高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社) 习题四答案详解
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283高等数学上(修订版)(复旦出版社)习题六 无穷数级 答案详解1.写出下列级数的一般项: (1)1111357++++ ;(2)22242462468x x x x x ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ;(3)35793579a a a a -+-+ ;解:(1)121n U n =-; (2)()2!!2n n xU n =;(3)()211121n n n a U n ++=-+; 2.求下列级数的和: (1)()()()1111n x n x n x n ∞=+-+++∑;(2)()1221n n n n ∞=+-++∑;(3)23111555+++ ; 解:(1)()()()()()()()111111211n u x n x n x n x n x n x n x n =+-+++⎛⎫-=⎪+-++++⎝⎭284从而()()()()()()()()()()()()()()11111211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ⎛-+-= +++++++⎝⎫++-⎪+-++++⎭⎛⎫-=⎪++++⎝⎭因此()1lim 21n n S x x →∞=+,故级数的和为()121x x +(2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()()()()()()324332215443211211211221n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++所以lim 12n n S →∞=-,即级数的和为12-. (3)因为21115551115511511145n nn n S =+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=-⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ 从而1lim 4n n S →∞=,即级数的和为14. 3.判定下列级数的敛散性: (1) ()11n n n ∞=+-∑;(2)()()11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+ ; (3) ()23133222213333n n n --+-++- ;285(4)311115555n +++++ ; 解:(1) ()()()3212111n S n n n =+++-+--=+-从而lim n n S →∞=+∞,故级数发散. (2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++-⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭从而1lim 5n n S →∞=,故原级数收敛,其和为15. (3)此级数为23q =-的等比级数,且|q |<1,故级数收敛. (4)∵15n n U =,而lim 10n n U →∞=≠,故级数发散. 4.利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性:(1) ()111n n n +∞=-∑;(2)1cos 2nn nx∞=∑; (3)1111313233n n n n ∞=⎛⎫+- ⎪+++⎝⎭∑. 解:(1)当P 为偶数时,()()()()122341111112311111231111112112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n p n n n +++++++++++----=++++++++-+--=++++⎛⎫⎛⎫-=----- ⎪ ⎪+-+-++++⎝⎭⎝⎭<+当P 为奇数时,286()()()()1223411111123111112311111112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n n n +++++++++++----=++++++++-+-+=++++⎛⎫⎛⎫-=---- ⎪ ⎪+-++++⎝⎭⎝⎭<+因而,对于任何自然数P ,都有12111n n n p U U U n n++++++<<+ , ∀ε>0,取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,则当n >N 时,对任何自然数P 恒有12n n n pU U U ε++++++< 成立,由柯西审敛原理知,级数()111n n n +∞=-∑收敛. (2)对于任意自然数P ,都有()()()1212121cos cos cos 12222111222111221121112212n n n p n n n p n n n p n p n p nU U U x n p x xn n ++++++++++++++++=+++≤+++⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭<于是, ∀ε>0(0<ε<1),∃N =21log ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦,当n >N 时,对任意的自然数P都有12n n n p U U U ε++++++< 成立,由柯西审敛原理知,该级数收敛. (3)取P =n ,则287()()()()()121111113113123133213223231131132161112n n n pU U U n n n n n n n n n n ++++++⎛⎫=+-+++- ⎪++++++⋅+⋅+⋅+⎝⎭≥++++⋅+≥+> 从而取0112ε=,则对任意的n ∈N ,都存在P =n 所得120n n n p U U U ε++++++> ,由柯西审敛原理知,原级数发散.5.用比较审敛法判别下列级数的敛散性. (1)()()111465735n n ++++⋅⋅++ ;(2)22212131112131nn +++++++++++ (3)1πsin 3n n ∞=∑;(4) 3112n n∞=+∑;(5)()1101nn a a∞=>+∑;(6)()1121nn ∞=-∑.解:(1)∵ ()()21135n U nn n =<++而211n n ∞=∑收敛,由比较审敛法知1n n U ∞=∑收敛. (2)∵221111n n n U n n n n++=≥=++ 而11n n∞=∑发散,由比较审敛法知,原级数发散.(3)∵ππsinsin 33lim lim ππ1π33n nn n n n→∞→∞=⋅=288而1π3n n ∞=∑收敛,故1πsin 3n n ∞=∑也收敛.(4)∵33321112n U nnn=<=+ 而3121n n∞=∑收敛,故3112n n∞=+∑收敛.(5)当a >1时,111n n n U a a =<+,而11n n a ∞=∑收敛,故111nn a∞=+∑也收敛. 当a =1时,11lim lim 022n n n U →∞→∞==≠,级数发散. 当0<a <1时,1lim lim 101n n n n U a →∞→∞==≠+,级数发散. 综上所述,当a >1时,原级数收敛,当0<a ≤1时,原级数发散.(6)由021limln 2xx x →-=知121lim ln 211nx n→∞-=<而11n n∞=∑发散,由比较审敛法知()1121nn ∞=-∑发散.6.用比值判别法判别下列级数的敛散性:(1) 213n n n ∞=∑;(2)1!31nn n ∞=+∑; (3)232333*********nn n +++++⋅⋅⋅⋅ ; (1) 12!n n n n n ∞=⋅∑解:(1) 23n n n U =,()2112311lim lim 133n n n n n n U n U n ++→∞→∞+=⋅=<, 由比值审敛法知,级数收敛.289(2) ()()111!311lim lim 31!31lim 131n n n n n nn n n U n U n n ++→∞→∞+→∞++=⋅++=⋅++=+∞所以原级数发散.(3) ()()11132lim lim 2313lim 21312n nn n n n n nn U n U n n n +++→∞→∞→∞⋅=⋅⋅+=+=> 所以原级数发散.(4) ()()1112!1lim lim 2!1lim 21122lim 1e 11n nn n n n n nnn n n U n n U n n n n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+=⋅⋅+⎛⎫= ⎪+⎝⎭==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭故原级数收敛.7.用根值判别法判别下列级数的敛散性:(1) 1531nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑;(2)()[]11ln 1nn n ∞=+∑;(3) 21131n n n n -∞=⎛⎫⎪-⎝⎭∑;(4) 1nn n b a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑,其中a n →a (n →∞),a n ,b ,a 均为正数.解:(1)55lim lim 1313n n n n n U n →∞→∞==>+, 故原级数发散.(2) ()1lim lim 01ln 1n n n n U n →∞→∞==<+,290故原级数收敛.(3)121lim lim 1931nn nn n n U n -→∞→∞⎛⎫==< ⎪-⎝⎭, 故原级数收敛.(4) limlim nn n n n nb b b a a a →∞→∞⎛⎫== ⎪⎝⎭, 当b <a 时,ba <1,原级数收敛;当b >a 时,b a>1,原级数发散;当b =a 时,b a=1,无法判定其敛散性.8.判定下列级数是否收敛?若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?(1)1111234-+-+ ;(2)()()1111ln 1n n n ∞-=-+∑;(3) 2341111111153535353⋅-⋅+⋅-⋅+ ;(4)()21121!n n n n ∞-=-∑; (5)()()1111n n R n αα∞-=∈-∑;(6) ()11111123nn n n ∞=⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭∑ . 解:(1)()111n n U n -=-,级数1n n U ∞=∑是交错级数,且满足111n n >+,1lim 0n n →∞=,由莱布尼茨判别法级数收敛,又11121n n n U n∞∞===∑∑是P <1的P级数,所以1n n U ∞=∑发散,故原级数条件收敛.(2)()()111ln 1n n U n -=-+,()()1111ln 1n n n ∞---+∑为交错级数,且()()11ln ln 12n n >++,()1lim 0ln 1n n →∞=+,由莱布尼茨判别法知原级数收敛,但由于()11ln 11n U n n =≥++291所以,1n n U ∞=∑发散,所以原级数条件收敛.(3)()11153n n n U -=-⋅民,显然1111115353n n n n n n U ∞∞∞=====⋅∑∑∑,而113nn ∞=∑是收敛的等比级数,故1n n U ∞=∑收敛,所以原级数绝对收敛.(4)因为2112lim lim 1n n n n nU U n ++→∞→∞==+∞+. 故可得1n n U U +>,得lim0n n U →∞≠, ∴lim 0n n U →∞≠,原级数发散. (5)当α>1时,由级数11n nα∞=∑收敛得原级数绝对收敛. 当0<α≤1时,交错级数()1111n n n α∞-=-∑满足条件:()111n n αα>+;1lim 0n n α→∞=,由莱布尼茨判别法知级数收敛,但这时()111111n n n nn αα∞∞-===-∑∑发散,所以原级数条件收敛.当α≤0时,lim0n n U →∞≠,所以原级数发散. (6)由于11111123n nn ⎛⎫⋅>++++ ⎪⎝⎭而11n n∞=∑发散,由此较审敛法知级数()11111123nn n n ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑ 发散. 记1111123n U nn ⎛⎫=⋅++++ ⎪⎝⎭ ,则292()()()()()()1222111111123111111112311111111231110n n U U n n n n n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=-++++- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭++⎛⎫⎛⎫-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭+++⎝⎭>即1n n U U +>又01111lim lim 12311d n n n n U n n x n x→∞→∞⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭=⎰ 由0111lim d lim 01t t t t x t x→+∞→+∞==⎰ 知lim 0n n U →∞=,由莱布尼茨判别法,原级数()11111123nn n n ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑ 收敛,而且是条件收敛.9.判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性.(1) ()1!1nn x n ∞=-∑,x ∈[-3,3]; (2) 21nn x n ∞=∑,x ∈[0,1];(3) 1sin 3n n nx∞=∑,x ∈(-∞,+∞); (4)1!nxn e n -∞=∑,|x |<5; (5)3521cos n nxn x∞=+∑,x ∈(-∞,+∞)解:(1)∵()()3!!11nnx n n ≤--,x ∈[-3,3],而由比值审敛法可知()13!1nn n ∞=-∑收敛,所以原级数在 [-3,3]上一致收敛.(2)∵221nx n n≤,x ∈[0,1],293而211n n∞=∑收敛,所以原级数在[0,1]上一致收敛. (3)∵1sin 33n n nx ≤,x ∈(-∞,+∞),而113nn ∞=∑是收敛的等比级数,所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛. (4)因为5!!nnx ee n n -≤,x ∈(-5,5), 由比值审敛法可知51!nn e n ∞=∑收敛,故原级数在(-5,5)上一致收敛.(5)∵53523cos 1nxn xn≤+,x ∈(-∞,+∞),而5131n n∞=∑是收敛的P -级数,所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛.10.若在区间Ⅰ上,对任何自然数n .都有|U n (x )|≤V n (x ),则当()1n n V x ∞=∑在Ⅰ上一致收敛时,级数()1n n U x ∞=∑在这区间Ⅰ上也一致收敛.证:由()1n n V x ∞=∑在Ⅰ上一致收敛知, ∀ε>0,∃N (ε)>0,使得当n >N 时,∀x ∈Ⅰ有|V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x )|<ε,于是,∀ε>0,∃N (ε)>0,使得当n >N 时,∀x ∈Ⅰ有|U n +1(x )+U n +2(x )+…+U n +p (x )|≤V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x ) ≤|V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x )|<ε,因此,级数()1n n U x ∞=∑在区间Ⅰ上处处收敛,由x 的任意性和与x 的无关294性,可知()1n n U x ∞=∑在Ⅰ上一致收敛.11.求下列幂级数的收敛半径及收敛域:(1)x +2x 2+3x 3+…+nx n +…; (2)1!nn x n n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑;(3)21121n n x n -∞=-∑; (4)()2112nn x n n∞=-⋅∑; 解:(1)因为11limlim 1n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===,所以收敛半径11R ρ==收敛区间为(-1,1),而当x =±1时,级数变为()11n n n ∞=-∑,由lim(1)0n x nn →-≠知级数1(1)nn n ∞=-∑发散,所以级数的收敛域为(-1,1).(2)因为()()1111!11lim lim lim lim e 1!11nn n n n n n n n na n n n a n n n n ρ-+-+→∞→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==⋅===+ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦ 所以收敛半径1e R ρ==,收敛区间为(-e,e).当x =e 时,级数变为1e nn n n n∞=∑;应用洛必达法则求得()10e e1lim 2xx x x →-+=-,故有111lim 12n n n a n a +→∞⎛⎫-=-<⎪⎝⎭由拉阿伯判别法知,级数发散;易知x =-e 时,级数也发散,故收敛域为(-e,e).(3)级数缺少偶次幂项.根据比值审敛法求收敛半径.211212221lim lim 2121lim21n n n n n nn U x n U n x n x n x ++-→∞→∞→∞-=⋅+-=⋅+= 所以当x 2<1即|x |<1时,级数收敛,x 2>1即|x |>1时,级数发散,故295收敛半径R =1.当x =1时,级数变为1121n n ∞=-∑,当x =-1时,级数变为1121n n ∞=--∑,由1121lim 012n n n→∞-=>知,1121n n ∞=-∑发散,从而1121n n ∞=--∑也发散,故原级数的收敛域为(-1,1). (4)令t =x -1,则级数变为212nn t n n∞=⋅∑,因为()()2122lim lim 1211n n n na n na n n ρ+→∞→∞⋅===⋅++ 所以收敛半径为R =1.收敛区间为 -1<x -1<1 即0<x <2.当t =1时,级数3112n n ∞=∑收敛,当t =-1时,级数()31112n n n ∞=-⋅∑为交错级数,由莱布尼茨判别法知其收敛.所以,原级数收敛域为 0≤x ≤2,即[0,2] 12.利用幂级数的性质,求下列级数的和函数: (1)21n n nx∞+=∑;(2) 22021n n x n +∞=+∑;解:(1)由()321lim n n n x n x nx++→∞+=知,当|x |=<1时,原级数收敛,而当|x |=1时,21n n nx ∞+=∑的通项不趋于0,从而发散,故级数的收敛域为(-1,1).记 ()23111n n n n S nxxnxx ∞∞+-====∑∑易知11n n nx∞-=∑的收敛域为(-1,1),记()111n n S n xx ∞-==∑296则()1011xn n x S x x x∞===-∑⎰ 于是()()12111x S x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-,所以()()()3211x S x x x =<-(2)由2422221lim 23n n n x n x n x++→∞+=⋅+知,原级数当|x |<1时收敛,而当|x |=1时,原级数发散,故原级数的收敛域为(-1,1),记()2221002121n n n n x x S x x n n ++∞∞====++∑∑,易知级数21021n n x n +∞=+∑收敛域为(-1,1),记()211021n n x S x n +∞==+∑,则()21211n n S x x x∞='==-∑, 故()1011d ln 21xx S x x x +'=-⎰ 即()()1111ln 021x S S x x +-=-,()100S =,所以()()()11ln 121x xS xS x x x x+==<-13.将下列函数展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间: (1)f (x )=ln(2+x ); (2)f (x )=cos 2x ; (3)f (x )=(1+x )ln(1+x ); (4)()221x f x x=+;(5)()23xf x x=+; (6)()()1e e 2x x f x -=-; (7)f (x )=e x cos x ;(8)()()212f x x =-.解:(1)()()ln ln 2ln 2ln 11222x x f x x ⎛⎫⎛⎫===++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于()()0ln 111n nn x x n ∞==+-+∑,(-1<x ≤1)故()()110ln 11221n nn n x x n +∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭+∑,(-2≤x ≤2)297因此()()()11ln ln 22121n nn n x x n +∞+==++-+∑,(-2≤x ≤2) (2)()21cos 2cos 2x f x x +==由()()20cos 1!2nnn x x n ∞==-∑,(-∞<x <+∞)得()()()()()220042cos 211!!22n n n nn n n x x x n n ∞∞==⋅==--∑∑ 所以()()22011()cos cos 222114122!2n nn n f x x x x n ∞===+⋅=+-∑,(-∞<x <+∞) (3)f (x )=(1+x )ln(1+x ) 由()()()10ln 111n nn x x n +∞==+-+∑,(-1≤x ≤1)所以()()()()()()()()()()()()()1120111111111111111111111111111n nn n n nn n n n n nn n n n n n n n n n x f x x n x x n n x x x n n n n x xn n x xn n +∞=++∞∞==++∞∞+==+∞+=-∞+==+-+=+--++=++--+++--=+⋅+-=++∑∑∑∑∑∑∑ (-1≤x ≤1)(4)()2222111x f x x xx==⋅++由于()()()2211!!2111!!21n n n n x n x∞=-=+-+∑ (-1≤x ≤1)298故()()()()221!!2111!!2n n n n x f x x n ∞=⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭∑()()()()2211!!211!!2n n n n x xn ∞+=-=+-∑ (-1≤x ≤1) (5)()()()()2202111313133133nn n n nn n xf x x x x x x ∞=+∞+==⋅+⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭=-<∑∑(6)由0e !nxn x n ∞==∑,x ∈(-∞,+∞)得()01e !n nxn x n ∞-=⋅-=∑,x ∈(-∞,+∞)所以()()()()()()0002101e e 2112!!1112!,!21x x n n n n n n n n n n f x x x n n x n x x n -∞∞==∞=+∞==-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=⋅⎡⎤--⎣⎦=∈-∞+∞+∑∑∑∑(7)因为e cos x x 为()()1e cos sin x x i e x i x +=+的实部, 而()()[]()10002011!1!