山西省太原市2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷

2015届高三“一模”数学模拟试卷（1）（满分150分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知函数1()y f x -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= ．2．若集合2214x A x y ⎧⎫⎪⎪=-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}1B x x =≥，则A B = ． 3．函数lg 3y x =-的定义域是．4．已知行列式cos sin 21x x =-，(0,)2x π∈，则x = ．5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3050S =，5030S =，则80S = ． 6．函数log (3)1a y x =+-(0a >且1)a ≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为 ． 7．设等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若*2()31n n S n n N T n =∈+，则54a b = ． 8．2310(133)x x x +++展开式中系数最大的项是 ．9．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的4个数字之和为23的概率为 ．10．已知tan ,tan αβ是关于x 的方程2(23)(2)0mx m x m +-+-=(0)m ≠的两根，则tan()αβ+的最小值为．11．若不等式(0)x a ≥>的解集为[,]m n ，且2m n a -=，则a 的取值集合为 ．12．如图，若从点O 所作的两条射线,OM ON 上分别有点12,M M 与点12,N N ，则三角形面积之比21212211ON ON OM OM S S N OM N OM ⋅=∆∆，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线,OP OQ 和OR 上， 分别有点12,P P ，点12,Q Q 和点12,R R ，则类似的结论 为 ．13．圆锥的底面半径为cm 5 ，高为12cm ，则圆锥的内接圆柱全面积的最大值为 ．14．已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实根，现有四个命题： ① 方程[()]f f x x =也一定没有实数根；② 若0a >，则不等式[()]f f x x >对一切x R ∈恒成立； ③ 若0a <，则必存在实数0x 使不等式00[()]f f x x >成立； ④ 若0a b c ++=，则不等式[()]f f x x <对一切x R ∈成立； 其中是真命题的有 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．15． “arcsin 1x ≥”是“arccos 1x ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．248211111lim(1)(1)(1)(1)...(1)22222n n →∞+++++=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417．设(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B ，点P 是线段AB 上的一个动点，AP AB λ=，若OP AB PA PB ⋅≥⋅，则实数λ的取值范围是（ ）A ．112λ≤≤ B ．112λ-≤≤C ．1122λ≤≤+D ．1122λ-≤≤+18．若对于满足13t -≤≤的一切实数t ，不等式222(3)(3)0x t t x t t -+-+->恒成立，则x 的取值范围为（ ） A ．(,2)(9,)-∞-+∞ B ．(,2)(7,)-∞-+∞ C ．(,4)(9,)-∞-+∞D ．(,4)(7,)-∞-+∞三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题6分．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+．（1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程；（2）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．20．（本题满分12分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题6分．设虚数12,z z 满足212z z =．（1）若12,z z 又是一个实系数一元二次方程的两个根，求12,z z ；（2）若11z mi =+(0,m i >为虚数单位)，1z ≤23z ω=+，求ω的取值范围．21．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题7分，第2小题7分．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知AC BC =，D 为AB 的中点，平面111A B C ⊥平面11ABB A ，且异面直线1BC 与1AB 互相垂直． （1）求证：1AB ⊥平面1ACD ；（2）若1CC 与平面11ABB A 的距离为1，115AC AB =， 求三棱锥1A ACD -体积．7分．已知函数()f x 的图象在[,]a b 上连续不断，定义：若存在最小正整数k ，使 得()()f x k x a ≤-对任意[,]x a b ∈恒成立，则称函数()f x 为[,]a b 上的 “k 函数”. （1）已知函数()2f x x m =+是[1,2]上的“1函数”，求m 的取值范围； （2）已知函数()3f x x m =+是[1,2]上的“2函数”，求m 的取值范围；（3）已知函数221,[1,0)()1,[0,1),[1,4]x x f x x x x ⎧-∈-⎪=∈⎨⎪∈⎩，试判断()f x 是否为[1,4]-上的“k 函数”，若是，求出对应的k ； 若不是，请说明理由．8分．数列{},{}n n a b 满足：11,a a b b ==，且当2k ≥时，,k k a b 满足如下条件： 当1102k k a b --+≥时，111,2k k k k k a ba ab ---+==， 当1102k k a b --+<时，111,2k k k k k a ba b b ---+==。

太原市2015年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文史类）一、选择题 1、复数ii+12错误！未找到引用源。

（ ） A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

2、已知集合A={}x y x -=1，B={}2x y x =，则A B=（ ）A ．(∞-，1]B ．[0，∞+)C ．(0，1)D ．[0，1]3、在单调递增的等差数列错误！未找到引用源。

中，若13=a ，4342=a a ，则1a =（ ） A ．-1 B ．0 C ．错误！未找到引用源。

41 D ．214、某袋中有编号为1，2，3，4，5，6的6个小球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（ ） A 、51 B 、61 C 、65 D 、36355、某程序框图如图所示，若输出的S=37，则判断框内应为（ ）A 、?6>kB 、?5>kC 、?4>kD 、?3>k6、已知函数)0)(4sin()(>+=ωπωx x f 的最小正周期是π，则函数()f x 的图像（ ）A 、关于直线4π=x 对称 B 、关于直线8π=x 对称C 、关于点（4π，0）对称 D 、关于直线（8π，0）对称7、已知AB 是圆02422=+-+y x y x 内过点E （1，0）的最短弦，则AB =（ ） A 、2错误！未找到引用源。

B 、3 C 、错误！未找到引用源。

2 D 、238、已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A 、33 B 、332 C 、334 D 、3359、已知实数1>a ，10<<b ，则函数b x a x f x -+=)(的零点所在区间是（ ） A ． ()2,1-- B ． ()1,0- C ． ()0,1 D ．()1,210、已知实数,x y 满足条件2420x x y x y c ≥⎧⎪+≤⎨⎪-++≥⎩若目标函数3z x y =+的最小值为5，其最大值为（ ）A ． 10B ． 12C ． 14D ． 1511、已知F 1、F 2是双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与F 2关于直线x aby =对称，则该双曲线的离心率为（ ）。

山西省太原市数学高三上学期理数第一次联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·大庆模拟) 已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2＜x≤2}，则A∩B=（）A . {﹣1，0，1，2}B . {﹣1，0，1}C . {﹣2，﹣1，0，1}D . {﹣2，﹣1，0，1，2}2. （2分） (2018高二下·石嘴山期末) 下列说法正确的是（）A . 函数的图象的一条对称轴是直线B . 若命题：“存在”，则命题p的否定为：“对任意”C .D . “ ”是“直线与直线互相垂直”的充要条件3. （2分） (2017高一上·洛阳期末) 已知倾斜角60°为的直线l平分圆：x2+y2+2x+4y﹣4=0，则直线l的方程为（）A . x﹣y+ +2=0B . x+y+ +2=0C . x﹣y+ ﹣2=0D . x﹣y﹣ +2=04. （2分） (2018高一下·山西期中) 已知函数，下面结论正确的是（）A . 函数的最小正周期为 2B . 函数在区间上是增函数C . 函数的图象关于直线对称D . 函数的图象关于点对称5. （2分） (2019高二上·郑州期中) 已知，在这两个实数之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·渝中模拟) 点P（x，y）的坐标满足约束条件，由点P向圆C：（x+2）2+（y﹣1）2=1作切线PA，切点为A，则线段|PA|的最小值为（）A .B .C .D .7. （2分）已知||=2，||=，=0，点C在AB上，∠AOC=30°．则向量等于（）A . +B . +C . -D . +8. （2分）(2018·河南模拟) 已知四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的五个面中面积的最大值是（）A . 3B . 6C . 8D . 109. （2分）(2017·四川模拟) 执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A . 45B . 55C . 66D . 11010. （2分） (2018高三上·南阳期末) 已知双曲线的一条渐近线的方程是：，且该双曲线经过点，则双曲线的方程是（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高二下·信阳期末) 已知△ABC的周长为c，它的内切圆半径为r，则△ABC的面积为 cr．运用类比推理可知，若三棱椎D﹣ABC的表面积为6 ，内切球的半径为，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A .B .C . 3D . 212. （2分） (2016高一上·温州期中) 设函数，集合M={x|f （x）=0}={x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5}⊆N* ，设c1≥c2≥c3 ，则c1﹣c3=（）A . 6B . 8C . 2D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二下·广安期中) 已知i是虚数单位，，则|z|=________．14. （1分） (2018高二下·中山月考) 的展开式中的系数是________.15. （1分） (2015高二下·会宁期中) y= 在点（1，1）处的切线方程________．16. （1分） (2016高三上·鹰潭期中) 数列{an}满足a1=1，对任意的n∈N*都有an+1=a1+an+n，则 + +…+ =________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （10分）已知为锐角且 .（1）求tan 的值；（2）求的值．18. （5分） (2016高一下·揭西开学考) 某校高三年级在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算并排序，选出前300名学生，并对这300名学生按成绩分组，第一组[75，80），第二组[80，85），第三组[85，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列．（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；（Ⅱ）若B大学决定在成绩高的第4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并且分成2组，每组3人进行面试，求95分（包括95分）以上的同学被分在同一个小组的概率．19. （5分）如图，直角梯形ABCD绕底边AD所在直线EF旋转，在旋转前，非直角的腰的端点A可以在DE 上选定．当点A选在射线DE上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，分别画出它的三视图并比较其异同点．20. （15分） (2017高一下·惠来期中) 已知平面向量 =（1，x）， =（2x+3，﹣x）（x∈R）．（1）若∥ ，求| |（2）若与夹角为锐角，求x的取值范围．（3）若| |=2，求与垂直的单位向量的坐标．21. （5分） (2019高二上·浙江期中) 已知实数，关于x的方程恰有三个不同的实数根，Ⅰ 当时，求a的值；Ⅱ 记函数的最小值，求的取值范围．22. （5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C：（y ﹣2）2﹣x2=1交于A，B两点（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB 中点M的距离．23. （10分） (2016高三上·汕头模拟) 已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+1|（1）若a=2，求函数f（x）的最小值；（2）如果关于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，求实数a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、23-1、23-2、。

