BM 2 2a 2 BC 2,所以 MCBM ,由(1)知,那么MC AA1 , BM AA1 ,如图2,以M 为坐标原点,uuuv MA 1 ,uuuv uuuv MB ,MC的方向分别为x 轴, y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 那么 M 0,0,0 , C0,0,a , B i 2a,a,0 .~ a a 一所以N a,-,-,那么uuuv0,0,a , MN设平面 CMN 的法向量为x, y,z ,那么? n 1 uuu v MC uuu v0,即 0, axaz 0, a 2y2z 0.2.故平面CMN 的一个法向量为1, 2,0 ,由于平面ACM 的一个法向量为n 20,1,0 ,由于二面角A CM 所以二面角ACMN 的余弦值为考查空间中线线、可得出.(2)设 N (xo, yo), A (xi, yi), B (X 2, v2 .那么 D ( ^1一x 2, -y 1一y 2 ).由题意可 2 2设直线AB 的方程为：y= k (x- 1) (kw .).与抛物线方程联立化为：k 2x 2- (2k 2+4)x +k 2=0.利用根与系数的关系、中点坐标公式可得D, M, N 的坐标.再利用三角形面积计算公式即可得出.法二：(1)由题意得,点P 到圆F 1,0的距离PF 等于P 到直线x 1的距离,根据 抛物线的定义求得轨迹方程.(2)设A x 1,y 1 , B x 2,y 2 ,由题意可设直线 AB 的方 程为：x ty 1 t 0与抛物线方程联立,利用根与系数的关系、中点坐标公式可得D 的坐标,结合1 _,1 ___ ___________________ _ _______ _______ _____ ____________________DM — AB ,可得m 1,进而求出N 的坐标,利用点的位置关系得到面积的关2系.(2)设A K,y 1 , B x 2,y 2 ,由题意可设直线 AB 的方程为:x ty 1 t 0与抛物线方程联立,利用根与系数白关系、中点坐标公式可得 D, M的坐标,利用斜率公式计算得到 k M F k AB 1 ,再利用长度关系得到面积的关系.【详解】解法一：(1)设P x,y ,依题意x o, F 1,0 .由于P 在圆F 外,所以P 到圆F 上的点的最小距离为 PF 1 依题意得PF | 1 x,即J x 1 2 y 2 1 x , 化简得E 的方程为y 2 4x x 0 .(2)设 N 刈,丫0 , A K,y 1 ,B x 2,y 2 ,那么 D依题意可设直线 AB 的方程y k x 1 k 0 ,法三：(1)与法一同; x 〔 x 2 y 〔 y 22 , 2由 yyk ］得k 2x 22k 24x k2 0.2由于 2k 4 4k 16k16 0,k 2 2 2 k 2 ,k、…一 2 一设M X M ,y M ,依题意得y M —,所以MDk又由于MD 网,所以匚工x M 马2 , 2 k k一 ~2 解得X M1 ,所以M 1k故 S AMB4s AMN-所以x 1 x 22k 2 4 k 2由抛物线的定义知 AB x 1 x 2 24k 2 4 k 2由于 2 x0,— k 在抛物线上,所以1 2k 2,k所以 S AMB y 2 k 2k 2y 1S AMNMN yy D 1一MN2y 1 y 2 k 2 1 4k 2y 1解法二: (1)设 P x,y 0.由于P 在圆F 外,所以 P 到圆F 上的点的最小距离为PF 1.依题意彳#,点P 到圆F 1,0的距离PF 等于P 到直线1的距离,那么有y 1 y 2k 2 2~~2~X M.k所以P 在以F 1,0为焦点,x 1为准线的抛物线上所以E 的方程为y 2 4x x 0〔2〕设 A x i , y i , B X 2, y 2 ,由于直线 AB 过F 1,0 ,依题意可设其方程 x ty 1 t 0 x ty 1, 2由 2 得 y 24ty 4 0, y 4x由于 16t 2 16 0,所以 y 〔 y 2 4t, .一. . . 2_那么有 x 1 x 2ty 1 1 ty 214t 2.由于D 是AB 的中点,所以 D 2t 2 1,2t . ................................. 2 由抛物线的定义得 ABx 1 1 x 2 1 4t 4.,设圆D 与l ：x m 相切于M ,由于DM 与抛物线相交于 N ,所以m 0,且DM l , 〜,、,― 1 _ 一 2 1 2 .一 ■一所以DM-AB ,即22 1 m — 4t 2 4 ,解得m 1,22、一 一.一 一 2 一一 .2设 N x c , y ° ,那么 y 0 2t,且 2t 4x 0,所以 x ° t ,t 2 ,所以N 为DM 的中点,所以S AMD 2S AMN ,又由于D 为AB 的中点,S AMB 2s AMD ,所以S AMB 4s AMN解法三：〔1〕同解法一.2t 2 11由于2—1 ------------------1 2(2)设 A X i , y i , B X 2, y 2 ,连结 MF , NF .由于直线AB 过F 1,0 ,依题意可设其方程 x ty 1 t 0 x ty 1, 2由 2 得 y 4ty 4 0., y 4x 由于 16t 2 16 0,所以 y i y 4t , 所以 y My D 2t .…AB _ 一. 由于MD ---------- , AB X 1 x 2 2,又由于MD2所以x 1 x 2 2学1—2 X M ,解得X M1 ,所以M 1,2t ,2 2 2t 1, w所以 k MF k AB -------------------- -1 ,故 MFD 90 .1 1 t所以 S AMN 二 S AMD ,21又 S AMD 二 S AMB ,所以 S AMB 4s AMN .2【点睛】此题考查了抛物线与圆的标准方程及性质的应用,考查了一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、三角形面积计算公式、两点之间的距离公式,考查了推理水平与计 算水平,属于中档题.20 .“工资条里显红利,个税新政人民心〞 .随着2021年新年钟声的敲响,我国自1980年以 来,力度最大的一次个人所得税 〔简称个税〕改革迎来了全面实施的阶段 .2021年1月1日实 施的个税新政主要内容包括：〔1〕个税起征点为5000元；〔2〕每月应纳税所得额〔含税〕=收入一个税起征点-专项附加扣除； 〔3〕专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等新旧个税政策下每月应纳税所得额 〔含税〕计算方法及其对应的税率表如下:又由于NMNF ,所以NF ND ,从而 MN NDX M ,随机抽取某市1000名同一收入层级的IT从业者的相关资料,经统计分析,预估他们2021 年的人均月收入24000元统计资料还说明,他们均符合住房专项扣除；同时,他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子,并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2:1:1:1;此外,他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月,子女教育每孩1000元/月,赡养老人2000元/月等.假设该市该收入层级的IT从业者都单独享受专项附加扣除,将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入根据样本估计总体的思想,解决如下问题：〔1〕设该市该收入层级的IT从业者2021年月缴个税为X元,求X的分布列和期望；〔2〕根据新旧个税方案,估计从2021年1月开始,经过多少个月,该市该收入层级的IT 从业者各月少缴交的个税之和就超过2021年的月收入？【答案】〔1〕见解析〔2〕经过12个月,该收入层级的IT从业者少缴交的个税的总和就超过2021年的月收入【解析】〔1〕求出4种人群的每月应缴个税额,得出分布列和数学期望；〔2〕计算两种政策下的每月应缴个税额度差即可得出结论.(1)既不符合子女教育扣除也不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为24000 5000 1000 18000,月缴个税X 3000 0.03 9000 0.1 6000 0.2 2190；只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为24000 5000 1000 1000 17000,月缴个税X 3000 0.03 9000 0.1 5000 0.2 1990；只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为24000 5000 1000 2000 16000,月缴个税X 3000 0.03 9000 0.1 4000 0.2 1790;既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为24000 5000 1000 1000 2000 15000,月缴个税X 3000 0.03 9000 0.1 3000 0.2 1590；所以X的可能值为2190, 1990, 1790, 1590,依题意,上述四类人群的人数之比是2:1:1:1,2 1所以P X 2190 — , P X 1990 —,5 51 1P X 1790 一,P X 1590 —.,5 5_ _ _ 2 _ 1 _ 1 一1 一所以E X 2190 — 1990 — 1790 — 1590 — 1950.. 5 5 5 5(2)由于在旧政策下该收入层级的IT从业者2021年每月应纳税所得额为24000 3500 20500,其月缴个税为1500 0.03 3000 0.1 4500 0.2 11500 0.25 4120,由于在新政策下该收入层级的IT从业者2021年月缴个税为1950,所以该收入层级的IT从业者每月少缴交的个税为4120 1950 2170.,设经过x个月,该收入层级的IT从业者少缴交的个税的总和就超过24000,那么2170x 24000,由于x N ,所以x 12,所以经过12个月,该收入层级的IT从业者少缴交的个税的总和就超过2021年的月收【点睛】此题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算,考查样本估计总体的统计思想,属于中档题.2x21.函数f x x e a.(1)假设y 2x是曲线y f x的切线,求a的值；(2)假设f x 1 x In x,求a的取值范围.【答案】(1) a 1⑵,1【解析】法—：(1)根据题意,设切点的坐标为( 与,力),求出函数的导数,由导数的y1 2x1几何意义分析可得y X e2x1 ax1,解可得a的值,即可得答案；2x1 1 e2" a 2(2)根据题意,f (x) > 1 + x+lnx IP x (S x-a) > 1+x+lnx,结合x的取值范围变形可得a+1 <e2x LJnx,设F (x) = e2x LJnx,利用导数分析F (x)在(0, +oo)上x x的最小值,据此分析可得答案.2x . 法二：(1)同解法一.(2)设F x x e a 1 x Inx ,求导后,先研究a=1时导函数的最小值, 从而得到结论成立, 再研究a>1和a<1时情况,利用变换主元的方法进行放缩后分别说明成立及不成立.法三：(1)同解法一.(2)先考查函数mt e t t 1,通过导函数证实mt 0,利用此引理进行放缩,分a 1及a 1去证实,分别去证实成立与说明不成立,得到a的范围.【详解】2x 2x解法一：(1)由于f x x e a ,所以f x 2x 1 e a ,设直线y 2x与y f x的图象的切点为x1,y1 ,那么2斗1 e2x1 a 2.①y xe2x1ax,②由于切点既在切线上又在曲线上,所以y1 11'V1 2.③由①②③得a 1.2x 2x(2)由题意得xe 1 lnx a 1 x,即xe 1 Inx a 1 x,由于x 0,所以e 2x1-lnx a 2、几 l2x1 lnx nrt设 F x e ------------------ ,贝U F x2考查函数h x2x 2e 2x lnx,1由于 h x 4xe x 1— 0, x 又由于h e 11ee 1 1e ee1 .故存在x 0— ,1 ,使得h xo ( e1,c 2x lnx2x 2e 2x lnx2e不 ------------------------ -x x所以h x 在0, 单调递增.1 2 1 0 ,且 h 12 e 2 0,e,即 2x 02e 2x 0 lnx .0 ,0 , F x 单调递增.2x 01 lnx 0 e --------------x 0由题意得,a 1 F x 0 .令x 02e 2x 0 t0,取对数2% 2lnx ° lnt 得,④由 2x 02e 2x 0 lnx 0 由④⑤得 2x 0 lnx 0 2t lnt, 设函数 x lnx 2x,那么有 x 0 t , 由于 x lnx 2x 在0, 单调递增,所以 x ° t ,即 lnx 02x 0, l2x01 lnx 0 11 2x 0 -所以 F x ° e x 0-------------- 0--------- 0 2,故 a 1 2,解得 a 1 . x ° x °x °故a 的取值范围是 ,1 .