ππ2cos sin !44ππ2cos sin !44nxi n nn n nn n n n n ex i n x i n x i n x n n i n ∞+=∞=∞=∞==+=+⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑299取上式的实部.得2π2cos4cos !n xn n n e x x n ∞==⋅∑(-∞<x <+∞)(8)由于()1211n n nx x ∞-==-∑ |x |<1而()211412f x x =⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以()111001422n n n n n n x x f n x --∞∞+==⋅⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭∑∑ (|x |<2) 14.将()2132f x x x =++展开成(x +4)的幂级数.解:21113212x x x x =-++++而()()()0101113411431314413334713nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-⋅+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<∑∑又()()()0101122411421214412224622nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<-∑∑300所以()()()()()2110011013244321146223n nn n n n nn n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+⎛⎫=-+-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑15.将函数()3f x x =展开成(x -1)的幂级数. 解:因为()()()()()2111111!2!m nmm mm m m x xx x n---+=++++++-<<所以()()[]()()()33221133333331121222222211111!2!!n f x x x n x x x n ==+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+++++---(-1<x -1<1) 即()()()()()()()()()()()()()2323133131313251111111222!23!2!3152111022!n nnnn n f x x x x x n n x x n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅--+--=+++++----⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=+-<<⋅∑ 16.利用函数的幂级数展开式,求下列各数的近似值: (1)ln3(误差不超过0.0001); (2)cos20(误差不超过0.0001)解:(1)35211ln 213521n x x x x x x n -+⎛⎫=+++++ ⎪--⎝⎭,x ∈(-1,1)令131x x +=-,可得()11,12x =∈-,301故()35211111112ln3ln 212325222112n n -+⎡⎤+++++==⎢⎥⋅⋅⋅-⎣⎦-又()()()()()()()()()()2123212121232521242122112222123222212112222123252111222212112211413221n n n n n n n n n n n r n n n n n n n n n n +++++++++-⎡⎤++=⎢⎥⋅⋅++⎣⎦⎡⎤⋅⋅++=+++⎢⎥⋅⋅+++⎣⎦⎛⎫<+++ ⎪⎝⎭+=⋅+-=+ 故5810.000123112r <≈⨯⨯61010.000033132r <≈⨯⨯. 因而取n =6则35111111ln32 1.098623252112⎛⎫=≈++++ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭(2)()()2420ππππ909090cos 2cos 11902!4!!2nn n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-+-++-∵24π906102!-⎛⎫ ⎪⎝⎭≈⨯;48π90104!-⎛⎫⎪⎝⎭≈ 故2π90cos2110.00060.99942!⎛⎫⎪⎝⎭≈-≈-≈17.利用被积函数的幂级数展开式,求定积分0.5arctan d xx x⎰(误差不超过0.001)的近似值.302解:由于()3521arctan 13521n n x x x x x n +=-+-++-+ ,(-1≤x ≤1) 故()2420.50.5000.5357357arctan d d 113521925491111111292252492nx x x x x x x n x x x x ⎡⎤=-+-++-⎢⎥+⎣⎦⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭=-⋅+⋅-⋅+⎰⎰ 而3110.013992⋅≈,5110.0013252⋅≈,7110.0002492⋅≈. 因此0.535arctan 11111d 0.487292252x x x ≈-⋅+⋅≈⎰ 18.判别下列级数的敛散性:(1)111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑;(2)21cos 32n n nx n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑; (3)()1ln 213nn n n ∞=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑.解:(1)∵122111n nnnnn nn n n n n n n +⎛⎫>= ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 而()22211221lim lim 10111nnn n n n nn n --++→∞→∞⎡⎤⎛⎫-⎛⎫==≠+⎢⎥⎪ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦故级数2211nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑发散,由比较审敛法知原级数发散. (2)∵2cos 3022n nnx n n ⎛⎫⎪⎝⎭<≤ 由比值审敛法知级数12n n n ∞=∑收敛,由比较审敛法知,原级数21cos 32nn nx n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑303收敛. (3)∵()()ln ln 220313nnn n n ++<<⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 由()()()()11ln 33lim lim 3ln 21ln 3lim3ln 2113nn n n n nn U n U n n n ++→∞→∞→∞+=⋅++=+=< 知级数()1ln 23nn n ∞=+∑收敛,由比较审敛法知,原级数()1ln 213n n n n ∞=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛. 19.若2lim n nn U →∞存在,证明:级数1n n U ∞=∑收敛. 证:∵2lim n n n U →∞存在,∴∃M >0,使|n 2U n |≤M , 即n 2|U n |≤M ,|U n |≤2M n而21n Mn ∞=∑收敛,故1n n U ∞=∑绝对收敛. 20.证明,若21n n U ∞=∑收敛,则1nn U n∞=∑绝对收敛. 证:∵222211111222n n n nU U n U U n n n+=⋅≤=+⋅而由21n n U ∞=∑收敛,211n n∞=∑收敛,知 22111122n n U n ∞=⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∑收敛,故1n n U n∞=∑收敛, 因而1nn U n∞=∑绝对收敛.30421.若级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑都绝对收敛,则函数项级数()1cos sin n n n a nx b nx ∞=+∑在R 上一致收敛.证:U n (x )=a n cos nx +b n sin nx ,∀x ∈R 有()cos sin cos sin n n n n n n n U a nx b nx a nx b nx a b x =+≤+≤+由于1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑都绝对收敛,故级数()1n n n a b ∞=+∑收敛.由魏尔斯特拉斯判别法知,函数项级数()1cos sin n n n a nx b nx ∞=+∑在R 上一致收敛.22.计算下列级数的收敛半径及收敛域:(1) 1311nn n n x n ∞=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∑;(2)()1πsin12nnn x ∞=+∑; (3) ()2112nn n x n ∞=-⋅∑解:(1)()111lim 1331lim 3123311311lim lim lim 22313e e 3n n nn nn nnn n n a a n n n n n n n n n n ρ+→∞+→∞→∞→∞→∞-=+⎛⎫⎛⎫++=⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎛⎫++++⎛⎫+=⋅⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭+⎝⎭=⋅⋅=∴133R ρ==, 又当33x =±时,级数变为()113133311333nnnn n n n n n n ∞∞==⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=±± ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑, 因为33333lim 033nn n en -→∞⎛⎫+=≠ ⎪+⎝⎭305所以当33x =±,级数发散,故原级数的收敛半径33R =,收敛域(-33,33). (2) 111ππsin122lim lim lim ππ2sin 22n n n n n n nnna a ρ+++→∞→∞→∞==== 故12R ρ==,又∵πsinπ2limsin 2lim ππ0π22n n n n n n→∞→∞⋅==≠.所以当(x +1)=±2时,级数()1πsin12n n n x ∞=+∑发散, 从而原级数的收敛域为-2<x +1<2,即-3<x <1,即(-3,1)(3) ()212121lim lim 221n n n n n na n a n ρ++→∞→∞⋅===⋅+ ∴2R =,收敛区间-2<x -1<2,即-1<x <3. 当x =-1时,级数变为()2111nn n∞=-∑,其绝对收敛,当x =3时,级数变为211n n ∞=∑,收敛. 因此原级数的收敛域为[-1,3]. 23.将函数()0arctan d xtF t x t=⎰展开成x 的幂级数. 解:由于()21arctan 121n nn t t n +∞==-+∑306所以()()()()()20002212000arctan d d 121d 112121nxx n n n n xnnn n t t F t t x t n t x t n n ∞=+∞∞====-+==--++∑⎰⎰∑∑⎰(|x |≤1)24.判别下列级数在指定区间上的一致收敛性:(1)()113n nn x ∞=-+∑,x ∈[-3,+∞); (2)1n n n x ∞=∑,x ∈(2,+∞); (3)()()222211n nx x n n ∞=⎡⎤+++⎣⎦∑,x ∈(-∞,+∞);解:(1)考虑n ≥2时,当x ≥-3时,有()1111133333nn n n nx x --=<<+-+ 而1113n n ∞-=∑收敛,由魏尔斯特拉斯判别法知,级数()113nnn x ∞=-+∑在[-3,+∞)上一致收敛. (2)当x >2时,有2n nn nx=< 由1112lim 122n n nn n +→∞+=<知级数12n n n ∞=∑收敛,由魏尔斯特拉斯判别法知,级数1n n nx ∞=∑在(2,+∞)上一致收敛. (3)∀x ∈R 有()()()22224322111nn n x n n nx n n n ≤<=⎡⎤+⋅+++⎣⎦而311n n ∞=∑收敛,由魏尔斯特拉斯判别法知,级数()()222211n n x x n n ∞=⎡⎤+++⎣⎦∑在(-∞,+∞)上一致收敛. 25.求下列级数的和函数:307(1)()211121n n n x n ∞-=--∑; (2)2121n n x n +∞=+∑; (3)()11!1n n nxn ∞-=-∑; (4)()11n n x n n ∞=+∑.解:(1)可求得原级数的收敛半径R =1,且当|x |=1时,级数()111121n n n ∞-=--∑是收敛的交错级数,故收敛域为[-1,1] 记()()()()22111111112121n n n n n n x x S x xS x x n n -∞∞--=====----∑∑ 则S 1(0)=0,()()122121111n n n S x x x∞--='==-+∑ 所以()()1121d arctan 01xS S x x x x-==+⎰ 即S 1(x )=arctan x ,所以S (x )=x arctan x ,x ∈[-1,1].(2)可求得原级数的收敛半径R =1,且当|x |=1时,原级数发散.记()21021n n x S x n +∞==+∑则()22011n n S x x x ∞='==-∑ ()200111d d ln 121xxx S x x x x x +'==--⎰⎰,即()()11ln 021xS S x x+-=-,S (0)=0 所以()11ln 21xS x x+=-,(|x |<1)(3)由()11!lim lim 0!1n n n n n a n n a n +→∞→∞+==-知收敛域为(-∞,+∞).记()()11!1n n n S x x n ∞-==-∑则()()()1011d e !!11nn xx n n x x S x x x x n n -∞∞=====--∑∑⎰,所以()()()e 1e x x S x x x '==+,(-∞<x <+∞)(4)由()()()112lim111n n n n n →∞++=+知收敛半径R =1,当x =1时,级数变为308()111n n n ∞=+∑,由()2111n n n <+知级数收敛,当x =-1时,级数变为()()111n n n n ∞=-+∑是收敛的交错级数,故收敛域为[-1,1].记()()11nn x S x n n ∞==+∑则S (0)=0,()()111n n x xS x n n +∞==+∑,()[]1111n n x xS x x∞-=''==-∑ (x ≠1) 所以()[]()0d ln 1xxS x x x ''=--⎰ 即()[]()ln 1xS x x '=--()[]()()()00d ln 1d 1ln 1xxxS x x x x x x x '=--=--+⎰⎰ 即()()()1ln 1xS x x x x =--+当x ≠0时,()()111ln 1S x x x⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭,又当x =1时,可求得S (1)=1(∵()1lim lim 111n n S x n →∞→∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭) 综上所述()()[)()0,01,1111ln 1,1,00,1x S x x x x x =⎧⎪==⎪⎨⎛⎫⎪+--∈- ⎪⎪⎝⎭⎩ 26.设f (x )是周期为2π的周期函数,它在(-π,π]上的表达式为()32π0,0π.x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩ 试问f (x )的傅里叶级数在x =-π处收敛于何值?解:所给函数满足狄利克雷定理的条件,x =-π是它的间断点,在x =-π处,f (x )的傅里叶级数收敛于()()[]()33ππ11π22π222f f -+-+-=+=+30927.写出函数()21π00πx f x x x --≤≤⎧=⎨<≤⎩的傅里叶级数的和函数. 解:f (x )满足狄利克雷定理的条件,根据狄利克雷定理,在连续点处级数收敛于f (x ),在间断点x =0,x =±π处,分别收敛于()()00122f f -++=-,()()2πππ122f f -++-=,()()2πππ122f f -+-+--=,综上所述和函数.()221π00π102π1π2x x x S x x x --<<⎧⎪<<⎪⎪=-=⎨⎪⎪-=±⎪⎩28.写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数,其中f (x )在[-π,π)上的表达式为:(1)()π0π,4ππ0;4x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩(2)()()2πx π=-≤≤f x x ;(3)()ππ,π,22ππ,,22ππ,π;22⎧--≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎩x f x x x x (4)()()cosππ2=-≤≤x f x x .310解:(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件,x =n π,n ∈z 是其间断点,在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于()()ππ0044022f f +-⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==,在x ≠n π,有()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx xn n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n x n ∞==--∑(x ≠n π) (2)函数f (x )在(-∞,+∞)上连续,故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f (x ),注意到f (x )为偶函数,从而f (x )cos nx 为偶函数,f (x )sin nx 为奇函数,于是()π-π1sin d 0πn b f x nx x ==⎰,2π20-π12πd π3a x x ==⎰,()()ππ22-π0124cos d cos d 1ππnn a f x nx x x nx x n ===-⋅⎰⎰ (n =1,2,…) 所以,f (x )的傅里叶级数展开式为:()()221π41cos 3nn f x nx n∞==+-⋅∑ (-∞<x <∞)(3)函数在x =(2n +1)π (n ∈z )处间断,在间断点处,级数收敛于0,当x ≠(2n +1)π时,由f (x )为奇函数,有a n =0,(n =0,1,2,…)311()()()πππ2π002222πsin d sin d sin d ππ212π1sin 1,2,π2n nb f x nx x x nx x nx x n n n n ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦=--+=⎰⎰⎰ 所以()()12112π1sin sin π2n n n f x nx n n ∞+=⎡⎤=-⋅+⎢⎥⎣⎦∑ (x ≠(2n +1)π,n ∈z )(4)因为()cos 2xf x =作为以2π为周期的函数时,处处连续,故其傅里叶级数收敛于f (x ),注意到f (x )为偶函数,有b n =0(n =1,2,…),()()ππ-π0π0π1212cos cos d cos cos d π2π2111cos cos d π2211sin sin 12211π224110,1,2,π41n n x xa nx x nx xn x n x x n x n x n n n n +==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰所以f (x )的傅里叶级数展开式为:()()12124cos 1ππ41n n nxf x n ∞+==+--∑ x ∈[-π,π]29.