2015-2016学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知全集U=Z，集合A={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，那么（∁U A）∩B=（）A．{1，2} B．{3，4} C．{1，2，3，4} D．∅2．已知复数z=，则|z|等于（）A．1 B．2 C．D．3．已知命题p：∀x＞0，x+≥4；命题q：∃x0∈R，2x0=﹣1．则下列判断正确的是（）A．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题4．设a=30.5，b=log32，c=cos，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a5．执行如图的程序框图输出的T的值为（）A．4 B．6 C．8 D．106．函数y=sinx||（0＜x＜π）的图象大致是（）A．B．C． D．7．设变量x，y满足|x﹣a|+|y﹣a|≤1，若2x﹣y的最大值为5，则实数a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．38．某几何体三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）A．16﹣πB．16+πC．16﹣2πD．16+2π9．已知函数f（x）=x2﹣ax+b（a＞0，b＞0）有两个不同的零点m，n，且m，n和﹣2三个数适当排序后，即可成为等差数列，也可成为等比数列，则a+b的值为（）A．7 B．8 C．9 D．1010．已知平面内点A，B，O不共线，，则A，P，B三点共线的必要不充分条件是（）A．λ=μB．|λ|=|μ| C．λ=﹣μD．λ=1﹣μ11．在四面体ABCD中，已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°，AD=BD=3，CD=2，则四面体ABCD的外界球的半径为（）A．B．2 C．3 D．12．已知函数f（x）在R上的导函数为f′（x），若f（x）＜2f′（x）恒成立，且f（ln4）=2，则不等式f（x）＞e的解集是（）A．（ln2，+∞）B．（2ln2，+∞） C．（﹣∞，ln2） D．（﹣∞，2ln2）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.共20分.13．（）6的展开式中，常数项为．（用数字作答）14．若a＞b＞c，且a+2b+c=0，则的取值范围是．15．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，当f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时．f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f （x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）=；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1=3，a2+a3=36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}对任意的正整数n都有+++…+=2n+1，求b1+b2+b3+…+b2015的值．18．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且c•cosA﹣acosC=b．（1）其的值；（2）若tanA，tanB，tanC成等差数列，求的值．19．已知平行四边形ABCD中，∠A=45°，且AB=BD=1，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD ⊥平面BCD，如图所示：（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD的中点，求二面角A﹣BM﹣C的余弦值．20．某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（Ⅰ）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；（Ⅱ）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．21．函数f（x）=ax n（1﹣x）（x＞0，n∈N*），当n=﹣2时，f（x）的极大值为．（1）求a的值；（2）求证：f（x）+lnx≤0；（3）求证：f（x）＜．请在22、23、24三体中任选一题作答，注意：只能做选做给定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BA，CD的延长线相交于点E，EF∥DA，并与CB的延长线交于点F，FG切⊙O于G．（1）求证：BE•EF=CE•BF；（2）求证：FE=FG．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为，当t=﹣1时，对应曲线C1上一点A，且点A关于原点的对称点为B．以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求A，B两点的极坐标；（2）设P为曲线C2上的动点，求|PA|2+|PB|2的最大值．[选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x﹣2|﹣2|x+1|．（1）求f（x）的最大值；（2）若f（x）≤mx+3+m恒成立，求m的取值范围．2015-2016学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知全集U=Z，集合A={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，那么（∁U A）∩B=（）A．{1，2} B．{3，4} C．{1，2，3，4} D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合与它的补集关系，利用并集与交集的定义，即可求出结果．【解答】解：∵全集U=Z，集合A={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，∴（∁U A）∩B={1，2}．故选：A．2．已知复数z=，则|z|等于（）A．1 B．2 C．D．【考点】复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的公式计算．【解答】解：∵z==，∴|z|=1．故选：A．3．已知命题p：∀x＞0，x+≥4；命题q：∃x0∈R，2x0=﹣1．则下列判断正确的是（）A．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题【考点】特称命题；全称命题．【分析】首先，判断命题p和命题q的真假，然后，结合由逻辑联结词“且”、“或”、“非”构成的复合命题的真值表进行判断即可．【解答】解：对于命题p：∵x＞0，∴x+≥2=4，∴命题p为真命题；对于命题q：∵对∀x∈R，2x＞0，∴命题q为假命题，￢q为真命题，故只有选项C为真命题．故选：C．4．设a=30.5，b=log32，c=cos，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较；运用诱导公式化简求值．【分析】利用指数函数、对数函数与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=30.5＞1，0＜b=log32＜1，c=cos＜0，∴a＞b＞c．故选：D．5．执行如图的程序框图输出的T的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】循环结构．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件S≥15，计算输出T的值．【解答】解：由程序框图知：第一次运行S=0+0+1=1，T=0+2=2；第二次运行S=1+2×2+1=6，T=2+2=4；第三次运行S=6+2×4+1=15≥15，T=4+2=6；满足条件S≥15，程序终止运行，输出T=6，故选：B．6．函数y=sinx||（0＜x＜π）的图象大致是（）A．B．C． D．【考点】函数的图象．【分析】对函数去掉绝对值符号，再结合余弦函数的图象，进而画出函数y=sinx||（0＜x＜π）的图象即可．【解答】解：∵函数y=sinx||（0＜x＜π），∴函数y=，∴根据余弦函数的图象可得其图象为：故选：B．7．设变量x，y满足|x﹣a|+|y﹣a|≤1，若2x﹣y的最大值为5，则实数a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】绝对值三角不等式．【分析】满足条件的点（x，y）构成趋于为平行四边形及其内部区域，令z=2x﹣y，显然当直线y=2x﹣z过点C（1+a，a）时，z取得最大值为5，即2（1+a）﹣a=5，由此求得a的值．【解答】解：设点M（a，a）则满足|x﹣a|+|y﹣a|≤1的点（x，y）构成区域为平行四边形及其内部区域，如图所示：令z=2x﹣y，则z表示直线y=2x﹣z在y轴上的截距的相反数，故当直线y=2x﹣z过点C（1+a，a）时，z取得最大值为5，即2（1+a）﹣a=5，解得a=3．故选：D．8．某几何体三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）A．16﹣πB．16+πC．16﹣2πD．16+2π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，求出底面周长和面积，进而可得该几何体的表面积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，底面面积S底=2×2﹣2×=4﹣，底面周长C=4×1+2××π×2×1=4+π，由该几何体的高h=2，故该几何体的侧面积S侧=Ch=8+2π，故该几何体的表面积S=S侧+2S底=16+π，故选：B9．已知函数f（x）=x2﹣ax+b（a＞0，b＞0）有两个不同的零点m，n，且m，n和﹣2三个数适当排序后，即可成为等差数列，也可成为等比数列，则a+b的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】函数零点的判定定理；二次函数的性质．【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到m+n=a，mn=b，再由m，n，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于m，n的方程组，求得m，n后得答案．【解答】解：由题意可得：m+n=a，mn=b，∵a＞0，b＞0，可得m＞0，n＞0，又m，n，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：m=4，n=1；解②得：m=1，n=4．∴a=5，b=4，则a+b=9．故选：C．10．已知平面内点A，B，O不共线，，则A，P，B三点共线的必要不充分条件是（）A．λ=μB．|λ|=|μ| C．λ=﹣μD．λ=1﹣μ【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用平面向量共线定理，将用表示出来，再用，将表示出来，进而根据题干信息推出A，B，P三点共线的充要条件．【解答】解：∵A，B，P三点共线，∴存在一个数m，满足∵∴即m（）=∴∵A，B，O三点不共线∴m﹣μ=0，m+λ=0 即λ=﹣μ=﹣m∴A，B，P三点共线的充要条件为λ=﹣μ∴A，B，P三点共线的必要不充分条件为|λ|=|μ|故选：B11．在四面体ABCD中，已知∠ADB=∠BDC=∠C DA=60°，AD=BD=3，CD=2，则四面体ABCD的外界球的半径为（）A．B．2 C．3 D．【考点】球的体积和表面积．【分析】设四面体ABCD的外接球球心为O，则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂线上，且点N为△ABD的中心．设P，M分别为AB，CD的中点，则N在DP上，且ON⊥DP，OM⊥CD，从而可求DM，MN，进而可求四边形DMON的外接圆的直径，即可求得球O的半径．【解答】解：设四面体ABCD的外接球球心为O，则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，△ABD是正三角形，则点N为△ABD的中心．设P，M分别为AB，CD的中点，则N在DP上，且ON⊥DP，OM⊥CD．因为∠CDA=∠CDB=∠ADB=60°，设CD与平面ABD所成角为θ，∴cosθ=，sinθ=．在△DMN中，DM==1，DN==．由余弦定理得MN==．∴四边形DMON的外接圆的半径OD==．故球O的半径R=．故选：D．12．已知函数f（x）在R上的导函数为f′（x），若f（x）＜2f′（x）恒成立，且f（ln4）=2，则不等式f（x）＞e的解集是（）A．（ln2，+∞）B．（2ln2，+∞） C．（﹣∞，ln2） D．（﹣∞，2ln2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（ln4）=2，求得g（ln4）=1，继而求出答案．【解答】解：∵∀x∈R，都有2f′（x）＞f（x）成立，∴f′（x）﹣f（x）＞0，于是有（）′＞0，令g（x）=，则有g（x）在R上单调递增，∵不等式f（x）＞，∴g（x）＞1，∵f（ln4）=2，∴g（ln4）=1，∴x＞ln4=2ln2，故选：B．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.共20分.13．（）6的展开式中，常数项为15 ．（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】本题是二项式展开式求项的问题，可由给出的式子求出通项表达式T r+1=（﹣1）r•，令x的次数为0即可．【解答】解：∵T r+1=（﹣1）r•，∴由6﹣3r=0得r=2，从而得常数项C6r=15，故答案为：15．14．若a＞b＞c，且a+2b+c=0，则的取值范围是（﹣3，﹣）．【考点】不等式的基本性质．【分析】先将a+2b+c=0变形为b=﹣（a﹣c），代入不等式a＞b，b＞c，得到两个不等关系，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系．【解答】解：∵a+2b+c=0，∴a＞0，c＜0，∴b=﹣（a+c），且a＞0，c＜0∵a＞b＞c∴a＞﹣（a+c），即c＞﹣3a，解得＞﹣3，将b=﹣（a+c ）代入b ＞c ，得﹣（a+c ）＞c ，即a ＜﹣3c ，解得＜﹣，∴﹣3＜＜﹣．故答案为：（﹣3，﹣）．15．定义在R 上的函数f （x ）满足f （x+6）=f （x ）．当﹣3≤x ＜﹣1时，当f （x ）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x ＜3时．f （x ）=x ，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f=f （x ）知函数的周期为6，求出f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （5）+f （6）的值． 【解答】解：∵f （x+6）=f （x ）， ∴T=6，∵当﹣3≤x ＜﹣1时，当f （x ）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x ＜3时．f （x ）=x ， ∴f （1）=1， f （2）=2f （3）=f （﹣3）=﹣1， f （4）=f （﹣2）=0， f （5）=f （﹣1）=﹣1， f （6）=f （0）=0，∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （5）+f （6）=1；f （1）+f （2）+f （3）+…+f+f （2）+f （3）+f （4）+f （5）=336 故答案为：336．16．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记∠AOP 为x （x ∈[0，π]），OP 所经过正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积S=f （x ），那么对于函数f （x ）有以下三个结论：①f（）=；②任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）=4；③任意x 1，x 2∈（，π），且x 1≠x 2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是 ①② ．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】当0≤x ≤arctan2时，f （x ）=；当arctan2＜x ＜，在△OBE 中，f （x ）=S 矩形OABM ﹣S △OME =2﹣；当x=时，f （x ）=2；当＜x ≤π﹣arctan2时，同理可得f （x ）=2﹣．当π﹣arctan2＜x ≤π时，f （x ）=4﹣=4+．即可判断出．【解答】解：当0≤x ≤arctan2时，f （x ）==；当arctan2＜x ＜，在△OBE 中，f （x ）=S 矩形OABM ﹣S △OME =2﹣=2﹣；当x=时，f （x ）=2；当＜x ≤π﹣arctan2时，同理可得f （x ）=2﹣．当π﹣arctan2＜x ≤π时，f （x ）=4﹣=4+．于是可得：①==，正确；②由图形可得：∀x ∈[0，π]），f （x ）+f （π﹣x ）=4，因此对任意x ∈[0，]，都有f （﹣x ）+f （+x ）=4，故正确；③不妨设x 1＜x 2，则＜0⇔f （x 1）＞f （x 2），显然不正确．综上只有：①②正确． 故答案为：①②．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1=3，a 2+a 3=36． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }对任意的正整数n 都有+++…+=2n+1，求b 1+b 2+b 3+…+b 2015的值．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ＞0，由于a 1=3，a 2+a 3=36．根据等比数列的通项公式即可得出a n ．（2）由于数列{b n}对任意的正整数n都有+++…+=2n+1，当n=1时， =3，解得b1．当n≥2时，可得=2，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=3，a2+a3=36．∴3（q+q2）=36，解得q=3．∴a n=3n．（2）∵数列{b n}对任意的正整数n都有+++…+=2n+1，∴当n=1时， =3，解得b1=9．当n≥2时， +++…+=2n﹣1，∴=2，∴b n=2a n=2×3n．∴b n=．∴b1+b2+b3+...+b2015=9+2（32+33+ (32015)=3+=32016．18．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且c•cosA﹣acosC=b．（1）其的值；（2）若tanA，tanB，tanC成等差数列，求的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：sinCcosA﹣sinAcosC=sinB，整理可得：sinCcosA=5sinAcosC，利用同角三角函数基本关系式即可得解的值；（2）利用等差数列的性质可得2tanB=tanA+tanC，设tanA=x，由（1）可得tanC=5x，解得tanB=3x，由tanB=﹣tan（A+C），可得3x=，解得tanA的值，由题设可知，A为锐角，可求cosA，利用余弦定理即可得解的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵c•cosA﹣acosC=b．∴由正弦定理可得：sinCcosA﹣sinAcosC=sinB=sin（A+C）=（sinAcosC+cosAsinC）， (3)分∴整理可得：sinCcosA=5sinAcosC，∴==…6分（2）∵tanA，tanB，tanC成等差数列，∴2tanB=tanA+tanC，若设tanA=x，由（1）可得tanC=5x，可得：tanB=3x，∵tanB=﹣tan（A+C），∴3x=，解得x=，即tanA=，…10分由题设可知，A最小，一定为锐角，∴cosA=，∴=﹣2cosA=﹣…12分19．已知平行四边形ABCD中，∠A=45°，且AB=BD=1，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD ⊥平面BCD，如图所示：（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD的中点，求二面角A﹣BM﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）推导出AB⊥BD，从而AB⊥面BCD，由此能证明AB⊥CD．（2）以B为原点，在平面BCD中过B作BD的垂线为x轴，BD为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BM﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）∵AB=BD，∠A=45°，∴AB⊥BD，又∵平面ABD⊥平面BCD，且BD是平面ABD与平面BCD的交线，∴AB⊥面BCD，∵CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．解：（2）以B为原点，在平面BCD中过B作BD的垂线为x轴，BD为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A（0，0，1），M（0，），，面ABM的法向量为=（1，0，0），设平面BMC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，1），cos＜＞===，观察知二面角A﹣BM﹣C为钝角，故二面角A﹣BM﹣C的余弦值为﹣．20．某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（Ⅰ）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；（Ⅱ）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”．求出A，B的概率，然后求解甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率．（Ⅱ）X的可能取值为：0，1，2，3．求出概率，得到X为分布列，然后求解期望．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”．则，．因为事件A与B相互独立，所以甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率为．…（Ⅱ）设事件C为“丙同学选中C课程”．则．X的可能取值为：0，1，2，3．．=．=．．321．函数f（x）=ax n（1﹣x）（x＞0，n∈N*），当n=﹣2时，f（x）的极大值为．（1）求a的值；（2）求证：f（x）+lnx≤0；（3）求证：f（x）＜．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的对数，根据n=2时，f（x）的极大值为，得到f（）=a•×=，解出即可；（2）问题转化为证x n（1﹣x）+lnx≤0，设g（x）=x n（1﹣x）+lnx，根据函数的单调性证明即可；（3）求出f（x）的最大值，问题转化为证明：＜，通过取对数结合换元思想以及函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）n=2时，f（x）=ax2（1﹣x），∴f′（x）=ax（2﹣3x），令f′（x）=0得：x=0或x=，∵n=2时，f（x）的极大值为，故a＞0，且f（）=a•×=，解得：a=1；（2）要证f（x）+lnx≤0，即证x n（1﹣x）+lnx≤0，设g（x）=x n（1﹣x）+lnx，定义域是（0，+∞），则g′（x）=，∵x＞0，∴x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）递增，x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）递减，∴g（x）的最大值是g（1）=0，∴g（x）≤0成立，命题得证；（3）∵f（x）=x n（1﹣x），∴f′（x）=nx n﹣1﹣（n+1）x n=（n+1）x n﹣1（﹣x），显然，f（x）在x=处取得最大值，f（）=，因此只需证：＜，即证：＜，两边取对数，原式ln＜﹣，设t=（0＜t＜1），则n=， =1﹣t，因此只需证：lnt＜t﹣1即可，令ω（t）=lnt﹣t+1，∵0＜t＜1，∴ω′（t）=﹣1＞0，ω（t）在（0，1）递增，故ω（t）＜ω（1）=0成立，即lnt＜t﹣1，结论成立．请在22、23、24三体中任选一题作答，注意：只能做选做给定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BA，CD的延长线相交于点E，EF∥DA，并与CB的延长线交于点F，FG切⊙O于G．（1）求证：BE•EF=CE•BF；（2）求证：FE=FG．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）圆的内接四边形的性质，平行线的性质，判断△CFE∽△EFB，线段对应成比例，从而证得式子成立．（2）根据 CFE∽△EFB，可得BE•EF=CF•BF，在根据圆的切线性质可得 FC2=FB•FC，从而证得结论成立．【解答】证明：（1）∵EF∥DA，∴∠DAE=∠AEF，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DAE=∠C，∴∠C=∠AEF，又∠CFE=∠EFB，∴△CFE∽△EFB，∴=，∴BE•EF=CF•BF．（2）∵CFE∽△EFB，∴=，∴EF•EF=FB•FC，∵FG切⊙O于G，∴FC2=FB•FC，∴EF•EF=FG2，∴FG=FE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为，当t=﹣1时，对应曲线C1上一点A，且点A关于原点的对称点为B．以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求A，B两点的极坐标；（2）设P为曲线C2上的动点，求|PA|2+|PB|2的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）将t=﹣1代入得A，B的坐标，即可得到结论．（2）求出曲线C2上的直角坐标方程，设P的坐标，结合两点间的距离公式进行求解即可．【解答】解：（1）经t=﹣1代入C1得x=3，y=﹣，则A（3，﹣），B（﹣3，），它们的极坐标为A（2，），B（2，）．（2）曲线C2的极坐标方程为．平方得ρ2==，即3ρ2+ρ2sin2θ=12，即3x2+3y2+y2=12，即3x2+4y2=12，即=1．设P（2cosθ， sinθ），则|PA|2+|PB|2=（2cosθ﹣3）2+（sinθ+）2+（2cosθ+3）2+（sinθ﹣）2=2（4cos2θ+3sin2θ+12）=2（15+cos2θ），∵cos2θ≤1，∴PA|2+|PB|2=2（15+cos2θ）≤32，即|PA|2+|PB|2的最大值是32．[选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x﹣2|﹣2|x+1|．（1）求f（x）的最大值；（2）若f（x）≤mx+3+m恒成立，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，将f（x）写成分段函数的形式，画出函数的图象，从而求出f（x）的最大值即可；（2）问题转化为，解出即可．【解答】解：（1）∵f（x）=|x﹣2|﹣2|x+1|=，如图示：，∴f（x）的最大值是3；（2）若f（x）≤mx+3+m恒成立，则，解得：﹣3≤m≤1．。