解法二：(1)同解法一.(2)设 F x x e 2x a 1 x lnx , x 0,2x2x 1 e所以当x0,x 0时,h x 0, F x 0 , F x 单调递减;当 x x °,所以 F X min F x 0①当a 1时,令G x2xxe 2x lnx 1,G x 2x 1 e 2x - x、几2 x12 x1设g x e 一,x 0.由于 g x 2e — 0, xx1-故存在x °-,0 ,使得g x 0 0,4 2x 01...............所以e 一,两边取对数得2x 0lnx 0.,x .②当a 1时,由于x 0,所以a 1不符合题意. ③当a 1时,F x 综上,a 的取值范围是 ,1 .解法三：(1)同解法一.(2)考查函数 m t e t t 1,由于m t e t 1 ,所以当t 0时,m t 当 t ,0 时,m t 0;当 t 0, 时,m t 0, 所以m t 在 ,0单调递减,在 0, 单调递增.所以m t m 00.①当a 1 2,即a 1时,由于x 0, 所以 xe 2x e 2x lnx 2x Inx 1 a 1 x Inx 1,符合题意； ②当 a 12 ,即 a 1 时,设 g xe 2x Inx Inx a 1 x1,所以g x 在0,、…一 一. 1 单调递增,又由于g - 4Te 4 0, g 1 e 2 1 0所以当x 0,x 0 , g x 0, G x 0 , G x 单调递减. x x 0,0, G x 0 , G x 单调递增. 所以G x 由访G x 0 x 0e 2x 02x 0 lnx 0 1 0.即a 1时,有x e 2x11 x Inx 所以a 1符合题意,所以 F x x e 2x a2x1 x Inx x e 1由①知,存在x 00, ,使得 F x 0G x 0 0,0,由于 x 0,所以 g x e 2x 1nx Inx 2x 1, 令 h xe 2x 1nx Inx 2x 1 ,考察 t x2x Inx x 0 .…1~、…,〜由于t x 2 — 0,所以t x 在0, 单调递增. x 12 .. 一 八由于 t —— 1 0,t12 0,e e1 .故存在 x 0-,1 ,使得 t x 0 0,即 2x 0 1nx 0 0,e所以存在 x 0 1,1 ,使得 h x 0 e 2x 0lnx 02x 0 1nx 0 1 0,e1 ,由于g x h x ,故存在x 0- ,1 ,使信g x 0 h x 0 0,e所以a 1不符合题意. 综上,a 的取值范围是 ,1 .【点睛】此题考查利用导数分析函数的最值以及计算切线的方程,考查了利用导数研究函数的恒成立问题,关键是掌握导数的定义,正确计算函数的导数,属于综合题.(2)设1与C 交于A ,B 两点,线段 AB 的中点为M ,求PM ._ . 一 x 2 o 55【答案】(1) — y 21, 1,1 (2) PM 一 241【解析】(1)利用互化公式把曲线 C 化成直角坐标方程,把点P 的极坐标化成直角坐标;(2)把直线l 的参数方程的标准形式代入曲线C 的直角坐标方程,根据韦达定理以及参数t 的几何意义可得.22.在直角坐标系xOy 中,直线1的参数方程为为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线点P 的极坐标为 72,-.(1)求C 的直角坐标方程和 P 的直角坐标；t 为参数),以坐标原点C 的极坐标方程为2 2~21 sino2 . c c c . c c c (1)由p 2—2-^得p 2+ p 2sin 2 0 =2,将p 2= x 2+y 2,y=psin 0代入上式并整理得曲线 C1 sin2的直角坐标方程为 —y 2=i,2设点P 的直角坐标为(x, y),由于P 的极坐标为(J ], 7)2— y 2=1,并整理得 41t 2+110t +25 = 0, 2由于△= 1102- 4X 41X 25= 8000>0,故可设方程的两根为t 1, t 2,… _ ,一110那么t 1, t 2为A, B 对应的参数,且t 1 + t 2 ——,41依题意,点M 对应的参数为, 2所以 I PM I = I t 1__k| 55.2 41此题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题. 23.函数 f x x 1 ax 3 a 0 .(1)当a 2时,求不等式f x 1的解集；(2)假设y f x 的图像与x 轴围成直角三角形,求a 的值. 【答案】(1) x 1 x 3 (2)我【解析】(1)分3段去绝对值解不等式组,再求并； (2)将y= f (x)去绝对值写出分段函数,根据其图象与 x 轴围成直角三角形,转化为(a- 1) (a+1) =- 1 或(*1) (1-a) = - 1,可解得. 【详解】(1)当 a= 2 时,不等式 f (x) > 1,即 | x+1| - |2 x- 3| >1,当xw - 1时,原不等式可化为- x- 1+2x- 3> 1,解得x>5,由于x< - 1,所以此时 原不等式无解；, 3 ........................... .一 一 3 当-1<x —时,原不等式可化为 x +1+2x- 3> 1,解得x> 1,所以1v x —；22所以 x= pcos 0 . 2 cos — 所以点P 的直角坐标为(1, y= psin 0 ..2sin - 1, 1,1).3x 1 -t(2)将5代入4 y 1 t5当x>3时,原不等式可化为 x +1 - 2x +3>1, 2 综上,原不等式的解集为 {x[1 <x<3}.那么a 1 a 11 ,解得a 0,舍去;当a 1时,y f x 的图象与x 轴不能围成三角形,不符合题意,舍去; 当a 1时,要使得y f x 的图象与x 轴围成直角三角形, 那么1 a a 11 ,解得a J 2,由于a 1 ,所以a J 2.【点睛】此题考查了绝对值不等式的解法, 考查了数形结合思想及函数与方程思想的转化, 属于中档题.解得xv 3,所以3<xv3.2a 1 x 4, x 1,一 , 3(2)由于a 0,所以—0 ,所以f x a3a 1 x 2, 1 x —, a , 3 1 a x 4, x 一 a由于a 0,所以f 1c c. 3 ,3八 a 30, f — 1 — 0,a a当0 a 1时,要使得y f x 的图象与x 轴围成直角三角形,综上,所求a 的值为72.gft 】 q 61。

福州市高中毕业班质量检查数学理科试卷(满分150分，考试时间1)参考公式：样本数据x 1，x 2，… ，x n 的标准差锥体体积公式V=31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式V=Sh24S R =π，343V R =π 其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是是正确的, 将正确答案填写在答题卷相应位置．） 1.如果复数z =(a 2－3a +2)+(a －1)i 为纯虚数,则实数a 的值 ( ).A.等于1或2B.等于1C.等于2D.不存在 2.曲线f (x )=x 3+x －2在0P 点处的切线平行于直线y =4x －1,则P 0点的坐标为( ) A.(1,0)或(－1,-4) B.(0,1) C.(1,0) D.(-1,-4)3. 已知数列{}n a 为等差数列，且1713212,tan()a a a a a π++=+则的值为（ ）B. C. D.4. 给定下列四个命题：①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④ 5.某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：俯视图左视图主视图对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是( )A.y ＝2x －2B.y ＝(12)xC.y ＝log 2xD.y ＝12(x 2－1)6.设22)1(,3005,y x x y x y x y x ++⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-则满足约束条件的最大值为( )A. 80B. C.25 D.1727. 已知12,a a 均为单位向量，那么131,22a ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭是()123,1a a +=的（ ）Ａ.充分不必要条件 Ｂ.必要不充分条件 Ｃ.充分必要条件 Ｄ.既不充分又不必要条件 8.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为( ) A.1 B.12C.14D.189.已知F 1、F 2为椭圆2212516x y +=的左、右焦点，若M 为椭圆上 一点，且△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π,则满足条件的点M 有( )个.A.0B.1C.2D.410.已知函数f (x +1)是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x 1、x 2，不等式1212()[()()]0x x f x f x --<恒成立，则不等式f (1－x )<0的解集为( ).A.(1,+∞)B.(0,+∞)C.(－∞,0)D.(－∞,1)二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共将正确答案填写在答题卷相应位置．）11.二项式10112x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第六项的系数等于__________(用数字作答)12. 在等比数列{}n a 中，首项=1a 32，()44112a x dx =+⎰，则公比q 为 .13.四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如右图所示,根据图中的信息，在四棱锥P ABCD -的任两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线对数为 .(第8题)D ABFC14.在区间[π,π]-内随机取两个数分别记为,a b ，则使得函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的概率为 .15.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行． 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……………………………………三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写在答题卷相应位置，要写出文字说明、证明过程或演算过程．）16．（本小题满分13分） 已知函数1()cos 2f x x x ππ=+, x R ∈． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值和最小值；（Ⅱ）设函数()f x 在[1,1]-上的图象与x 轴的交点从左到右分别为M 、N ，图象的最高点为P,求PM 与PN 的夹角的余弦． 17．（本小题满分13分）“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的． （Ⅰ）求出在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；（Ⅱ）若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X ，求X 的分布列及其期望．18．（本小题满分13分）如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直， BE//CF ，BC ⊥CF ,AD =EF =2，BE =3，CF =4.(Ⅰ)求证：EF ⊥平面DCE ；(Ⅱ)当AB 的长为何值时,二面角A-EF-C 的大小为60°． 19．（本小题满分13分）已知点M(k,l )、P (m,n ),(klmn ≠0)是曲线C 上的两点，点M 、N 关于x 轴对称，直线MP 、NP 分别交x 轴于点E(x E ,0)和点F (x F ,0)，（Ⅰ）用k 、l 、m 、n 分别表示E x 和F x ;（Ⅱ）当曲线C 的方程分别为：222(0)x y R R +=> 、22221(0)x y a b a b+=>>时，探究E F x x ⋅的值是否与点M 、N 、P 的位置相关；（Ⅲ）类比（Ⅱ）的探究过程，当曲线C 的方程为22(0)y px p =>时，探究E x 与F x 经加、减、乘、除的某一种运算后为定值的一个正确结论.