将下列函数f (x )展开为傅里叶级数: (1)()()πππ42x f x x =--<<(2)()()sin 02πf x x x =≤≤解:(1) ()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰[]()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx x nx n n--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰312()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nxf x n∞==+-∑ (-π<x <π)(2)所给函数拓广为周期函数时处处连续, 因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f (x ),注意到f (x )为偶函数,有b n =0,()ππ0πππ011cos0d sin d ππ24sin d ππa f x x x x x x x --====⎰⎰⎰ ()()()()()()ππ0ππ02222cos d sin cos d ππ1sin 1sin 1d π211π10,1,3,5,4,2,4,6,π1n na f x nx x x nx x n x n x x n n n n -===+--⎡⎤⎣⎦-⎡⎤=+-⎣⎦-=⎧⎪-=⎨=⎪-⎩⎰⎰⎰所以()()2124cos2ππ41n nxf x n ∞=-=+-∑ (0≤x ≤2π) 30.设f (x )=x +1(0≤x ≤π),试分别将f (x )展开为正弦级数和余弦级数. 解:将f (x )作奇延拓,则有a n =0 (n =0,1,2,…)()()()()ππ0022sin d 1sin d ππ111π2πn nb f x nx x x nx x n==+--+=⋅⎰⎰从而()()()1111π2sin πnn f x nx n∞=--+=∑ (0<x <π)313若将f (x )作偶延拓,则有b n =0 (n =1,2,…)()()ππ00222cos d 1cos d ππ0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx x n n n ==+=⎧⎪=-⎨=⎪⎩⎰⎰ ()()ππ0π012d 1d π2ππa f x x x x -==+=+⎰⎰ 从而()()()21cos 21π242π21n n xf x n ∞=-+=--∑ (0≤x ≤π) 31.将f (x )=2+|x | (-1≤x ≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和. 解:f (x )在(-∞,+∞)内连续,其傅里叶级数处处收敛,由f (x )是偶函数,故b n =0,(n =1,2,…)()()11010d 22d 5a f x x x x -==+=⎰⎰()()()1112cos d 22cos d 0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx xn n n -==+=⎧⎪-=⎨=⎪⎩⎰⎰所以()()()221cos 21π542π21n n xf x n ∞=-=--∑,x ∈[-1,1]取x =0得,()2211π821n n ∞==-∑,故 ()()22222111111111π48212n n n n n n n n ∞∞∞∞=====+=+-∑∑∑∑ 所以211π6n n∞==∑31432.将函数f (x )=x -1(0≤x ≤2)展开成周期为4的余弦级数.解:将f (x )作偶延拓,作周期延拓后函数在(-∞,+∞)上连续,则有b n =0 (n =1,2,3,…)()()220201d 1d 02a f x x x x -==-=⎰⎰ ()()()222022221ππcos d 1cos d 2224[11]π0,2,4,6,8,1,3,5,πn nn x n xa f x x x x n n n n -==-=--=⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰ 故()()()22121π81cos π221n n xf x n ∞=-=-⋅-∑(0≤x ≤2)33.设()()011,0,2cos π1222,1,2n n x x a f x s x a n x x x ∞=⎧≤≤⎪⎪==+⎨⎪-<<⎪⎩∑,-∞<x <+∞,其中()12cos πd n a f x n x x =⎰,求52s ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 解:先对f (x )作偶延拓到[-1,1],再以2为周期延拓到(-∞,+∞)将f (x )展开成余弦级数而得到 s (x ),延拓后f (x )在52x =-处间断,所以515511122222221131224s f f f f +-+-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎛⎫=+= ⎪⎝⎭34.设函数f (x )=x 2(0≤x <1),而()1s i n πn n s x b nx ∞==∑,-∞<x <+∞,其中()12sin πd n b f x n x x =⎰ (n =1,2,3,…),求12s ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 解:先对f (x )作奇延拓到,[-1,1],再以2为周期延拓到(-∞,+∞),并将315f (x )展开成正弦级数得到s (x ),延拓后f (x )在12x =-处连续,故.211112224s f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 35.将下列各周期函数展开成为傅里叶级数,它们在一个周期内的表达式分别为:(1)f (x )=1-x 2 1122x ⎛⎫-≤< ⎪⎝⎭;(2)()21,30,1,0 3.x x f x x +-≤<⎧=⎨≤<⎩解:(1) f (x )在(-∞,+∞)上连续,故其傅里叶级数在每一点都收敛于f (x ),由于f (x )为偶函数,有b n =0 (n =1,2,3,…)()()112221002112d 41d 6a f x x x x -==-=⎰⎰, ()()()()112221021222cos2n πd 41cos2n πd 11,2,πn n a f x x x x x x n n -+==--==⎰⎰所以()()12211111cos 2π12πn n f x n x n +∞=-=+∑ (-∞<x <+∞)(2) ()()303033011d 21d d 133a f x x x x x --⎡⎤==++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰, ()()()()330330221πcos d 331π1π21cos d cos d 3333611,1,2,3,πn nn xa f x x n x n x x x x n n --==++⎡⎤=--=⎣⎦⎰⎰⎰316()()()()33033011πsin d 331π1π21sin d sin d 333361,1,2,πn n n xb f x x n x n x x x x n n --+==++=-=⎰⎰⎰ 而函数f (x )在x =3(2k +1),k =0,±1,±2,…处间断,故()()()122116π6π11cos 1sin 2π3π3n n n n x n x f x n n ∞+=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑ (x ≠3(2k +1),k =0,±1,±2,…)36.把宽为τ,高为h ,周期为T 的矩形波(如图所示)展开成傅里叶级数的复数形式.解:根据图形写出函数关系式()0,22,220,22T t u t h t T t ττττ⎧-≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤≤⎪⎩()()22022111d d d 2T l T l h c u t t u t t h t l T T Tτττ---====⎰⎰⎰ ()()π2π222π2π22222π2211e d e d 212πe d e d 2ππsin e 2ππn T n i t l i t l T T n l n n i t i t T T n i t T c u t t u t tl T h T n h t i t T T n i T h h n n i n T τττττττ----------==-⎛⎫⎛⎫==⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎡⎤=-= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰⎰。
高等数学(上) 第一章 函数与极限1. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x , 求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6sin )6(ππϕ=21= 224sin )4(==ππϕ()0222)4sin()4(==-=-ϕππϕ2. 设()x f 的定义域为[]1,0,问:⑴()2x f ; ⑵()x f sin ; ⑶()()0>+a a x f ; ⑷()()a x f a x f -++ ()0>a 的定义域是什么?(1)][;,-的定义域为所以知-11)(,111022x f x x ≤≤≤≤ []ππππ)12(,2)(sin ),()12(21sin 0)2(+∈+≤≤≤≤k k x f Z k k x k x 的定义域为所以知由][a a a x f a x a a x -+-≤≤≤+≤1,)(110)3(-的定义域为所以知-由][φ时,定义域为当时,定义域为当从而得-知由211,210111010)4(>-≤<⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a a a a a x a a x a a x a x3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ,()x e x g =,求()[]x g f 和()[]x f g ,并做出这两个函数的图形。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=-1,1,11,)]([.)20,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([.)11)(x e x x e e x f g x x x x g f x g x g x g x g f x f 从而得4. 设数列{}n x 有界, 又,0lim =∞→n n y 证明: .0lim =∞→n n n y x{}结论成立。
习题4-11. 利用定义计算下列定积分: 定积分 定积分的概念定积分的定义(1) d ();b ax x a b <⎰ 10(2)e d .x x ⎰解:(1)将区间[a , b ]n 等分,分点为(), 1,2,,1;i i b a x a i n n-=+=-L 记每个小区间1[,]i i x x -长度为,i b ax n-∆=取, 1,2,,,i i x i n ξ==L 则得和式211()2(1)()[()]()2nni i i i i b a b a n n f x a b a a b a n n n ξ==--+∆=+-⋅=-+∑∑ 由定积分定义得220122()(1) d lim ()lim[()]21().2nbi i an i b a n n x x f x a b a nb a λξ→→∞=-+=∆=-+=-∑⎰(2) 将区间[0, 1] n 等分,分点为 (1,2,,1),i i x i n n ==-L 记每个小区间长度1,i x n∆=取 (1,2,,),i i x i n ξ==L 则和式111()innni i i i f x enξ==∆=∑∑ 12101111111e d lim e lim (e e e )1e (1e )1e (e 1)limlim 1e e 11e (e 1)1lim e 1.1i nn xn n n n n n i n n n nn n n n n x n n n nn n n →∞→∞=→∞→∞→∞==+++--==---==-∑⎰L2. 利用定积分概念求下列极限:定积分 定积分的概念定积分的定义111(1)lim 122n n n n →+∞⎛⎫+++ ⎪++⎝⎭L ;21(2)lim n n →+∞+L解:(1)原式110011111lim d ln 2.ln(1)121111n x x n n xnn n →+∞⎛⎫+++⎪=⋅===++++ ⎪+⎝⎭⎰L (2)原式13200122lim ..33n x x n →+∞====⎰L 3. 用定积分的几何意义求下列积分值:定积分 定积分的概念定积分的定义10(1)2 d x x ⎰;(2)(0)x R >⎰.解:(1)由几何意义可知,该定积分的值等于由x 轴、直线x =1、y =2x 所围成的三角形的面积,故原式=1.(2) 由几何意义可知,该定积分的值等于以原点为圆心,半径为R 的圆在第一象限内的面积,故原式=21π4R . 4. 证明下列不等式: 定积分 定积分的性质定积分的性质2e 22e(1)e e ln d 2(e e)x x -≤≤-⎰; 21(2)1e d e.x x ≤≤⎰证明:(1)当2e e x ≤≤时,2ln e ln ln e ,x ≤≤即1ln e.x ≤≤由积分的保序性知:222e e e e eed ln d 2d x x x x ≤≤⎰⎰⎰即 2e 22ee e ln d 2(e e).x x -≤≤-⎰(2) 证明:当0 1.x ≤≤时,21e e,x ≤≤ 由积分的保序性知:2111d e d ed x x x x ≤≤⎰⎰⎰即211e d e.x x ≤≤⎰5. 证明:(1) 12lim 0;nn x →∞=⎰(2) π40lim sin d 0.n n x x →∞=⎰定积分定积分的性质 定积分的性质 定积分定积分的性质 积分中值定理证明:(1) 当102x ≤≤时,0,n n x ≤≤于是1112200110d (),12n n x x n +≤≤=⋅+⎰⎰ 而111lim()0,12n n n +→∞⋅=+由夹逼准则知:12lim 0.nn x →∞=⎰(2) 由中值定理得π440ππsin d sin (0)sin ,44n n x x ξξ=⋅-=⎰其中π0,4ξ≤≤故π4πlim sin d lim sin 0 ( 0sin 1).4n n n n x x ξξ→∞→∞==≤<⎰Q习题4-21. 计算下列定积分: 定积分 定积分的计算微积分学基本定理3(1)x ⎰; 221(2)d x x x --⎰;π(3)()d f x x ⎰,其中π,0,2()πsin ,π;2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩;222(4)max{1,}d x x -⎰;(5)x .解:(1)原式43238233x ==-(2)原式01222211()d ()d ()d x x x x x x x x x -=-+-+-⎰⎰⎰01232233210111111132233251511.6666x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++= (3)原式πππ2π222π0π221πd sin d cos 1.28x x x x xx=+=-=+⎰⎰(4)原式121122233211212011d d d 2.333x x x x x x x -----=++=++=⎰⎰⎰(5)原式πππ242π04d (cos sin )d (sin cos )d sin cos x x x x x x x x x ==-+--⎰⎰⎰ππ24π04(sin cos )(cos sin )1).x x x x =++--=2. 计算下列导数: 定积分 定积分积分法复合函数求导法20d (1)d x t x ⎰;32d (2)d x x x ⎰解:(1)原式2=(2)原式32200d d d d x x x x =-=⎰⎰3. 求由参数式2020sin d cos d t tx u uy u u⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定的函数y 对x 的导数d d y x .定积分 定积分积分法 复合函数求导法解:222d d cos d cot .d d sin d yy t t t x x tt=== 4. 求由方程e d cos d 0yxt t t t +=⎰⎰所确定的隐函数()y y x =的导数.定积分 定积分积分法 复合函数求导法解:方程两边对x 求导,有e cos 0y y x '⋅+=又 e 1sin yx =- 故 cos sin 1xy x '=-.5. 求下列极限: 定积分 定积分积分法微积分学基本定理2030ln(12)d (1)lim xx t t x →+⎰; 2220020e d (2)lim e d x t xx t t t t→⎡⎤⎣⎦⎰⎰.解: (1)原式21222300ln(12)22lim lim ln(12).333x x x x x x →→+==+=(2)原式2222222002e d e e d 1lim2lim2lim2.12e e xxt xt xxx x x t tx x x →→→⋅====+⎰⎰6. a , b , c 取何实数值才能使201lim sin x bx t c x ax →=-⎰ 成立.定积分 定积分积分法 复合函数求导法解:因为0x →时,sin 0x ax -→而该极限又存在,故b =0.用洛必达法则,有220000,1,lim lim 2cos cos lim 2, 1.sin x x x a x x x x a x a a x→→→≠⎧⎪==⎨--=-=⎪-⎩ 所以 1,0,2a b c ===- 或 1,0,0a b c ≠==.习题4-31. 利用基本积分公式及性质求下列积分:不定积分 求不定积分的方法基本积分公式2(1)5)d x x -;解:原式51732222210d 5d 73x x x x x x c =-=-+⎰⎰. (2)3e d x x x ⎰;解:原式=(3e)(3e)d .ln(3e)xxx c =+⎰23(3)d ;1x x ⎛ +⎝⎰ 解:原式=321d 23arctan 2arcsin .1x x x x c x -=-++⎰22(4)d ;1x x x +⎰解:原式=22211d d d arcsin .11x xx x x x c x x +-=-=-+++⎰⎰⎰ 2(5)sin d 2x x ⎰; 解:原式=1cos 1d sin .222x x x x c -=-+⎰21(6);1x x ⎛- ⎝⎰解:原式=357144444d d 4.7x x x x x x c ---=++⎰⎰2d (7);x x⎰解:原式=21d x x c x-=-+⎰.(8);x ⎰解:原式=35222d 5x x x c =+⎰.(9)解:原式=25322d 3x x x c --=-+⎰.2(10)(32)d ;x x x -+⎰解:原式=32132.32x x x c -++ 422331(11)d ;1x x x x +++⎰解:原式=23213d d arctan .1x x x x x c x +=+++⎰⎰ 3(12)d 2e x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰;解:原式=2e 3ln .xx c ++(13)e d ;1x xx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰解:原式=e d d e 2.xx x x x c x-=-+⎰⎰2352(14)d ;3x xxx ⋅-⋅⎰ 解:原式=5222d 5d 2233ln 3x xx x x c ⎛⎫⎛⎫-=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰. (15)sec (sec tan )d x x x x -⎰;解:原式=2sec d sec tan d tan sec x x x x x x x c -=-+⎰⎰.1(16)d 1cos 2x x+⎰;解:原式=22111d sec d tan 2cos 22x x x x c x ==+⎰⎰.cos 2(17)d cos sin xx x x-⎰;解:原式=(cos sin )d sin cos .x x x x x c +=-+⎰22cos 2(18)d cos sin xx x x ⎰.解:原式=2211d d cot tan .sin cos x x x x c xx -=--+⎰⎰ 2. 一平面曲线过点(1,0),且曲线上任一点(x , y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程. 不定积分 求不定积分的方法 基本积分公式 解:依题意知:22y x '=- 两边积分,有22y x x c =-+又x =1时,y =0代入上式得c =1,故所求曲线方程为221y x x =-+. 3. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数,使等式成立.不定积分 求不定积分的方法 基本积分公式(1)()2(1)xdx d x =-;(2)()22x xx dx d e e =;(3)()(35ln )d xx xd -=; (4)()33(1)x x a a dx d =-;(5)()sin3cos3xdx d x=;(6)()2cos5tan5dxxd x =;(7)()221ln1x x ddx x=--;(8)()l2552ndd xxx=--;()(1arcs in)d x-=;(10)()2arcta9n13ddxxx=+;(11)()()2(3)(3)4dx dx x=---;(12)()22(1)x xx de d e--+=. 4.