山西省忻州一中14-15高三第一次四校联考数学试题（理）（满分150分，考试时间120分）一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1. 设全集为R ，集合}1log {},4{22≥=>=x x N x x M ，则=N M IA ．[-2，2]B ．)2,(--∞C ．),2(+∞D ．),2(+∞- 2. 已知i 是虚数单位，则复数2)i1i 2(-的值为 A ．1 B ．1- C ．i D ．i -3. 执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入x 的值为A ．2B ．2±C ．－2或－3D ．2或－34. 实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤-+1033032y y x y x ，则y x z -=的最大值是A ．－1B ．0C ．3D ．4 5. 二项式102)2(xx +展开式中的常数项是 A ．180 B ．90C ．45D ．3606. 三棱锥的三视图如图，正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积为A B C D7. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为26，则此双曲线的渐近线方程为A ．x 2y ±=B ．x y 2±=C ．x y 22±= D ．x y 21±= 8. 等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若0323=+S S ，则公比q =A ．－2B ．2C ．3D ．－3侧视图正视图俯视图9. 点D C B A ,,,均在同一球面上，且AB 、AC 、AD 两两垂直，且，1=AB ，2=AC 3=AD ,则该球的表面积为A ．π7B ．π14C ．27πD ．3147π10. 若a 满足4lg =+x x ，b 满足410=+xx ，函数⎩⎨⎧>≤+++=0202)()(2x x x b a x x f ，，，则关于x 的方程x x f =)(解的个数是A ．1B ．2C ．3D ．411. 抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则=pA ．2B ．4C ．6D ．812. 已知函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，对于任意R x ∈都)3()()6(f x f x f +=+成立；当]3,0[,21∈x x ，且21x x ≠时，都有0)()(2121>--x x x f x f ．给出下列四个命题：①0)3(=f ；②直线6-=x 是函数)(x f y =图象的一条对称轴；③函数)(x f y =在]6,9[--上为增函数；④函数)(x f y =在]2014,0[上有335个零点． 其中正确命题的个数为A ．１B ．２C ．３D ．４二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13. 已知b a ρρ⊥，2=a ρ，3=b ρ，且b a ρρ2+与b a ρρ-λ垂直，则实数λ的值为 ▲ .14. 数列}{n a 的前n 项和记为n S ，11=a ，)1(121≥+=+n S a n n ，则}{n a 的通项公式 为 ▲ . 15．函数)432(31sin 232sin3)(2ππ≤≤-=x x x x f 的最小值是 ▲ . 16．在等比数列}{n a 中，1041=<<a a ，则能使不等式0)1()1()1(2211≤-+⋅⋅⋅+-+-nn a a a a a a 成立的最大正整数n 是 ▲ .三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17. (本小题满分12分)在ABC ∆中，角A ，B ,C 的对边分别是a ，b ，c ，其面积为S ，且S a c b 334222=-+.（1）求A ; （2）若35=a ，54cos =B ,求c . 18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中， ABCD PA 面⊥,BC AD //，︒=∠90BAD ,2,1,===⊥PA AD BC BD AC ,F E ,分别为AD PB ,的中点.（1）证明：EF AC ⊥；（2）求直线EF 与平面PCD 所成角的正弦值. 19. (本小题满分12分)为迎接高一新生报到，学校向高三甲、乙、丙、丁四个实验班征召志愿者.统计如下：为了更进一步了解志愿者的来源，采用分层抽样的方法从上述四个班的志愿者中随机抽取50名参加问卷调查.（1）从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名，求这两名来自同一个班级的概率； （2）在参加问卷调查的50名志愿者中，从来自甲、丙两个班级的志愿者中随机抽取两名，用X 表示抽得甲班志愿者的人数，求X 的分布列和数学期望. 20. (本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切．B A 、是椭圆C 的右顶点与上顶点，直线)0(>=k kx y 与椭圆相交于F E 、两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）当四边形AEBF 面积取最大值时，求k 的值． 21. (本小题满分12分)已知函数)1ln()1()(--=x x x f .（1）设函数)()1()(x f x a x g +--=在区间]1,2[2+e 上不单调，求实数a 的取值范围； （2）若Zk ∈,且0)2(1)(>---+x k x x f 对2>x 恒成立，求k 的最大值.请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．CD22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，BAC ∠的平分线分别交BC 和圆O 于点E D 、，若102==PB PA . （1）求证：AB AC 2=； （2）求DE AD ⋅的值.23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l ：⎩⎨⎧=+-=ααsin cos 1t y t x （t 为参数，α为l 的倾斜角），以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 为：05cos 62=+-θρρ. （1）若直线l 与曲线C 相切，求α的值；（2）设曲线C 上任意一点的直角坐标为),(y x ，求y x +的取值范围. 24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知正实数b a 、满足：ab b a 222=+. （1）求11+的最小值m ; 一、选择题（每小题5分，共60分） 1-5：CDDCA 6-10：BCABC 11-12：BB 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 29 14. nn a 3= 15. 13- 16. 7 三、解答题： 17 (本小题满分12分)解：（1）由已知得：A bc A bc sin 21334cos 2⋅=………4分 3tan =∴A ………5分PE22题图由A 是内角，∴ 060=A ………6分 （2）由54cos =B 得53in =B s ………7分 ∴10343c 23sin 21)3(si inC +=+=+=osB B B n s π………10分 由正弦定理得：343sin sin +==ACa c ………12分18 (本小题满分12分)解：(1)易知AB,AD ，A P 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB,AD, AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB t =，则相关各点的坐标为：(0,0,0)A ，(,0,0)B t ，(,1,0)C t ，(0,2,0)D ,(0,0,2)P ,(,0,1)2tE (0,1,0)F . ………2分 从而(,1,1)2t EF =--u u u v ,AC u u u r ＝(,1,0)t ，BD u u u r ＝(,2,0)t -．因为AC BD ⊥，所以AC u u u r ·BD u u u r ＝2200t -++=.解得t =或t =舍去)． ………4分于是EF u u u r ＝(2-，1，－1)，AC u u u r ＝，1,0)．因为AC u u u r ·EF u u u r ＝－1＋1＋0＝0，所以AC ⊥EF u u u r ，即AC EF ⊥． ………6分(2)由(1)知，PC uuu r ＝,1,-2)，PD u u u r＝(0，2,-2)．设(,,)x y z =n 是平面PCD 的一个法向量，则0,0,PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r n n即20,220.y z y z +-=-=⎪⎩令z =n ＝(1)． ………9分设直线EF 与平面PCD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，EF u u u r〉|＝|EF EF⋅⋅u u u r u u u r n n |＝15.即直线EF 与平面PCD 所成角的正弦值为15. ………12分19. 解：（1）由已知得问卷调查中，从四个班级中抽取的人数分别为15,20,10,5…2分x从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名的取法共有2501225C =种，这两名志愿者来自同一班级的取法共有215C +220C +210C +25C =350. ………5分∴721225350p ==. ………6分 （2）由（1）知，在参加问卷调查的50名志愿者中，来自甲、丙两班的人员人数分别为15,10. X的可能取值为0,1,2， ………8分==)0(X P 203225210=C C ， 21)1(225110115===C C C X P ， 207)2(225215===C C X P . ∴X ………11分………12分20.(1) 由题意知：c e a =＝3 ∴222222c a b e a a -===34，∴224a b =. ……2分 又∵圆222x y b +=与直线20x y -+=相切， ∴1b =，∴24a =， ……3分故所求椭圆C 的方程为2214y x += ………4分 （2）设1122()()E x kx F x kx ，，，，其中12x x <，将y kx =代入椭圆的方程2214y x +=整理得：22(4)4k x +=， 故2124x x k =-=+．① ………5分又点E F ，到直线AB 的距离分别为21112222(24)55(4)x kx k k h k +-+++==+，22222222(24)55(4)x kx k k h k +-+-+==+．2215AB =+= ………7分所以四边形AEBF 的面积为X 0 12P 320 12720121()2S AB h h =+12==………9分===≤ ………11分 当24(0)k k =>，即当2k =时，上式取等号．所以当四边形AEBF 面积的最大值时，k =2. ………12分 21.解：（1）)1ln(1)(-++-='x a x g 在),1(+∞上递增 ………1分由已知，有⎩⎨⎧>+-=+'<+-='03)1(01)2(2a e g a g 解得31<<a a ∴的取值范围为)3,1(. ………4分（2）由题知21)1ln()1(--+--<x x x x k 对2>x 恒成立. ………5分令=)(x u 21)1ln()1(--+--x x x x 则=')(x u 2)2(3)1ln(--+--x x x令3)1ln()(-+--=x x x v 12111)(--=--='x x x x v 0)(2>'∴>x v x Θ 即)(x v 在),2(+∞上递增 ………8分 又022ln 2)5(,013ln )4(>+-=<+-=v v Θ )5,4(0∈∃∴x ，使得0)(0=x v 即0)(0='x u∴)(x u 在),4(0x 上递减，在)5,(0x 上递增. ………10分2)1()1ln()1()()]([00000min --+--==∴x x x x x u x u)4,3(12)1()3)(1(00000∈-=--+--=x x x x x 1)]([0min -=<x x u k又k Z k ∴∈,Θ的最大值为3. ………12分 22. 解：（1）∵PA 是圆O 的切线 ∴ACB PAB ∠=∠ 又P ∠是公共角∴ABP ∆∽CAP ∆ ………2分∴2==PBAPAB AC ∴AB AC 2= ………4分 （2）由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2∴20=PC又PB=5 ∴15=BC ………6分又∵AD 是BAC ∠的平分线 ∴2==DBCDAB AC ∴DB CD 2= ∴5,10==DB CD ………8分又由相交弦定理得：50=⋅=⋅DB CD DE AD ………10分23. 解：（1）曲线C 的直角坐标方程为05622=+-+x y x即4)3(22=+-y x 曲线C 为圆心为(3,0)，半径为2的圆. 直线l 的方程为:0sin cos sin =+-αααy x ………3分 ∵直线l 与曲线C 相切 ∴2cos sin |sin sin 3|22=++αααα即21sin =α ………5分 ∵ α∈[0,π) ∴α=656ππ或 ………6分（2）设θθsin 2,cos 23=+=y x则 y x +=θθsin 2cos 23++)4sin(223πθ++= ………9分∴ y x +的取值范围是[]223,223+-. ………10分 24. 解：（1）∵ab b b 2a a 222≥+= 即ab ≥ab ∴1a ≤b ………2分 又2ab211≥≥+b a 当且仅当b =a 时取等号 ∴m =2 ………5分 （2）2|1||1|||)(f ≥+≥++-=tt t x t x x ………9分 ∴满足条件的实数x 不存在. ………10分。