(只要求写出你的探究结论，无须证明).本小题满分14分）设函数f (x )=e x +sinx,g (x )=ax,F (x )=f (x )－g (x ). (Ⅰ)若x =0是F (x )的极值点,求a 的值；(Ⅱ)当 a =1时,设P (x 1,f (x 1)), Q (x 2, g (x 2))(x 1>0,x 2>0), 且PQ //x 轴,求P 、Q 两点间的最短距离； (Ⅲ):若x ≥0时,函数y =F (x )的图象恒在y =F (－x )的图象上方,求实数a 的取值范围． 21．（本小题满分14分）本题共有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则以所做的前2题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知二阶矩阵M 有特征值3λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵M 对应的变换将点(1,2)-变换成(9,15). 求矩阵M ．（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是22sin ,2cos x y αα=+⎧⎨=⎩（α是参数）．现以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，写出曲线C 的极坐标方程． （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 解不等式2142x x +-->．福州市高中毕业班质量检查数学理科试卷参考答案和评分标准一．选择题 1.C ２.A ３.B ４.D ５.D ６.A ７.B ８.C ９.C 10.C 二．填空题 11．638- 12．3 13．6 14．1－4π 15．21n-三．解答题16．解：（Ⅰ）∵1()cos 22f x x x ππ=+=sin()6x ππ+．-----------------------------2分∵x R ∈ ∴1sin()16x ππ-≤+≤，∴函数()f x 的最大值和最小值分别为1，—1．---------------4分 （Ⅱ）解法1：令()sin()06f x x ππ=+=得,6x k k Z πππ+=∈,∵[1,1]x ∈- ∴16x =-或56x = ∴15(,0),(,0),66M N - -----------------------6分由sin()16x ππ+=，且[1,1]x ∈-得13x = ∴ 1(,1),3P -----------------------------8分∴11(,1),(,1),22PM PN =--=- ------------------------------------------10分∴cos ,||||PM PNPM PN PM PN ⋅<>=⋅35= ．---------------------------------------13分解法2：过点P 作PA x ⊥轴于A ,则||1,PA = 由三角函数的性质知1||12MN T ==, ---------------6分||||2PM PN ===,-----------------------------------------------------------8分由余弦定理得222||||||cos ,2||||PM PN MN PM PN PM PN +-<>=⋅---------------------------10分=521345524⨯-=⨯．---13分解法3：过点P 作PA x ⊥轴于A ,则||1,PA =由三角函数的性质知1||12MN T ==,----------------------6分||||2PM PN ===----------------------------------------8分在Rt PAM ∆中，||cos ||PA MPA PM ∠===分 ∵PA 平分MPN ∠ ∴2cos cos 22cos 1MPN MPA MPA ∠=∠=∠-23215=⨯-=．------------------------------------------------------13分 17．解：（Ⅰ）玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（石头，布）；（剪刀，石头）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，剪刀）；（布，布）．共有9个基本事件，--------------------3分玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是：（石头，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头），共有3个．所以，在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率3193P ==．--------------------6分 （Ⅱ）X 的可能取值分别为0，1，2，3．()303280327P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()1213121213327P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()212312623327P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()333113327P X C ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭．--------------------10分 X 的分布列如下：-------------------11分0123127272727EX =⨯+⨯+⨯+⨯=（或：1~(3,)3X B ，1313EX np ==⨯=）．------------------13分18．解：方法一：（Ⅰ）证明：在△BCE 中，BC ⊥CF ,BC=AD =3,BE =3，∴EC= ∵在△FCE 中，CF 2=EF 2+CE 2，∴EF ⊥CE ………………3分 由已知条件知，DC ⊥平面EFCB ,∴DC ⊥EF ，又DC 与EC 相交于C ，……………………………………5分∴EF ⊥平面DCE ……………………6分（Ⅱ）过点B 作BH ⊥EF 交FE 的延长线于H ，连结AH ． 由平面ABCD ⊥平面BEFC ，平面ABCD ∩平面BEFC=BC, AB ⊥BC ，得AB ⊥平面BEFC ，从而AH ⊥EF ．所以∠AHB 为 二面角A-EF-C 的平面角．……8分在R t △CEF 中，因为EF =2，CF =4．EC=∴∠CEF =60°，由CE ∥BH ，得∠BHE =60°，又在Rt △BHE 中，BE =3，∴sin 2BH BE BEH =⋅∠=…………10分 由二面角A-EF-C 的平面角∠AHB=60°，在Rt △AHB 中，解得9tan 2AB BH AHB =⋅∠=， 所以当92AB =时，二面角A-EF-C 的大小为60°……………………13分 方法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）如图，以点C 为坐标原点，以CB ，CF 和CD 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C-xyz ．……………………7分设AB=a （a >0），则C (0,0,0)，A,0,a )，B0，0），E3，0），F （0，4，0）．从而(3,1,0),(0,3,),EF AE a =-=-………………9分设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，由0,0EF n AE n ⋅=⋅=得，30y y az ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取x =1，则y z ==，即(1,3,n =，…………………………11分A B EFCHD不妨设平面EFCB 的法向量为(0,0,)BA a =，由条件，得1|cos ,|2||||n BA n BA n BA a ⋅<>===解得92a =．所以当92AB =时，二面角A-EF-C 的大小为60°．………………13分 19．解：（Ⅰ）依题意N (k,－l )，且∵klmn ≠0及MP 、NP 与x 轴有交点知：……2分M 、P 、N 为不同点，直线PM 的方程为()n ly x m n m k-=-+-，……3分 则E nk ml x n l -=-，同理可得F nk mlx n l+=+.……5分 （Ⅱ）∵M,P 在圆C ：x 2+y 2=R 2上,222222m R n k R l⎧=-∴⎨=-⎩,222222222222222()()E F n k m l n R l R n l x x R n l n l ----⋅===--(定值). ∴E F x x ⋅的值是与点M 、N 、P 位置无关. ……8分同理∵M,P 在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上,2222222222a n m a b a lk a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩,2222222222222222222()()E F a l a n n a a l n k m l b b x x a n l n l ----⋅===--(定值). ∴E F x x ⋅的值是与点M 、N 、P 位置无关. ………11分 （Ⅲ）一个探究结论是：0E F x x +=． ………13分 证明如下：依题意, E nk ml x n l -=-,F nk mlx n l+=+. ∵M,P 在抛物线C ：y 2=2px (p >0)上,∴n 2=2pm,l 2=2pk.2222222()2(22)0E F n k ml pmk pmk x x n l n l --+===--.∴E F x x +为定值.：(Ⅰ)F (x )= e x +sinx －ax,'()cos xF x e x a =+-.因为x =0是F (x )的极值点,所以'(0)110,2F a a =+-==.………2分又当a =2时,若x <0, '()cos 0xF x e x a =+-<;若 x >0, '()cos 0xF x e x a =+->.∴x =0是F (x )的极小值点, ∴a=2符合题意. ………4分(Ⅱ) ∵a =1, 且PQ //x 轴,由f (x 1)=g (x 2)得:121sin xx e x =+,所以12111sin xx x e x x -=+-. 令()sin ,'()cos 10xxh x e x x h x e x =+-=+->当x >0时恒成立. ∴x ∈[0,+∞)时,h (x )的最小值为h (0)=1.∴|PQ|mi n =1. ………9分 (Ⅲ)令()()()2sin 2.xxx F x F x e e x ax ϕ-=--=-+-则'()2cos 2.xxx e ex a ϕ-=++-()''()2sin x x S x x e e x ϕ-==--.因为'()2cos 0x xS x e e x -=+-≥当x ≥0时恒成立, ………11分所以函数S (x )在[0,)+∞上单调递增, ………12分 ∴S (x )≥S (0)=0当x ∈[0,+∞)时恒成立;因此函数'()x ϕ在[0,)+∞上单调递增, '()'(0)42x a ϕϕ≥=-当x ∈[0,+∞)时恒成立. 当a ≤2时,'()0x ϕ≥,()x ϕ在[0,+∞)单调递增,即()(0)0x ϕϕ≥=. 故a ≤2时F (x )≥F(－x )恒成立. ………13分[)[)[)[)(]00002'()0,'()0,(0,),0'()0.()0,(0)0(0,)()0(14)()00,2.a x x x x x x x x x x F x F x x a a ϕϕϕϕϕϕ><+∞∴∈+∞<=∴∈<--≥∈+∞⋯∴>∞⋯⋯当时，又在单调递增，总存在使得在区间，上导致在递减，而，当时，，这与对恒成立不符，不合题意.综上取值范围是-,2分21．（1）解：设M =a b cd ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=311⎡⎤⎢⎥⎣⎦=33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故3,3.a b c d +=⎧⎨+=⎩……………3分a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=915⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故29,215.a b c d -+=⎧⎨-+=⎩……………5分 联立以上两方程组解得a =1-，b =4，c =3-，d =6，故M =1436-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． ………7分 （2）解：曲线C 的直角坐标方程是22(2)4x y -+=，……3分 因为222x y ρ+=，cos y ρθ=，…5分故曲线C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=．……7分 （3）解：令214y x x =+--，则1521334254x x y x x x x ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+⎪⎩， ，， ，， ．≤≥ ．．．．．．．3分 作出函数214y x x =+--的图象，它与直线2y =的交点为(72)-，和523⎛⎫ ⎪⎝⎭，．．．．．．．．6分 所以2142x x +-->的解集为5(7)3x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，，．．．．．．．．7分。

