《高等数学A 》期末基本练习试卷（1）
一、
计算下列各题
1. 求极限
π
lim (cos x x +
→；答案：π2
e
-
2. 设
x
x sin 是
)(x f 的一个原函数，求⎰'dx
x f x )(3
；
答案：2(6)cos 4sin x x x x C --+. 注：利用分部积分公式 .
3. 计算
⎰
+xdx
x
x
arctan 12
2
；
答案：2
2
11arctan ln(1)(arctan )2
2
x x x x C -
+-
+.
4. 已知 ⎰+=2
0arctan 1arctan
x
tdt
x
x y ，求
1
=x dx
dy ；
答案：
31π4
2
-
.
5. 计算 (i)
⎰+-5
1
|)sin ||2(|dx x x , (ii) ⎰
∞+--+0
2
)
1(dx
e xe
x x
；
答案：（i ）7cos 1cos 5++；（ii ）ln 2. 6. 设c x dx x xf +=⎰
arcsin )(，求⎰
dx x f )
(1；
答案：32
2
1(1)
3x C ---+.
7. 已知
⎩⎨⎧>≤+=-0
01)(2
x e
x x
x f x
，求
⎰-3
1
)2(dx x f ；
答案：
1
7e
3
--.
8. 设函数
),(,)(02
2
+∞-∞∈=⎰-x dt e
x f x
t
，讨论)(x f 的单调性、奇偶性、凹凸区间，并确
定曲线
)(x f y =的拐点.
答案：()y f x =在(,)-∞+∞上单调增加；奇函数；()y f x =在(,0)-∞上是凹的，在(0,)+∞上是凸的；(0,0)是曲线()y f x =的拐点 .
9. 已知曲线
)(x f y =与曲线t y d e arctanx
-t
2
⎰=在)0,0(点相切，写出切线的方程，请求极限
)2
(lim n
nf n ∞
→. 答案：切线方程为y x =；2
lim ()2n nf n
→∞
=.
二、 应用题
1. 求曲线x y ln =与x e y -+=1以及0=y 所围成的平面图形的面积A .
答案：
32
.
2. 过曲线
)0(,2
≥=x x y 上某点A 作一切线，使之与该曲线以及x 轴所围成的平面图形的面积
为
12
1.求(1) 切点A 点的坐标；(2) 过点A 的切线方程；(3) 上述图形绕x 轴旋转所形成的旋转体
的体积。
答案：（1）切点A 的坐标为（1,1）；（2）过A 点的切线方程为21y x =-；（3）体积为
π30
.
3. 一圆台形水池，深5米，上底半径4米，下底半径2米，池中水深
4.5米，若将池中水抽干，需作多少功？ 答案：31.59π972087.48γ≈（N ·m ），其中339.810N /m γ=⨯是水的比重. 4. 求圆θcos a r =与双钮线θ
2cos 32
=r 所围平面图形的公共部分的面积。
答案：当a ≤
2
3(sin cos )(1sin 2)4
4
a
θθθθ++-，其中22
1arccos
2
6a
a
θ=-；
当a ≥
34
.
三、
证明题 1. 设函数
)(x f 在]1,0[上可导，0)0(=f ，且1)(0≤'<x f ，证明：
⎰⎰≥1
03
2
1
0)(])([dx x f dx x f
提示：作辅助函数2
3
()[()d ]()d x
x
F x f t t f t t =-⎰⎰，并讨论函数的单调性。
2. 设函数
)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上可导， 0)(>'x f ，求证：在),(b a 内存在
唯一一点ξ，使得由曲线)(x f y =与两直线a x f y ==),(ξ所围成的平面图形的面
积
1A 是由曲线)(x f y =和直线b x f y ==),(ξ所围平面图形的面积2A 的3倍。
提示：即要证明存在(,)a b ξ∈，使得
()()()d 3[()d ()()]b
a
f a f x x f x x f b ξ
ξ
ξξξξ--
=--⎰⎰。
作辅助函数并利用零点定理证明存在性，利用单调性证明唯一性。
3. 设函数
)(x f 在],[b a 上连续且恒正，k 为常数，证明：至少存在一点),(b a ∈ξ，使得
⎰⎰=b
a
dx x f k dx x f ξξ)()(
提示：做辅助函数，利用零点定理证明。