利用换元法求下列积分:不定积分求不定积分的方法基本积分公式2(1)cos()dx x x⎰;解:原式=22211cos d sin.22x x x c=+⎰(2)x;解:原式=12333(sin cos)d(sin cos)(sin cos).2x x x x x x c---=-+⎰2d(3)21xx-⎰;解:原式=1d112x c=+-+⎰.c=+3(4)cos d x x⎰;解:原式=231(1sin)dsin sin sin.3x x x x c-=-+⎰(5)cos cos d2xx x⎰;解:原式=1133d sin sin.cos cos232222xxx x cx⎛⎫=+++⎪⎝⎭⎰(6)sin2cos3dx x x⎰;解:原式=111(sin5sin)d cos cos5.2210x x x x x c-=-+⎰2arccos(7)xx;解:原式=2arccos 2arccos 1110d(2arccos )10.22ln10xx x c -=-⋅+⎰ 21ln (8)d (ln )xx x x +⎰;解:原式=21(ln )d(ln ).ln x x x x c x x-=-+⎰(9)x ;解:原式=2.c =+⎰ln tan (10)d cos sin xx x x⎰;解:原式=21ln tan d(ln tan )(ln tan ).2x x x c =+⎰5(11)e d x x -⎰;解:原式=51e5xc --+.d (12)12xx -⎰; 解:原式=1ln .122c x -+-(13)t;解:原式=.c =-⎰102(14)tan sec d x x x ⎰;解:原式=10111tan d(tan )tan .10x x x c =+⎰2d (15)ln xx x⎰;解:原式=21(ln )d(ln ).ln x x c x--=+⎰(16)tan x ⎰;解:原式=ln .cos c =-+⎰d (17)sin cos xx x⎰;解:原式=2d d tan ln .tan tan cos tan x xc x x x x ==+⎰⎰2(18)e d x x x -⎰;解:原式=22211e d()e .22x x x c ----=-+⎰ 10(19)(4)d x x +⎰;解:原式=111(4)11x c ++. (20)解:原式=123311(23)d(23)(23)32x x x c ----=--+⎰.2(21)cos()d x x x ⎰;解:原式=2211sin()sin().22d x x c =+⎰(22)x ; 解:原式=122222d 1()d()2x x a a x a x -⎛⎫ ⎪=---⎰arcsin .xa c a =⋅d (23)e ex x x-+⎰;解:原式=2d(e )arctane .1(e )x x x c =++⎰ ln (24)d xx x⎰; 解:原式=21ln d(ln )(ln ).2x x x c =+⎰23(25)sin cos d x x x ⎰;解:原式=223511sin (1sin )d(sin )sin sin .35x x x x x c -=-+⎰(26);解:原式32tan 444sec cos 1sin d d d(sin )tan sin sin x tt t tt t t t t t =-==⎰⎰⎰令311,3sin sin c t t=-++又cos t t ==故上式.c =(27)⎰;d ln |1|ln(1.1tt t t c c t =-++=+++(28) d ;x x⎰解:原式3sec 223tan d 3(sec 1)d 3tan 3x tt t t t t t c ==-=-+⎰⎰令,又3tan arccos ,t t x ===故上式33arccosc x+.(29);解:原式2tan 3sec d cos d sin sec x ttt t t t c t ===+⎰⎰令,又sec t 所以sin t =,故上式c =+.(30)解:原式sin cos d sin cos x ttt t t =+⎰令① sin d sin cos tt t t +⎰②① + ② 1t c =+ ② - ① 2 l n sin cos t t c =++ 故cos 1d ln sin cos sin cos 2211arcsin ln .22t t t ct t t t x c x =++++=++⎰5. 用分部积分法求下列不定积分:不定积分 求不定积分的方法分部积分法2(1)sin d x x x ⎰;解:原式=222dcos cos 2cos d cos 2dsin x x x x x x x x x x x -=-+⋅=-+⎰⎰⎰2cos 2sin 2cos .x x x x x c =-+++(2)e d x x x -⎰;解:原式=de e e d e e .x x x x x x x x x c ------=-+=--+⎰⎰(3)ln d x x x ⎰;解:原式=222211111ln d ln d ln 22224x x x x x x x x x c ⋅=-=-+⎰⎰. 2(4)arctan d x x x ⎰;解:原式=3332111arctan d arctan d 3331x x x x x x x=-+⎰⎰ 322111arctan ln(1).366x x x x c =-+++ (5)arccos d x x ⎰;解:原式=arccos arccos x x x x x c +=.2(6)tan d x x x ⎰;解:原式=22211(sec 1)d d tan tan tan d 22x x x x x x x x x x x -=-=--⎰⎰⎰ 21tan ln .cos 2x x x c x =+-+(7)e cos d x x x -⎰;解:e cos d e dsin e sin e sin d x x x x x x x x x x ----==⋅+⎰⎰⎰e sin e dcos e sin e cos e cos d x x x x x x x x x x x -----=-=--⎰⎰∴原式=1e (sin cos ).2xx x c --+ (8)sin cos d x x x x ⎰;解:原式=1111sin 2d d cos 2cos 2cos 2d 2444x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰ 11cos 2sin 248x x x c =-++.32(ln )(9)d x x x⎰; 解:原式=332111(ln )d (ln )3(ln )d x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 32131(ln )(ln )6ln d x x x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰321366(ln )(ln )ln .x x x c x x x x=----+(10)x .解:原式tan 23sec d .x a ta t t =⎰又32sec d sec (tan 1)d tan d(sec )sec d t t t t t t t t t =+=+⎰⎰⎰⎰ 3tan sec sec d ln sec tan t t t t t t =⋅-++⎰所以 311sec d tan sec ln sec tan 22t t t t c t t '=+++⎰故11ln .22x c x =+6. 求下列不定积分:不定积分 求不定积分的方法分部积分法221(1)d (1)(1)x x x x ++-⎰;解:原式=2111111d ln ln 1122122(1)(1)(1)x c x x x x x x ⎛⎫ ⎪-=++++-++ ⎪+++-⎝⎭⎰ 211ln .112c x x =++-+ 33d (2)1x x +⎰;解:原式=22211112d ln ln d 1122111x x x x x x x x x x x -+⎛⎫=-+++-+⎪-++-+⎝⎭⎰⎰c =+. 5438(3)d x x x x x+--⎰; 解:原式=2843d 111x x x x x x ⎛⎫+++-- ⎪+-⎝⎭⎰ 32118ln 4ln 3ln .1132x x x c x x x =+++--++- 26(4)d 1x x x +⎰;解:原式=33321d()1arctan .31()3x x c x =++⎰ sin (5)d 1sin xx x +⎰;解:原式=222sin 1d tan d (sec 1)d sec tan .cos cos x x x x x x x x x c x x-=--=-++⎰⎰⎰ cot (6)d sin cos 1xx x x ++⎰;解:原式22tan 222222212d 1111111d d d 22(1)22211111x t t t t t t t t t t t t t t t t t t =-⋅-++==-+⎛⎫-++⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰令1111ln ln tan .tan 222222x x t c c t =-+=-+(7)x ;解:原式=2.c =+(8)x ;解:原式=2d 2ln 21x x x x x ⎛=+-+⎝⎰ 又2x2221d 44d 11t t t t t t =+--⎰⎰142ln1t t c c t -''=++=++故原式=1)x c -+.习题4-4利用计分表,计算下列不定积分: (1)2sin3d x e x x -⎰;解:由积分表(十三)中公式(128)得()()()222221sin 32sin 33cos32312sin 33cos313x xxe xdx e x x C e x x C ---=--+-+=-++⎰(2)x ; 解:令u =,则dx =,由积分表(六)中公式(39)得(9ln 2ln 4u C C⎤==+⎥⎦=++(3)arcsin d 2xx x ⎰;()()2221142arcsin sin 22421arcsin 22x x x x dx acr C x x C⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰由积分表十二中公式得(4);()()12,,45211ln 221ln 22x u dx du u C x C ==⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦=++令则由积分表七中公式得(5)()21d 1x x x -⎰;()()()2261111ln 11111ln xdx C x x x x xCx x--=-++--=--+⎰g 由积分表一中公式得(6)x ; ()()51111arccos arccos 1C Cx x =+=+由积分表七中公式得(7)x x ⎰;()()((256121ln .88x xx x C =-++⎰由积分表七中公式得(8)x ;()()().5961=arcsin .x C ==-+⎰⎰Q 由积分表八中公式和得(9)x ;()()12,3721313ln 32u x dx du C C x=====+令则,由积分表六中公式得(10)4sin d x x ⎰.()()432339513sin sin cos sin 441311sin cos sin cos 4422133sin cos sin cos 488xdx x x xdx x x x x dx x x x x x C=-+⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦=--++⎰⎰⎰由积分表十一中公式得习题4-51. 利用被积函数奇偶性,计算下列积分值(其中a 为正常数) 定积分 定积分的计算 微积分学基本定理(1)sin d ;||aa xx x -⎰解:因sin ||xx 为[-a , a ]上的奇函数, 故sin d 0.||a a xx x -=⎰(2)ln(a ax x -+⎰;解:因为ln(ln(x x -=-即被积函数为奇函数,所以原式=0.12212sin tan (3)d ln(1)3cos3x x x x x -⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦⎰;解:因为2sin tan 3cos3x xx+为奇函数,故原式=111222111222d 0ln(1)d ln(1)1xx x x x x x---++-=--⎰⎰()121231ln 3ln 2 1.ln 3ln 2ln(1)22x x -==----+-π242π23(4)sin d sin ln 3x x x x x -+⎛⎫+ ⎪-⎝⎭⎰.解:因为3ln3xx+-是奇函数,故 原式=ππ6622π02531π5sin d 2sin d 2π642216x x x x -==⋅⋅⋅⋅=⎰⎰2. 计算下列积分: 定积分 定积分的计算 ??此处更细还需看(1)1x -⎰;2e 1(2)⎰;π40sin (3)d 1sin xx x+⎰;0(4)x ⎰;231(5)ln d x x x ⎰; π220(6)e cos d x x x ⎰;322d (7)2x x x +-⎰;21(8)x ⎰; ππ3π(9)sin d 3x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰; 2120(10)e d t t t -⎰;π22π6(11)cos d u u ⎰.解:(1)()()()()111111311122115451415441554541616125542541631616xx xx x----------=-=-+=---=---=⎰⎰⎰⎰⎰⎰g g(2)原式=221e211).(1ln)d(1ln)x x-=++=⎰(3)原式=πππ244422000sin(1sin)sind d tan dcos cosx xx x x xx x-=-⎰⎰⎰π4π12.tan4cosx xx⎛⎫==+-+⎪⎝⎭(4)原式=πππ2π0002d cos d cos dcosx x x x x xx==⎰⎰ππ2π02x x==(5)原式=22243411111151ln d d4ln2.ln44164x x x xx x=-=-⎰⎰(6)ππππ22222222000e cos d e dsin e sin2e sin dx x x xx x x x x x==⋅-⎰⎰⎰πππ2π2π222200e2e d cos e2e cos4e cos dx x xx x x x=+=+-⎰⎰所以,原式=π1(e2)5-.(7)原式=3322111111d ln ln2ln5.333122xxx x x-⎛⎫==--⎪-++⎝⎭⎰(8)原式11611d6d(1)t1t tt t t⎫=-⎪++⎝⎭()67ln 26ln ln ln(1)1t t ==--+(9)原式ππ3πcos 03x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭ (10)原式=2212122ed e 12t t t --⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭⎰(11)原式=ππ22ππ661π11(1cos 2)d sin 22624u u u u ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭⎰3. 证明:2321()d ()d 2aa x f x x xf x x =⎰⎰ (a 为正常数);定积分 定积分的计算 换元法证明:左222222000111()d()()d ()d 222a a a x t x f x x tf t t xf x x ====⎰⎰⎰ 令右所以,等式成立.4. 证明:ππ2200sin cos πd d sin cos sin cos 4x x x x x x x x ==++⎰⎰,并由此计算0a⎰(a 为正常数)定积分 定积分的计算换元法证明:ππ2200sin cos d d sin cos sin cos x xx x x x x x=++⎰⎰又 πππ222000sin cos πd d d .sin cos sin cos 2x x x x x x x x x +==++⎰⎰⎰故等式成立.a⎰πsin 20cos πd .sin cos 4x a tx t t t ==+⎰令5. 已知201(2),(2)0,()d 12f f f x x '===⎰, 求120(2)d x f x x ''⎰.定积分定积分积分法分部积分法解:原式=11122000111d (2)2(2)d (2)222x f x xf x x x f x ''='-⎰⎰11100012001111(2)d (2)0(2)d (2)22221111(2)(2)d(2)1()d 1402444f x f x f x x xf x f f x x f t t '=-=-+=-+=-+=-+⨯=⎰⎰⎰⎰习题4-61. 用定义判断下列广义积分的敛散性,若收敛,则求其值: 定积分 反常积分 反常积分的计算:定积分的计算22π11(1)sin d x x x+∞⎰; 解:原式=22ππ1111lim sin d lim coslim cos1.b bb b b x bx x →+∞→+∞→+∞⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎰ 2d (2);22xx x +∞-∞++⎰解:原式=02200d(1)d(1)arctan(1)arctan(1)(1)1(1)1x x x x x x +∞+∞-∞-∞+++=+++++++⎰⎰πππππ.4242⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭ 0(3)e d n x x x +∞-⎰(n 为正整数)解:原式=100e d deen x n xn xn x x x x +∞+∞+∞----+-=-⎰⎰100e d !e d !n xx n x x n x n +∞+∞---=+===⎰⎰L(4)(0)aa >⎰;解:原式=000πlim lim arcsin lim arcsin .12a a xa a εεεεεε+++--→→→⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰e1(5)⎰;解:原式=()e e 0110πlim arcsin(ln )lim lim arcsin .ln(e )2x εεεεεε+++--→→→===-⎰1(6)⎰.解:原式=1120+⎰22122111202lim 2lim πππlim lim 2222π.424εεεεε++-→→→→=⎛⎫=+=⋅+=- ⎪⎝⎭⎰2. 讨论下列广义积分的敛散性:定积分 定积分的计算 反常积分的计算:定积分的计算2d (1)(ln )kxx x +∞⎰; 解:原式=2122112,1ln(ln )1d(ln ),1(ln )1(ln )1(ln 2),1(ln )11k kkk k x x k x k x k x kk +∞+∞-+∞-+∞-⎧=∞=⎪⎪⎪=∞<=⎨-⎪⎪=>⎪--⎩⎰ 故该广义积分当1k >时收敛;1k ≤时发散.d (2)()()bkaxb a b x >-⎰.解:原式=1100011lim ()()1,1lim ()d()1lim 1ln()b k k b a k a b a k b x b a k k b x b x k k b x εεεεεε+++-----→→-→⎧>⎧⎪⎪=-⎨--⎪-<---=⎪⎨-⎩⎪⎪-=-⎩⎰ 发散,发散, 综上所述,当k <1时,该广义积分收敛,否则发散. 3. 已知0sin πd 2x x x +∞=⎰,求:定积分 定积分的计算反常积分的计算:定积分的计算sin cos (1)d ;x xx x+∞⎰220sin (2) d .x x x +∞⎰ 解:(1)原式=001sin(2)1sin πd(2)d .2224x t x t x t +∞+∞==⎰⎰ (2)222002200200020000sin 1cos 2d d 21cos 2d d 22111d cos 2d 2211111d cos 2dcos2222111sin 2cos 2d2222ππ0.22xx x xx x x x x x x x x x xx x x x x xx x xx x x +∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞-==-=+=+⋅-⎡⎤=-+⋅+⎢⎥⎣⎦=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 证明:无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式,即节第六节定理2. 定积分 反常积分 反常积分敛散性定理 证明:如果|()|lim0()x f x g x ρ→+∞=≠,那么对于ε(使0ρε->),存在x 0,当0x x ≥时|()|0()f xg x ρερε<-<<+ 即 ()()|()|()()g x f x g x ρερε-<<+ 成立,显然()d ag x x +∞⎰与|()|d af x x +∞⎰同进收敛或发散.如果0ρ=,则有|()|()f x g x ε<, 显然()d ag x x +∞⎰收敛, 则|()|d af x x +∞⎰亦收敛.如果ρ=+∞,则有|()|()()f x g x ρε>-,显然()d ag x x +∞⎰发散,则|()|d af x x +∞⎰亦发散.习题四1.填空题(1)设40ln sin d I x x π=⎰,40ln cot d J x x π=⎰,40ln cos d K x x π=⎰,则,,I J K 的大小关系是 I K J << . 定积分 定积分积分法 牛顿莱布尼兹公式 (2)设2x e -是函数()f x 的一个原函数,则(2)d f x x =⎰2412x e C -+ .定积分 定积分的计算 换元法(3)设[]x 表示不超过x 的最大整数,则定积分[]()2012d x x x -⎰的值是多少 1006 .定积分 定积分的计算 牛顿莱布尼兹公式(4)已知函数()f x ,则1()()d f x f x x '''⎰的值为14.定积分定积分的计算复合函数求导法(5)反常积分220d (1)x x x +?+ò的值为 12.定积分 反常积分的计算定积分的计算2.选择题(1)设函数()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内皆可导,且()()f x g x <,则必有( A ).定积分定积分的性质定积分性质A.0lim ()lim ()x x x x f x g x →→< B.()()f x g x ''< C.d ()dg()f x x < D.()d ()d xxf t tg t t <⎰⎰(2)下列定积分中,积分值不等于零的是( D ).定积分 定积分的计算A.20ln(sin x x π⎰B. 2cos 0sin(sin )d x e x x π⎰C.cos 2d x x ππ-⎰ D.2222sin cos d cos 2sin x xx x x ππ-++⎰(3)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,“⇔M N ”表示“M 的充分必要条件是N ”,则必有( A ). (05年全国考研题第(8)题)定积分 定积分基本公式 原函数定义A.()F x 是偶函数⇔()f x 是奇函数B.()F x 是奇函数⇔()f x 是偶函数 B.()F x 是周期函数()⇔f x 是周期函数 D.()F x 是单调函数()⇔f x 是单调函数 (4)设ln xx为()f x 的一个原函数,则()d xf x x '=⎰( D ).定积分定积分基本公式 原函数定义A.ln x C x + B.2ln 1x C x ++ C.1C x + D.12ln xC x x-+ (5)设函数1()sin()d ,()ln(1)d xf x x t tg x x xt t =-=+⎰⎰,则当0x →时,()f x 是()g x 的( C ).定积分 定积分的计算 牛顿莱布尼兹公式A.高阶无穷小量B.低阶无穷小量C.等价无穷小量D.同阶但不等价无穷小量 3.利用定积分概念求下列极限:定积分 定积分的概念 定积分的定义(1)lim n →∞; 解:(1)()()11112001=lim 12131333nn n i n x d x →∞=-===++==⎰⎰g原式(2)1lim ln 1ln 1ln 1n n →∞⎡⎤⎛⎛⎛+++++⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎝⎣⎦L . 