某某省某某高中2015届高三上学期周测数学试卷（理科）（1.22）一．本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的4个选项中，只有一项是符合要求的．1．设复数z1=1﹣i，z2=+i，其中i为虚数单位，则的虚部为( )A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意结合复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵z1=1﹣i，z2=+i，∴=．∴的虚部为．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2，则a2等于( )A．﹣2 B．2 C．1 D．4考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：利用S n=2a n﹣2，n分别取1，2，则可求a2的值．解答：解：n=1时，S1=2a1﹣2，∴a1=2，n=2时，S2=2a2﹣2，∴a2=a1+2=4．故选D．点评：本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，属于基础题．3．“m＞0”是“函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义集合对数函数的性质分别判断其充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：若“m＞0”，则函数f（x）=m+log2x＞0，（x≥1），故函数f（x）不存在零点，是充分条件，若函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点，则m＞0，是必要条件，故选：C．点评：本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，是一道基础题．4．已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值为( )A．B．2 C．D．1考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，由点到直线的距离公式求得点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，当P与A（1，0）重合时，P到直线3x﹣4y﹣13=0的距离最小为d=．故选：B．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5．已知双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y﹣3=0平行，则双曲线的离心率是( )A．B．C．4D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件求出双曲线方程中k的值，然后求解离心率即可．解答：解：双曲线kx2﹣y2=1（k＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y﹣3=0平行，可得双曲线的渐近线的斜率为：，即，解得k=，双曲线kx2﹣y2=1为：y2=1，得a=2，b=1，c=，∴双曲线的离心率为：．故选：A．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．6．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A．B．C．2D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，即可得出．解答：解：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，∴V==．点评：本题考查了三棱锥与四棱锥的三视图、体积计算公式，属于基础题．7．已知函数f（x）=sin（x+），其中x∈，若f（x）的值域是，则实数a的取值X围是( ) A．（0，] B．C．D．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：先求得x+的取值X围，由x+∈时f（x）的值域是，可知≤a+≤，可解得实数a的取值X围．解答：解：∵x∈，∴x+∈，∵x+∈时f（x）的值域是，∴由函数的图象和性质可知≤a+≤，可解得a∈．故选：D．点评：本题主要考察了正弦函数的图象和性质，由函数的图象和性质得到不等式≤a+≤是解题的关键，属于基本知识的考查．8．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为( ) A．B．C．1 D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先画出图象、做出辅助线，设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义得2|MN|=a+b，由题意和余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，再根据基本不等式，求得|AB|2的取值X围，代入化简即可得到答案．解答：解：如右图：过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab，配方得|AB|2=（a+b）2﹣ab，因为ab≤，则（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣=（a+b）2，即|AB|2≥（a+b）2，所以≥=3，则，即所求的最小值是，故选：D．点评：本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题．9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f （x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，则实数k的取值X围为( )A．（2﹣2，2﹣4）B．（+2，+）C．（2+2，2+4）D．（4，8）考点：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题通过奇函数特征得到函数图象经过原点，且关于原点对称，利用f（x+1）=f（x）+f（1）得到函数类似周期性特征，从而可以画出函数的草图，再利用两个临界状态的研究，得到k的取值X围．解答：解：∵当0≤x≤1时，f（x）=x2，∴f（1）=1．∵当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），∴f（x+1）=f（x）+1，∴当x∈，n∈N*时，f（x+1）=f（x﹣1）+2=f（x﹣2）+3=…=f（x﹣n）+n+1=（x﹣n）2+n+1，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数图象经过原点，且关于原点对称．∵直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，∴当x＞0时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有3个不同的公共点，∴由x＞0时f（x）的图象可知：直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点，直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有9个不同的公共点，∴直线y=kx与函数y=f（x）的图象位置情况介于上述两种情况之间．∵当x∈时，由得：x2﹣（k+2）x+2=0，令△=0，得：k=．由得：x2﹣（k+4）x+6=0，令△=0，得：k=2．∴k的取值X围为（）．点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性、函数图象与性质及其应用，本题有一定的综合性，属于中档题．10．设函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，则( )A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式判断单调性，运用f（1）=e﹣2＞0，g（1）=0+2﹣5＜0，得出a＜1，b＞1，再运用单调性得出g（a）＜g（1）＜0，f（b）＞f（1）＞0，即可选择答案．解答：解：∵函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，∴f（x）与g（x）在各自的定义域上为增函数，∵f（1）=e﹣2＞0，g（1）=0+2﹣5＜0，∴若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，∴a＜1，b＞1，∵g（a）＜g（1）＜0，f（b）＞f（1）＞0，故选：A点评：本题考查了函数的性质，运用单调性判断函数的零点的位置，再结合单调性求解即可．11．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值X 围为( )A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将=2（b﹣1）2，0≤b≤1，求出X围．解答：解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A（3，0），B（0，3），∴AB所在直线的方程为：y=3﹣x，设M（a，3﹣a），N（b，3﹣b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a＞b，∵MN=，∴（a﹣b）2+（b﹣a）2=2，∴a﹣b=1，∴a=b+1，∴0≤b≤2，∴=（a，3﹣a）•（b，3﹣b）=2ab﹣3（a+b）+9=2（b2﹣2b+3），0≤b≤2，∴b=1时有最小值4；当b=0，或b=2时有最大值6，∴的取值X围为故选：D点评：熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积得坐标运算是解题的关键．12．设函数f1（x）=x，f2（x）=log2015x，a i=（i=1，2，3，…，2015），记I k=|f k（a2）﹣f k（a1）|+|f k（a3）﹣f k（a2）|+…+|f k（a2015）﹣f k（a2014）|，k=1，2，则( ) A．I1＜I2B．I1=I2C．I2＜I1D．无法确定考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由于f1（a i+1）﹣f1（a i）==．可得I1=×2014．由于f i+1（a i+1）﹣f i（a i）==．即可得出I2==log20152015．解答：解：∵f1（a i+1）﹣f1（a i）==．∴I1=|f1（a2）﹣f1（a1）|+|f1（a3）﹣f1（a2）|+…+|f1（a2015）﹣f1（a2014）|=×2014=．∵f2（a i+1）﹣f2（a i）==．∴I2=|f2（a2）﹣f2（a1）|+|f2（a3）﹣f2（a2）|+…+|f2（a2015）﹣f2（a2014）|==log20152015=1，∴I1＜I2．故选：A．点评：本题考查了对数的运算法则、含绝对值符号式的运算，属于基础题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中横线上．13．已知等比数列{a n}，前n项和为S n，，则S6=．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q，运用通项公式，列出方程，解得公比和首项，再由求和公式，即可得到所求值．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，由于，即a1+a1q=，a1q3+a1q4=6，两式相除，可得，q=2，a1=．则S6==．故答案为：点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查运算能力，属于基础题．14．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f （x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+2的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 (82)考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，再利用倒序相加，即可得到结论解答：解：∵f（x）=x3+sinx+2，∴f'（x）=3x2+cosx，f''（x）=6x﹣sinx，∴f''（0）=0，而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+2+﹣x3﹣sinx+2=4，函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，∴…=20×4+f（0）=82．故答案为：82．点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，是解题的关键．15．给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是②③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．解答：解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．故答案为：②③④点评：本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题．16．有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为d m，并且a1n，a2n，a3n，…，a nn成等差数列．若d m=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），则p1+p2=1．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先根据首项和公差写出数列的通项公式，利用通项公式表示出数列a1n，a2n，a3n，…，a nn中的第项减第2项，第3项减第4项，…，第n项减第n﹣1项，由此数列也为等差数列，得到表示出的差都相等，进而得到d n是首项d1，公差为d2﹣d1的等差数列，根据等差数列的通项公式表示出d m的通项，令p1=2﹣m，p2=m﹣1，得证，求出p1+p2即可．解答：解：由题意知a mn=1+（n﹣1）d m．则a2n﹣a1n=﹣=（n﹣1）（d2﹣d1），同理，a3n﹣a2n=（n﹣1）（d3﹣d2），a4n﹣a3n=（n﹣1）（d4﹣d3），…，a nn﹣a（n﹣1）n=（n﹣1）（d n ﹣d n﹣1）．又因为a1n，a2n，a3n，a nn成等差数列，所以a2n﹣a1n=a3n﹣a2n=…=a nn﹣a（n﹣1）n．故d2﹣d1=d3﹣d2=…=d n﹣d n﹣1，即d n是公差为d2﹣d1的等差数列．所以，d m=d1+（m﹣1）（d2﹣d1）=（2﹣m）d1+（m﹣1）d2．令p1=2﹣m，p2=m﹣1，则d m=p1d1+p2d2，此时p1+p2=1．故答案为：1．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，考查了利用函数的思想解决实际问题的能力，是一道中档题．三．解答题：本大题共5小题，共70分.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．解答：解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），∵S=absinC=ab≤，∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC的面积最大为．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PD⊥底面ABCD，∠DAB=60°，E为AB的中点．（1）证明：DC⊥平面PDE；（2）若PD=AD，求面DEP与面BCP所成二面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间角．分析：（1）根据底面为含有60度的菱形，得△DAB为正三角形，从而得到AB⊥DE，结合PD⊥AB 利用线面垂直判定定理，即可证出DC⊥平面PDE；（2）分别以DE，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出面DEP与面BCP 的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．解答：证明：（1）∵PD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PD⊥AB连接DB，在菱形ABCD中，∠DAB=60°∴△DAB为等边三角形…又∵E为AB的中点∴AB⊥DE又∵PD∩DE=D∴AB⊥底面PDE…∵AB∥CD∴CD⊥底面PDE…解：（2）如图，分别以DE，DC，DP所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系∴…．∴∴…∴∴…点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，熟练掌握线面垂直的判定定理是解答（1）的关键，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．19．已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（Ⅱ）若p=，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n=1，2代入求出a2和a3，再由等差中项的性质列出关于p的方程求解，利用“{a n}是递增数列”对求出的p的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“|a n+1﹣a n|=p n”、不等式的可加性，求出和a2n+1﹣a2n=，再对数列{a n}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{a n}的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．解答：解：（Ⅰ）∵数列{a n}是递增数列，∴a n+1﹣a n＞0，则|a n+1﹣a n|=p n化为：a n+1﹣a n=p n，分别令n=1，2可得，a2﹣a1=p，，即a2=1+p，，∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，即4（1+p）=1+3（p2+p+1），化简得3p2﹣p=0，解得或0，当p=0时，数列a n为常数数列，不符合数列{a n}是递增数列，∴；（2）由题意可得，|a n+1﹣a n|=，则|a2n﹣a2n﹣1|=，|a2n+2﹣a2n+1|=，∵数列{a2n﹣1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，∴a2n+1﹣a2n﹣1＞0，且a2n+2﹣a2n＜0，则﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，两不等式相加得a2n+1﹣a2n﹣1﹣（a2n+2﹣a2n）＞0，即a2n+1﹣a2n+2＞a2n﹣1﹣a2n，又∵|a2n﹣a2n﹣1|=＞|a2n+2﹣a2n+1|=，∴a2n﹣a2n﹣1＞0，即，同理可得：a2n+3﹣a2n+2＞a2n+1﹣a2n，即|a2n+3﹣a2n+2|＜|a2n+1﹣a2n|，则a2n+1﹣a2n=当数列{a n}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），，，，…，，这2m﹣1个等式相加可得，==，则；当数列{a n}的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N*），，，…，，这2m个等式相加可得，…﹣…+=﹣=，则，且当m=0时a1=1符合，故，综上得，．点评：本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大．20．已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与X围问题．分析：（1）设点P（x，y），由题意可得，，化简即可得出；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得m2+1=n2，直线与椭圆方程联立可得．利用根与系数的关系可得，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，整理可得：．∴曲线E的方程是．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得：，即m2+1=n2，联立消去y得．，，所以，，==．当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线和直线符合题意．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2．（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，且函数g（x）有且仅有一个零点，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值X围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=﹣1时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求f（x）在（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）由g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，可得a=，令h（x）=，证明h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h（x）max=h（1）=1，即可求得函数g（x）有且仅有一个零点a的值，然后结合e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求出g（x）max，即可求得m的取值X围．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=（x2﹣2x）•lnx﹣x2+2，定义域（0，+∞），∴f′（x）=（2x﹣2）•lnx+（x﹣2）﹣2x．∴f′（1）=﹣3，又f（1）=1，∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程3x+y﹣4=0；（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，则（x2﹣2x）•lnx+ax2+2=x+2，即a=，令h（x）=，则h′（x）=，令t（x）=1﹣x﹣2lnx，则t′（x）=，∵x＞0，∴t′（x）＜0，∴t（x）在（0，+∞）上是减函数，又∵t（1）=h′（1）=0，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=1，∴当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1，当a=1时，g（x）=（x2﹣2x）•lnx+x2﹣x，若e﹣2＜x＜e， g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，∴g′（x）=（x﹣1）（3+2lnx），令g′（x）=0，得x=1或x=e﹣，又∵e﹣2＜x＜e，∴函数g（x）在（e﹣2，e﹣）上单调递增，在（e﹣，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增，又g（e﹣）=﹣e﹣3+2e﹣，g（e）=2e2﹣3e，∵g（e﹣）=﹣e﹣3+2e﹣＜2e﹣＜2e＜2e（e﹣）=g（e），∴g（e﹣）＜g（e），∴m≥2e2﹣3e．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，属于难题．请考生在第（22）、（23）二题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分，答题时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°（1）求AF的长；（2）求证：AD=3ED．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：（1）延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，由已知条件求出AB，AC，再由切割线定理能求出AF．（2）过E作EH⊥BC于H，得到EDH∽△ADF，由此入手能够证明AD=3ED．解答：（1）解：延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，∵BM=2BE=4，∠EBC=30°，∴，又∵，∴，∴，根据切割线定理得，即AF=3（2）证明：过E作EH⊥BC于H，∵∠EOH=∠ADF，∠EHD=∠AFD，∴△EDH∽△ADF，∴，又由题意知CH=，EB=2，∴EH=1，∴，∴AD=3ED．点评：本题考查与圆有关的线段的求法，考查两条线段间数量关系的证明，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）若对任意a、b、c∈R（a≠c），都有f（x）≤恒成立，求x的取值X围；（2）解不等式f（x）≤3x．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）根据|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣c|，可得≥1，再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，由此求得x的X围．（2）不等式即|2x﹣1|≤3x，可得，由此求得不等式的解集．解答：解：（1）∵|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣b+（b﹣c）|=|a﹣c|，故有≥1，再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，∴﹣1≤2x﹣1≤1，求得0≤x≤1．（2）不等式f（x）≤3x，即|2x﹣1|≤3x，∴，求得x≥，即不等式的解集为{x|x≥}．点评：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．。

太原市高三上学期数学第一次联考试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）若集合,则（）A .B . [-1,1]C . [0，1]D .2. （2分） (2016高一下·玉林期末) 双曲线的实轴长是（）A . 2B .C . 4D . 43. （2分） (2016高二上·汕头期中) 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A . 12+4B . 18+8C . 28D . 20+84. （2分）(2017·黑龙江模拟) 若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围是（）A . （﹣2，+∞）B . [﹣2，+∞）C . （﹣∞，﹣2）D . （﹣∞，﹣2]5. （2分）函数在一点的导数值为0是函数在这点取极值的（）A . 充分条件B . 必要条件C . 必要非充分条件D . 充要条件6. （2分） (2016高三上·晋江期中) 已知f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（log35）=（）A .B . ﹣C . 4D .7. （2分）设随机变量ξ～N（0，1），记Φ（x）=P（ξ＜x），则P（﹣1＜ξ＜1）等于（）A . 2Φ（1）﹣1B . 2Φ（﹣1）﹣1C .D . Φ（1）+Φ（﹣1）8. （2分） (2017高三上·太原期末) 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕其体对角线BD1旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（）A .B .C .D .9. （2分）已知△ABC中，AB=6，∠A=30°，∠B=120°，则△ABC的面积为（）A . 9B . 18C . 19D . 910. （2分）用数学归纳法证明“对一切n∈N* ，都有”这一命题，证明过程中应验证（）A . n＝1时命题成立B . n＝1，n＝2时命题成立C . n＝3时命题成立D . n＝1，n＝2，n＝3时命题成立二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2016高二下·南阳期末) 已知复数z满足z（1﹣i）=﹣1﹣i，则|z+1|=________．12. （1分）(2017·兰州模拟) 的展开式中，x2项的系数为________．（用数字作答）13. （1分） (2017高三上·四川月考) 已知，且，则向量与向量的夹角是________14. （1分）用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如下表），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________ 种．12345678915. （1分） (2015高二下·九江期中) 椭圆的两焦点为F1 ， F2 ，一直线过F1交椭圆于P、Q，则△PQF2的周长为________．16. （1分）(2017·成都模拟) 已知向量 =（x﹣z，1）， =（2，y+z），且，若变量x，y满足约束条件，则z的最大值为________．17. （1分）已知函数f（x）的定义域为D，若同时满足以下两个条件：①函数f（x）在D内是单调递减函数；②存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在[a，b]内的值域是[﹣b，﹣a]．那么称函数f（x）为“W函数”．已知函数为“W函数”．（1）当k=0时，b﹣a的值是________ ；（2）实数k的取值范围是________三、解答题 (共5题；共25分)18. （5分）函数在它的某一个周期内的单调减区间是 .（1）求的解析式；（2）将的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.19. （5分） (2018高一下·濮阳期末) 如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，是中点，为上一点．（1）求证：．（2）确定点在线段上的位置，使平面，并说明理由．20. （5分）首项为正数的数列{an}满足an＋1＝(a＋3)，n∈N*.（1）证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；（2）若对一切n∈N*都有an＋1>an，求a1的取值范围．21. （5分） (2018高二下·长春开学考) 已知椭圆的两个焦点为，，离心率 . （1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，当变化时，求面积的最大值.22. （5分）(2018·天津) 已知函数，，其中a>1.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；（Ⅲ）证明当时，存在直线l ，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、答案：略2-1、答案：略3-1、答案：略4-1、答案：略5-1、答案：略6-1、7-1、8-1、答案：略9-1、答案：略10-1、答案：略二、填空题 (共7题；共7分)11-1、答案：略12-1、13-1、答案：略14-1、15-1、16-1、17-1、答案：略三、解答题 (共5题；共25分) 18-1、答案：略18-2、答案：略19-1、答案：略19-2、答案：略20-1、答案：略20-2、答案：略21-1、答案：略21-2、答案：略22-1、答案：略。

