2024届福建省南平市邵武市四中学片区市级名校中考四模数学试题含解析

2024届福建省南平市邵武市四中学片区市级名校中考四模数学试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1．若在同一直角坐标系中，正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝2
k x
的图象无交点，则有( ) A ．k 1＋k 2＞0
B ．k 1＋k 2＜0
C ．k 1k 2＞0
D ．k 1k 2＜0
2．某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动，每买100元商品可参加抽奖一次，中奖的概率为1
3
．小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张( ) A ．能中奖一次 B ．能中奖两次 C ．至少能中奖一次
D ．中奖次数不能确定
3．2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，2015年比2014年增长9.5%，若2013年和2015年我省财政收入分别为a 亿元和b 亿元，则a 、b 之间满足的关系式为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
4．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个，黑球有n 个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n 的值约为（ ） A ．20
B ．30
C ．40
D ．50
5．下列运算正确的是（ ） A ．a 4+a 2=a 4
B ．（x 2y ）3=x 6y 3
C ．（m ﹣n ）2=m 2﹣n 2
D ．b 6÷b 2=b 3
6．下列说法正确的是（ ） A ．﹣3是相反数 B ．3与﹣3互为相反数 C ．3与
1
3互为相反数 D ．3与﹣1
3
互为相反数 7．sin45°的值等于（ ） A 2
B ．1
C 3
D ．
22
8．若关于x的方程
3
33
x m m
x x
+
+
--
=3的解为正数，则m的取值范围是（）
A．m＜9
2
B．m＜
9
2
且m≠
3
2
C．m＞﹣9
4
D．m＞﹣
9
4
且m≠﹣
3
4
9．如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE等于（）
A．40°B．70°C．60°D．50°
10．某美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本相同的画册，第二次用240元在同一家商店买与上一次相同的画册，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本画册？设第一次买了x本画册，列方程正确的是（）
A．120240
4
20
x x
-=
+
B．
240120
4
20
x x
-=
+
C．120240
4
20
x x
-=
-
D．
240120
4
20
x x
-=
-
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作.《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻
.一雀一燕交而处，衡适平.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何？”
译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻
.将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕重量为1斤.问雀、燕毎只各重多少斤？”设每只雀重x斤，每只燕重y斤，可列方程组为______．12．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形
一边长为4，则另一边长为
13．如图，在边长为6的菱形ABCD中，分别以各顶点为圆心，以边长的一半为半径，在菱形内作四条圆弧，则图中阴影部分的周长是___.(结果保留π)
14．在数轴上与表示的点距离最近的整数点所表示的数为_____．
15．如图，点A 为函数y ＝
9x (x ＞0)图象上一点，连接OA ，交函数y ＝1
x
(x ＞0)的图象于点B ，点C 是x 轴上一点，且AO ＝AC ，则△ABC 的面积为______.
16．若关于x 的一元二次方程2210mx x --=无实数根，则一次函数y mx m =+的图象不经过第_________象限. 17．如图，某景区的两个景点A 、B 处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN 方向水平飞行进行航拍作业，MN 与AB 在同一铅直平面内，当无人机飞行至C 处时、测得景点A 的俯角为45°，景点B 的俯角为30°，此时C 到地面的距离CD 为100米，则两景点A 、B 间的距离为__米（结果保留根号）．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）如图，在平面直角坐标系中有Rt △ABC ，∠A=90°，AB=AC ，A （﹣2，0），B （0，1）． （1）求点C 的坐标；
（2）将△ABC 沿x 轴的正方向平移，在第一象限内B 、C 两点的对应点B'、C'正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B'C'的解析式．
（3）若把上一问中的反比例函数记为y 1，点B′，C′所在的直线记为y 2，请直接写出在第一象限内当y 1＜y 2时x 的取值范围．
19．（5分）如图，在等边ABC 中，BC 5cm =，点D 是线段BC 上的一动点，连接AD ，过点D 作DE AD ⊥，垂足为D ，交射线AC 与点E.设BD 为xcm ，CE 为ycm ．
小聪根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小聪的探究过程，请补充完整：
()1通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：
x /cm 0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y /cm 5.0
3.3 2.0 ___ 0.4 0 0.3 0.4 0.3 0.2 0
(说明：补全表格上相关数值保留一位小数)
()2建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； ()3结合画出的函数图象，解决问题：当线段BD 是线段CE 长的2倍时，BD 的长度约为_____cm ．