解:(2)有定积分的定义可得(101lim ln 1ln 1ln 1ln 1n dx n →∞⎛⎫⎛⎛⎛+++++=+ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎝⎭⎰L ()120ln 1u du =+⎰(令2x u =)2111200011ln(1)ln 2(1)011u u u du u du du u u =+-=---++⎰⎰⎰11ln 21ln 222=-+-=4*. 已知曲线在点(,)x y 处的斜率为2sin cos x x +,且曲线过点(,0)π,求该曲线的方程. 不定积分 不定积分的计算 基本积分公式解:由已知2sin cos ,(2sin cos )2cos sin y x x y x x dx x x C '=+=+=-++⎰,由于曲线过(,0)π,则有2C =-,因此所求曲线方程为2cos sin 2y x x =-+-.5*. 设函数()f x 连续,且满足0()()d (2)2xx x t f t t x x e x -=-+⎰.(1)求函数()f x 的表达式;定积分定积分的计算 牛顿莱布尼兹公式(2)求函数()f x 的单调区间与极值.微分中值定理 函数的单调性与凹凸性 函数凹凸性判别法解:(1)00()()()()(2)2xxxx x t f t dt xf t dt tf t dt x x e x -=-=-+⎰⎰⎰,方程两边对x 求导数,则有20()(2)2xx f t dt e x =-+⎰,再对x 求导数得2()(22)x f x e x x =+-.(2)()(4)xf x x x e '=+,令()0f x '=得04x x ==-或.所以,函数()f x 的单调增加区间为(),4(0,)-∞-+∞与;单调减少区间为[]4,0-.函数()f x 的极大值为()446f e --=,极小值为()02f =-.6*.设函数2202(1)d ,0,(),0,x t e t x f x x A x ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩⎰问当A 取何值时,()f x 在0x =处可导,并求出(0)f '的值. (国防科大09-10年秋季第三大题第2小题)解:()()()()()()()()()()()22222224222020022020304221214limlimlim 02010lim lim 000110limlim2124limlim 33xt x x x x xt x x xt xt x x x x x e dte xx xxf x x e dtA f x f x x xA A e dt e dt x f xx exx →→→→→→→→→--====---=-==--'==-==⎰⎰⎰⎰Q g 若在处可导,则存在,若,则上述的极限不存在为无穷大,故于是283x =定积分 定积分的计算牛顿莱布尼兹公式7*.设函数()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上连续,且满足2222()cos ()d x f x x xe f t t ππ-=++⎰,求()f x 的表达式.定积分定积分的计算 牛顿莱布尼兹公式解:设22()a f x dx ππ-=⎰,则有22()cos x f x x xe a =++,所以有222222(cos )2cos 2x a x xe a dx xdx a a ππππππ-=++=+=+⎰⎰,解得2(1)a ππ=-,因此所求函数的表达式为22()cos 2(1)xf x x xe ππ=++-.8. 求下列不定积分,并用求导方法验证其结果正确否:d (1)1exx+⎰; 不定积分 求不定积分的方法基本积分公式解:原式=e d 11de ln(1e ).e (1e )e 1e x x xx x x xx x c ⎛⎫==-++- ⎪++⎝⎭⎰⎰ 验证:e 1(ln(1e ))1.1e 1ex xx xx c '-++=-=++ 所以,结论成立.(2)ln(x x +⎰;不定积分求不定积分的方法分部积分法解:原式=ln(ln(.x x x x x c -=+-验证:ln(ln(x x x x c '⎡⎤=+++-⎣⎦ln(x =+所以,结论成立.2(3)ln(1)d x x +⎰;不定积分求不定积分的方法分部积分法解:原式=2222ln(1)2d ln(1)22arctan 1x x x x x x x x c x+-=+-+++⎰. 验证:2222222ln(1)2ln(1).ln(1)22arctan 11x x x x x x x x c x x'=++⋅-+=+⎡⎤+-++⎣⎦++ 所以,结论正确.(4)x ;不定积分 求不定积分的方法 基本积分公式解:原式=9212)arcsin (.232x x x c ++=++验证: 921arcsin (232x x '+⎡++⎢⎣211(2)32x=+==所以,结论正确.(5)sin(ln)dx x⎰;不定积分求不定积分的方法基本积分公式解:1sin(ln)d sin(ln)cos(ln)dx x x x x x xx=-⋅⋅⎰⎰sin(ln)cos(ln)sin(ln)dx x x x x x=--⎰所以,原式=().sin(ln)cos(ln)2xcx x+-验证:()sin(ln)cos(ln)2xcx x'⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦()111sin(ln)cos(ln)cos(ln)sin(ln)22sin(ln).xx x x xx xx⎛⎫=+-⋅+⋅⎪⎝⎭=故结论成立.2e(6)d(e1)xxxx+⎰;不定积分求不定积分的方法分部积分法解:原式=1e1d d de1e1e11ee1xx x x xxx xx x x--⎛⎫-=-+=-+⎪+++++⎝⎭⎰⎰⎰ln(1e).e1xxxc--=-+++验证:22(e1)e e eln(1e)(e1)1e(e1)e1x x x xxx x xxx xxc---'-++--⎡⎤=-=-++⎢⎥++++⎣⎦.故结论成立.23/2ln(7)d(1)xxx+⎰;不定积分求不定积分的方法分部积分法解:原式=1ln d d ln(.x x x cx=-=++⎰验证:ln(x c '⎤-++⎥⎦2223/223/2(1ln )(1)ln ln .(1)(1)x x x x x x x =++-==++所以,结论成立.sin (8)d 1cos x x x x++⎰;不定积分 求不定积分的方法分部积分法解:原式=2d cos d d tan ln(1cos )1cos 22cos 2x x xx x x x x -=-++⎰⎰⎰tantan d ln(1cos )22tan ln(1cos )ln(1cos )2tan 2x xx x x xx x x c x x c=--+=++-++=+⎰验证:2221sin sin (tan)tan sec 22221cos 2cos 2cos 22x x x x x x xx c x x x x +'+=+⋅=+=+ 所以,原式成立.(9)()d xf x x ''⎰;不定积分求不定积分的方法分部积分法解:原式=d ()()()d ()().x f x xf x f x x xf x f x c ''''=-=-+⎰⎰验证:[]()()()().()()f x xf x f x xf x xf x f x c ''''''''=+-=-+ 故结论成立.(10)sin d n x x ⎰ (n >1,且为正整数).不定积分求不定积分的方法分部积分法解:1sin d sindcos nn n I x x x x -==-⎰⎰1221212cos sin (1)cos sin d cos sin (1)sin d (1)sin d cos sin (1)(1)n n n n n n n nx x n x x xx x n x x n x x x x n I n I ------=-+-=-+---=-+---⎰⎰⎰故 1211cos sin .n n n n I x x I n n---=-+ 验证: 1211cos sin sin d n n n x x x x n n --'-⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦⎰ 22222111sin cos (1)sin cos sin 111sin (1sin )sin sin sin .n n n n n n n n x x n x x x n n n n n x x x x n n n x -----=-⋅-⋅+--=--+= 故结论成立.9. 求不定积分max(1,)d x x ⎰.不定积分求不定积分的方法 基本积分公式解: ,1max(1,)1,11,1x x x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩故原式=212231,12,111,12x c x x c x x c x ⎧-+<-⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪+>⎩又由函数的连续性,可知:213111,1,2c c c c c c =+=+= 所以 221,121max(1,)d ,11211,12x c x x x c x x x c x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-≤≤⎨⎪⎪++>⎪⎩⎰10.计算下列积分:(1)1解:210210211220,1,2,3110422=2111212ln 1112ln 2t x t dx tdt x t x t t tdt dtt t dt t t t ==-=-====-∴=--⎛⎫=+=⎡+-⎤ ⎪⎣⎦-⎝⎭=-⎰⎰⎰则当时,,当时,原式 (2)1定积分 定积分的计算基本积分公式解:原式=211112⎛⎫+ ⎪-== (3) ln3ln 2d e ex xx--⎰;定积分 定积分的计算基本积分公式解:原式=ln3ln32ln 2ln 2de 113e 1ln ln .(e )1222e 1x x x x -==-+⎰(4)x ⎰;定积分 定积分的计算分部积分法解:原式=π33π222π02d sin d sin sin d sin x x x x x x =-⎰⎰⎰ππ55222π02422.sin sin 555x x =-=(5)120ln(1)d (2)x x x +-⎰;定积分定积分的计算分部积分法解:原式=111000111ln(1)ln(1)d d 2212x x x x x x x ++=-⋅--+-⎰⎰101100111ln 2d 321111ln 2ln 2ln(2)ln(1)333x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭=+-=-+⎰(6){}230max ,d x x x ⎰.解:{}2123301122401max ,1151724244x x dx xdx x dxxx =+=+=+=⎰⎰⎰11. 计算下列积分(n 为正整数): (1)1;n x ⎰定积分 定积分的计算换元法解:令sin x t =,d cos d x t t =, 当x =0时t =0,当x =1时t=π2, ππ12200sin cos d sin d cos n n n tx t t t t t==⎰⎰⎰由第四章第五节例8知11331π, 24221342, 253n n n n n n x n n n n n --⎧⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-=⎨--⎪⋅⋅⋅⋅⎪-⎩⎰L L为偶数, 为奇数.(2)π240tan d .n x x ⎰定积分 定积分的计算分部积分法解:πππ2(1)22(1)22(1)4440π2(1)411tantan d tansec d tan d 1tan d tan 21n n n n n n n I x x x x x x x xx x I I n ------==-=-=--⎰⎰⎰⎰由递推公式 1121n n I I n -+=- 可得 111(1)(1)[(1)].43521n nn I n π--=---+-+-L。
1. 利用定义计算下列定积分: (1)d ();bax x a b <⎰解:将区间[a , b ]n 等分,分点为(), 1,2,,1;i i b a x a i n n-=+=- 记每个小区间1[,]i i x x -长度为,i b ax n-∆=取, 1,2,,,i i x i n ξ==则得和式211()2(1)()[()]()2nni i i i i b a b a n n f x a b a a b a n n n ξ==--+∆=+-⋅=-+∑∑ 由定积分定义得22122()(1) d lim ()lim[()]21().2nbi i an i b a n n x x f x a b a n b a λξ→→∞=-+=∆=-+=-∑⎰(2)1e d .x x ⎰解:将区间[0, 1] n 等分,分点为 (1,2,,1),i i x i n n ==- 记每个小区间长度1,i x n∆=取 (1,2,,),i i x i n ξ== 则和式111()innni i i i f x enξ==∆=∑∑ 12101111111e d lim e lim (e e e )1e (1e )1e (e 1)limlim 1e e 11e (e 1)1lim e 1.1i nn xn n n n n n i n n n nn n n n n x n n n nn n n →∞→∞=→∞→∞→∞==+++--==---==-∑⎰2. 用定积分的几何意义求下列积分值:1(1)2 d x x ⎰;解:由几何意义可知,该定积分的值等于由x 轴、直线x =1、y =2x 所围成的三角形的面积,故原式=1.(2)(0)x R >⎰.解:由几何意义可知,该定积分的值等于以原点为圆心,半径为R 的圆在第一象限内的面积,故原式=21π4R . 3. 证明下列不等式:2e 22e(1)e e ln d 2(e e)x x -≤≤-⎰;证明:当2e e x ≤≤时,2ln e ln ln e ,x ≤≤即1ln e.x ≤≤ 由积分的保序性知:222e e e e eed ln d 2d x x x x ≤≤⎰⎰⎰即 2e 22ee e ln d 2(e e).x x -≤≤-⎰(2) 211e d e.x x ≤≤⎰证明:当0 1.x ≤≤时,21e e,x ≤≤由积分的保序性知:2111d ed ed x x x x ≤≤⎰⎰⎰即211e d e.x x ≤≤⎰4. 证明: (1) 12lim0;nn x →∞=⎰证明:当12x ≤≤时,0,n n x ≤≤ 于是11120110d (),12n n x x n +≤≤=⋅+⎰⎰ 而111lim()0,12n n n +→∞⋅=+由夹逼准则知:12lim 0.nn x →∞=⎰(2) π4limsin d 0.n n x x →∞=⎰证明:由中值定理得π440ππsin d sin (0)sin ,44n n x x ξξ=⋅-=⎰其中π0,4ξ≤≤故π4πlim sin d lim sin 0 ( 0sin 1).4n n n n x x ξξ→∞→∞==≤<⎰5.计算下列定积分:3(1);x ⎰解:原式43238233x ==-.221(2)d x x x --⎰;解:原式01222211()d ()d ()d x x x x x x x x x -=-+-+-⎰⎰⎰1232233210111111132233251511.6666x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++= π(3)()d f x x ⎰,其中π,0,2()πsin ,π;2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩ 解:原式πππ2π222π0π221πd sin d cos 1.28x x x x xx=+=-=+⎰⎰ 222(4)max{1,}d ;x x -⎰解:原式121122233211212011d d d 2.333x x x x x x x -----=++=++=⎰⎰⎰(5).x解:原式πππ242π04d (cos sin )d (sin cos )d sin cos x x x x x x x x x ==-+--⎰⎰⎰ππ24π04(sin cos )(cos sin )1).x x x x =++--=6. 计算下列导数:2d (1)d x t x ⎰解:原式2=32d (2)d x x x ⎰解:原式32200d d d d x x x x =-=⎰⎰ 7. 求由参数式2020sin d cos d t tx u uy u u⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定的函数y 对x 的导数d d y x . 解:222d d cos d cot .d d sin d yy t t t x x tt=== 8. 求由方程e d cos d 0yxtt t t +=⎰⎰所确定的隐函数()y y x =的导数.解:方程两边对x 求导,有e cos 0y y x '⋅+=又 e 1sin yx =- 故 c o s s i n 1xy x '=-.9. 利用定积分概念求下列极限:111(1)lim 122n n n n →+∞⎛⎫+++ ⎪++⎝⎭解:原式110011111lim d ln 2.ln(1)121111n x x n n xnn n →+∞⎛⎫+++ ⎪=⋅===++++ ⎪+⎝⎭⎰21(2)limn n →+∞解:原式13200122lim ..33n x x n →+∞====+⎰ 10. 求下列极限:203ln(12)d (1)lim;xx t tx →+⎰解:原式21222300ln(12)22lim limln(12).333x x x x x x →→+==+=2220020e d (2)lim .e d x t x x tt t t→⎡⎤⎣⎦⎰⎰ 解:原式2222222002e d e e d 1lim2lim2lim2.12e e xxt xt xxx x x t tx x x →→→⋅====+⎰⎰11. a , b , c 取何实数值才能使201limsin x bx t c x ax →=-⎰ 成立. 解:因为0x →时,sin 0x ax -→而该极限又存在,故b =0.用洛必达法则,有220000,1,lim lim 2cos cos lim 2, 1.sin x x x a x x x x a x a a x→→→≠⎧⎪==⎨--=-=⎪-⎩ 所以 1,0,2a b c ===- 或 1,0,0a b c ≠==.12. 利用基本积分公式及性质求下列积分:2(1)5)d x x -;解:原式51732222210d 5d 73x x x x x x c =-=-+⎰⎰.(2)3e d x x x ⎰;解:原式=(3e)(3e)d .ln(3e)xxx c =+⎰23(3)d ;1x x⎛ +⎝⎰ 解:原式=321d 23arctan 2arcsin .1x x x x c x -=-++⎰22(4)d ;1x x x +⎰解:原式=22211d d d arcsin .11x xx x x x c x x+-=-=-+++⎰⎰⎰ 2(5)sin d 2x x ⎰;解:原式=1cos 1d sin .222x x x x c -=-+⎰21(6);1x x ⎛- ⎝⎰解:原式=357144444d d 4.7x x x x x x c ---=++⎰⎰2d (7);x x⎰解:原式=21d x x c x-=-+⎰.(8);x ⎰解:原式=35222d 5x x x c =+⎰.(9)解:原式=25322d 3x x x c --=-+⎰.2(10)(32)d ;x x x -+⎰解:原式=32132.32x x x c -++ 422331(11)d ;1x x x x +++⎰解:原式=23213d d arctan .1x x x x x c x +=+++⎰⎰ 3(12)d 2e x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰;解:原式=2e 3ln .xx c ++(13)e d ;1x xx-⎛ ⎝⎰解:原式=e d e .xx x x c-=-⎰2352(14)d ;3x xxx ⋅-⋅⎰解:原式=5222d 5d 2233ln 3x xx x x c ⎛⎫⎛⎫-=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰. (15)sec (sec tan )d x x x x -⎰;解:原式=2sec d sec tan d tan sec x x x x x x x c -=-+⎰⎰.1(16)d 1cos 2x x+⎰;解:原式=22111d sec d tan 2cos 22x x x x c x ==+⎰⎰.cos 2(17)d cos sin xx x x-⎰;解:原式=(cos sin )d sin cos .x x x x x c +=-+⎰22cos 2(18)d cos sin xx x x⎰.解:原式=2211d d cot tan .sin cos x x x x c xx -=--+⎰⎰ 13. 一平面曲线过点(1,0),且曲线上任一点(x , y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程.解:依题意知:22y x '=- 两边积分,有22y x x c =-+又x =1时,y =0代入上式得c =1,故所求曲线方程为221y x x =-+. 14. (略).15. 利用换元法求下列积分:2(1)cos()d x x x ⎰;解:原式=22211cos d sin .22x x x c =+⎰(2)x ;解:原式=12333(sin cos )d(sin cos )(sin cos ).2x x x x x x c ---=-+⎰21x -解:原式=1d 112x c =+-+⎰.c =+ 3(4)cos d x x ⎰;解:原式=231(1sin )dsin sin sin .3x x x x c -=-+⎰(5)cos cos d 2xx x ⎰;解:原式=1133d sin sin .cos cos 232222x x x x c x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰ (6)sin 2cos3d x x x ⎰;解:原式=111(sin 5sin )d cos cos5.2210x x x x x c -=-+⎰2arccos (7)xx ;解:原式=2arccos 2arccos 1110d(2arccos )10.22ln10x xx c -=-⋅+⎰ 21ln (8)d (ln )xx x x +⎰; 解:原式=21(ln )d(ln ).ln x x x x c x x-=-+⎰(9)x ;解:原式=22arctan.c =+⎰ln tan (10)d cos sin xx x x⎰;解:原式=21ln tan d(ln tan )(ln tan ).2x x x c =+⎰5(11)e d x x -⎰;解:原式=51e5xc --+.12x -解:原式=1ln .122c x -+-(13)t;解:原式=2sin .c =-⎰102(14)tan sec d x x x ⎰;解:原式=10111tan d(tan )tan .10x x x c =+⎰2d (15)ln xx x⎰;解:原式=21(ln )d(ln ).ln x x c x--=+⎰(16)tan x ⎰;解:原式=ln .c =-+⎰d (17)sin cos xx x⎰;解:原式=2d d tan ln .tan tan cos tan x xc x x x x==+⎰⎰ 2(18)e d x x x -⎰;解:原式=22211e d()e .22x x x c ----=-+⎰ 10(19)(4)d x x +⎰;解:原式=111(4)11x c ++.