2015年山西省高考前质量监测试题数学一、选择题（共12小题；共60分）1. 若复数z满足z i−1=i+12（i为虚数单位），则z为 A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i2. A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有 A. 60种B. 48种C. 30种D. 24种3. 已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2AC+CB=0，则向量OC等于 A. 23OA−13OB B. −13OA+23OB C. 2OA−OB D. −OA+2OB4. 给定下列三个命题：p1：函数y=a x+x（a>0，且a≠1）在R上为增函数；p2：∃a,b∈R，a2−ab+b2<0；p3：cosα=cosβ成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+βk∈Z则下列命题中的真命题为 A. p1∨p2B. p2∧p3C. p1∨¬p3D. ¬p2∧p35. 执行如图所示的程序框图，若输人的a的值为3，则输出的i= A. 4B. 5C. 6D. 76. 设P为双曲线C：x2−y2=1上一点，F1，F2分别为双曲线C的左右焦点，若cos∠F1PF2=13，则△PF1F2的外接圆半径为 A. 94B. 9 C. 32D. 37. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 A. 22B. 2C. 25D. 58. 对累乘运算\（\mathop{\pmb{\prod}}\）有如下定义：\（ \mathop{\pmb{\prod}}_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}\times a_{2}\times\cdots\times a_{n} \）则下列命题中的真命题是 A. \（ \mathop{\pmb{\prod}}_{k=1}^{1007}2k \）不能被10100整除B. \（ \dfrac{\mathop{\pmb{\prod}}_{k=1}^{2015}\left（4k-2\right）}{\mathop{\pmb{\prod}}_{k=1}^{2014}\left（2k-1\right）}=2^{2015} \）C. \（ \mathop{\pmb{\prod}}_{k=1}^{1008}\left（2k-1\right）\）不能被5100整除D. \（ \mathop{\pmb{\prod}}_{k=1}^{1008}\left（2k-1\right）\mathop{\pmb{\prod}}_{k=1}^{1007}2k=\mathop{\pmb{\prod}}_{k=1}^{2015}k \）9. 设变量x，y满足∣x−1∣+∣y−a∣≤1，若2x+y的最大值是5，则实数a的值是 A. 2B. 1C. 0D. −110. 已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，点E在C的准线上，且在x轴上方，线段EF的垂直平分线与C的准线交于点Q −1,32,与C交于点P，则点P的坐标为 A. 1,2B. 2,2C. 3,23D. 4,411. 设△ABC的三个内角为A，B，C，且tan A，tan B，tan C，2tan B成等差数列，则cos B−A=A. −31010B. −1010C. 1010D. 3101012. 设方程m+1∣e x−1∣−1=0的两根分别为x1，x2（x1<x2），方程∣e x−1∣−m=0的两根分别为x3，x4（x3<x4）若m∈0,12，则x4+x1−x3+x2的取值范围为 A. −∞,0B. −∞,ln35C. ln35,0 D. −∞,−1二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知三棱锥P−ABC的顶点都在球O的表面上，若PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=2，则球O的表面积为______．14. 一枚质地均匀的正六面体殷子，六个面上分别刻着1点至6点，一次游戏中，甲、乙二人各掷般子一次，若甲掷得的向上的点数比乙大，则甲掷得的向上的点数的数学期望是______．15. 已知函数f x=∣2x+1∣,x<1log2x−m,x>1，若f x1=f x2=f x3（x1，x2，x3互不相等），且x1+x2+x3的取值范围为1,8，则实数m的值为______．16. 在△ABC中，AC=2AB=2，BC=3，P是△ABC内部的一点，若S△PABPA⋅PB =S△PBCPB⋅PC=S△PCAPC⋅PA（S表示相应三角形的面积），则PA+PB+PC= ______．三、解答题（共8小题；共104分）17. 在数列a n中，a1=1，a n+1⋅a n=a n−a n+1．（1）求数列a n的通项公式；（2）若b n=lg a n+2a n，求数列b n的前n项和S n．18. 某市约有20万住户，为了节约能源，拟出台“阶梯电价”制度，即制定住户月用电量的临界值a，若某住户某月用电量不超过a度，则按平价（即原价）0.5（单位：元／度）计费；若某月用电量超过a度，则超出部分按议价b（单位：元／度）计费，未超出部分按平价计费．为确定a 的值，随机调查了该市100户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．根据频率分布直方图解答以下问题（同一组数据用该区间的中点值作代表）．（1）若该市计划让全市70%的住户在“阶梯电价”出台前后缴纳的电费不变，求临界值a；（2）在1的条件下，假定出台“阶梯电价”之后，月用电量未达a度的住户用电量保持不变，月用电量超过a度的住户节省“超出部分”的60%，试估计全市每月节约的电量；（3）在1、2条件下，若出台“阶梯电价”，前后全市缴纳电费总额不变，求议价b．19. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD=AB=1，BC=2．（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；（2）设H为CD上一点，满足CH=2HD，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为63，求二面角H−PB−C的余弦值．20. 已知动点Q与两定点 −2,0，2,0连线的斜率的乘积为−12，点Q形成的轨迹为M．（1）求轨迹M的方程；（2）过点P−2,0的直线l交M于A，B两点，且PB=3PA，平行于AB的直线与M位于x 轴上方的部分交于C，D两点，过C，D两点分别作CE，DF垂直x轴于E，F两点，求四边形CEFD面积的最大值．21. 已知函数f x=ln x+1−axx+1−x，a∈R．（1）当a>0时，求函数f x的单调区间；（2）若存在x>0，使f x+x+1<−xx+1a∈Z成立，求a的最小值．22. 如图，⊙O1与⊙O2交于C，D两点，AB为⊙O1的直径，连接AC并延长交⊙O2于点E，连接AD并延长交⊙O2于点F，连接FE并延长交AB的延长线于点G．（1）求证：GF⊥AG；（2）过点G作⊙O1的切线，切点为H，若G，C，D三点共线，GE=1，EF=6，求GH的长．23. 在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=31+2sinθ，点R22,π4（1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（2）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P点的直角坐标．24. 设函数f x=∣x−3∣+∣2x−4∣−a．（1）当a=6时，解不等式f x>0；（2）如果关于x的不等式f x<0的解集不是空集，求实数a的取值范围．答案第一部分1. A2. B3. C4. D5. C6. C7. A8. D9. B 10. D11. D 12. B第二部分13. 12π14. 14315. 116.第三部分17. （1）由题意得1a n+1−1a n=1，又a1=1，所以1a1=1，所以数列1a n是首项、公差均为1的等差数列，所以1a n =n，即a n=1n，所以数列a n的通项公式为a n=1n．（2）由1得b n=lg n−lg n+2，所以S n=lg1−lg3+lg2−lg4+lg3−lg5+⋯+lg n−2−lg n+lg n−1−lg n+1+lg n−lg n+2 =lg1+lg2−lg n+1−lg n+2=lg2n+1n+2.18. （1）由频率分布直方图，可算得各组数据对应的频率及频数，如下表：分组0,2020,4040,6060,8080,100100,120频率0.040.120.240.300.250.05频数4122430255由表可知，区间0,80内的频率总和恰为0.7，由样本估计总体，可得临界值a的值为80．（2）由1知，月用电量在0,80内的70户住户在“阶梯电价”出台前后用电量不变，节电量为0度；月用电量在80,100内的25户住户，平均每户用电90度，超出部分为10度，根据题意每户每月节电10×60%=6度，25户每月共节电6×25=150度；月用电量在100,120内的5户住户，平均每户用电110度，超出部分为30度，根据题意，每户每月节电30×60%=18度，5户每月共节电18×5=90度；故样本中100户住户每月共节电150+90=240度，用样本估计总体，得全市每月节电量约为240×200000100=480000度．（3）由题意，全市缴纳电费总额不变，由于“未超出部分”的用电量在“阶梯电价”前后不发生改变，故“超出部分”对应的总电费也不变．由1、2可知，在100户住户组成的样本中，每月用电量的“超出部分”共计10×25+30×5=400度，实行“阶梯电价”之后，“超出部分”节约了240度，剩余160度，因为……阶梯电价”前后电费总额不变，所以400×0.5=160×b，解得b=1.25．19. （1） 由 AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AD =AB =1，可得 BD = 2． 又 BC = 2，所以 CD =2， 所以 BC ⊥BD ．因为 PD ⊥底面ABCD ，所以 PD ⊥BC ，又 PD ∩BD =D ， 所以 BC ⊥平面PBD ， 所以平面 PBD ⊥平面PBC ．（2） 由1可知 ∠BPC 为 PC 与平面 PBD 所成的角， 所以 tan ∠BPC =63， 所以 PB = 3，PD =1．由 CH =2HD 及 CD =2， 可得 CH =43，DH =23．以点 D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 则 B 1,1,0 ，P 0,0,1 ，C 0,2,0 ，H 0,23,0 ． 设平面 HPB 的法向量为 n x 1,y 1,z 1 ，则 HP ⋅n =0HB ⋅n =0，即 −23y 1+z 1=0x 1+13y 1=0， 取 y 1=−3，则 n = 1,−3,−2 ．设平面 PBC 的法向量为 m x 2,y 2,z 2 ，则 PB ⋅m =0BC ⋅m =0，即 x 2+y 2−z 2=0−x 2+y 2=0，取 x 2=1，则 m = 1,1,2 ． 又 cos <m ,n >=m⋅n ∣m ∣∣n ∣=− 217， 故二面角 H −PB −C 的余弦值为217．20. （1） 设 Q x ,y ，则x + 2x− 2=−12x ≠± 2 ，化简得轨迹 M 方程为 x 22+y 2=1 x ≠± 2 ．（2） 由1知直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为 x =my −2， 代人椭圆方程得 m 2+2 y 2−4my +2=0， Δ=8 m 2−2 ． 设 A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则y1+y2=4mm+2①，y1y2=2m+2②，由PB=3PA得y2=3y1③，由①②③可得加m2=4．经检验，满足Δ>0．不妨取m=2，设直线CD的方程为x=2y+n，代入椭圆方程得6y2+4ny+n2−2=0，Δ=86−n2，设C x3,y3，D x4,y4，则y3+y4=−23n，y3y4=n2−26，又由已知及Δ>0，可得2<n2<6．又∣x3−x4∣=2∣y3−y4∣=212−2n23，则S四边形CEFD=12∣y3+y4∣∣x3−x4∣=229n26−n2≤229×62 =223,当且仅当n2=3时等号成立．所以四边形CEFD面积的最大值为223．21. （1）fʹx=−x2−x−ax+12，x>−1，当a≥14时，fʹx≤0，所以f x在−1,+∞上单调递减．当0<a<14时，当−1<x<−1−1−4a2时，fʹx<0，f x单调递减；当−1−1−4a2<x<−1+1−4a2时，fʹx>0，f x单调递增；当x>−1+1−4a2时，fʹx<0，f x单调递减．综上，当a≥14时，f x的单调递减区间为−1,+∞；当0<a<14时，f x的单调递减区间为 −1,−1−1−4a2，−1+1−4a2,+∞ ，f x的单调递增区间为−1−1−4a2,−1+1−4a2．（2）原式等价于ax>x+1ln x+1+2x+1，即存在x>0，使a>x+1ln x+1+2x+1x成立．设g x=x+1ln x+1+2x+1x，x>0，则gʹx=x−1−ln x+1x2，x>0，设 x=x−1−ln x+1，x>0，则 ʹx=1−1x+1>0，所以 x在0,+∞上单调递增．又 2<0， 3>0，根据零点存在性定理，可知 x在0,+∞上有唯一零点，设该零点为x0，则x0−1=ln x0+1，且x0∈2,3，所以g x min=x0+1x0−1+2x0+1x0=x0+2．又a>x0+2，a∈Z，所以a的最小值为5．22. （1）连接BC，GD．因为AB是⊙O1的直径，所以∠ACB=90∘．所以∠ABC+∠CAB=90∘．由A，B，C，D四点共圆，得∠ABC=∠FDC，由C，D，F，E四点共圆，得∠GEC=∠FDC，所以∠GEC=∠ABC，所以∠GEC+∠CAB=90∘．所以∠EGA=90∘．即GF⊥AG．（2）因为GH为⊙O1的切线，GCD为⊙O1的割线，所以GH2=GC⋅GD．又GCD，GEF为⊙O2的两条割线，所以GC⋅GD=GE⋅GF，所以GH2=GE⋅CF=7，所以GH=7．23. （1）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x 23+y2=1，点R的直角坐标为R2,2．（2）设P θ,sinθ ，根据题意可得∣PQ∣=2−θ，∣QR∣=2−sinθ，所以∣PQ∣+∣QR∣=4−2sinθ+60∘，当θ=30∘时，∣PQ∣+∣QR∣取最小值2，所以矩形PQRS周长的最小值为4，此时点P的直角坐标为32,12．24. （1）由f x>0，可得x<2−3x+1>0，或2≤x≤3x−7>0，或x>33x−13>0，解得x<13或x>133．（2）因为∣x−3∣+∣2x−4∣<a的解集不是空集，∣x−3∣+∣2x−4∣=−3x+7,x<2x−1,2≤x≤3 3x−7,x>3，所以∣x−3∣+∣2x−4∣min=1，所以a>1．。