年福建省普通高中毕业班质量检查理 科 数 学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)，第II 卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．总分值150分．考试时间120分钟．本卷须知：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的外表积、体积公式V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第一卷〔选择题 共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．在复平面上，复数(2i)i z =-+的对应点所在象限是 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．平面向量()2,1=a ，(),2m =-b ，假设a 与b 共线，那么m 的值为〔 〕 A ．1- B ．4- C ．1 D ．43．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程是20x y ±=，那么其离心率为〔 〕A ．5B ．52C ．3D ．54．假设集合2{|20}A x x x =--<，{|2}B x x a =-<<， 那么“A B ≠∅〞的充要条件是A ． 2a >-B ．2a ≤-C ．1a >-D ．1a ≥- 5．某几何体的三视图如以以下图，且该几何体的体积是32，那么正视图中的x 的值是 A ．2 B ．92 C ．32D ．3 6．{}n a 是公差为2的等差数列，且134,,a a a 成等比数列，那么数列{}n a 的前9项和等于A ．0B ．8C ．144D ．1627．执行如以以下图的程序框图，假设输出的结果是8，那么输入的数是 A ．2或22 B ．22或22- C ．2-或22- D ．2或22-8．设0>a ，假设关于x 的不等式51≥-+x ax 在）∞+∈,1(x 恒成立， 那么a 的最小值为A ． 16B ． 9C ．4D ． 29．有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是A ．12B ．14C ．124D ．114410．定义在R 上的函数()f x 及其导函数()f x ' 的图象都是连续不断的曲线，且对于实数,()a b a b <，有()0,()0f a f b ''><．现给出如下结论：①00[,],(=0x a b f x ∃∈）；②00[,],(()x a b f x f b ∃∈>）；③00[,],(()x a b f x f a ∀∈≥）；④00[,],(()()()x a b f a f b f x a b '∃∈->-）. 其中结论正确的个数是A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4第二卷〔非选择题 共100分〕二、填空题:本大题共5小题，每题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．()2321d xx -+=⎰ .12．523)1(xx +展开式的常数项是 ．13．圆C 过坐标原点，圆心在x 轴的正半轴上．假设圆C 被直线0x y -=截得的弦长为22,那么圆C 的方程是__________．14．在平面直角坐标系中，不等式组20,20,x y x y x a +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩〔0>a 〕表示的平面区域的面积为5，直线mx-y+m=0过该平面区域，那么m 的最大值是 .15．对于非空实数集A ，记*{,}A y x A y x =∀∈≥．设非空实数集合P M ⊆，假设1>m 时，那么P m ∉． 现给出以下命题：①对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有**M P ⊆； ②对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有*M P ⋂≠∅； ③对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有*M P ⋂=∅；④对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必存在常数a ，使得对任意的*b M ∈，恒有*a b P +∈， 其中正确的命题是 ．〔写出所有正确命题的序号〕三、解答题：本大题共6小题，共74分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. (本小题总分值13分)阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+------①sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-------②由①+② 得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=------③令,A B αβαβ+=-= 有,22A B A Bαβ+-== 代入③得 sin sin 2sin cos 22A B A BA B +-+=. (Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:cos cos 2sinsin 22A B A B A B +--=-; (Ⅱ)假设ABC ∆的三个内角,,A B C 满足cos 2cos 21cos 2A B C -=-,试判断ABC ∆的形状. (提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论) 17. (本小题总分值13分)在直角梯形ABCD 中，AD //BC，22BC AD AB ===90ABC ∠=,如图〔1〕．把ABD ∆沿BD 翻折，使得平面BCD ABD 平面⊥.〔Ⅰ〕求证：CD AB ⊥；〔Ⅱ〕假设点M 为线段BC 中点，求点M 到平面ACD 的距离；〔Ⅲ〕在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60？假设存在，求出BCBN的值；假设不存在，说明理由．18. (本小题总分值13分)2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中的的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：组别 〔微克/立方米〕频数〔天〕频率 第一组 (0,15] 4 第二组 (15,30] 12 第三组 (30,45] 8 第四组 (45,60] 8 第三组 (60,75] 4 第四组(75,90)4(Ⅰ)写出该样本的众数和中位数〔不必写出计算过程〕；〔Ⅱ〕求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改良？说明理由；〔Ⅲ〕将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E 〔ξ〕． 19. (本小题总分值13分)12(1,0),(1,0)F F -为平面内的两个定点，动点P 满足1222PF PF +=记点P 的轨迹为曲线Γ．〔Ⅰ〕求曲线Γ的方程；〔Ⅱ〕设点O 为坐标原点，点A ，B ，C 是曲线Γ上的不同三点，且0OA OB OC ++=．〔ⅰ〕试探究：直线AB 与OC 的斜率之积是否为定值？证明你的结论；〔ⅱ〕当直线AB 过点1F 时，求直线AB 、OC 与x 轴所围成的三角形的面积． 20．(本小题总分值14分)设函数)(x f 的图象是由函数21cos sin 3cos )(2-+=x x x x g 的图象经以下两个步骤变换得到： 〔1〕将函数)(x g 的图象向右平移12π个单位，并将横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，得到函数()h x 的图象；〔2〕将函数()h x 的图象上各点的纵坐标缩短为原来的1(0)2m m <<倍〔横坐标不变〕，并将图象向上平移1个单位，得到函数)(x f 的图象． 〔Ⅰ〕求)(x f 的表达式；〔Ⅱ〕判断方程x x f =)(的实根的个数，证明你的结论；〔Ⅲ〕设数列}{n a 满足)(,011n n a f a a ==+，试探究数列}{n a 的单调性，并加以证明．21．此题有〔1〕、〔2〕、〔3〕三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，总分值14分．如果多做，那么按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．〔1〕〔本小题总分值7分〕选修4－2：矩阵与变换 向量11⎛⎫⎪-⎝⎭在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101m M 变换下得到的向量是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10． 〔Ⅰ〕求m 的值；〔Ⅱ〕求曲线02=+-y x y 在矩阵1M-对应的线性变换作用下得到的曲线方程．〔2〕〔本小题总分值7分) 选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 点M的极坐标为()4π，曲线C的参数方程为1,(x y ααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数）．〔Ⅰ〕求直线OM 的直角坐标方程；〔Ⅱ〕求点M 到曲线C 上的点的距离的最小值． 〔3〕〔本小题总分值7分) 选修4—5：不等式选讲 设实数,a b 满足29a b +=．〔Ⅰ〕假设93b a -+<，求x 的取值范围； 〔Ⅱ〕假设,0a b >，且2z a b =，求z 的最大值．年福建省普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细那么．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继局部的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继局部的给分，但不得超过该局部正确解容许给分数的一半；如果后继局部的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查根底知识和根本运算．每题5分，总分值50分．1．C ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．A ； 7．D ； 8．C ； 9．B ； 10．B 二、填空题：本大题考查根底知识和根本运算．每题4分，总分值20分．11．4 ； 12．10； 13．()2224x y -+=； 14．43； 15．①④．三、解答题：本大题共6小题，共80分,解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.本小题主要考查两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等根底知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．总分值13分．解法一：(Ⅰ)证明:因为cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，------①cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，------②……………………………………………2分①-② 得cos()cos()2sin sin αβαβαβ+--=-.