(20)解:原式=123311(23)d(23)(23)32x x x c ----=--+⎰.(21)x ;解:原式=12222d 1112(94)d(94)arcsin .2823x x x x c -⎛⎫ ⎪+--=+⎰(22)x ; 解:原式=122222d 1()d()2x x a a x a x -⎛⎫ ⎪=--⎰⎰arcsin .xa c a=⋅- d (23)e ex xx-+⎰; 解:原式=2d(e )arctane .1(e )x xx c =++⎰ ln (24)d xx x⎰; 解:原式=21ln d(ln )(ln ).2x x x c =+⎰23(25)sin cos d x x x ⎰;解:原式=223511sin (1sin )d(sin )sin sin .35x x x x x c -=-+⎰(26);解:原式32tan 444sec cos 1sin d d d(sin )tan sin sin x tt t tt t t t t t =-==⎰⎰⎰令311,3sin sin c t t=-++又cos t t ==故上式23(2.3x c x-=+(27)100d ln |1|ln(1.1tt t t c c t =-++=+++(28) ;x 解:原式3sec 223tan d 3(sec 1)d 3tan 3x tt t t t t t c ==-=-+⎰⎰令,又3tan arccos ,t t x === 故上式33arccosc x+. (29);解:原式2tan 3sec d cos d sin sec x ttt t t t c t ===+⎰⎰令,又sec t =所以sin t =,故上式c =+.(30)解:原式sin cos d sin cos x ttt t t =+⎰令① sin d sin cos tt t t +⎰②① + ② = t + c 1② - ① = ln |sin t +cos t | + c 2 故cos 1d ln sin cos sin cos 2211arcsin ln .22t t t ct t t t x c x =++++=++⎰16. 用分部积分法求下列不定积分:2(1)sin d x x x ⎰;解:原式=222d cos cos 2cos d cos 2d sin x x x x x x x x x x x -=-+⋅=-+⎰⎰⎰1012cos 2sin 2cos .x x x x x c =-+++ (2)e d x x x -⎰;解:原式=dee e d e e .xx x x x x x x x c ------=-+=--+⎰⎰(3)ln d x x x ⎰;解:原式=222211111ln d ln d ln 22224x x x x x x x x x c ⋅=-=-+⎰⎰. 2(4)arctan d x x x ⎰;解:原式=3332111arctan d arctan d 3331x x x x x x x=-+⎰⎰ 322111arctan ln(1).366x x x x c =-+++ (5)arccos d x x ⎰;解:原式=arccos arccos x x x x x c +=.2(6)tan d x x x ⎰;解:原式=22211(sec 1)d d tan tan tan d 22x x x x x x x x x x x -=-=--⎰⎰⎰ 21tan ln .cos 2x x x c x =+-+(7)e cos d x x x -⎰;解:ecos d e d sin e sin e sin d xx x x x x x x x x ----==⋅+⎰⎰⎰e sin e d cos e sin e cos e cos d x x x x x x x x x x x -----=-=--⎰⎰∴原式=1e (sin cos ).2xx x c --+ (8)sin cos d x x x x ⎰;解:原式=1111sin 2d d cos 2cos 2cos 2d 2444x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰ 11cos 2sin 248x x x c =-++.32(ln )(9)d x x x ⎰;102解:原式=332111(ln )d (ln )3(ln )d x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰32131(ln )(ln )6ln d x x x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰321366(ln )(ln )ln .x x x c x x x x =----+(10)x ⎰.解:原式tan 23sec d .x a ta t t =⎰又32sec d sec (tan 1)d tan d(sec )sec d t t t t t t t t t =+=+⎰⎰⎰⎰ 3tan sec sec d ln sec tan t t t t t t =⋅-++⎰所以 311sec d tan sec ln sec tan 22t t t t c t t '=+++⎰ 故11ln .22x c x =+17. 求下列不定积分:221(1)d (1)(1)x x x x ++-⎰; 解:原式=2111111d ln ln 1122122(1)(1)(1)x c x x x x x x ⎛⎫ ⎪-=++++-++ ⎪+++-⎝⎭⎰ 211ln .112c x x =++-+ 33d (2)1xx +⎰; 解:原式=22211112d ln ln d 1122111x x x x x x x x x x x -+⎛⎫=-+++-+⎪-++-+⎝⎭⎰⎰c =. 5438(3)d x x x x x+--⎰; 解:原式=2843d 111x x x x x x ⎛⎫+++-- ⎪+-⎝⎭⎰10332118ln 4ln 3ln .1132x x x c x x x =+++--++- 26(4)d 1x x x +⎰;解:原式=33321d()1arctan .31()3x x c x =++⎰ sin (5)d 1sin xx x +⎰;解:原式=222sin 1d tan d (sec 1)d sec tan .cos cos x x x x x x x x x c x x-=--=-++⎰⎰⎰ cot (6)d sin cos 1xx x x ++⎰;解:原式22tan 222222212d 1111111d d d 22(1)22211111x t t t t t t t t t t t t t t t t t t =-⋅-++==-+⎛⎫-++⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰令1111ln ln tan .tan 222222x x t c c t =-+=-+(7)x ;解:原式=2.c =+(8)x ;解:原式=2d 2ln 2d 1x x x x x x ⎛=+-+⎝⎰⎰ 又2x2221d 44d 11t t t t t t =+--⎰⎰142ln1t t c c t -''=++=+故原式=1)x c -+.18. 求下列不定积分,并用求导方法验证其结果正确否:104d (1)1e xx+⎰; 解:原式=e d 11de ln(1e ).e (1e )e 1e x x xx x x xx x c ⎛⎫==-++- ⎪++⎝⎭⎰⎰ 验证:e 1(ln(1e ))1.1e 1ex xx xx c '-++=-=++ 所以,结论成立.(2)ln(x x +⎰;解:原式=ln(ln(.x x x x x c -=+验证:ln(ln(x x x x c '⎡⎤=+++-⎣⎦ln(x =+所以,结论成立.2(3)ln(1)d x x +⎰;解:原式=2222ln(1)2d ln(1)22arctan 1x x x x x x x x c x+-=+-+++⎰. 验证:2222222ln(1)2ln(1).ln(1)22arctan 11x x x x x x x x c x x'=++⋅-+=+⎡⎤+-++⎣⎦++ 所以,结论正确.(4)x ;解:原式=9212)arcsin (.232x x x c ++=++验证:921arcsin (232x x '+⎡++⎢⎣211(2)32x =+== 所以,结论正确.(5)sin(ln )d x x ⎰;105解:1sin(ln )d sin(ln )cos(ln )d x x x x x x x x=-⋅⋅⎰⎰ sin(ln )cos(ln )sin(ln )d x x x x x x =--⎰所以,原式=().sin(ln )cos(ln )2xc x x +- 验证: ()sin(ln )cos(ln )2x c x x '⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦()111sin(ln )cos(ln )cos(ln )sin(ln )22sin(ln ).x x x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+⋅ ⎪⎝⎭= 故结论成立.2e (6)d (e 1)xx x x +⎰; 解:原式=1e 1d d d e 1e 1e 11e e 1x x x x xx x x x x x --⎛⎫-=-+=-+ ⎪+++++⎝⎭⎰⎰⎰ ln(1e ).e 1x xxc --=-+++ 验证:22(e 1)e e e ln(1e )(e 1)1e (e 1)e 1x xx x xx x x x x x x c ---'-++--⎡⎤=-=-++⎢⎥++++⎣⎦. 故结论成立.23/2ln (7)d (1)xx x +⎰; 解:原式=1ln d d ln(.x x x c x =-=++⎰验证:ln(x c '⎤-+⎥⎦2223/223/2(1ln )(1)ln ln .(1)(1)x x x x x x x =++-==++所以,结论成立.sin (8)d 1cos x x x x++⎰;106解:原式=2d cos d d tan ln(1cos )1cos 22cos 2x x xx x x x x -=-++⎰⎰⎰tan tan d ln(1cos )22tan ln(1cos )ln(1cos )2tan 2x xx x x xx x x c x x c=--+=++-++=+⎰验证:2221sin sin (tan)tan sec 22221cos 2cos 2cos 22x x x x x x xx c x x x x +'+=+⋅=+=+ 所以,原式成立.(9)()d xf x x ''⎰;解:原式=d ()()()d ()().x f x xf x f x x xf x f x c ''''=-=-+⎰⎰验证:[]()()()().()()f x xf x f x xf x xf x f x c ''''''''=+-=-+ 故结论成立.(10)sin d n x x ⎰ (n >1,且为正整数).解:1sin d sind cos nn n I x x x x -==-⎰⎰1221212cos sin (1)cos sin d cos sin (1)sin d (1)sin d cos sin (1)(1)n n n n n n n nx x n x x xx x n x x n x x x x n I n I ------=-+-=-+---=-+---⎰⎰⎰ 故 1211cos sin .n n n n I x x I n n---=-+ 验证: 1211cos sin sin d n n n x x x x n n --'-⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦⎰22222111sin cos (1)sin cos sin 111sin (1sin )sin sin sin .n n n n n n n n x x n x x x n n n n n x x x xn n n x -----=-⋅-⋅+--=--+= 故结论成立.19. 求不定积分max(1,)d x x ⎰.107解: ,1max(1,)1,11,1x x x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩故原式=212231,12,111,12x c x x c x x c x ⎧-+<-⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪+>⎩又由函数的连续性,可知:213111,1,2c c c c c c =+=+= 所以 221,121max(1,)d ,11211,12x c x x x c x x x c x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-≤≤⎨⎪⎪++>⎪⎩⎰20. 计算下列积分:4(1)x ⎰;333211221313d .36222t t t t ⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2e 1(2)⎰;解:原式=221e211).(1ln )d(1ln )x x -=++=⎰1(3);解:原式=211112⎛⎫+ ⎪-== π40sin (4)d 1sin xx x+⎰;108解:原式=πππ244422000sin(1sin )sin d d tan d cos cos x xx x x x xx -=-⎰⎰⎰π40π1 2.tan 4cos x x x ⎛⎫==+-+ ⎪⎝⎭ ln3ln 2d (5)e e x xx--⎰;解:原式=ln 3ln 32ln 2ln 2de 113e 1ln ln .(e )1222e 1x x x x -==-+⎰(6)x ⎰;解:原式=πππ2π02d cos d cos d cos x x x x x x x ==⎰⎰ππ2π02xx==(7)x ⎰;解:原式=π33π222π02d sin d sin sin d sin x x x x x x =-⎰⎰⎰ππ55222π02422.sin sin 555x x =-=231(8)ln d x x x ⎰;解:原式=22243411111151ln d d 4ln 2.ln 44164x x x x x x =-=-⎰⎰π220(9)e cos d x x x ⎰;解:ππππ222222220e cos d e dsin e sin 2e sin d xx xx x x x xx x ==⋅-⎰⎰⎰πππ2π2π22220e 2e d cos e 2e cos 4e cos d xxx x xx x =+=+-⎰⎰所以,原式=π1(e 2)5-.109120ln(1)(10)d (2)x x x +-⎰;解:原式=111000111ln(1)ln(1)dd 2212x x x x x x x ++=-⋅--+-⎰⎰ 101100111ln 2d 321111ln 2ln 2ln(2)ln(1)333x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭=+-=-+⎰322d (11)2xx x +-⎰; 解:原式=3322111111d ln ln 2ln 5.333122x x x x x -⎛⎫==-- ⎪-++⎝⎭⎰21(12)x ⎰; 解:原式11611d 6d (1)t 1t t t t t ⎫=-⎪++⎝⎭()67ln 26ln ln ln(1)1t t ==--+ππ3π(13)sin d 3x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰;解:原式ππ3πcos 03x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭ 212(14)e d t t t -⎰;解:原式=221212200ed e 12t t t --⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭⎰π22π6(15)cos d u u ⎰.解:原式=ππ22ππ661π11(1cos 2)d sin 226824u u u u ⎛⎫+==-+ ⎪⎝⎭⎰21. 计算下列积分(n 为正整数):110(1)1;n x ⎰解:令sin x t =,d cos d x t t =, 当x =0时t =0,当x =1时t=π2, ππ12200sin cos d sin d cos n n n tx t t t t t==⎰⎰⎰由第四章第五节例8知11331π, 24221342,253n n n n n n x n n n n n --⎧⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-=⎨--⎪⋅⋅⋅⋅⎪-⎩⎰为偶数, 为奇数. (2)π240tan d .n x x ⎰解:πππ2(1)22(1)22(1)4440π2(1)411tan tan d tansec d tan d 1tan d tan 21n n n n n n n I x x x x x x x xx x I I n ------==-=-=--⎰⎰⎰⎰由递推公式 1121n n I I n -+=- 可得 111(1)(1)[(1)].43521n nn I n π--=---+-+- 22. 证明下列等式:232001(1)()d ()d 2aa x f x x xf x x =⎰⎰ (a 为正常数);证明:左222222000111()d()()d ()d 222a a a x t x f x x tf t t xf x x ====⎰⎰⎰ 令右所以,等式成立.(2)若()[,]f x c a b ∈,则ππ220(sin )d (cos )d f x x f x x =⎰⎰.证明:左πππ0222π02(cos )(d )(cos )d (cos )d x tf t t f t t f x x =--==⎰⎰⎰令.所以,等式成立.23. 利用被积函数奇偶性计算下列积分值(其中a 为正常数)(1)sin d ;||aa x x x -⎰111解:因sin ||xx 为[-a , a ]上的奇函数, 故s i n d 0.||aa xx x -=⎰(2)ln(aax x -⎰;解:因为ln(ln(x x -=-+即被积函数为奇函数,所以原式=0.12212sin tan (3)d ln(1)3cos3x x x x x -⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦⎰;解:因为2sin tan 3cos3x xx+为奇函数,故原式=111222111222d 0ln(1)d ln(1)1xx x x x x x---++-=--⎰⎰()121231ln 3ln 2 1.ln 3ln 2ln(1)22x x -==----+-π242π23(4)sin d sin ln 3x x x x x -+⎛⎫+ ⎪-⎝⎭⎰.解:因为3ln3xx+-是奇函数,故 原式=ππ6622π02531π5sin d 2sin d 2π642216x x x x -==⋅⋅⋅⋅=⎰⎰24. 利用习题22(2)证明:ππ2200sin cos πd d sin cos sin cos 4x x x x x x x x ==++⎰⎰,并由此计算a⎰(a 为正常数)证明:由习题22(2)可知ππ2200sin cos d d sin cos sin cos x xx x x x x x=++⎰⎰又πππ222000sin cos πd d d .sin cos sin cos 2x x x x x x x x x +==++⎰⎰⎰112故等式成立.a⎰πsin 20cos πd .sin cos 4x a tx t t t ==+⎰令25. 已知201(2),(2)0,()d 12f f f x x '===⎰, 求120(2)d x f x x ''⎰.解:原式=11122000111d (2)2(2)d (2)222x f x xf x x x f x ''='-⎰⎰11100012001111(2)d (2)0(2)d (2)22221111(2)(2)d(2)1()d 1402444f x f x f x x xf x f f x x f t t '=-=-+=-+=-+=-+⨯=⎰⎰⎰⎰26. 用定义判断下列广义积分的敛散性,若收敛,则求其值:22π11(1)sin d x x x+∞⎰; 解:原式=22ππ1111lim sin d lim cos lim cos 1.bbb b b x b x x →+∞→+∞→+∞⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎰2d (2);22xx x +∞-∞++⎰解:原式=02200d(1)d(1)arctan(1)arctan(1)(1)1(1)1x x x x x x +∞+∞-∞-∞+++=+++++++⎰⎰πππππ.4242⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭ 0(3)e d n x x x +∞-⎰(n 为正整数)解:原式=10e d deen x n xn xn x x x x +∞+∞+∞----+-=-⎰⎰100e d !e d !n x x n x x n x n +∞+∞---=+===⎰⎰(4)(0)aa >⎰;解:原式=00000πlim lim arcsin lim arcsin .12a a xa a εεεεεε+++--→→→⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰e1(5)⎰;113解:原式=()e e 011πlim arcsin(ln )lim lim arcsin .ln(e )2x εεεεεε+++--→→→===-⎰1(6)⎰解:原式=110+⎰21212211121202lim 2lim πππlim arcsin lim 2222π.424εεεεεε++-→→→→=⎛⎫=+=⋅+=- ⎪⎝⎭⎰⎰27. 讨论下列广义积分的敛散性:2d (1)(ln )kxx x +∞⎰;解:原式=2122112,1ln(ln )1d(ln ),1(ln )1(ln )1(ln 2),1(ln )11k kkk k x x k x k x k x k k +∞+∞-+∞-+∞-⎧=∞=⎪⎪⎪=∞<=⎨-⎪⎪=>⎪--⎩⎰ 故该广义积分当1k >时收敛;1k ≤时发散.d (2)()()bkaxb a b x >-⎰. 