2015年山西省太原市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题1.已知()12i 2i z +=，则复数z =（ ）A.1i +B.1i - C ．1i -+ D.1i -- 答案：A考点：复数代数形式的乘除运算. 专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的除法运算法则化简求解即可． 解答：解：()1i 2i z +=， 可得()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i 1i z -===+++-． 故选：A ．点评：本题考查复数的基本运算，基本知识的考查． 2.已知全集U =R ，集合()(){}130M x x x =-+<，{}1N x x =≤，则下图阴影部分表示的集合是（ ）A.[)1,1-B.(]3,1-C ．()[),31,--+ ∞∞ D.()3,1--答案：D考点： Venn 图表达集合的关系及运算. 专题：集合．分析：先确定阴影部分对应的集合为()U N M ð，然后利用集合关系确定集合元素即可． 解答：解：阴影部分对应的集合为()U N M ð，{}31M x x =-<< ，{}11N x x =-≤≤， {}11U N x x huox ∴=><-ð， (){}31U N M x x ∴=-<<- ð， 故选：D点评：本题主要考查集合的基本运算，利用Venn 图，确定阴影部分的集合关系是解决本题的关键．3.在单调递减等比数列{}n a 中，若31a =，2452a a +=，则1a =（ ）A.2B.4 D.答案：B考点：等比数列的性质.专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的通项，得到152q q +=，进利用数列{}n a 为递减数列，求出公比q 的值，即可求出1a 的值．解答：解：31a = ，2452a a +=， 152q q ∴+=，数列{}n a 为递减数列，12q ∴=14a ∴=， 故选：B ．点评：此题考查了等比数列的性质，通项公式，考查学生的计算能力，比较基础．．4.已知函数()2log f x x =，若在[]1,8上任取一个实数0x ，则不等式()012f x ≤≤成立的概率是（ ） A.14 B.12 C.27 D.12 答案：C考点：几何概型. 专题：概率与统计．分析：由题意，本题是几何概型的考查，只要求出区间的长度，利用公式解答即可．解答：解：区间[]1,8的长度为7，满足不等式()012f x ≤≤即不等式201log 2x ≤≤，解答024x ≤≤，对应区间[]2,4长度为2，由几何概型公式可得使不等式()012f x ≤≤成立的概率是27； 故选C ．点评：本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确结合测度，；本题利用区间长度的比求几何概型的概率．5.执行如图所示程序框图，则输出a =（ ）A.20B.14C.10D.7答案：C考点：程序框图.专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a ，i 的值，当i=2016时，不满足条件2015i ≤，退出循环，输出a 的值为10．解答：解：模拟执行程序框图，可得10a =，i=1满足条件i 2015≤，不满足条件a 是奇数，5a =，i=2 满足条件i 2015≤，满足条件a 是奇数，14a =，i=3 满足条件i 2015≤，不满足条件a 是奇数，7a =，i=4 满足条件i 2015≤，满足条件a 是奇数，20a =，i=5 满足条件i 2015≤，不满足条件a 是奇数，10a =，i=6满足条件i 2015≤，不满足条件a 是奇数，5a =，i=7 满足条件i 2015≤，满足条件a 是奇数，14a =，i=8≤观察规律可知，a 的取值以5为周期，由20154035=⨯可得 满足条件i 2015≤，不满足条件a 是奇数，10a =，i 2016= 不满足条件i 2015≤，退出循环，输出a 的值为10． 故选：C ．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，观察规律可知a 的取值以5为周期从而解得退出循环时a 的值是解题的关键，属于基本知识的考查．6.已知函数()()πsin 0,2f x x ωφωφ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若将其图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数()f x 的图象（ ）A.关于直线π12x =对称 B.关于直线5π12x =对称 C.关于点π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D.关于直线5π,012⎛⎫⎪⎝⎭答案：B考点：函数()sin y A x ωφ=+的图象变. 专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的性质求出函数的解析式进行求解即可．解答：解： 函数()()πsin 0,2f x x ωφωφ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，2ππT ω∴==，解得2ω=，即()()sin 2f x x φ=+，将其图象向右平移π3个单位后得到π2πsin 2sin 233y x x φφ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若此时函数关于原点对称，则2ππ3k φ-=，即2ππ3k φ=+，k ∈Z ，π2φ< ，∴当1k =-时，π3φ=-．即()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由ππ2π32x k -=+，解得5ππ122k x =+，k ∈Z ，故当0k =时，函数的对称轴为5π12x =，故选：B点评：本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的性质的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．7.已知在圆22420x y x y +-+=内，过点()1,0E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD的面积为（ ）A. B. C. D.答案：D考点：直线与圆的位置关系. 专题：计算题；直线与圆．分析：圆22420x y x y +-+=即()()22215x y -++=，圆心()2,1M -，半径r =最长弦AC 为圆的直径．BD 为最短弦，AC 与BD 相垂直，求出BD ，由此能求出四边形ABCD 的面积．解答：解：圆22420x y x y +-+=即()()22215x y -++=，圆心()2,1M -，半径r最长弦AC 为圆的直径为， BD 为最短弦AC ∴与BD 相垂直，ME d =，2BD BE ∴==1122ABD BDC ABCD S S S BD EA BD EC =+=⨯+⨯⨯ 四边形△△()111=222BD EA EC BD AC ⨯⨯+=⨯⨯=故选：D点评：本题考查四边形的面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用． 8.已知某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（ ）A.16B.32C.32D.48 答案：D考点：由三视图求面积、体积.专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是四棱锥，结合题目中的数据，求出它的体积． 解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角梯形的四棱锥， 如图所示；∴该几何体的体积是()11=2666=4832V ⨯⨯+⨯⨯四棱锥.故选：D ．6266点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．9.已知实数a ，b 满足23a =，32b =，则函数()x f x a x b =+-的零点所在的区间是（ ） A.()2,1-- B.()1,0-C0()0,1D0()1,2答案：B考点：函数的零点；指数函数的图像与性质. 专题：函数的性质及应用．分析：根据对数，指数的转化得出()()23log 3log 2xf x x =+-单调递增，根据函数的零点判定定理得出()301log 20f =->，()331log 21log 210f -=--=-<，判定即可．解答：解： 实数a ，b 满足23a =，32b =，2log 31a ∴=>，30log 21b <=<，函数()x f x a x b =+-，()()23log 3log 2xf x x ∴=+-单调递增， ()301log 20f =->()331log 21log 210f -=--=-<，∴根据函数的零点判定定理得出函数()x f x a x b =+-的零点所在的区间()1,0-，故选：B ．点评：本题考查了函数的性质，对数，指数的转化，函数的零点的判定定理，属于基础题．10.已知实数x ，y 满足条件2420x x y x y c ⎧⎪+⎨⎪-++⎩≥≤≥若目标函数3z x y =+的最小值为5，其最大值为（ ）A.10B.12C.14D.15 答案：A考点：简单线性规划.专题：不等式的解法及应用． 分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数3z x y =+的最小值为5，建立条件关系即可求出k 的值．解答：解：目标函数3z x y =+的最小值为5，3y x z ∴=-+，要使目标函数3z x y =+的最小值为5， 作出不等式组对应的平面区域如图： 则目标函数经过点B 截距最小， 由235x x y =⎧⎨+=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即()2,1B -，同时B 也在直线20x y c -++=，即410c --+=，解得5c =，此时直线方程为250x y -++=，当直线3z x y =+经过点C 时，直线的截距最大，此时z 最大， 由2504x y x y -++=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，即()3,1C ，此时33110z =⨯+=， 故选：A ．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数3z x y =+的最小值为5，确定平面区域的位置，利用数形结合是解决本题的关键．11.已知点O 为双曲线C 的对称中心，过点O 的两条直线1l 与2l 的夹角为60︒，直线1l 与双曲线C 相交于点1A ，1B ，直线2l 与双曲线C 相交于点2A ，2B ，若使1122A B A B =成立的直线1l 与2l 有且只有一对，则双曲线C 离心率的取值范围是（ ）A.,2⎤⎥⎝⎦B.2⎫⎪⎪⎣⎭C.,⎫+⎪⎪⎝⎭∞D.,⎫+⎪⎪⎣⎭∞ 答案：A考点：双曲线的简单性质.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先设出双曲线的方程，并根据题意画出图象，根据对称性和条件判断出双曲线的渐近线斜率的范围，列出不等式并转化为关于离心率的不等式，再求解即可．解答：解：不妨设双曲线的方程是()222210,0x y a b a b-=>>，由1122A B A B =及双曲线的对称性知1A ，2A ，1B ，2B 关于x 轴对称，如图， 又 满足条件的直线只有一对，当直线与x 轴夹角为30︒时，双曲线的渐近线与x 轴夹角大于30︒， 双曲线与直线才能有交点1A ，2A ，1B ，2B ，若双曲线的渐近线与x 轴夹角等于30︒，则无交点， 且不可能存在1122A B A B =，当直线与x 轴夹角为60︒时，双曲线渐近线与x 轴夹角小于60︒， 双曲线与直线有一对交点1A ，2A ，1B ，2B ，若双曲线的渐近线与x 轴夹角等于60︒，也满足题中有一对直线， 但是如果大于60︒，则有两对直线．不符合题意，tan30tan60b a ∴︒<︒≤b a <≤22133b a <≤， 222b c a =- ，222133c a b -∴<≤，则21e 133<-≤， 解得24e 43<≤e 2<≤， ∴双曲线离心率的范围是2⎤⎥⎝⎦， 故选：A ．点评：本题考查双曲线的简单性质以及应用，考查数形结合思想和分类讨论思想，属于中档题．12.已知数列{}n a 的通项公式为()()()*π121cos 12nn n a n n =--+∈N ，其前n 项和为n S ，则60S =（ ）A.30-B.60-C.90D.120 答案：D考点：数列的求和.专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：由数列的通项公式求出数列前几项，得到数列的奇数项均为1，每两个偶数项的和为6，由此可以求得60S 的值．解答：解：由()()π121cos12nn n a n =--+，得 1πcos 112a =-+=，23cos π+1=2a =-，33π5cos 112a =-+=，47cos2π+1=8a =，55π9cos 112a =-+=，611cos3π+1=10a =-，77π13cos 112a =-+=，815cos4π+1=16a =，由上可知，数列{}n a 的奇数项为1，每两个偶数项的和为6， ()()60135924586030156120S a a a a a a a ∴=++++++++=+⨯= .故选：D ．点评：本题考查了数列递推式，考查了三角函数的求值，关键是对数列规律的发现，是中档题． 二、填空题13.已知向量a ，b 满足()()26a b a b -+= ，且2a = ，1b =，则a 与b 的夹角为 ．答案：120︒考点：数量积表示两个向量的夹角. 专题：平面向量及应用．分析：将已知等式展开，利用向量的平方与模的平方相等以及向量的数量积公式，得到关于 向量夹角的等式解之．解答：解：由()()26a b a b -+= ，且2a = ，1b = ，得2226a b a b -+⋅= ，即812cos ,6a b -+=，所以1cos ,2a b =- ，所以a 与b的夹角为120︒； 故答案为：120︒．点评：本题考查了向量的数量积的运算以及向量夹角的求法；关键是熟练利用数量积公式． 14.已知2nx⎛⎝展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是 ．答案：60考点：二项式定理.专题：计算题；二项式定理．分析：根据题意，2nx⎛ ⎝的展开式的二项式系数之和为64，由二项式系数的性质，可得264n=，解可得，6n =；进而可得二项展开式，令3602r -=，可得4r =，代入二项展开式，可得答案．解答：解：由二项式系数的性质，可得264n=，解可得，6n =；62x⎛ ⎝的展开式为为()()3666662166C 212C rr r r r r r r T x x -----+⎛=⋅⋅=-⋅⋅⋅ ⎝， 令3602r -=，可得4r =，则展开式中常数项为60． 故答案为：60．点评：本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．15.已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠成三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -的体积取最大值时，其外接球的体积为 ．答案：4π3考点：球的体积和表面积.专题：计算题；空间位置关系与距离． 分析：画出图形，确定三棱锥外接球的半径，然后求解外接球的体积即可．解答：解：已知直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，沿AC 折叠成三棱锥，如图：2AB =，1AD =，1CD =，AC ∴BC ， BC AC ∴⊥，取AC 的中点E ，AB 的中点O ，连结DE ，OE ， 当三棱锥体积最大时， ∴平面DCA ⊥平面ACB ， OB OA OC OD ∴===，1OB ∴=，就是外接球的半径为1，此时三棱锥外接球的体积：34π4π133⨯=．故答案为：4π3．点评：本题考查折叠问题，三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．16.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()32f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()23f -=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =-，()*2n n S a n n =+∈N ，则()()56f a f a += ．答案：3考点：数列与函数的综合. 专题：等差数列与等比数列．分析：先由函数()f x 是奇函数，()32f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，推知()()3f x f x +=，得到()f x 是以3为周期的周期函数．再由11a =-，且2n n S a n =+，推知531a =-，663a =-计算即可．解答：解： 函数()f x 是奇函数 ()()f x f x ∴-=- ()32f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ，()32f x f x ⎛⎫∴-=-- ⎪⎝⎭()()3f x f x ∴+=()f x ∴是以3为周期的周期函数．数列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，1121n n S a n --∴=+-，221n n n a a a ∴=-+， 即121n n a a -=-，()1121n n a a --=-，{}1n a -以2-为首项，2为公比的等比数列． 12n n a =-．531a ∴=-，663a =-()()()()()()()()56316320223f a f a f f f f f f ∴+=-+-=+==--=故答案为：3．点评：本题主要考查函数性质的转化与应用以及数列的通项及求和公式，在函数性质综合应用中相互结合转化中奇偶性，对称性和周期性之间是一个重点． 三、解答题17.已知a ，b ，c 分别是ABC △的角A ，B ，C 所对的边，且2c =，π3C =．（1）若ABC △a ，b ；（2）若()sin sin 2sin2C B A A +-=，求A 的值．考点：余弦定理；正弦定理. 专题：解三角形．分析：（1）2c =，π3C =，由余弦定理可得：2222cos c a b ab C =+-，即224a b ab =+-，利用三角形面积计算公式1πsin 23ab =4ab =．联立解出即可．（2）由()s i n s i n C B A =+，()sin sin 2sin2C B A A +-=，可得2sin cos 4sin cos B A A A =．当c o s 0A =时，解得π2A =；当cos 0A ≠时，sin 2sin B A =，由正弦定理可得：2b a =，联立解得即可． 解答：解：（1）2c = ，π3C =，由余弦定理可得：2222cos c a b ab C =+-，224a b ab ∴=+-， 1πsin 23ab 4ab =． 联立2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，解得2a =，2b =．（2）()sin sin C B A =+ ，()sin sin 2sin2C B A A +-=， ()()sin sin 2sin2A B B A A ∴++-=， 2sin cos 4sin cos B A A A =，当cos 0A =时，解得π2A =； 当cos 0A ≠时，sin 2sin B A =， 由正弦定理可得：2b a =，联立2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，解得a =，b =，222b a c ∴=+，π2B ∴=，又π3C =，π6A ∴=．综上可得：π2A =或π6A =．点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积计算公式、两角和差的正弦公式，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18.某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量（单位：克），整理后得到如下的频率分布直方图（其中重量的分组区间分别为(]490,495，(]495,500，(]500,505，(]505,510，(]510,515）（I ）若从这40件产品中任取两件，设X 为重量超过505克的产品数量，求随机变量X 的分布列；（Ⅱ）若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有两件产品的重量超过505克的概率．/克考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差. 专题：概率与统计． 分析：（ I ）根据频率分布直方图求出重量超过505克的产品数量，推出随机变量X 的所有可能取值为 0，1，2求出概率，得到随机变量X 的分布列．（Ⅱ）求出该流水线上产品的重量超过505克的概率为0.3，推出()5,0.3Y B ~．然后求解所求概率． 解答：解：（ I ）根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为()0.0010.00554012+⨯⨯=⎡⎤⎣⎦． 由题意得随机变量X 的所有可能取值为0，1，2()228240C 630C 130P X ===，()112812240C C 281C 65P X ===，()212240C 112C 130P X ===．: 505克的概率为0.3设Y 为该流水线上任取5件产品重量超过505克的产品数量，则()5,0.3Y B ~．故所求概率为()22352C 0.30.70.3087P Y ==⨯⨯=．点评：本题考查离散型随机变量的分布列，以及概率的求法，考查计算能力． 19.如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B ⊥底面ABC ，侧棱1AA 与底面ABC 的所成角为60︒，12AA =，底面ABC 是边长为2的正三角形，点G 为ABC △的重心，点E 在1BC 上，且113BE BC =．（1）求证：GE ∥平面11AA B B ；（2）求平面1B GE 与底面ABC 所成锐角二面角的余弦值．C 1B 1A 1G ECBA考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定. 专题：空间位置关系与距离；空间角． 分析：（1）连接1B E ，并延长交BC 于点F ，连接1AB ，AF ，证明1GE AB ∥，然后证明GE ∥平面11AA B B ；（2）过点1A 作1AO AB ⊥，垂足为O ，连接OC ，以O 为原点，分别以OC ，OB ，OA 为x ，y ，z 轴建立如图空间直角坐标系O xyz -，求出相关点的坐标，平面1B GE 的一个法向量，平面ABC 的一个法向量，即可求解二面角的余弦函数值． 解答：解：（1）证明：连接1B E ，并延长交BC 于点F ，连接1AB ，AF ， 111ABC A B C - 是三棱柱，11BC B C ∴∥，11EFB EB C ∴△∽△，又113BE BC = ，111112BE EF BF EC EB B C ∴===， 12BF BC ∴=，F ∴是BC 的中点．点G 是ABC △的重心，∴点G 在AF 上，且112GF BF AG EB ==， 1GE AB ∴∥， GE ∴∥平面11AA B B ；（2）证明：过点1A 作1AO AB ⊥，垂足为O ，连接OC ， 侧面11AA B B ⊥底面ABC ，1AO ∴⊥底面ABC ，160A AB ∴∠=︒， 12AA = ，1AO ∴=，2AB = ，∴点O 是AB 的中点，又 点G 是正三角形ABC 的重心∴点G 在OC 上，OC AB ∴⊥，1AO ⊥底面ABC ，1AO OB ∴⊥，1AO OC ⊥，以O 为原点， 分别以OC ，OB ，OA 为x ，y ，z 轴建立如图空间直角坐标系O xyz -，由题意可得：()0,1,0A -，()0,1,0B，)0,0C，(10,0,A，(10,2,B，11,C ，则,0,0G ⎫⎪⎪⎝⎭，110,3BE BC ∴==⎝⎭，,1,E ∴⎝⎭，0,1,GE ⎛∴= ⎝⎭,11,B E =-⎝⎭, 设(),,n x y z = 是平面1B GE 的一个法向量，则1n GE n B E ⎧⎪⎨⎪⎩ ⊥⊥0y y ⎧=⎪⎪∴-=令z =，则x =1y =-，1,n ∴=-，由（1）知(1π0,0,OA ==是平面ABC 的一个法向量，设平面1B GE 与底面ABC 所成锐二面角为θ，则有：cos m n m nθ⋅=⋅ ．FAB CEG A 1B 1C 1点评：本题考查直线与平面平行的判定定理以及二面角的平面角的求法，考查空间想象能力逻辑推理能力以及计算能力．20.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点1F ，2F 其离心率为1e=2，点P 为椭圆上的一个动点，12PF F △内切圆面积的最大值为4π3．（1）求a ，b 的值（2）若A 、B 、C 、D 是椭圆上不重合的四个点，且满足11F A FC ∥，11F B F D ∥，0AC BD ⋅= ，求A C B D +的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题. 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（1）当P 为椭圆上下顶点时，12PF F △内切圆面积取得最大值，设12PF F △内切圆半径为r ，利用()121212121122PF F S F F b bc F F PF PF r =⋅==++△，化为)bc a c +，又12c a =，222a b c =+，联立解得a ，c ，b 即可得出．（2）由满足11F A FC ∥，11F B F D ∥，0AC BD ⋅=，可得直线AC ，BD 垂直相交于点1F ，由（1）椭圆方程2211612x y +=，()12,0F -．①直线AC ，BD 有一条斜率不存在时，14AC BD +=．②当AC 斜率存在且不为0时，设方程()2y k x =+，()11,A x y ，()22,C x y ，与椭圆方程联立化为()2222341616480k xk x k +++-=．利用根与系数的关系可得：()2224134k AC k +=+ ,把1k -代入上述可得：可得()2224143k BD k +=+ ，可得()()()222216814334k AC BD k k ++=++ ，设()210t k k =+≠，1t >．即可得出．解答：解：（1）设12PF F △内切圆半径为r ，由12PF F △的面积为()()1212112222S r PF PF F F r a c =++=+，S 最大，则r 最大，当P 为椭圆上下顶点时，12PF F △的面积最大，其内切圆面积取得最大值，24ππ3r =，r ∴=． ()()1212121211122222PF F S F F b bc F F PF PF r c a =⋅==++=+△，化为)bc a c +，又12c a =，222a b c =+，联立解得4a =，2c =，b = （2） 满足11F A FC ∥，11F B F D ∥，0AC BD ⋅= ， ∴直线AC ，BD 垂直相交于点1F ，由（1）椭圆方程2211612x y +=，()12,0F -．①直线AC ，BD 有一条斜率不存在时，6814AC BD +=+=．②当AC 斜率存在且不为0时，设方程()2y k x =+，()11,A x y ，()22,C x y ， 联立()22211612y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，化为()2222341616480k x k x k +++-=．21221634k x x k -∴+=+，2122164834k x x k -=+，()2224134k AC k +∴+ ，把1k -代入上述可得：可得()2224143k BD k +=+ ，()()()222216814334k AC BD k k +∴+=++，设()210t k k =+≠，1t >． 168112AC BD t t∴+=-+ ，1t > ，21104t t -∴<≤，96,147AC BD ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭ ．综上可得：AC BD + 的取值范围是96,147⎡⎤⎢⎥⎣⎦．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数关系、向量垂直与数量积的关系、三角形内切圆的性质、二次函数的性质，考查了“换元法”、推理能力与计算能力，属于难题．21.已知函数()()2ln f x x a x x =++，a ∈R ． （Ⅰ）若当1a =-时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()()1e 12f x a >+，求a 的取值范围． 考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题：导数的综合应用． 分析：（Ⅰ）1a =-时，求出()2ln f x x x x =--，通过求导，根据导数符号即可判断出()f x 的单调区间；（Ⅱ）讨论a 的取值：0a =时，容易得出满足题意；0a >时，会发现函数2x ax +在()0,+∞上单调递增，让110e1ax --<<<，便得到()()111ln 110e 12f x a a x a a a a ⎛⎫<++<++--=<+ ⎪⎝⎭，从而这种情况不存在；当0a <时，通过求导，容易判断出，存在()00,x ∈+∞，使()0'0f x =，从而判断出()f x 的最小值()0f x ，再由条件()()1e+12f x a >便可得到()00,e x ∈，并根据()0'0f x =，可求出20021x a x =-+，从而求出a 的取值范围． 解答：解：（Ⅰ）由题意得()0,x ∈+∞； 当1a =-时，()2ln f x x x x =--，()()()212121'x x x x f x x x-+--==；∴x ∈（0，1）时，f ′（x ）＜0，x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0； ()f x ∴的单调减区间是()0,1，单调增区间是[)1,+∞；（II ）①当0a =时，()20f x x =>，显然符合题意； ②当0a >时，当110eax --<<时；()()111ln 110e+12f x a a x a a a a ⎛⎫<++<++--=< ⎪⎝⎭,不符合题意；③当0a <时，则()22'x ax af x x++=；对于220x ax a ++=，280a a ∆=->；∴该方程有两个不同实根，且一正一负，即存在()00,x ∈+∞，使得20020x ax a ++=； 即()0'0f x =；00x x ∴<<时，()'0f x <，0x x >时，()'0f x >；()()0min f x f x ∴=()()()220000000001111ln 12ln 12ln 2222x a x x x ax a a x x a x x ⎡⎤⎡⎤=++=+++-+=-+⎣⎦⎣⎦; ()()1e 12f x a >+ ，()002ln e 20x x ∴+-+<；00e x ∴<<；由20020x ax a ++=得，20021x a x =-+；设20021x y x =-+，()2002024'01x x y x +=-<+； ∴函数2021x y x =-+在()0,e 上单调递减； 220022e ,01e+1x x ⎛⎫∴-∈- ⎪+⎝⎭；综上所述，实数a 的取值范围22e ,0e+1⎛⎤-⎥⎝⎦． 点评：考查根据函数导数符号判断函数单调性，求函数单调区间的方法，判别式的取值和一元二次方程根的关系，由韦达定理判断一元二次方程根的符号，以及根据导数求函数最小值的方法与过程，函数单调性定义的运用． 四.选修4-1：几何证明选讲 22.如图，已知点C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，过C 的直线交AB 的延长线于E ，交过点A 的圆O 的切线于点D ，BC OD ∥，2AD AB ==． （Ⅰ）求证：直线DC 是圆O 的切线； （Ⅱ）求线段EB 的长．BCADE考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明. 专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）要证DE 是圆O 的切线，连接AC ，只需证出90DAO ∠=︒，由B C O D O D A C ⇒∥⊥，则OD是AC 的中垂线．通过AOC △，BOC △均为等腰三角形，即可证得90DAO ∠=︒．（Ⅱ）由BC OD CBA DOA ⇒∠=∠∥，结合BCA DAO ∠=∠，得出ABC AOD △∽△，利用比例线段求出EB ． 解答：（Ⅰ）证明：连接AC ，AB 是直径，则BC AC ⊥， 由BC ∥OD ⇒OD ⊥AC ，则OD 是AC 的中垂线OCA OAC ⇒∠=∠，DCA DAC ∠=∠， 90OCD OCA DCA OAC DAC DAO ⇒∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒. OC DE ⇒⊥，所以DE 是圆O 的切线．（Ⅱ）解：BC OD CBA DOA ⇒∠=∠∥，BCA DAO ABC AOD ∠=∠⇒△∽△22225533BC AB OA AB BC BE BE BC BE OA OD OD OD OE OB ⋅⇒=⇒===⇒=⇒=⇒=. EDACB点评：本题考查圆的切线的证明，与圆有关的比例线段．准确掌握与圆有关的线、角的性质是解决此类问题的基础和关键．五.选修4-4：坐标系与参数方程23.直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为1x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中θ为参数），点M 是曲线1C 上的动点，点P 在曲线2C 上，且满足2OP OM =． （Ⅰ）求曲线2C 的普通方程；（Ⅱ）以原点O 为极点，x =轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线π3θ=，与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求AB ．考点：参数方程化成普通方程. 专题：坐标系和参数方程． 分析：（Ⅰ）设(),P x y ，()','M x y ，因为点M 是曲线1C 上的动点，点P 在曲线2C 上，将M 坐标代入，消去θ，得到M 满足的方程，再由向量共线，得到P 满足的方程；（Ⅱ）以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，分别利用极坐标方程表示两个曲线，求出A ，B 的极坐标，得到AB 长度．解答：解：（Ⅰ）因为点M 是曲线1C 上的动点，点P 在曲线2C 上，且满足2OP OM =．设(),P x y ，()','M x y ，则2'x x =，2'y y =，并且'1'x y θθ⎧=⎪⎨⎪⎩，消去θ得，()22'1'3x y -+=，所以曲线2C 的普通方程为：()22212x y -+=；（Ⅱ）以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=，将π3θ=代入得2ρ=，A ∴的极坐标为π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线2C 极坐标方程为24cos 80ρρθ--=，将π3θ=代入得4ρ=，所以B 的极坐标为π4,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以422AB =-=．点评：本题考查了将参数方程化为普通方程以及利用极坐标方程表示曲线． 五.选修4-5：不等式选讲24.已知函数()21f x x x a =-+-，a ∈R ．（Ⅰ）当3a =时，解不等式()4f x ≤； （Ⅱ）若()1f x x a =-+，求x 的取值范围．考点：绝对值不等式的解法. 专题：不等式的解法及应用． 分析：（Ⅰ）当3a =时，化简函数()f x 的解析式，画出函数()f x 的图象，画出直线4y =，数形结合求得不等式()4f x ≤的解集．（Ⅱ）由条件求得()()210x x a ---≤，分类讨论求得x 的范围． 解答：解：（Ⅰ）当3a =时，函数()34,312132,32143,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-⎪⎪=-+-=+<<⎨⎪⎪-⎪⎩≥≤,如图所示：由于直线4y =和函数()f x 的图象交于点()0,4、()2,4，故不等式不等式()4f x ≤的解集为[]0,2．（Ⅱ）由()1f x x a =-+，可得211x x a x a -+-=-+．由于()()21211x x a x x a x a -+----=-+≥，当且仅当()()210x x a -⋅-≤时，取等号． 故有()()210x x a -⋅-≤．当12a =时，可得12x =，故x 的范围为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭；当12a >时，可得12x a ≤≤，故x 的范围为1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当12a <时，可得12a x ≤≤，故x 的范围为1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