------③………………………………3分令,A B αβαβ+=-=有,22A B A Bαβ+-==， 代入③得cos cos 2sin sin 22A B A BA B +--=-.………………………………………6分 (Ⅱ)由二倍角公式,cos 2cos 21cos 2A B C -=-可化为22212sin 12sin 112sin A B C --+=-+,……………………………………………9分 所以222sin sin sin A C B +=.……………………………………………10分设ABC ∆的三个内角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，由正弦定理可得222a cb +=.…………………………………………12分根据勾股定理的逆定理知ABC ∆为直角三角形.……………………………………………13分解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,cos 2cos 21cos 2A B C -=-可化为()()22sin sin 112sin A B A B C -+-=-+，……………………………………………8分 因为A,B,C 为ABC ∆的内角，所以A B C π++=，所以()()()2sin sin sin A B A B A B -+-=+. 又因为0A B π<+<，所以()sin 0A B +≠, 所以()()sin sin 0A B A B ++-=.从而2sin cos 0A B =.……………………………………………10分 又sin 0A ≠,所以cos 0B =，故2B π∠=.……………………………………………12分所以ABC ∆为直角三角形. ……………………………………………13分17. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等根底知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．总分值13分．解法一：〔Ⅰ〕由条件可得2,2,BD CD ==BD CD ⊥．………………………………2分 ∵平面BCD ABD 平面⊥，BD BCD ABD =⋂平面平面． ∴BD A CD 平面⊥．……………………………………3分又∵ABD AB 平面⊂，∴CD AB ⊥．……………………………………4分〔Ⅱ〕以点D 为原点，BD 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．由可得(1,0,1),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),A B C D (1,1,0)M ． ∴(0,2,0),(1,0,1)CD AD =-=--．………………6分 设平面ACD 的法向量为),,(z y x n =， 那么n AD n CD ⊥⊥,∴0,0,y x z =⎧⎨+=⎩令1x =，得平面ACD 的一个法向量为)1,0,1(-=n ， ∴点M 到平面ACD 的距离22n MCd MC⋅==．……………………………………………8分 〔Ⅲ〕假设在线段BC 上存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60．……………………9分设,01BN BC λλ=<<，那么(22,2,0)N λλ-， ∴(12,2,1)AN λλ=--，又∵平面ACD 的法向量)1,0,1(-=n 且直线AN 与平面ACD 所成角为60， ∴03sin 602AN nAN n⋅==，……………………………………………11分 可得01282=-+λλ， ∴2141-==λλ或〔舍去〕． 综上，在线段BC 上存在点N ，使AN 与平面ACD 所成角为60，此时41=BC BN ．…………13分 解法二：〔Ⅰ〕同解法一．〔Ⅱ〕由条件可得AD A ⊥B ，AB AD ==121=⋅=∆AD AB S ABD ． 由〔Ⅰ〕知BD A CD 平面⊥，即CD 为三棱锥C-ABD 的高，又CD=2， ∴3231=⋅=∆-ABD ABD C S CD V ， 又∵点M 为线段BC 中点，∴ 点M 到平面ACD 的距离等于点Ｂ到平面ACD 的距离的21，…………………………6分 ∴312121===---ABD C ADCB ADC M V V V ， ∵AD CD ⊥，，∴221=⋅=∆DC AD S ACD ， 设点M 到平面ACD 的距离为d，那么1133ADC d S ∆⋅=，即1133d ⨯=解得d =22，∴设点M 到平面ACD 的距离等于22.…………………………………8分 〔Ⅲ〕同解法一． 解法三：〔Ⅰ〕同解法一．〔Ⅱ〕∵点M 为线段BC 中点，∴ 点M 到平面ACD 的距离等于点Ｂ到平面ACD 的距离的21，………………………………6分 由条件可得AD A ⊥B ，由〔Ⅰ〕知CD AB ⊥， 又ADCD D =，∴ CD AB A 平面⊥，∴点Ｂ到平面ACD 的距离等于线段AB 的长．∵2=AB ，∴设点M 到平面ACD 的距离等于22……………………………………………8分 〔Ⅲ〕同解法一．查频率分布直方表、随机变量的分布列、数学期望等根底知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．总分值13分．解：(Ⅰ) 众数为2微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米．……………………………………4分 〔Ⅱ〕去年该居民区年平均浓度为7.50.122.50.337.50.252.50.267.50.182.50.140.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=〔微克/立方米〕．…………………6分因为40.535>，所以去年该居民区不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改良．……………………………………………8分 〔Ⅲ〕记事件A 表示“一天的24小时平均浓度符合环境空气质量标准〞，那么9()10P A =.………………9分 随机变量ξ9(2,)10B ξ. 所以2299()()(1)(0,1,2)1010k kk P k C k ξ-==-=，…………………………………………11分 所以变量ξ的分布列为…………………………………………12分11881012 1.8100100100E ξ=⨯+⨯+⨯=〔天〕,或92 1.810E nP ξ==⨯=〔天〕. ……………………13分 19．本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等根底知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．总分值13分．解法一：〔Ⅰ〕由条件可知， 点P 到两定点12(1,0),(1,0)F F -的距离之和为定值 所以点P 的轨迹是以12(1,0),(1,0)F F -为焦点的椭圆．…………………………………………2分又a =1c =，所以1b =，故所求方程为2212x y +=．…………………………………………4分 〔Ⅱ〕设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ．由0OA OB OC ++=，得1230x x x ++=，1230y y y ++=．…………………………5分 〔ⅰ〕可设直线AB 的方程为y kx n =+(0)k ≠，代入2222x y +=并整理得，222(12)4220k x knx n +++-=，依题意，0∆>，那么 122412kn x x k +=-+，121222()212ny y k x x n k+=++=+， 从而可得点C 的坐标为2242(,)1212kn n k k -++，12OCk k =-． 因为12AB OC k k ⋅=-，所以直线AB 与OC 的斜率之积为定值．……………………………8分〔ⅱ〕假设AB x ⊥轴时，(1,(1,22A B ---,由0OA OB OC ++=， 得点(2,0)C ，所以点C 不在椭圆Γ上，不合题意． 因此直线AB 的斜率存在．……………………………9分由〔ⅰ〕可知，当直线AB 过点1F 时, 有n k =，点C 的坐标为22242(,)1212k kk k -++． 代入2222x y +=得，4222221682(12)(12)k k k k +=++，即22412k k =+，所以2k =±． ……………………………11分〔1〕当k =时，由〔ⅰ〕知，12OC k k ⋅=-，从而OC k =．故AB 、OC 及x 轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为1，且底边上的高12h ==，所求等腰三角形的面积11248S =⨯⨯=．〔2〕当2k =-时，又由〔ⅰ〕知，12OC k k ⋅=-，从而2OC k =，同理可求直线AB 、OC 与x轴所围成的三角形的面积为8． 综合〔1〕〔2〕，直线AB 、OC 与x轴所围成的三角形的面积为8．…………………13分 解法二：〔Ⅰ〕同解法一．〔Ⅱ〕设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ．由0OA OB OC ++=得：1230x x x ++=，1230y y y ++=．………………………5分〔ⅰ〕因为点11(,)A x y ，22(,)B x y 在椭圆上，所以有：221122x y +=，222222x y +=，两式相减，得12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-=， 从而有1212121212y y y y x x x x -+⋅=--+． 又123y y y +=-，33OC y k x =， 所以12AB OC k k ⋅=-，即直线AB 与OC 的斜率之积为定值．………………………………8分 〔ⅱ〕同解法一．20．此题考查三角恒等变化、三角函数的图象与性质、零点与方程的根、数学归纳法等根底知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等.总分值14分.解:(Ⅰ)()211cos 21cos cos 2222x g x x x x x +=-=- …………………2分1cos 22sin 2226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭…………………………3分 ()sin h x x ∴=,…………………………4分()sin 1f x m x =+.…………………………5分(Ⅱ)方程()f x x =有且只有一个实根. …………………………6分理由如下：由(Ⅰ)知()sin 1f x m x =+，令()()sin 1F x f x x m x x =-=-+,因为()010F =>,又因为102m <<,所以3102222F m πππ⎛⎫=-+<-< ⎪⎝⎭.所以()0F x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭至少有一个根. …………………………7分 又因为()'1cos 1102F x m x m =-<-<-<, 所以函数()F x 在R 上单调递减,所以函数()F x 在R 上有且只有一个零点，即方程()f x x =有且只有一个实根. …………………………9分(Ⅲ)因为()110,sin 1,n n n a a f a m a +===+211,a a =>所以又3 sin11a m =+，因为012π<<，所以0sin11<<，所以321a a >=． 由此猜想1(2)n n a a n ->≥,即数列{}n a 是单调递增数列. …………………………11分以下用数学归纳法证明:,n N ∈且2n ≥时,10n n a a ->≥成立.(1)当2n =时,211,0a a ==,显然有210a a >≥成立.(2)假设(2)n k k =≥时,命题成立，即10(2)k k a a k ->≥≥．…………………………12分 那么1n k =+时,()1sin 1k k k a f a m a +==+， 因为102m <<，所以()111sin 11122k k k a f a m a m π--==+<+<+<． 又sin x 在()0,2π上单调递增，102k k a a π-≤<<， 所以1sin sin 0k k a a ->≥，所以1sin 1sin 1k k m a m a -+>+，即111sin sin 1()0k k k k a m a f a a +-->+==≥，即1n k =+时,命题成立. …………………………13分综合(1) ,(2)，,n N ∈且2n ≥时, 1n n a a ->成立.故数列{}n a 为单调递增数列. …………………………14分21．