20．（8分）解不等式组22(4)
1
13x x x x -≤+⎧⎪
-⎨+⎪⎩
＜，并写出该不等式组的最大整数解． 21．（10分）先化简，再求值：1+
÷（1﹣
），其中x=2cos30°+tan45°．
22．（10分）已知如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，点D 是BC 边的中点，DE ⊥BC 于点D ，交AB 于点E ，连接CE ． （1）求∠AEC 的度数；
（2）请你判断AE、BE、AC三条线段之间的等量关系，并证明你的结论．
23．（12分）如图，直线y=1
2
x+2与双曲线y=
k
x
相交于点A（m，3），与x轴交于点C．求双曲线的解析式；点P在
x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．
24．（14分）如图，菱形ABCD中，已知∠BAD=120°，∠EGF=60°, ∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于E、F．
（1）如图甲，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC+CF=BC；
（2）知识探究：
①如图乙，当顶点G运动到AC的中点时，请直接写出线段EC、CF与BC的数量关系（不需要写出证明过程）；
②如图丙，在顶点G运动的过程中，若AC
t
GC
，探究线段EC、CF与BC的数量关系；
（3）问题解决：如图丙，已知菱形的边长为8，BG=7，CF=6
5
，当t＞2时，求EC的长度．
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1、D 【解题分析】
当k 1，k 2同号时，正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝2
k x
的图象有交点；当k 1，k 2异号时，正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝2k x 的图象无交点，即可得当k 1k 2＜0时，正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝2k
x
的图象无交点，故选
D. 2、D 【解题分析】 由于中奖概率为1
3
，说明此事件为随机事件，即可能发生，也可能不发生． 【题目详解】
解：根据随机事件的定义判定，中奖次数不能确定. 故选D ． 【题目点拨】
解答此题要明确概率和事件的关系：
()P A 0=①，为不可能事件； ()P A 1=②为必然事件； ()0P A 1③<<为随机事件．
3、C 【解题分析】
根据2013年我省财政收入和2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，求出2014年我省财政收入，再根据出2015年比2014年增长9.5%，2015年我省财政收为b 亿元， 即可得出a 、b 之间的关系式． 【题目详解】
∵2013年我省财政收入为a 亿元，2014年我省财政收入比2013年增长8.9%， ∴2014年我省财政收入为a （1+8.9%）亿元，
∵2015年比2014年增长9.5%，2015年我省财政收为b 亿元，
∴2015年我省财政收为b=a （1+8.9%）（1+9.5%）； 故选C ． 【题目点拨】
此题考查了列代数式，关键是根据题意求出2014年我省财政的收入，是一道基础题． 4、A 【解题分析】
分析：根据白球的频率稳定在0.4附近得到白球的概率约为0.4,根据白球个数确定出总个数,进而确定出黑球个数n. 详解：根据题意得:.n
0430n
=+ ,
计算得出:n=20, 故选A.
点睛：根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率. 5、B 【解题分析】
分析：根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，同底数幂相除的性质，逐一计算判断即可. 详解：根据同类项的定义，可知a 4与a 2不是同类项，不能计算，故不正确； 根据积的乘方，等于个个因式分别乘方，可得(x 2y)3=x 6y 3，故正确； 根据完全平方公式，可得(m-n)2=m 2-2mn+n 2，故不正确； 根据同底数幂的除法，可知b 6÷b 2=b 4，不正确. 故选B.
点睛：此题主要考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，同底数幂相除的性质，熟记并灵活运用是解题关键. 6、B 【解题分析】
符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数，可据此来判断各选项是否正确． 【题目详解】
A 、3和-3互为相反数，错误；
B 、3与-3互为相反数，正确；
C 、3与1
3互为倒数，错误； D 、3与-1
3
互为负倒数，错误；
故选B ． 【题目点拨】
此题考查相反数问题，正确理解相反数的定义是解答此题的关键．
7、D
【解题分析】
根据特殊角的三角函数值得出即可．
【题目详解】
解：sin45°=
2
，
故选：D．
【题目点拨】
本题考查了特殊角的三角函数的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键，难度适中．8、B
【解题分析】
解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，
整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=
29
2
m
-+
，
已知关于x的方程
3
33
x m m
x x
+
+
--
=3的解为正数，
所以﹣2m+9＞0，解得m＜9
2
，
当x=3时，x=
29
2
m
-+
=3，解得：m=
3
2
，
所以m的取值范围是：m＜9
2
且m≠
3
2
．
故答案选B．
9、D
【解题分析】
根据线段垂直平分线性质得出AE=CE，推出∠A=∠ACE=30°，代入∠BCE=∠ACB-∠ACE求出即可．【题目详解】
∵DE垂直平分AC交AB于E，
∴AE=CE，
∴∠A=∠ACE，
∵∠A=30°，
∴∠ACE=30°，
∵∠ACB=80°，
∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=50°， 故选D ． 【题目点拨】
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 10、A 【解题分析】
分析：由设第一次买了x 本资料，则设第二次买了（x+20）本资料，由等量关系：第二次比第一次每本优惠4元，即可得到方程．
详解：设他上月买了x 本笔记本，则这次买了（x+20）本， 根据题意得：120240
4x x 20
-=+. 故选A.