山西省太原市现代双语学校2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（本题12个，每小题5分，共60分）1．（5分）设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果P={x|log2x＜1}，{x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜x≤1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|2≤x＜3}2．（5分）已知a、b、c满足a＞b＞c，且a+b+c=0，那么下列选项中不一定成立的是（）A．a b＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．c b2＜ab2D．ac（a﹣c）＜03．（5分）下列几个命题；①是一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R的充要条件；②设函数y=f（x）的定义域为R，则函数f（x）与f（﹣x）的图象关于y轴对称；③若函数y=Acos（ωx+φ）（A≠0）为奇函数，则φ=+kπ（k∈Z）；④已知x∈（0，π），则y=sinx+的最小值为2；期中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．（5分）复数（）2=（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i5．（5分）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或16．（5分）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π）C．（0，]D．[，π）7．（5分）下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）A．B．C．D．8．（5分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，3）D．（3，+∞）9．（5分）已知非零向量与满足且=．则△ABC为（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形10．（5分）已知等比数列{a n}中，a2•a8=4a5，等差数列{b n}中，b4+b6=a5，则数列{b n}的前9项和S9等于（）A．9B．18 C．36 D．7211．（5分）已知数列{a n}的首项a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则下列结论正确的是（）A．数列{a n}是等比数列B．数列a2，a3，…，a n是等比数列C．数列{a n}是等差数列D．数列a2，a3，…，a n是等差数列12．（5分）若函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c＞0）没有零点，则的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（2，+∞）D．[2，+∞）二、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为．14．（5分）关于函数，有下列命题①其图象关于y轴对称；②当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；③f（x）的最小值是lg2；④f（x）在区间（﹣1，0）、（2，+∞）上是增函数；⑤f（x）无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号是．15．（5分）设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n=lgx n，则a1+a2+…+a99的值为．16．（5分）已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），，若有穷数列的前n项和等于，则n=．三、解答题（本大题共5小题，共70分，应写出文字说明，演算过程，把答案填在答题卡上）17．（12分）已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．（1）当∥时，求2cos2x﹣sin2x的值；（2）求f（x）=（+）•在[﹣，0]上的最大值．18．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，△ABC的面积是30，cosA=．（1）求；（2）若c﹣b=1，求a的值．19．（12分）已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）令b n=（n∈N），求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n•a n，S n=b1+b2+…+b n，求使S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．21．（12分）设f（x）=e x（ax2+x+1），且曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行．（1）求a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）证明：当．四、选做题（（以下两题考生任选一题，每题10分，若多做，以第一题计分）【选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分】22．（10分）设函数f（x）=．（1）当a=﹣5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．【选修4-4坐标系与参数方程(本小题满分0分)】23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半径为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）分别将直线l和曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于P、Q两点，求|PQ|．山西省太原市现代双语学校2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题12个，每小题5分，共60分）1．（5分）设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果P={x|log2x＜1}，{x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜x≤1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|2≤x＜3}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求解对数不等式和绝对值的不等式化简集合P，Q，然后直接利用定义得答案．解答：解：∵P={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，Q={x||x﹣2|＜1}={x|1＜x＜3}，由P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，得P﹣Q={x|x＜x≤1}．故选：B．点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数不等式和绝对值不等式的解法，是基础题．2．（5分）已知a、b、c满足a＞b＞c，且a+b+c=0，那么下列选项中不一定成立的是（）A．a b＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．c b2＜ab2D．ac（a﹣c）＜0考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：由a、b、c满足a＞b＞c，且a+b+c=0，可得a＞0，c＜0，b可以为任意实数．即可得出．解答：解：∵a、b、c满足a＞b＞c，且a+b+c=0，∴a＞0，c＜0，b可以为任意实数．当b=0时，cb2=ab2=0，因此C不一定成立．故选：C．点评：本题考查了不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．3．（5分）下列几个命题；①是一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R的充要条件；②设函数y=f（x）的定义域为R，则函数f（x）与f（﹣x）的图象关于y轴对称；③若函数y=Acos（ωx+φ）（A≠0）为奇函数，则φ=+kπ（k∈Z）；④已知x∈（0，π），则y=sinx+的最小值为2；期中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：①，利用二次函数的性质及充分必要条件的概念及应用可判断①；②，构造函数y=f（x）=sinx与y=sin（﹣x），则函数f（x）与f（﹣x）的图象关于x轴对称，可判断②；③，利用定义域为R上的奇函数的性质可知f（0）=0，易得φ=+kπ（k∈Z），可判断③；④，令t=sinx，则0＜t≤1，由双钩函数y=t+的单调性可知，y=t+在区间（0，1]上单调递减，可判断④．解答：解：对于①，是一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R的充要条件，故①正确；对于②，∵y=sinx与y=sin（﹣x）的定义域均为R，但二者的图象关于x轴对称，故②错误；设函数y=f（x）的定义域为R，则函数f（x）与f（﹣x）的图象关于y轴对称；对于③，若函数y=Acos（ωx+φ）（A≠0）为奇函数，则f（0）=Acosφ=0，φ=+kπ（k∈Z），故③正确；对于④，∵x∈（0，π），∴sinx∈（0，1]，令t=sinx，则0＜t≤1，由双钩函数y=t+的单调性可知，y=t+在区间（0，1]上单调递减，∴y min=1+=3，即y=sinx+的最小值为3，故④错误；综上所述，正确的命题为①③，故选：C．点评：本题考查函数的性质，主要考查函数的奇偶性、单调性、对称性的综合应用，考查二次函数的性质及充分必要条件的概念及应用，属于中档题．4．（5分）复数（）2=（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果．解答：解：（）2=[]2=（1﹣2i）2=﹣3﹣4i．故选A．点评：本题主要考查复数的除法和乘方运算，是一个基础题，解题时没有规律和技巧可寻，只要认真完成，则一定会得分．5．（5分）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．专题：计算题．分析：求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．解答：解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值．∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，∴极大值等于0或极小值等于0．∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，∴c=﹣2或2．故选：A．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0．6．（5分）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π）C．（0，]D．[，π）考点：正弦定理；余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围，进而求得A的范围．解答：解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值范围是（0，]故选C点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆．7．（5分）下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：压轴题．分析：先根据图象求出函数的最小正周期，从而可得w的值，再根据正弦函数的平移变化确定函数的解析式为，最后根据诱导公式可确定答案．解答：解：从图象看出，T=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin2x向左平移了个单位，即=，故选D．点评：本题考查正弦函数平移变换和最小正周期的求法、根据图象求函数解析式．考查学生的看图能力．8．（5分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，3）D．（3，+∞）考点：简单线性规划的应用．专题：压轴题；数形结合．分析：根据m＞1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（，）上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，再根据目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m的不等式组，解不等式组即可求出m 的取值范围．解答：解：∵m＞1故直线y=mx与直线x+y=1交于点，目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在点，取得最大值其关系如下图所示：即，解得1﹣＜m＜又∵m＞1解得m∈（1，）故选：A．点评：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中根据平面直线方程判断出目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在点取得最大值，并由此构造出关于m的不等式组是解答本题的关键．9．（5分）已知非零向量与满足且=．则△ABC为（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：通过向量的数量积为0，判断三角形是等腰三角形，通过=求出等腰三角形的顶角，然后判断三角形的形状．解答：解：因为，所以∠BAC的平分线与BC垂直，三角形是等腰三角形．又因为，所以∠BAC=60°，所以三角形是正三角形．故选A．点评：本题考查向量的数量积的应用，考查三角形的判断，注意单位向量的应用，考查计算能力．10．（5分）已知等比数列{a n}中，a2•a8=4a5，等差数列{b n}中，b4+b6=a5，则数列{b n}的前9项和S9等于（）A．9B．18 C．36 D．72考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等比数列的性质结合已知求得a5=4，代入b4+b6=a5，进一步代入等差数列的求和公式得答案．解答：解：∵数列{a n}是等比数列，∴a2•a8=，又a2•a8=4a5，∴，解得a5=4．∴b4+b6=a5=4．∵数列{b n}是等差数列，∴数列{b n}的前9项和S9==．故选：B．点评：本题考查了等比数列和等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．11．（5分）已知数列{a n}的首项a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则下列结论正确的是（）A．数列{a n}是等比数列B．数列a2，a3，…，a n是等比数列C．数列{a n}是等差数列D．数列a2，a3，…，a n是等差数列考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：在数列递推式中取n=n﹣1得另一递推式，作差后得到a n+1=4a n（n≥2），由已知求得a2=3，说明数列从第二项起是公比为4的等比数列．解答：解：由a n+1=3S n（n≥1），得a n=3S n﹣1（n≥2），两式作差得：a n+1﹣a n=3a n（n≥2），即a n+1=4a n（n≥2），∵a1=1，a n+1=3S n（n≥1），∴a2=3．∴数列a2，a3，…，a n是公比为4的等比数列．故选：B．点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，是基础题．12．（5分）若函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c＞0）没有零点，则的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（2，+∞）D．[2，+∞）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c＞0）没有零点，可得b2＜4ac，再利用基本不等式，即可求得的取值范围．解答：解：∵函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c＞0）没有零点∴b2﹣4ac＜0∴b2＜4ac∵a，c＞0，∴（a+c）2=a2+c2+2ac≥4ac∴（a+c）2＞b2∴a+c＞b＞0∴＞1∴的取值范围是（1，+∞）故选A．点评：本题考查函数的零点，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为9．考点：一元二次不等式的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m，m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．解答：解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2﹣4b=0则b=不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），即为x2+ax+＜c解集为（m，m+6），则x2+ax+﹣c=0的两个根为m，m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案为：9点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．14．（5分）关于函数，有下列命题①其图象关于y轴对称；②当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；③f（x）的最小值是lg2；④f（x）在区间（﹣1，0）、（2，+∞）上是增函数；⑤f（x）无最大值，也无最小值其中所有正确结论的序号是①③④．考点：对数函数的值域与最值；对数函数的单调性与特殊点．专题：探究型．分析：①判断函数是否为偶函数即可．②将复合函数转化为两个基本函数，令t=（x＞0），易知在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数．③因为t=≥2（x＞0），再由偶函数，可知正确．④当﹣1＜x＜0或x＞1时函数t=是增函数，再根据复合函数判断．⑤用③来判断．解答：解：①定义域为R，又满足f（﹣x）=f（x），所以函数y=f（x）的图象关于y轴对称，正确．②令t=（x＞0），在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，不正确．③t=≥2，又是偶函数，所以函数f（x）的最小值是lg2，正确．④当﹣1＜x＜0或x＞1时函数t=是增函数，根据复合函数知，f（x）是增函数，正确．⑤由③知，不正确．故答案为：①③④点评：本小题主要考查对数函数的单调性与特殊点、对数函数的值域与最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．15．（5分）设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n=lgx n，则a1+a2+…+a99的值为﹣2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．专题：计算题．分析：由曲线y=x n+1（n∈N*），知y′=（n+1）x n，故f′（1）=n+1，所以曲线y=x n+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，故a n=lgn﹣lg（n+1），由此能求出a1+a2+…+a99．解答：解：∵曲线y=x n+1（n∈N*），∴y′=（n+1）x n，∴f′（1）=n+1，∴曲线y=x n+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，∴a n=lgn﹣lg（n+1），∴a1+a2+…+a99=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100）=lg1﹣lg100=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查利用导数求曲线的切线方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．16．（5分）已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），，若有穷数列的前n项和等于，则n=5．考点：数列与函数的综合．专题：综合题；压轴题；等差数列与等比数列．分析：根据函数商的导数公式确定a的范围，利用方程求得a值，从而可得有穷数列是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式，即可求得结论．解答：解：∵函数f（x），g（x）满足，∴∵f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），∴（a x）′＜0∴（a x）′=a x lna＜0，∴0＜a＜1∵，∴a+=∴a=或a=2（舍去）∴有穷数列是以为首项，为公比的等比数列∵有穷数列的前n项和等于，∴=∴∴n=5点评：本题考查数列与函数的综合，考查导数知识的运用，确定有穷数列是以为首项，为公比的等比数列是关键．三、解答题（本大题共5小题，共70分，应写出文字说明，演算过程，把答案填在答题卡上）17．（12分）已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．（1）当∥时，求2cos2x﹣sin2x的值；（2）求f（x）=（+）•在[﹣，0]上的最大值．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）当∥时可得tanx=，可得2cos2x﹣sin2x=，化为切函数，代值计算可得；（2）由向量和三角函数的知识可得f（x）=sin（2x+），由x的范围可得．解答：解：（1）当∥时，﹣sinx=cosx，∴tanx==，∴2cos2x﹣sin2x=====；（2）f（x）=（+）•=+=sinxcosx﹣+cos2x+1=sin2x++1=sin2x+cos2x=sin（2x+），∵x∈[﹣，0]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，]，∴当sin（2x+）=时，f（x）=（+）•取最大值．点评：本题考查平面向量与三角函数的综合应用，熟练掌握公式是解决问题的关键，属中档题．18．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，△ABC的面积是30，cosA=．（1）求；（2）若c﹣b=1，求a的值．考点：平面向量数量积的运算；余弦定理．专题：平面向量及应用．分析：（1）由同角三角函数的基本关系可得sinA=，结合面积可得bc=156，由数量积的定义可得；（2）由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=（c﹣b）2+2bc（1﹣cosA），代值计算可得．解答：解：（1）在△ABC中，∵cosA=，∴sinA==，∴△ABC的面积S=bcsinA=bc=30，解得bc=156，∴=bccosA=156×=144，（2）由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=（c﹣b）2+2bc（1﹣cosA）=1+2×156（1﹣）=25．∴a=5．点评：本题考查平面向量的数量积，涉及解三角形，属基础题．19．（12分）已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）令b n=（n∈N），求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：（1）根据等差数列的两项之和的值，根据等差数列等差中项的性质得到a6，根据连续两项得到数列的公差，根据通项写出要求的第四项和数列的前n项和．（2）本题需要根据上一问的结果构造新数列，把第一问做出的通项代入，整理出结果，发现这是一个裂项求和的问题，得到前n项和．解答：解（1）∵a3=7，a5+a7=26．∴，∴，∴a n=2n+1s n=（2）由第一问可以看出a n=2n+1∴=∴T n=．点评：本题考查等差数列的性质，考查数列的构造，解题的关键是看清新构造的数列是一个用什么方法来求和的数列，注意选择应用合适的方法．20．（12分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n•a n，S n=b1+b2+…+b n，求使S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，依题意，可得到关于a1与q的方程组，解之即可求得数列{a n}的通项公式；（2）（1）得a n=2n，再由b n=a n•a n，可得b n=﹣n•2n，于是S n=﹣（1×2+2×22+…+n•2n），利用错位相减法即可求得S n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1，解不等式S n+n•2P n+1P＞50即可求得使之成立的正整数n的最小值．解答：解：（1）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q．依题意，有2（a3+2）=a2+a4，代入a2+a3+a4=28，可得a3=8，∴a2+a4=20，…（2分）即，解之得或…（4分）又∵数列{a n}单调递增，所以q=2，a1=2，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．…（6分）（2）因为，所以S n=﹣（1×2+2×22+…+n•2n），2S n=﹣[1×22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1]，两式相减，得S n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1．…（10分）要使S n+n•2n+1＞50，即2n+1﹣2＞50，即2n+1＞52．易知：当n≤4时，2n+1≤25=32＜52；当n≥5时，2n+1≥26=64＞52．故使S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．…（12分）点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列的通项公式的应用，突出考查错位相减法求和，考查运算、分析、求解的能力，属于中档题．21．（12分）设f（x）=e x（ax2+x+1），且曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行．（1）求a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）证明：当．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：压轴题．分析：（1）先对函数f（x）进行求导，然后根据在x=1处的导数值等于其切线的斜率可求a的值，然后当f'（x）＜0时可求函数的单调递减区间，当f'（x）＞0时可求函数的单调递增区间．（2）先确定函数f（x）在[0，1]单调增，求出最大值和最小值，故根据任意x1，x2∈[0，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1＜2，将cosθ、sinθ代入即可得到答案．解答：解：（Ⅰ）f'（x）=e x（ax2+x+1+2ax+1）．由条件知，f'（1）=0，故a+3+2a=0⇒a=﹣1．于是f'（x）=e x（﹣x2﹣x+2）=﹣e x（x+2）（x﹣1）．故当x∈（﹣∞，﹣2）或（1，+∞）时，f'（x）＜0；当x∈（﹣2，1）时，f'（x）＞0．从而f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）单调减少，在（﹣2，1）单调增加．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在[0，1]单调增加，故f（x）在[0，1]的最大值为f（1）=e，最小值为f（0）=1．从而对任意x1，x2∈[0，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1＜2．而当时，cosθ，sinθ∈[0，1]．从而|f（cosθ）﹣f（sinθ）|＜2点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．四、选做题（（以下两题考生任选一题，每题10分，若多做，以第一题计分）【选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分】22．（10分）设函数f（x）=．（1）当a=﹣5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由|x+1|+|x﹣2|﹣5≥0，然后构造函数y=|x+1|+|x﹣2|，在同一坐标系内画出函数y=|x+1|+|x﹣2|与y=5的图象得答案；（2）函数f（x）的定义域为R，说明当x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|+a≥0，即|x+1|+|x﹣2|≥﹣a，然后结合绝对值的几何意义求得a的取值范围．解答：解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|﹣5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x﹣2|和y=5的图象（如图所示），知定义域为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）；（2）由题设知，当x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|+a≥0，即|x+1|+|x﹣2|≥﹣a，由（1）|x+1|+|x﹣2|≥3，∴﹣a≤3，即a≥﹣3．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了数形结合的解题思想方法，考查了绝对值的几何意义，是中档题．【选修4-4坐标系与参数方程(本小题满分0分)】23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半径为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）分别将直线l和曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于P、Q两点，求|PQ|．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（1）消去参数，可得直线l的普通方程，圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以ρ，可得曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，即可求|PQ|．解答：解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为y=x+2﹣2；圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以ρ得到ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4；（2）x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心，半径等于2的圆．圆心到直线的距离为=1，∴|PQ|=2=2．点评：本题考查参数方程化成普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线与圆的位置关系，比较基础．。