〔1〕〔本小题总分值7分〕选修4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换等根底知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．潢分7分． 解：〔Ⅰ〕因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛1111101m m ， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1011m ，即m =1．…………………………………………3分〔Ⅱ〕因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011M ，所以11101M --⎛⎫= ⎪⎝⎭．…………………………………4分 设曲线02=+-y x y 上任意一点(,)x y 在矩阵1M-所对应的线性变换作用下的像是(,)x y ''. 由1101x x x y y y y '--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ……………………………………………5分 所以,x y x y y '-=⎧⎨'=⎩得,x x y y y ''=+⎧⎨'=⎩代入曲线02=+-y x y 得2y x ''=．………………………6分 由(,)x y 的任意性可知,曲线02=+-y x y 在矩阵1M -对应的线性变换作用下的曲线方程为x y =2. ………………7分 〔2〕〔本小题总分值7分〕选修4－4：坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等根底知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．总分值7分．解：〔Ⅰ〕由点M的极坐标为(,)4π得点M 的直角坐标为(,4)４，所以直线OM 的直角坐标方程为y x =．…………………………………………3分〔Ⅱ〕由曲线C的参数方程1,(x y ααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数）化为普通方程为2)1(22=+-y x ，……………………………5分圆心为(1,0),A，半径为r =由于点M 在曲线C 外，故点M 到曲线C 上的点的距离最小值为25-=-r MA ．…………7分 〔3〕(本小题总分值7分)选修4－5：不等式选讲本小题主要考查绝对不等式、不等式证明等根底知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想．总分值7分．解：〔Ⅰ〕由29a b +=得92b a -=，即|6|2||b a -=． 所以93b a -+<可化为33a <，即1a <，解得11a -<<．所以a 的取值范围11a -<<．…………………………………………4分〔Ⅱ〕因为,0a b >， 所以23332()()32733a ab a b z a b a a b +++==⋅⋅≤===，…………………………………6分 当且仅当3a b ==时，等号成立．故z 的最大值为27．…………………………………………7分。

福建省普通高中毕业班单科质量检查理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2|230,|33M x x x N x x =--≥=-<<，则（ ） A ． M N ⊆ B ．N M ⊆ C ．MN R = D ．M N =∅2. 已知z 是z 的共轭复数，且34z z i -=+，则z 的虚部是（ ） A ．76 B ．76- C ． 4 D ．-4 3. 函数2ln y x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 若,x y 满足约束条件2020220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =+的最小值为 （ ）A ．-4B ．2 C.83D ．4 5. 已知(),0,αβπ∈，则“1sin sin 3αβ+<”是“()1sin 3αβ+<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6. 已知直线l 过点()1,0A -且与22:20B x y x +-=相切于点D ，以坐标轴为对称轴的双曲线E 过点D ，一条渐近线平行于l ，则E 的方程为（ ）A ．223144y x -=B ．22513y x -= C. 223122x y -= D ．223122y x -= 7. 5名学生进行知识竞赛.笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”.根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是（ ） A ．54 B ．72 C. 78 D ．968.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 （ ）A ．72π B ．4π C. 92π D ．5π 9. 中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数”，原题为：今有物，不知其数.三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？后来，南宋数学家里秦九韶在其著作《数书九章》中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为“大衍求一术”.下图程序框图的算法思路源于“大衍求一术”，执行该程序框图，若输入的,a b 分别20，17，则输出的c =（ ）A ． 1B ． 6 C. 7 D ．1110. 已知抛物线的焦点F 到准线l 的距离为p ，点A 与F 在l 的两侧，AF l ⊥且2AF p =，B 是抛物线上的一点，BC 垂直l 于点C 且2BC p =，AB 分别交l ，CF 于点,D E ，则BEF ∆与BDF ∆的外接圆半径之比为（ ）A ．12B 323 D ．211. 已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+≠><<⎪⎝⎭，若()203f f π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则ω的最小值是（ ）A ． 2B ．32 C. 1 D ．1212. 已知数列{}{},n n a b 满足11111,2,n n n n n n a b a a b b a b ++===+=+，则下列结论正确的是（ ）A ．只有有限个正整数n 使得2n n a bB ．只有有限个正整数n 使得2n n a b > C.数列{}2n n a b 是递增数列 D ．数列2n n a b ⎧⎪⎨⎪⎩是递减数列第Ⅱ卷（共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.设向量()()1,3,,3a b m ==，且,a b 的夹角为3π，则实数m = ． 14.用一根长为12的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架，则该三棱柱的侧面积的最大值是 ．15.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()112f x f x -++=，且当1x >时，()2x x f x e-=，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程是 ．16.在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是边长为3的等边三角形，3,23SA SB ==，二面角S AB C --的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-.{}n b 是公差不为0的等差数列，其前三项和为3，且3b 是25,b b 的等比中项. （1）求,n n a b ； （2）若()112222n n a b a b a b n t +++≥-+，求实数t 的取值范围.18.如图，有一码头P 和三个岛屿,,A B C ，303,90mi ,30PC n mile PB n le AB n mile ===，0120PCB ∠=，090ABC ∠=.（1）求,B C 两个岛屿间的距离；（2）某游船拟载游客从码头P 前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P .问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，01111160,4B A A C A A AA AC ∠=∠===，2AB =，,P Q 分别为棱1,AA AC 的中点.（1）在平面ABC 内过点A 作//AM 平面1PQB 交BC 于点M ，并写出作图步骤，但不要求证明.（2）若侧面11ACC A ⊥侧面11ABB A ，求直线11A C 与平面1PQB 所成角的正弦值.20. 已知()()()2222212:11,:10C x y C x y r r ++=-+=>，1C 内切2C 于点,A P是两圆公切线l 上异于A 的一点，直线PQ 切1C 于点Q ，PR 切2C 于点R ，且,Q R 均不与A 重合，直线12,C Q C R 相交于点M . （1）求M 的轨迹C 的方程；（2）若直线1MC 与x 轴不垂直，它与C 的另一个交点为N ，M '是点M 关于x 轴的对称点，求证：直线NM '过定点.21.已知函数()()ln ,f x x x a a R =+∈. （1）若()f x 不存在极值点，求a 的取值范围； （2）若0a ≤，证明：()sin 1xf x e x <+-.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线22:sin 4cos C ρθθ=.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C 的参数方程为1223x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求12,C C 的直角坐标方程；（2）C 与12,C C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为,,,P Q R S ，求PQ RS -的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x a x =-+-. （1）当1a =时，解不等式()2f x ≥； （2）求证：()12f x a ≥-.试卷答案一、选择题1-5: CCABA 6-10: DCDCB 11、12：BD二、填空题13. -1 14.6 15. y x =- 16. 21π三、解答题17.解：（1）因为1n =，①所以当1n =时，11121a S a ==-，解得11a =， 当2n ≥时，1121n n S a --=-，②① -②，得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，所以12n n a -=，由数列{}n b 的前三项和为3，得233b =，所以21b =， 设数列{}n b 的公差为d ，则351,13b d b d =+=+，又因为2325b b b =，所以()2113d d +=+，解得1d =或0d =（舍去），所以1n b n =-；（2）由（1），可知，12,1n n n a b n -==-，从而()112n n n a b n -=-⨯，令1122n n n T a b a b a b =+++，即()()122112222212n n n T n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯，③② ×2，得()()231212222212n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯，④ ③ -④，得()231222212n n n T n --=++++--⨯()()221222212n n n n n -=--⨯=--⨯--， 即()222nn T n =-+，故题设不等式可化为()()222nn n t -≥-，（*）① 当1n =时，不等式（*）可化为2t -≥-，解得2t ≥； ② 当2n =时，不等式（*）可化为00≥，此时t R ∈；③ 当3n ≥时，不等式（*）可化为2n t ≤，因为数列{}2n 是递增数列，所以8t ≤， 综上，t 的取值范围是[]2,8.18.