点睛：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程解答即可.
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分） 11、
{
561
340
x y x y +=-=
【解题分析】
设雀、燕每1只各重x 斤、y 斤，根据等量关系：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤，列出方程组求解即可． 【题目详解】
设雀、燕每1只各重x 斤、y 斤,根据题意,得
45561x y y x
x y +=+⎧⎨
+=⎩
整理,得340
.561
x y x y -=⎧⎨
+=⎩
故答案为340
.561x y x y -=⎧⎨
+=⎩
【题目点拨】
考查二元一次方程组得应用，解题的关键是分析题意，找出题中的等量关系.
12、24m + 【解题分析】
因为大正方形边长为4m +，小正方形边长为m ，所以剩余的两个直角梯形的上底为m ，下底为4m +，所以矩形的另一边为梯形上、下底的和：4m ++m=24m +. 13、6π 【解题分析】
直接利用已知得出所有的弧的半径为3，所有圆心角的和为：菱形的内角和，即可得出答案． 【题目详解】
由题意可得：所有的弧的半径为3，所有圆心角的和为：菱形的内角和，故图中阴影部分的周长是：3603
180
π⨯=6π．
故答案为6π． 【题目点拨】
本题考查了弧长的计算以及菱形的性质，正确得出圆心角是解题的关键． 14、3 【解题分析】
≈3.317，且
在3和4之间，∵3.317-3=0.317，4-3.317=0.683，
且0.683＞0.317，∴距离整数点3最近．
15、6. 【解题分析】
作辅助线，根据反比例函数关系式得：S △AOD =
92
, S △BOE =1
2，再证明△BOE ∽△AOD ，由性质得OB 与OA 的比，由
同高两三角形面积的比等于对应底边的比可以得出结论． 【题目详解】
如图，分别作BE ⊥x 轴，AD ⊥x 轴，垂足分别为点E 、D ，
∴BE ∥AD ， ∴△BOE ∽△AOD ，
∴
2
2
BOE
AOD
S OB
S OA
=，
∵OA=AC，∴OD=DC，
∴S△AOD=S△ADC=1
2
S△AOC，
∵点A为函数y=9
x
（x＞0）的图象上一点，
∴S△AOD=9
2
，
同理得：S△BOE=1
2
，
∴
1
1
2
99
2
BOE
AOD
S
S
==，
∴
1
3 OB
OA
=，
∴
2
3 AB
OA
=，
∴
2
3
ABC
AOC
S
S
=，
∴
29
6
3
ABC
S
⨯
==，
故答案为6.
16、一
【解题分析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△=（-2）2-4m×（-1）＜0，所以m＜-1，然后根据一次函数的性质判断一次函数y=mx+m的图象所在的象限即可．
【题目详解】
∵关于x的一元二次方程mx2-2x-1=0无实数根，
∴m≠0且△=（-2）2-4m×（-1）＜0，
∴m＜-1，
∴一次函数y=mx+m的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故答案为一．
【题目点拨】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
17、
【解题分析】
【分析】由已知可得∠ACD=∠MCA=45°，∠B=∠NCB=30°，继而可得∠DCB=60°，从而可得AD=CD=100米，DB=
米，再根据AB=AD+DB计算即可得.