解:原式=1100011lim ()()1,1lim ()d()1lim 1ln()b kk b a k a b a k b x b a k k b x b x k k b x εεεεεε+++-----→→-→⎧>⎧⎪⎪=-⎨--⎪-<---=⎪⎨-⎩⎪⎪-=-⎩⎰ 发散,发散, 综上所述,当k <1时,该广义积分收敛,否则发散.28. 已知0sin πd 2x x x +∞=⎰,求: 0sin cos (1)d ;x x x x+∞⎰解:(1)原式=001sin(2)1sin πd(2)d .2224x t x t x t +∞+∞==⎰⎰22sin (2) d .xx x +∞⎰114解:222002200200020000sin 1cos 2d d 21cos 2d d 22111d cos 2d 2211111d cos 2dcos2222111sin 2cos 2d2222ππ0.22xx x xx x x x x x x x x x xx x x x x xx x xx x x +∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞-==-=+=+⋅-⎡⎤=-+⋅+⎢⎥⎣⎦=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰29. 已知()d 1p x x +∞-∞=⎰,其中1,()0,1,x p x x <=≥⎩求c .解:1111()d 0d 0d p x x x x x x +∞-+∞-∞-∞--=⋅++⋅=⎰⎰⎰⎰⎰11001arcsin arcsin π1x x c x c xc --=+=⋅+⋅==⎰⎰所以1πc =. 30. 证明:无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式,即节第六节定理2. 证明:如果|()|lim0()x f x g x ρ→+∞=≠,那么对于ε(使0ρε->),存在x 0,当0x x ≥时|()|0()f xg x ρερε<-<<+ 即 ()()|()|()()g x f x g x ρερε-<<+ 成立,显然()d ag x x +∞⎰与|()|d af x x +∞⎰同进收敛或发散.如果0ρ=,则有|()|()f x g x ε<, 显然()d ag x x +∞⎰收敛, 则|()|d af x x +∞⎰亦收敛.如果ρ=+∞,则有|()|()()f x g x ρε>-,显然()d ag x x +∞⎰发散,则|()|d af x x +∞⎰亦发散.*31. 计算下列广义积分的柯西主值:(1) V.P.x +∞-∞⎰;115解:原式=0lim AA x x -→+∞⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰lim lim 0.11A A A →+∞→+∞⎤=⎦==+212d (2) V.P.ln xx x⎰; 解:原式=121211001212d d lim lim ln ln ln ln ln ln x x x x x x x x εεεεεε++--+→→+⎡⎤⎡⎤⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰01lim ln ln(1)ln ln ln 2ln ln(1)0.ln 2εεε+→⎡⎤=--+-+=⎢⎥⎣⎦2d (3) V.P.32xx x +∞-+⎰; 解:x =1, x =2是奇点. 故 原式1222201200d d d lim323232b n b x x x x x x x x x εηεηε++--++→→→+∞⎡⎤=++⎢⎥-+-+-+⎣⎦⎰⎰⎰ 120000120222lim ln lim ln lim ln 111bb x x x x x x εηεεηεηη++++--→→→++→∞→⎡-⎤⎡-⎤⎡-⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 0000112lim ln ln 2lim ln ln lim ln ln 1111ln 2ln .2b b b εεηηεηεηεηεη++++→→→→∞→⎡⎤⎡⎤+--⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦=-=30d (4) V.P.1xx-⎰. 解:原式=1313010001d d lim lim ln ln 1111xx x xx x εεεεεε++--+→→+⎡⎤⎡⎤=--+--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰ []0lim ln 2ln ln 2ln εεε+→==---+.。
高等数学(上)第一章 函数与极限1. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x , 求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ 2. 设()x f 的定义域为[]1,0,问:⑴()2x f ; ⑵()x f sin ;⑶()()0>+a a x f ; ⑷()()a x f a x f -++ ()0>a 的定义域是什么(1)][;,-的定义域为所以知-11)(,111022x f x x ≤≤≤≤ 3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ,()xe x g =,求()[]x gf 和()[]x fg ,并做出这两个函数的图形。
4. 设数列{}nx 有界, 又,0lim =∞→nn y证明: .0lim =∞→nnn yx5. 根据函数的定义证明: ⑴ ()813lim 3=-→x x(2) 0sin lim =+∞→x x x6. 根据定义证明: 当0→x 时,函数x x y 21+=是无穷大.问x 应满足什么条件时,才能使?104>y 7. 求极限:⑴13lim223+-→x x x =0⑵ ()hx h x h 22lim-+→=x h h x h h 2)2(lim 0=+→⑶13lim 242+-+∞→x x x x x =0(4) ()2121lim nn n -+++∞→ =212)1(lim 2=-∞→n n n n (5)⎪⎭⎫ ⎝⎛---→311311lim x x x =1)1)(1(31lim 221-=++--++→x x x x x x(6) ()223222lim -+→x x x x =∞8. 计算下列极限: ⑴ xxx 1sinlim 20→=0⑵ x x x arctan lim ∞→=0arctan .1lim =∞→x xx 9. 计算下列极限:⑴ x x x ωsin lim 0→=ϖϖϖϖ=→.sin lim 0xx x ⑵ x x x 3tan lim 0→=33cos 1.3sin lim 0=→xx x x ⑶ xx xx sin 2cos 1lim 0-→=2sin .sin 2lim 20=→xx xx(4)xx x 321⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→lim =6620)21(lim ---→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-e x xx(5)()xx x 121+→lim =22.210)21(lim e x xx =+→(6)xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞→13lim =21)2.(21)121(lim -+--∞→=-+e xxx10. 利用极限存在准则证明:⑴ 11211lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→πππn n nn n n故原式=1⑵ 数列 ,222,22,2+++的极限存在,并求其极限. 11. 当0→x 时, 22x x -与32x x -相比, 哪一个是较高阶的无穷小12. 当1→x 时, 无穷小x -1和()2121x -是否同阶是否等价 13. 证明: 当0→x 时, 有2~1sec 2x x -.14. 利用等价无穷小的代换定理, 求极限: xxx x 3sin sin tan lim -→. 15. 讨论()201212x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩ 的连续性, 并画出其图形.16. 指出下列函数的间断点属于哪一类.若是可去间断点,则补充或改变函数的定义使其连续. ⑴2,123122==+--=x x x x x y⑵ 11311=⎩⎨⎧>-≤-=x x xx x y1x y ==017. 讨论函数()xx x x f nnn 2211lim +-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型。
206习题十1. 根据二重积分性质,比较ln()d D x y σ+⎰⎰与2[ln()]d D x y σ+⎰⎰的大小,其中:(1)D 表示以(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形; (2)D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤.解:(1)区域D 如图10-1所示,由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间,显然有图10-112x y ≤+≤从而 0l n ()x y ≤+<故有2l n ()[l n ()]x y x y+≥+ 所以 2l n ()d [l n ()]dD Dx yx y σσ+≥+⎰⎰⎰⎰(2)区域D 如图10-2所示.显然,当(,)x y D ∈时,有3x y +≥.图10-2从而 ln(x +y )>1 故有2l n ()[l n ()]x y x y+<+207所以 2l n ()d [l n ()]dD Dx yx y σσ+<+⎰⎰⎰⎰2. 根据二重积分性质,估计下列积分的值: (1),{(,)|02,02}I D x y x y σ==≤≤≤≤⎰⎰;(2)22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ==≤≤≤≤⎰⎰; (3)2222(49)d ,{(,)|4}D I x y D x y x y σ=++=+≤⎰⎰. 解:(1)因为当(,)x y D ∈时,有02x ≤≤, 02y ≤≤因而 04xy ≤≤.从而22≤故2d D D σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即2d d DDσσσ≤≤⎰⎰⎰⎰而 d D σσ=⎰⎰ (σ为区域D 的面积),由σ=4 得8σ≤≤⎰⎰(2) 因为220sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤,从而220sin sin 1x y ≤≤故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 即220sin sin d d D D x y σσσ≤≤=⎰⎰⎰⎰ 而2πσ=所以2220sin sin d πD x y σ≤≤⎰⎰(3)因为当(,)x y D ∈时,2204x y ≤+≤所以22229494()925x y x y ≤++≤++≤故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 即229(49)d 25Dx y σσσ≤++≤⎰⎰208而2π24πσ=⋅=所以2236π(49)d 100πDx y σ≤++≤⎰⎰3. 根据二重积分的几何意义,确定下列积分的值: (1)222(,{(,)|};D a D x y x y a σ=+≤⎰⎰(2)222,{(,)|}.D x y x y a σ=+≤⎰⎰解:(1)(,D a σ⎰⎰在几何上表示以D 为底,以z 轴为轴,以(0,0,a )为顶点的圆锥的体积,所以31(π3Da a σ=⎰⎰ (2)σ⎰⎰在几何上表示以原点(0,0,0)为圆心,以a为半径的上半球的体积,故32π.3a σ=⎰⎰ 4.设f (x ,y )为连续函数,求2220021lim(,)d ,{(,)|()()}πDr f x y D x y x x y y r r σ→=-+-≤⎰⎰.解:因为f (x ,y )为连续函数,由二重积分的中值定理得,(,),D ξη∃∈使得2(,)d (,)π(,)Df x y f r f σξησξη=⋅=⋅⎰⎰又由于D 是以(x 0,y 0)为圆心,r 为半径的圆盘,所以当0r →时,00(,)(,),x y ξη→ 于是:0022200000(,)(,)11lim(,)d limπ(,)lim (,)ππlim (,)(,)Dr r r x y f x y r f f r r f f x y ξησξηξηξη→→→→=⋅===⎰⎰5. 画出积分区域,把(,)d D f x y σ⎰⎰化为累次积分: (1) {(,)|1,1,0}D x y x y y x y =+≤-≤≥;(2)2{(,)|2,}D x y y x x y =≥-≥209(3)2{(,)|,2,2}D x y y y x x x=≥≤≤解:(1)区域D 如图10-3所示,D 亦可表示为11,01y x y y -≤≤-≤≤.所以1101(,)d d (,)d yD y f x y y f x y x σ--=⎰⎰⎰⎰(2) 区域D 如图10-4所示,直线y =x -2与抛物线x =y 2的交点为(1,-1),(4,2),区域D 可表示为22,12y x y y ≤≤+-≤≤.图10-3 图10-4所以2221(,)d d (,)d y D yf x y y f x y x σ+-=⎰⎰⎰⎰(3)区域D 如图10-5所示,直线y =2x 与曲线2y x=的交点(1,2),与x =2的交点为(2,4),曲线2y x=与x =2的交点为(2,1),区域D 可表示为22,1 2.y x x x≤≤≤≤图10-5210所以2221(,)d d (,)d xD xf x y x f x y y σ=⎰⎰⎰⎰.6. 画出积分区域,改变累次积分的积分次序: (1) 2220d (,)d yyy f x y x⎰⎰; (2)e ln 1d (,)d xx f x y y ⎰⎰;(3) 1320d (,)d yy f x y x-⎰; (4)πsin 0sin2d (,)d xx x f x y y -⎰⎰;(5) 1233001d (,)d d (,)d yyy f x y y y f x y x -+⎰⎰⎰⎰.解:(1)相应二重保健的积分区域为D :202,2.y y x y ≤≤≤≤如图10-6所示.图10-6D 亦可表示为:04,.2xx y ≤≤≤所以2224002d (,)d d (,)d .yx yy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰(2) 相应二重积分的积分区域D :1e,0ln .x y x ≤≤≤≤如图10-7所示.图10-7D 亦可表示为:01,e e,y y x ≤≤≤≤211所以e ln 1e10ed (,)d d (,)d y xx f x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰(3) 相应二重积分的积分区域D为:01,32,y x y ≤≤≤≤-如图10-8所示.图10-8D 亦可看成D 1与D 2的和,其中 D 1:201,0,x y x ≤≤≤≤D 2:113,0(3).2x y x ≤≤≤≤-所以2113213(3)2001d (,)d d (,)d d (,)d yx x y f x y x x f x y y x f x y y --=+⎰⎰⎰⎰⎰.(4) 相应二重积分的积分区域D 为:0π,sinsin .2xx y x ≤≤-≤≤如图10-9所示.图10-9D 亦可看成由D 1与D 2两部分之和,其中 D 1:10,2arcsin π;y y x -≤≤-≤≤ D 2:01,arcsin πarcsin .y y x y ≤≤≤≤-所以πsin 0π1πarcsin 0sin 12arcsin 0arcsin 2d (,)d d (,)d d (,)d xyx y yx f x y y y f x y x y f x y x ----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5) 相应二重积分的积分区域D 由D 1与D 2两部分组成,其212中 D 1:01,02,y x y ≤≤≤≤D 2:13,03.y x y ≤≤≤≤-如图10-10所示.图10-10D 亦可表示为:02,3;2xx y x ≤≤≤≤- 所以()1233230012d ,d d (,)d d (,)d yyxxy f x y x y f x y x x f x y y --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰7.解:因为(,)Df x y d σ⎰⎰为一常数,不妨设(,)Df x y C =⎰⎰则有(,)x y f xy C =+从而有(,)()x y Df xy f uv C dudv =++⎰⎰而{}2(,)0 1.0D x y x y x =≤≤≤≤21(,)00()u x y f xy uv C dv du ⎡⎤∴=+⎰⎰+⎣⎦2120012u xy uv cv du ⎡⎤=+⎰+⎢⎥⎣⎦ 152012xy u cu du ⎡⎤=+⎰+⎢⎥⎣⎦163011123xy u cu ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦11123xy C =++18C ∴=故(,)18x y f xy ∴=+8. 计算下列二重积分:213(1) 221d d ,:12,;Dx x y D x y x y x≤≤≤≤⎰⎰ (2) e d d ,x yD x y ⎰⎰D由抛物线y 2 = x ,直线x =0与y =1所围;(3) d ,x y ⎰⎰D 是以O (0,0),A (1,-1),B (1,1)为顶点的三角形; (4) cos()d d ,{(,)|0π,π}D x y x y D x y x x y +=≤≤≤≤⎰⎰.解:(1)()22222231221111d d d d d d xx D x x x x x x y x y x x x x y yy ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2421119.424x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦(2) 积分区域D 如图10-12所示.图10-12D 可表示为:201,0.y x y ≤≤≤≤所示22110000ed d de d d e d()xx x y y yyyD xx y y x y y y==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2111100ed (e 1)d e d d y x y y yy y y y y y y y ==-=-⎰⎰⎰⎰1111120000011de d e e d .22yy yy y y y y y =-=--=⎰⎰⎰ (3) 积分区域D 如图10-13所示.214图10-13D 可表示为:01,.x x y x ≤≤-≤≤所以2110d d arcsin d 2xxxx y x y x y x x --⎡==+⎢⎣⎰⎰⎰⎰⎰ 112300ππ1πd .2236x x x ==⋅=⎰ ππππ0πππ0(4)cos()d d d cos()d [sin()]d [sin(π)sin 2]d (sin sin 2)d 11.cos cos 222x Dxx y x y x x y y x y xx x x x x x x x +=+=+=+-=--⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰9. 计算下列二次积分:10112111224(1)d d ;(2)d e d d e d .yy y xxyxy x xy x y x +⎰⎰⎰⎰解:(1)因为sin d x x x⎰求不出来,故应改变积分次序。