解：（1）在PBC ∆中，090,3,120PB PC PCB ==∠=，由正弦定理得，sin sin PB PCPCB PBC=∠∠，即090303sin120= 解得1sin 2PBC ∠=， 又因为在PBC ∆中，00060PBC <∠<，所以030PBC ∠=， 所以030BPC ∠=，从而303BC PC == 即,B C 两个岛屿间的距离为3n mile ；（2）因为090,30ABC PBC ∠=∠=，所以000903060PBA ABC PBC ∠=∠-∠=-=， 在PAB ∆中，90,30PB AB ==，由余弦定理得，2202212cos 6090302903072PA PB AB PB AB =+-=+-⨯⨯⨯= 根据“两点之间线段最短”可知，最短航线是“P A B C P →→→→”或“P C B A P →→→→”，其航程为3073030330330603307S PA AB BC CP =+++=+=+. 所以应按航线“P A B C P →→→→”或“P C B A P →→→→”航行， 其航程为(30603307n mile +.19.解：（1）如图，在平面11ABB A 内，过点A 作1//AN B P 交1BB 于点N ，连结BQ ，在1BB Q ∆中，作1//NH B Q 交BQ 于点H ，连结AH 并延长交BC 于点M ，则AM 为所求作直线.（2）连结11,PC AC ，∵0111114,60AA AC A C C A A ===∠=，∴11AC A ∆为正三角形.∵P 为1AA 的中点，∴11PC AA ⊥，又∵侧面11ACC A ⊥侧面11ABB A ，且面11ACC A 面111ABB A AA =，1PC ⊂平面11ACC A ，∴1PC ⊥平面11ABB A ，在平面11ABB A 内过点P 作1PR AA ⊥交1BB 于点R ，分别以11,,PR PA PC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系P xyz -，则()()()()10,0,0,0,2,0,0,2,0,0,4,23P A A C --，()10,0,23C .∵Q 为AC 的中点，∴点Q 的坐标为(0,3-，∴()(110,2,23,0,3AC PQ =-=-.∵011112,60A B AB B A A ==∠=，∴)13,1,0B ，∴()13,1,0PB =，设平面1PQB 的法向量为(),,m x y z =，由100PQ m PB m ⎧=⎪⎨=⎪⎩得33030y z x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩， 令1x =，得3,3y z =-=-，所以平面1PQB 的一个法向量为()1,3,3m =--. 设直线11A C 与平面1PQB 所成角为a ， 则11111139sin cos ,13AC m AC m AC mα===， 即直线11A C 与平面1PQB 所成角的正弦值为39. 20.解：（1）因为1C 内切于2C 于A ，所以12r -=，解得3r =， 所以2C 的方程为：()2219x y -+=，因为直线,PQ PR 分别切12,C C 于,Q R ，所以12,C Q PQ C R PR ⊥⊥，连结PM ， 在Rt PQM ∆与Rt PRM ∆中，,PQ PA PR PM PM ===，所以QM RM =，所以12112121242MC MC MQ C Q MR C Q C M C Q C R C C +=+=++=+=>=， 所以点M 的轨迹C 是以12,C C 为焦点，长轴长为4的椭圆（除去长轴端点），所以M 的轨迹C 的方程为()221043x y y +=≠. （2）依题意，设直线MN 的方程为()10x ty t =-≠，()()1122,,,M x y N x y ， 则()11M x y '-且1212,0x x y y ≠+≠， 联立方程组221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去x ，并整理得()2234690t y ty +--=， ()()()222649341441440t t t ∆=--⨯-+=+>， 12122269,3434t y y y y t t +==-++， 直线M N '的方程()211121y y y y x x x x ++=--， 令0y =，得()()()2121122112121212121212121811234114634ty x x y ty y ty y x x y ty y t x x t y y y y y y y y t ---+-++=+===-=-=-+++++，故直线M N '过定点()4,0-.21.解：（1）()f x 的定义域为(),a -+∞，且()()ln x f x x a x a '=+++， 设()()ln x g x x a x a =+++，则()()()2212a x a g x x a x a x a +'=+=+++. ①当2a a -≤-，即0a ≥时，()0g x '>，所以()g x 在(),a -+∞上单调递增；又()()11ln 101g a a=++>+，()2210g e a e a --=--<，即()()210g g e a --<， 所以()g x 在(),a -+∞上恰有一个零点0x ，且当()0,x a x ∈-时，()()0f x g x '=<；当()0,x x ∈+∞时，()()0f x g x '=>；所以()f x 在()0,a x -上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以0x 是()f x 的极小值点，不合题意.（2）当2a a ->-，即0a <时，令()0g x '=，得2x a =-，当(),2x a a ∈--时，()0g x '<；当()2,x a ∈-+∞时，()0g x '>；即()g x 在(),2a a --上单调递减，在()2,a -+∞上单调递增.①当()()ln 20g a a -=-+≥即2a e -≤-时，()()()20f x g x g a '=≥-≥恒成立， 即()f x 在(),a -+∞上单调递增，无极值点，符合题意.②当()()2ln 20g a a -=-+<，即20e a --<<时，()110g a a -=->， 所以()()210g a g a --<，所以()g x 在()2,a -+∞上恰有一个零点1x ， 且当()12,x a x ∈-时，()()0f x g x '=<；当()1,x x ∈+∞时，()()0f x g x '=>； 即()f x 在()12,a x -上单调递减，在()1,x +∞上单调递增，所以1x 是()f x 的极小值点，不合题意.综上，a 的取值范围是(2,e -⎤-∞-⎦；（2）因为0a ≤，x a >-，所以()()0,ln ln x f x x x a x x >=+≤，要证明()sin 1x f x e x <+-，只需证明ln sin 1x x x e x <+-， ① 当01x <≤时，因为sin 10,ln 0xe x x x +->≤，所以ln sin 1x x x e x <+-成立；② 当1x >时，设()sin ln 1x g x e x x x =+--， 则()ln cos 1xg x e x x '=-+-， 设()()h x g x '=，则()1sin x h x e x x'=--， 因为1x >，所以()110h x e '>-->，所以()h x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()1cos110h x h e >=+->，即()0g x '>，所以()g x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()1sin110g x g e >=+->，即ln sin 1x x x e x <+-，综上，若0a ≤，则()<sin 1xf x e x +-. 22.解：（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==，由2cos ρθ=得22cos ρρθ=，所以曲线1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=，由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为：24y x =.（2）不妨设四个交点自下而上依次为,,,P Q R S ，它们对应的参数分别为1234,,,t t t t . 把1223x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x =， 得234242t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即238320t t --=， 则()()21843324480∆=--⨯⨯-=>，1483t t +=，把12232x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入()2211x y -+=， 得221321122t t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即20t t +=， 则210∆=>，231t t +=-， 所以()()()21432314811133PQ RS t t t t t t t t -=---=+-+=+=. 23.解：（1）当1a =时，不等式()2f x ≥等价于不等式1212x x -+-≥， 当12x <时，不等式可化为1122x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤， 当112x ≤≤时，不等式可化为1212x x -+-≥，解得2x ≥，这种情况无解. 当1x >时，不等式可化为1212x x -+-≥，解得43x ≥，所以43x ≥. 综上，当1a =时，不等式()2f x ≥的解集为(]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭. （2）证明：()21f x x a x =-+-122x a x =-+-12a x x ≥-+-1122a x x a ≥-+-≥-. 所以不等式得证.。

福建省普通高中毕业班质量检查数学(理科)试题本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，共8页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)．如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k )=k n k k n )p (p C --1．球的表面积公式 S =4πR 2，其中R 表示球的半径．球的体积公式 V =34 πR 3，其中R 表示球的半径． 第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请把正确答案填在题目后面的括号内．1．复数i(1一i)等于( )A ．1+iB ．1一iC ．一1+iD ．一1一i2．设全集为R ，A={x |—1＜x ＜1}，B={ x | x ≥0}，则C R (A ∪B )等于( )A ．{x |0≤x ＜1}B ．{x | x ≥0}C ．{x |x ≤-1}D ．{x |x ＞-1}3．已知某一随机变量 ξ 的概率分布列如下，且Eξ = 6.3，则a 的值为( )ξ 4 a 9P 0.5 0.1 bA ．5B ．6C ．7D ．84．已知A 、B 为球面上的两点，O 为球心，且AB =3，∠AOB =120°，则球的体积为( )A ．29π B ． π34 C ．36π D ． π332 5．已知条件p : k =3，条件q ：直线y=kx +2与圆x 2+y 2=1相切，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且S n 是a n 。

与1的等差中项，则a n 等于( )A ．1B ．-1C ．(-1)nD ．(-1)n -17．若m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是( )A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ⊂β，α∩β=n ，则m ∥nC ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．若α∩β =m ，m ⊥n ，则n ⊥α8．函数y=A sin(ωx+φ)的周期为2π，其图象的一部分如图所示，则此函数的解析式可以写成( )A ．)x (f =sin(2—2x )B ．)x (f =sin(2x 一2)C ．)x (f =sin(x 一1)D ．)x (f =sin(1一x )9．已知函数y=f (x+1)的图象关于点(-1，0)成中心对称，则函数y=f (x )一定是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数lO ．已知),x (x x ),x ()x (f x 0340321>++≥=-则方程f (x )=2的实数根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．311．某学校开设10门选修课程，其中3门是技能类课程，2门是理论类课程．学校规定每位学生应选修4门，且技能类课程和理论类课程每类至多选修1门，则不同的选修方法种数是( )A ．50B ．100C ．11OD ．11512．若函数f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (2)=0，则x)x (f )x (f --＜0的解集为( ) A ．(-2,0)∪(0,2) B ．(-∞，-2)∪(0,2)C ．(-∞，-2)∪(2，+∞)D ．(-2,0)∪(2，+∞)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分。