【题目详解】∵MN//AB，∠MCA=45°，∠NCB=30°，
∴∠ACD=∠MCA=45°，∠B=∠NCB=30°，
∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠CDB=90°，∠DCB=60°，
∵CD=100米，∴AD=CD=100米，米，
∴（米），
故答案为：
【题目点拨】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，解题的关键是借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）C（﹣3，2）；（2）y1=6
x
，y2=﹣
1
3
x+3；（3）3＜x＜1．
【解题分析】
分析：
（1）过点C作CN⊥x轴于点N，由已知条件证Rt△CAN≌Rt△AOB即可得到AN=BO=1，CN=AO=2，NO=NA+AO=3结合点C在第二象限即可得到点C的坐标；
（2）设△ABC向右平移了c个单位，则结合（1）可得点C′，B′的坐标分别为（﹣3+c，2）、（c，1），再设反比例函
数的解析式为y1=k
x
，将点C′，B′的坐标代入所设解析式即可求得c的值，由此即可得到点C′，B′的坐标，这样用待
定系数法即可求得两个函数的解析式了；
（3）结合（2）中所得点C′，B′的坐标和图象即可得到本题所求答案. 详解：
（1）作CN⊥x轴于点N，
∴∠CAN=∠CAB=∠AOB=90°，
∴∠CAN+∠CAN=90°，∠CAN+∠OAB=90°，
∴∠CAN=∠OAB，
∵A（﹣2，0）B（0，1），∴OB=1，AO=2，
在Rt△CAN和Rt△AOB，
∵
ACN OAB
ANC AOB
AC AB
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴Rt△CAN≌Rt△AOB（AAS），
∴AN=BO=1，CN=AO=2，NO=NA+AO=3，
又∵点C在第二象限，
∴C（﹣3，2）；
（2）设△ABC沿x轴的正方向平移c个单位，则C′（﹣3+c，2），则B′（c，1），
设这个反比例函数的解析式为：y1=k
x
，
又点C′和B′在该比例函数图象上，把点C′和B′的坐标分别代入y1=k
x
，得﹣1+2c=c，
解得c=1，即反比例函数解析式为y1=6
x
，
此时C′（3，2），B′（1，1），设直线B′C′的解析式y2=mx+n，
∵
32 61
m n
m n
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
∴
1
3
3
m
n
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴直线C′B′的解析式为y2=﹣1
3
x+3；
（3）由图象可知反比例函数y1和此时的直线B′C′的交点为C′（3，2），B′（1，1），∴若y1＜y2时，则3＜x＜1．
点睛：本题是一道综合考查“全等三角形”、“一次函数”、“反比例函数”和“平移的性质”的综合题，解题的关键是：（1）通过作如图所示的辅助线，构造出全等三角形Rt△CAN和Rt△AOB；（2）利用平移的性质结合点B、C的坐标表达出点C′和B′的坐标，由点C′和B′都在反比例函数的图象上列出方程，解方程可得点C′和B′的坐标，从而使问题得到解决.
19、（1）1.1；（2）见解析；（3）1.7.
【解题分析】
（1）（2）需要认真按题目要求测量，描点作图；
（3）线段BD是线段CE长的2倍的条件可以转化为一次函数图象，通过数形结合解决问题．
【题目详解】
()1根据题意测量约1.1
故应填：1.1
()2根据题意画图：
()3当线段BD是线段CE长的2倍时，得到1
y x
=图象，该图象与()2中图象的交点即为所求情况，测量得BD长
2
约1.7cm.
故答案为（1）1.1；（2）见解析；（3）1.7.
【题目点拨】
本题考查函数作图和函数图象实际意义的理解，在()3中，考查学生由数量关系得到函数关系的转化思想．
20、﹣2，﹣1，0
【解题分析】
分析：先解不等式①，去括号，移项，系数化为1，再解不等式②，取分母，移项，然后找出不等式组的解集．
本题解析：
()224113x x x x ⎧-≤+⎪⎨-<+⎪⎩
①②， 解不等式①得，x≥−2，
解不等式②得，x<1，
∴不等式组的解集为−2≤x<1.
∴不等式组的最大整数解为x=0，
21、
【解题分析】
先化简分式，再计算x 的值，最后把x 的值代入化简后的分式，计算出结果．
【题目详解】
原式=
=1+
=1+
= 当x=2cos30°
+tan45° =2×+1
=+1时．
=
【题目点拨】
本题主要考查了分式的加减及锐角三角函数值．解决本题的关键是掌握分式的运算法则和运算顺序．
22、（1）90°；（1）AE 1+EB 1＝AC 1，证明见解析．
【解题分析】
（1）根据题意得到DE 是线段BC 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到EB ＝EC ，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可；
（1）根据勾股定理解答．
【题目详解】
解：（1）∵点D 是BC 边的中点，DE ⊥BC ，
∴DE 是线段BC 的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∴∠ECB＝∠B＝45°，
∴∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°；
（1）AE1+EB1＝AC1．
∵∠AEC＝90°，
∴AE1+EC1＝AC1，
∵EB＝EC，
∴AE1+EB1＝AC1．
【题目点拨】
本题考查的是线段垂直平分线的性质定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
23、（1）
6
y
x
（2）(-6,0)或(-2,0).