山西省太原市2015届高三第二次联合模拟考试数学（理科）本试卷分Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数21iz =+在复平面内对应的点所在象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知1a b >>，0c <，下列结论正确的是（ ）A ．c c a b <B ．c c a b <C ．log log a b b a >D ．tan tan a b >3．已知等比数列{}n a 满足14n n n a a +=（n ∈N *），则其公比q =（ ）A ．4±B ．4C ．2±D ．24x 2 3 4 5 6 y2.23.85.56.57.0由上表可得线性回归方程 1.23y x a =+，若规定当维修费用y ＞12时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用年限的最大值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9D ．105．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()0f =（ ）A ．3-B ．3-C ．1-D ．12-6．执行如图所示的程序框图，若N =5，则输出的p =（ ）A ．15B ．31C ．102D ．1527．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．232++B．332++C ．323+D ．322+8．已知点F 是抛物线()220y px p =>的焦点，点()02,M y 在该抛物线上，若4MF =，则点M 到坐标原点O 的距离为（ ） A ．22B ．23C ．5D ．49．某公司安排6位员工在“五一劳动节（5月1日至5月3日）”假期值班，每天安排2人，每人值班1天，若6位员工中甲不再1日值班，乙不在3日值班，则不同的安排方法种数为（ ） A ．30 B ．36 C ．42 D ．4810．已知点P ，Q 分别在圆()2243x y -+=和椭圆2219y x +=上，则PQ 的最大值为（ ）A ．3B ．33C ．6D ．511．已知正数x ，y 满足()()22log 2log 22x y x y -++=，则z x y =-最小值为（ ） A1B 2C 3D ．212．定义在R 上的奇函数()f x ，当x ≥0时，()()231,1log 1,01x x f x x x ⎧-->⎪=⎨+≤≤⎪⎩，则函数()()g x f x m =-（0＜m ＜1）的所有零点之和为（ ）A ．12m-B ．21m-C ．112m⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．112m⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第24题为 选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某学校高一、高二、高三年级分别有350、450、400名学生，为了解学生的身体健康情况，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生进行调查，若高一年级抽取了14名学生，则所抽取样本中的学生人数为 ． 14．()1211x x dx -+-=⎰．15．已知过点()1,1M -的直线l 与22143x y +=相交于A ，B 两点，若点M 是AB 的中点，则直线l 的方程为 ．16．已知△ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且22cos 3A =，1BC =，3AC =，三棱锥O ABC -的体积为146，则球O 的表面积为 ． 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤） 17．（本小题满分12分） 如图，在△ABC 中，3A π=，8AB =，点D 在AC 上，且1cos 7BDC ∠=． （1）求sin ABD ∠；（2）若△BCD 的面积43，求BC ．18．（本小题满分12分）跳广场舞是现在广大市民喜爱的户外健身运动，某健身运动公司未了解本地区市民对跳广场舞的热衷程度，随机抽取了100名跳广场舞的市民，统计其年龄（单位：岁）并整理得到如下的频率分布直方图（其中年龄的分组区间分别为[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[]60,70），其中女性市民有55名．将所抽样本中年龄不小于50岁跳广场舞的市民为“广舞迷”，已知其中有30名女性广舞迷．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为广舞迷与性别有关？广舞迷 非广舞迷合计 男 女 合计()2P K k ≥0.05 0.025 0.010 0.005 0k3.8415.0246.6357.879（22名市民，求其中超级广舞迷人数ξ的分布列与期望．附：()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，P A ⊥平面ABCD ，AP =AD ，点E 在PC 上，且12PE EC =，点F 是PD 的中点．（1）求证：PC ⊥平面AEF ；（2）求二面角C AF E --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知定圆M ：()22116x y ++=，动圆N 过点()1,0D ，且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）已知点(),P x y （x ＞0）在圆E ：223x y +=上，过点P 作圆E 的切线l 与曲线C 相交于A ，B 两个不同点，求证：△ABD 的周长为定值．21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1xkx x x f x e-+=（k ∈R ）在点()()1,1f 处的切线为240x my +-=（m ∈R ）． （1）求k 的值；（2）设()()()1g x x f x =+，求证：()2g x <． 23．选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：()2224x y +-=．（1）以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆1C ，2C 的极坐标方程及其交点的极坐标；（2）求圆1C 与2C 公共弦的参数方程． 24．选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()22f x x >+的解集；（2）若不等式()22f x x >+的解集为R ，求实数a 的取值范围．。

山西省太原市2015届高三年级第二次模拟试题理科数学一、选择题：1．已知 i 为虚数单位，集合A={}zi ,2,1，B={}1,3则复数z= A ．i 4- B ．4i C ．i 2- D ．2i2．下列命题中的假命题是： A. ,0x x R e ∀∈> B. 2,0x R x ∀∈≥ C. 00,sin 2x R x ∃∈= D. 0200,2xx R x ∃∈> 3．已知 (,2),(2,1)a x b ==-，且 a b ⊥，则 a b -= A.5 B. 10 C. 25 D. 104.已知 sin cos 2,(,)22a a a ππ+=∈-．则 tan a = A. -1 B. 22-C ．22D. 1 5．执行右图所示的程序框图，若P=1211．则输出的n= A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 76已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.314 B. 4 C. 103D. 3 7.已知△ABC 中， 34cos ,cos ,455A B BC ===，则△ABC 的面积为A. 6B.12C. 5D.108已知点A ()0,a -，B (),0a ，若圆 ()22(3)41x y -+-=上存在点P ．使得 90APB ∠=，则正数a 的取值范围为A.[4，6]B.[5，6]C. [4，5]D.[3，6]9已知函数 ()f x 的导函数在 (,)a b 上的图象关于直线 2a bx +=对称，则函数 ()y f x =在 [,]a b 上的图象可能是10.已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，若棱AB 上存在点P ，使得PC P D ⊥1，则AD 的取值范围是11.A ．[)2,1 B ．(1,2⎤⎦C ．(]0,1D ．()2,011.已知 12,F F 分别是双曲线 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，点p 在双曲线的右支上，且()110F P OF OP ⋅+=(O 为坐标原点），若122F P F P =,则该双曲线的离心率为A ．63+ B ．632+ C ． 62+ D ．622+ 12．已知函数()x f 定义域为()+∞,0，且满足()()()ee f x x x f x x f 1,ln =='+，则下列结论正确的是 A.()x f 有极大值无极小值 B.()x f 有极小值无极大值 C.()x f 既有极大值又有极小值 D.()x f 没有极值二、填空题：13.在直角坐标平面内，由曲线3,,1===x x y xy 所围成的封闭图形面积为_______.14已知实数x ，y 满足条件 0,434,0,x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则 1x y z x ++=最小值为 _______.15.已知数列 {}n a 满足 ()11121,()1n n n n a a a a a n N n n *++=-=∈+，则 n a =_______.16.已知 10≤≤x ，若1213≤-ax x 恒成立， 则实数a 的取值范围是____. 三、解答题：17. 巳知等差数列 {}n a 的前n 项和为 n S ，且 131,9a S ==．数列 {}n b 中131,20b b == (I)若数列 n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比0>q 的等比数列，求 ,n n a b(Ⅱ)在(I)的条件下，求数列 {}n b 的前n 项和 n T 。