福建省普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题 为必考题。

本试卷共5页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．考生作答时，将答案答在答题卡上。

请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内 作答，超出答题区域书写的答案无效。

在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号； 非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知x R ∈，i 不虚数单位，若()()12i x i 43i -+=-，则x 的值等于A ．6-B ．2-C ．2D ．6 2． 设向量()a 4sin ,3=α，()b 2,3cos =α，且a ∥b ，则锐角α为 A ．6π B ．4π C ．3πD ．512π 3． “k 1=”是“线x y k 0-+=与圆22x y 1+=相交”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4． 函数()y ln 1x =-的图像大致为O 1-x y1-O x yO 1x yOxy1AB CD5． 设α、β为不重合的平面，m 、n 为不重合的直线，则下列命题正确的是 A ．若α⊥β，n αβ=，m n ⊥，则m ⊥α B ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥βC ．若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α⊥βD ．若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥β，则m ⊥α 6． 关于函数y sin 2x 32x =- A ．关于直线x 3π=对称B ．关于直线x 6π=对称C ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称7． 右图是计算函数2x ,x 1y 0,1x 2x ,x 2⎧-≤-⎪=-<≤⎨⎪>⎩的值的程序框图，在①、②、③处应分别填入的是 A ．y x =-，y 0=，2y x = B ．y x =-，2y x =，y 0= C ．y 0=，2y x =，y x =-D ．y 0=，y x =-， 2y x =8． 已知直线2a x y 20+==与直线()2bx a 1y 10-+-=互相垂直，则ab 的最小值为 A ．5B ．4C ．2D ．19． 已知函数()f x 满足()()f x f x π+=π-，且当()x 0,∈π时，()f x x cos x =+， 则()f 2，()f 3，()f 4的大小关系是 A ．()()()f 2f 3f 4<< B ．()()()f 2f 4f 3<<C ．()()()f 4f 3f 2<<D ．()()()f 3f 4f 2<<10．()n1x +的展开式中，k x 的系数可以表示从n 个不同物体中选出k 个的方法总数。

福建省普通高中毕业班质量检查理科数学（二）本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、 选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数21i+等于 A. 1-iB. 1+iC. -iD. i2. 设函数,0,(),0,x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩ 若()(1)2f a f +-=，则a 等于A ．– 3B ．±3C ．– 1D ．±13. 给出如下几个结论：①命题,sin cos 2x x x ∃∈+=R 的否定是,sin cos 2x x x ∃∈+≠R ; ②命题1,sin 2sin x x x ∀∈+≥R 的否定是1,sin 2sin x x x∃∈+<R ;③对于1(0,),tan 22tan x x xπ∀∈+≥;④,sin cos 2x x x ∃∈+=R . 其中正确结论的个数有A1 B ．2 C ．3 D ．4 4. 右图是2011年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩 数据的平均数和中位数分别为A. 84,84B. 84,86C. 85,84D. 85,865. 从4名男生和3名女生中选出4人参加市中学生知识竞赛活动，若这4人中必须既有男生又有女生，不同的选法共有A ．140种B ．120种C ．35种D ．34种6. 已知1tan()42πα+=，且02πα-<<，则22sin sin 2cos()4ααπα+-等于A.5-B.10-C. 310-D. 25-7. 已知直线2201x y a x y -+=+=与圆交于A 、B 两点，且向量,OA OB u u u r u u u r满足||||OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为A ．1B ．0C ．1±D ．-18. 如图，圆O ：222x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则第9题图点A 落在区域M 内的概率是 A 、24πB 、34πC 、22πD 、32π9. 已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x ,记目标函数y x z +=2的最大 值为7，最小值为1，则a b ca++等于 A ． 2 B ．1 C ． －1 D ． －210. 已知定义域为D 的函数()f x ，如果对任意的x D ∈，存在正数k ，有|()|||f x k x ≤成立，则称函数()f x 是D 上的“倍约束函数”，已知下列函数：①()2f x x =；②()sin()4f x x π=+；③()1f x x =-；④2()1xf x x x =++；其中是“倍约束函数”的是A ．①③④ B.①② C.③④ D.②③④第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.将答案填在题中横线上. 11. 二项式3521()x x -的展开式中的常数项为______. 12. 给出下面的程序框图，则输出的结果为________. 13.已知某几何体的三视图如右(单位:cm) 则该几何体的表面积是______, 14.给出下列关于互不相同的直线m ，n ，l 和平面,αβ的四个命题：① ,,,m l A A m l m αα⊂=∉I 则与不共面；② l 、m 是异面直线，//,//,,,l m n l n m n ααα⊥⊥⊥且则； ③ 若,,,//,//,//l m l m A l m ααββαβ⊂⊂=I 则；④ 若//,//,//,//l m l m αβαβ则. 其中假命题是 .15. 由9个正数组成的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a a a a aa a a 中，每行中的三个数成等差数列，且131211a a a ++，232221a a a ++，333231a a a ++成等比数列.给出下列结论：①第2列中的12a ，22a ，32a 必成等比数列；②第1列中的11a ，21a ，31a 不一定成等比数列；③23213212a a a a +≥+；④若9个数之和等于9，则1a 22≥．其中正确的序号有 （填写所有正确结论的序号）．三、 解答题：本大题共6个小题.共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第12题图正视图侧视图俯视图4 43 13题图16. （本小题满分13分）已知()f x =a •b ，其中向量a (sin 2,2cos ),x x = b (3,cos )x =,(∈x R). （1） 求()f x 的最小正周期和最小值；（2） 在△ ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若34=⎪⎭⎫⎝⎛A f ，a =213，b =8，求边长c 的值. [来源:学§科§网]17. （本小题满分13分）如图l ，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD =2，∠ABC =600，E 是BC 的中点．如图2，将△ABE 沿AE 折起，使二面角B —AE —C 成直二面角，连结BC ，BD ，P 是棱BC 的中点．(1)在图2中求证：AE ⊥BD ；(2)EP 是否平行平面ABD ? 并说明理由.(3)求直线EB 与平面BCD 所成的角θ的余弦值．18.（本小题满分13分）中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q （简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q ≤80时，为酒后驾车；当Q ＞80时，为醉酒驾车.济南市公安局交通管理部门于2011年2月的某天晚上8点至11点在市区设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q ≥140的人数计入120≤Q ＜140人数之内）.(1)求此次拦查中醉酒驾车的人数；(2)从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数x 的分布列和期望.A B C D E 第17题图1 A B D E P 第17题图2 0.0050 0.00430.0032 频率组距 18题图19.（本小题满分13分）已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF uuu r =λFB u u u r(λ>0)．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（1）证明FM →·AB →为定值；（2）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值．20.（本小题满分14分）已知(xxx g e x x ax x f ln )(],,0,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，a ∈R （1）讨论1=a 时，)(x f 的单调性，并求极值； （2）求证：在（1）的条件下，证明 21)()(+>x g x f ； （3）是否存在实数a ，使)(x f 的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.21.（选做题，本题共3个小题，每小题7分.考生只须从中任选两个小题作答.若三个小题都作答，评卷时仅依顺序评阅第1、2两个小题，并将这两小题的累计得分作为本选做题的最终得分.本选做题最终得分满分14分.） （1）（选做题：矩阵与变换．本小题满分7分.）为了保证信息安全传输，设计一种密码系统，其加密、解密原理如下图：现在加密方式为：把发送的数字信息X 写为“a 11 a 21 a 12 a 22”的形式，先左乘矩阵A=1422⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，再左乘矩阵B =625514855⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，得到密文Y ，现在已知接收方得到的密文是4,12,32,64，试破解该密码.（2）（选做题：坐标系与参数方程．本小题满分7分．）已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）． （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是M ,N 是曲线C 上一动点,求MN 的最大值. （3）（选做题：不等式选讲．本小题满分7分）解不等式|x -1|+|x +2|≥5。