【解题分析】
分析：（1）把A点坐标代入直线解析式可求得m的值，则可求得A点坐标，再把A点坐标代入双曲线解析式可求得k 的值，可求得双曲线解析式；
（2）设P（t，0），则可表示出PC的长，进一步表示出△ACP的面积，可得到关于t的方程，则可求得P点坐标．
详解：（1）把A点坐标代入y=1
2
x+2，可得：3=
1
2
m+2，解得：m=2，∴A（2，3）．∵A点也在双曲线上，∴k=2×3=6，
∴双曲线解析式为y=6
x
；
（2）在y=1
2
x+2中，令y=0可求得：x=﹣4，∴C（﹣4，0）．∵点P在x轴上，∴可设P点坐标为（t，0），∴CP=|t+4|，
且A（2，3），∴S△ACP=1
2
×3|t+4|．∵△ACP的面积为3，∴
1
2
×3|t+4|=3，解得：t=﹣6或t=﹣2，∴P点坐标为（﹣6，
0）或（﹣2，0）．
点睛：本题主要考查函数图象的交点，掌握函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键．
24、（1）证明见解析（2）①线段EC，CF与BC的数量关系为：CE＋CF＝1
2
BC.②CE＋CF＝
1
t
BC（3）
9
5
【解题分析】
（1）利用包含60°角的菱形，证明△BAE≌△CAF，可求证;
(2)由特殊到一般，证明△CAE′∽△CGE，从而可以得到EC、CF与BC的数量关系
(3) 连接BD与AC交于点H,利用三角函数BH ,AH,CH的长度，最后求BC长度. 【题目详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝60°，∠B＝∠ACF＝60°，AB=BC，AB=AC，
∵∠BAE ＋∠EAC ＝∠EAC ＋∠CAF ＝60°，
∴∠BAE =∠CAF ，
在△BAE 和△CAF 中，
BAE CAF AB AC
B ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩
＝, ∴△BAE ≌△CAF ，
∴BE ＝CF ，
∴EC ＋CF ＝EC ＋BE ＝BC ，
即EC ＋CF ＝BC ；
（2）知识探究：
①线段EC ，CF 与BC 的数量关系为：CE ＋CF ＝12
BC. 理由：如图乙，过点A 作AE′∥EG ，AF′∥GF ，分别交BC 、CD 于E′、F′．
类比（1）可得：E′C+CF′=BC ，
∵AE′∥EG ，
∴△CAE′∽△CGE
12
CE CG CE CA '∴==， 1'2
CE CE ∴=， 同理可得：12
'CF CF =， ()1111'''2'222
CE CF CE CF CE CF BC ∴+=+=+=， 即12
CE CF BC +=； ②CE ＋CF ＝1t
BC.
理由如下：
过点A作AE′∥EG，AF′∥GF，分别交BC、CD于E′、F′.
类比（1）可得：E′C＋CF′＝BC，
∵AE′∥EG，∴△CAE′∽△CAE，
∴
1
CE CG
CE AC t
'
==，∴CE＝
1
t
CE′，
同理可得：CF＝1
t CF′，
∴CE＋CF＝1
t
CE′＋
1
t
CF′＝
1
t
（CE′＋CF′）＝
1
t
BC，
即CE＋CF＝1
t BC；
（3）连接BD与AC交于点H，如图所示：
在Rt△ABH中，
∵AB＝8，∠BAC＝60°，
∴BH＝AB sin60°＝8×
3
2
43
AH＝CH=AB cos60°＝8×1
2
＝4，
∴GH22
BG BH
-2743
-1，∴CG＝4－1＝3，
∴
3
8 CG
AC
=，
∴t＝8
3
（t＞2），
由（2）②得：CE＋CF＝1
t BC，
∴CE＝1
t
BC－CF＝
3
8
×8－
6
5
＝
9
5
.
【题目点拨】
本题属于相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、菱形的性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加辅助线构造相似三角形．。