复变函数与积分变换(修订版)主编:马柏林(复旦大学出版社)——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②解: ()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解: ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解: ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 33311;;;.22n z i ⎛⎛-+-- ⎝⎭⎝⎭①: ∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xyz a x a y-⎛⎫=⎪+⎝⎭++. ②解: 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-.③解:∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭. ④解:∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭. ⑤解: ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩. ∴当2n k =时,()()Re i 1kn=-,()Im i 0n=;当21n k =+时,()Re i 0n =,()()Im i 1kn =-.3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解:2i -+==2i 2i -+=--②解:33-=33-=-③解:()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解:1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明:当且仅当z z =时,z 才是实数.证明:若z z =,设i z x y =+,则有 i i x y x y +=-,从而有()2i 0y =,即y =0 ∴z =x 为实数.若z =x ,x ∈ ,则z x x ==. ∴z z =.命题成立.5、设z ,w ∈ ,证明: z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z w z w ++≤.6、设z ,w ∈ ,证明下列不等式. ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释.证明:()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了.下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+.∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+.从而得证.∴()22222z w z w z w ++-=+几何意义:平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和.3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解:()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--==其中8πarctan 19θ=-.②解:e i i θ⋅=其中π2θ=.π2e i i =③解:ππi i 1e e -==④解:()28π116ππ3θ-+==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解:32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解:∵32π2πcosisin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算:(1)i 的三次根;(2)-1的三次根;(3)的平方根.⑴i 的三次根. 解:()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z .2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z ⑵-1的三次根 解:()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z 2cos πisin π1=+=-z3551cos πisin π332=+=-z的平方根. 解:πi 4e ⎫⎪⎪⎝⎭∴)()1π12i 44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z . 9.设2πe,2inz n =≥. 证明:110n z z -+++=证明:∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =,即10n z -=.∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2. ∴z ≠1 从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件. 解:如图所示.因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且相切,则CA ⊥L β.过C 作直线平行L β,则有∠BCD =β,∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°.12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形,并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解:(1)、argz =π.表示负实轴.(2)、|z -1|=|z |.表示直线z =12.(3)、1<|z +i|<2解:表示以-i 为圆心,以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
数学分析复旦大学第四版答案实数基本定理【篇一:数学分析(4)复习提纲(全部版)】>第一部分实数理论1实数的完备性公理一、实数的定义在集合r内定义加法运算和乘法运算,并定义顺序关系,满足下面三条公理,则称r为实数域或实数空间。
(1)域公理:(2)全序公理:则或a中有最大元而a中无最小元,或a中无最大元而a中有最小元。
评注域公理和全序公理都是我们熟悉的,连续性公理也称完备性公理有许多等价形式(比如确界原理),它是区别于有理数域的根本标志,它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受,故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。
二、实数的连续性(完备性)公理实数的连续性(完备性公理)有许多等价形式,它们在使用起来方便程度不同,这些公理是本章学习的重点。
主要有如下几个公理:确界原理:单调有界定理:区间套定理:有限覆盖定理:(heine-borel)聚点定理:(weierstrass)致密性定理:(bolzano-weierstrass)柯西收敛准则:(cauchy)习题1证明dedekind分割原理与确界原理的等价性。
习题2用区间套定理证明有限覆盖定理。
习题3用有限覆盖定理证明聚点定理。
评注以上定理哪些能够推广到欧氏空间r?如何叙述?n2闭区间上连续函数的性质有界性定理:上册p168;下册p102,th16.8;下册p312,th23.4最值定理:上册p169;下册下册p102,th16.8介值定理与零点存在定理:上册p169;下册p103,th16.10一致连续性定理(cantor定理):上册p171;下册p103,th16.9;下册p312,th23.7 习题4用有限覆盖定理证明有界性定理习题5用致密性定理证明一致连续性定理3数列的上(下)极限三种等价定义:(1)确界定义;(2)聚点定义;(3)n定义评注确界定义易于理解;聚点定义易于计算;n定义易于理论证明习题6用区间套定理证明有界数列最大(小)聚点的存在性。
高等数学教材四答案完整版第一章:极限与连续1.1 极限的概念与性质1.1.1 数列极限的定义与性质对于数列$a_n$,当$n$趋向于无穷时,如果存在实数$a$,使得对于任意给定的正数$\varepsilon$,总存在正整数$N$,使得当$n>N$时,$|a_n-a|<\varepsilon$成立,那么我们称$a$为数列$a_n$的极限,记作$\lim_{n\to\infty} a_n=a$。
1.1.2 函数极限的定义与性质对于函数$f(x)$,当$x$趋向于$c$时,如果存在实数$L$,使得对于任意给定的正数$\varepsilon$,总存在正数$\delta$,使得当$0<|x-c|<\delta$时,$|f(x)-L|<\varepsilon$成立,那么我们称$L$为函数$f(x)$的极限,记作$\lim_{x\to c}f(x)=L$。
1.2 基本极限公式与极限计算1.2.1 三角函数极限1) $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$2) $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$3) $\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$4) $\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a$,其中$a>0$1.2.2 自然对数的底$\lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$1.2.3 无穷小与无穷大1) 当$x$趋向于$0$时,$x^n$与$x$同阶无穷小。
2) 当$x$趋向于无穷时,$a^x$与$x^n$同阶无穷大($a>1$,$n$为正整数)。
3) 当$x$趋向于无穷时,$a^x$与$b^x$同阶无穷大($a>1,b>1$)。
第二章:一元函数微分学2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义导数是描述函数变化率的概念。
高等数学,(上),复旦大学出版社第四版。
第四章,一元函数积分学 习题四,答案1.0 填空题(1) I<K<J ,解析I,J,K 的积分上限,下限都一样。
由定理 在区间[a,b]上f(x)>g(x)恒成立,则>⎰⎰aba a f(x)dx g(x)dx ,在π[0,]4,cosx>sinx,=>>cosxcotx cosx sinx sinx,所以I<K<J 。
(2) =⎰⎰1f(2x)dx f(2x)d(2x)2因为-=+⎰2x (x)dx e c,所以-=+⎰24x 1(2x)dx e c 2(3) 画出x-[x]在【0,2006】的图像,就是y=x 在[0,1]上重复2006次,通过定积分的几何意义,可知其面积为(1*1)*2012/2=1006,所以-=⎰2012(x [x])dx 1006。
(4)注解====⎰⎰11100011f'(x)f''(x)dx f'(x)df'(x)f'(x)f'(x)|24f'(x),(5) ππ+===-=+⎰⎰20022022400x tant *sec t 11x tant,dx dt cos2x |44(1x )sec t2.选择题。
(1)A ,A 可导必定连续,所以极限一定存在。
B 原函数f(x)<g(x),但是导数不一定f ’(x)<g ’(x),比如f(x)=2,g(x)=3,所以B 错。
C 是微分和导数一样,D x 的正负不知道,可能x<0,这样定积分就不一定了。
(2)DA 是奇函数,周期为2π,π[0,2]变成区间ππ-[,],所以结果为0B 是奇函数,周期为2π,π[0,2]变成区间ππ-[,],所以结果为0C ππππ--==⎰1cos2xdx sin2x |02(3) A令f(x)=1,取F(X)=x+1,可以排除B,C.令f(x)=x,F(X)= 21x 2排除D. (4)D-==-=-=-⎰⎰2lnx 1lnx)lnx 12lnx xf'(x)dx xdf(x)xf(x)x *(x x x x x(6) C ,等价无穷小++→=-=-=---==+=+=++=→==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰xxx11t 1t11x 0u x t,f(x)sin(x t)dt,f(x)sin(x t)d(x t)sinudum 1xt,g(x)xln(1xt)dt,g(x)ln(1xt)d(1xt)lnmdmf(x)sinxx 0,lim 1g(x)ln(1x)三,利用积分概念,求下列极限。
高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社)习题三答案详解1. 确定下列函数的单调区间: (1) 3226187y x x x =---;解:所给函数在定义域(,)-∞+∞内连续、可导,且2612186(1)(3)y x x x x '=--=+-可得函数的两个驻点:121,3x x =-=,在(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞内,y '分别取+,–,+号,故知函数在(,1],[3,)-∞-+∞内单调增加,在[1,3]-内单调减少. (2) 82 (0)y x x x=+>;解: 函数有一个间断点0x =在定义域外,在定义域内处处可导,且282y x'=-,则函数有驻点2x =,在部分区间(0,2]内,0y '<;在[2,)+∞内y '>0,故知函数在[2,)+∞内单调增加,而在(0,2]内单调减少.(3) ln(y x =+; 解: 函数定义域为(,)-∞+∞,0y '=>,故函数在(,)-∞+∞上单调增加.(4) 3(1)(1)y x x =-+;解: 函数定义域为(,)-∞+∞,22(1)(21)y x x '=+-,则函数有驻点: 11,2x x =-=,在1(,]2-∞内, 0y '<,函数单调减少;在1[,)2+∞内, 0y '>,函数单调增加.(5) e(0,0)n xy x n n -=>≥;解: 函数定义域为[0,)+∞,11eee()n xn xxn y nx x xn x -----'=-=-函数的驻点为0,x x n ==,在[0,]n 上0y '>,函数单调增加;在[,]n +∞上0y '<,函数单调减少.(6) sin 2y x x =+; 解: 函数定义域为(,)-∞+∞,πsin 2, [π,π], ,2πsin 2, [π,π], .2x x x n n n y x x x n n n ⎧+∈+∈⎪⎪=⎨⎪-∈-∈⎪⎩Z Z 1) 当π[π,π]2x n n ∈+时, 12cos 2y x '=+,则 1π0cos 2[π,π]23y x x n n '≥⇔≥-⇔∈+; πππ0cos 2[π,π]232y x x n n '≤⇔≤-⇔∈++.2) 当π[π,π]2x n n ∈-时, 12cos 2y x '=-,则 1ππ0cos 2[π,π]226y x x n n '≥⇔≤⇔∈--1π0cos 2[π,π]26y x x n n '≤⇔≥⇔∈-. 综上所述,函数单调增加区间为πππ[,] ()223k k k z +∈,函数单调减少区间为ππππ[,] ()2322k k k z ++∈.(7) 54(2)(21)y x x =-+. 解: 函数定义域为(,)-∞+∞.4453345(2)(21)4(2)(21)2(21)(1811)(2)y x x x x x x x '=-++-+⋅=+--函数驻点为123111,,2218x x x =-==,在1(,]2+∞-内, 0y '>,函数单调增加,在111[,]218-上, 0y '<,函数单调减少,在11[,2]18上, 0y '>,函数单调增加, 在[2,)+∞内, 0y '>,函数单调增加.故函数的单调区间为: 1(,]2-∞-,111[,]218-,11[,)18+∞.2. 证明下列不等式:(1) 当π02x <<时, sin tan 2;x x x +>证明: 令()sin tan 2,f x x x x =--则22(1cos )(cos cos 1)()cos x x x f x x-++'=,当π02x <<时, ()0,()f x f x '>为严格单调增加的函数,故()(0)0f x f >=,即sin 2tan 2.x x x ->(2) 当01x <<时, 2esin 1.2xxx -+<+证明: 令2()=esin 12xxf x x -+--,则()=e cos x f x x x -'-+-,()=e sin 1e (sin 1)0x xf x x x --''--=-+<,则()f x '为严格单调减少的函数,故()(0)0f x f ''<=,即()f x 为严格单调减少的函数,从而()(0)f x f <=,即2esin 1.2xxx -+<+3. 试证:方程sin x x =只有一个实根. 证明:设()sin f x x x =-,则()c o s 10,f x x =-≤()f x 为严格单调减少的函数,因此()f x 至多只有一个实根.而(0)0f =,即0x =为()f x 的一个实根,故()f x 只有一个实根0x =,也就是sin x x =只有一个实根.4. 求下列函数的极值: (1) 223y x x =-+;解: 22y x '=-,令0y '=,得驻点1x =.又因20y ''=>,故1x =为极小值点,且极小值为(1)2y =. (2) 3223y x x =-;解: 266y x x '=-,令0y '=,得驻点120,1x x ==, 126y x ''=-,010,0x x y y ==''''<>,故极大值为(0)0y =,极小值为(1)1y =-.(3) 3226187y x x x =--+;解: 2612186(3)(1)y x x x x '=--=-+, 令0y '=,得驻点121,3x x =-=. 1212y x ''=-,130,0x x y y =-=''''<>,故极大值为(1)17y -=,极小值为(3)47y =-. (4) ln(1)y x x =-+; 解: 1101y x'=-=+,令0y '=,得驻点0x =.201,0(1)x y y x =''''=>+,故(0)0y =为极大值.(5) 422y x x =-+;解: 32444(1)y x x x x '=-+=-, 令0y '=,得驻点1231,0,1x x x =-==. 210124, 0,0,x x y x y y =±=''''''=-+<>故(1)1y ±=为极大值,(0)0y =为极小值.(6) y x =+ 解: 1y '=-令0y '=,得驻点13,4x =且在定义域(,1]-∞内有一不可导点21x =,当34x >时, 0y '<;当34x <时, 0y '>,故134x =为极大值点,且极大值为35()44y =. 因为函数定义域为1x ≤,故1x =不是极值点.(7)y =解:y '=,令0y '=,得驻点125x =.当125x >时, 0y '<;当125x <,0y '>,故极大值为12()5y =.(8) 223441x x y x x ++=++;解: 2131x y x x +=+++,22(2)(1)x x y x x -+'=++,令0y '=,得驻点122,0x x =-=. 2223(22)(1)2(21)(2)(1)x x x x x x y x x --+++++''=++200,0x x y y =-=''''><,故极大值为(0)4y =,极小值为8(2)3y -=.(9) e cos x y x =; 解: e (cos sin )x y x x '=-, 令0y '=,得驻点ππ (0,1,2,)4k x k k =+=±± .2e sin xy x ''=-,ππ2π(21)π440,0x k x k y y =+=++''''<>,故2π2π 4k x k =+为极大值点,其对应的极大值为π2π42()e2k k y x +=;21π(21)π 4k x k +=++为极小值点,对应的极小值为π(21)π421()e2k k y x +++=-.(10) 1x y x =;解: 11211ln (ln )x xx y x x x xx-''==,令0y '=,得驻点e x =.当e x >时, 0y '<,当e x <时, 0y '>,故极大值为1e (e)e y =. (11) 2e e xxy -=+;解: 2e ex xy -'=-,令0y '=,得驻点ln 22x =-.ln 222e e,0x xx y y -=-''''=+>,故极小值为ln 2()2y -=.(12) 232(1)y x =--; 解: y '=-,无驻点. y 的定义域为(,)-∞+∞,且y 在x =1处不可导,当x >1时0y '<,当x <1时, 0y '>,故有极大值为(1)2y =.(13) 1332(1)y x =-+; 解: y '=-.无驻点.y 在1x =-处不可导,但y '恒小于0,故y 无极值.(14) tan y x x =+.解: 21sec 0y x '=+>, y 为严格单调增加函数,无极值点.5. 试证明:如果函数32y ax bx cx d =+++满足条件230b ac -<,那么这函数没有极值. 证明:232y ax bx c '=++,令0y '=,得方程2320ax bx c ++=,由于 22(2)4(3)4(3)0b a c b ac ∆=-=-<,那么0y '=无实数根,不满足必要条件,从而y 无极值.6. 试问a 为何值时,函数1()sin sin 33f x a x x =+在π3x =处取得极值?它是极大值还是极小值?并求此极值. 解:f (x )为可导函数,故在π3x =处取得极值,必有π3π0()(cos cos 3)3x f a x x ='==+,得a =2.又π3π0()(2sin 3sin 3)3x f x x =''=<=--,所以π3x =是极大值点,极大值为π()3f =7. 求下列函数的最大值、最小值:254(1) (), (,0)f x x x x=-∈-∞;解:y 的定义域为(,0)-∞,322(27)0x y x+'==,得唯一驻点x =-3且当(,3]x ∈-∞-时,0y '<,y 单调递减;当[3,0)x ∈-时,0y '>,y 单调递增, 因此x =-3为y 的最小值点,最小值为f (-3)=27. 又lim ()x f x →-∞=+∞,故f (x )无最大值.(2) () [5,1]f x x x =+∈-;解:10y '=-=,在(5,1)-上得唯一驻点34x =,又53,(1)1,(5)544y y y ⎛⎫==-=⎪⎝⎭ ,故函数()f x 在[-5,1]上的最大值为545-.42(3) 82, 13y x x x =-+-≤≤.解:函数在(-1,3)中仅有两个驻点x =0及x =2,而 y (-1)=-5, y (0)=2, y (2)=-14, y (3)=11, 故在[-1,3]上,函数的最大值是11,最小值为-14.8. 设a 为非零常数,b 为正常数,求y =ax 2+bx 在以0和ba为端点的闭区间上的最大值和最小值.解:20y ax b '=+=得2b x a =-不可能属于以0和ba 为端点的闭区间上,而 22(0)0,bb y y a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,故当a >0时,函数的最大值为22bb y a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,最小值为(0)0y =;当a <0时,函数的最大值为(0)0y =,最小值为22bb y a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.9.求数列1000n +⎩⎭的最大的项.解:令1000y x =+,(1000)y x '===+令0y '=得x =1000.因为在(0,1000)上0y '>,在(1000,)+∞上0y '<,所以x =1000为函数y的极大值点,也是最大值点,m ax (1000)2000y y ==.故数列1000n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的最大项为10002000a =10. 已知a >0,试证:11()11f x xx a=+++-的最大值为21a a++.证明: 11,01111(),01111,11x x x a f x x a x x a x ax x a⎧+<⎪--+⎪⎪=+≤≤⎨+-+⎪⎪+>⎪++-⎩ 当x <0时,()()2211()011f x x x a '=+>--+;当0<x <a 时,()()2211()11f x x x a '=-++-+;此时令()0f x '=,得驻点2a x =,且422a f a ⎛⎫=⎪+⎝⎭, 当x >a 时,()()2211()011f x x x a '=--<++-,又lim ()0x f x →∞=,且2(0)()1a f f a a+==+.而()f x 的最大值只可能在驻点,分界点,及无穷远点处取得故 {}m ax 242(),,0121a af x aa a++==+++.11. 在半径为r 的球中内接一正圆柱体,使其体积为最大,求此圆柱体的高. 解:设圆柱体的高为h ,223πππ4V h r h h ⎛=⋅=-⎝令0V '=,得.3h =即圆柱体的高为3r 时,其体积为最大.12. 某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆形的形状(如12题图所示),设截面积为am 2,问底宽x 为多少时,才能使所用建造材料最省? 解:由题设知21π22x xy a ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭得 21π18π8a x a y x x x-==-截面的周长212112π()2πππ,2424π2()1,4a a l x x y x x x x x x xxal x x=++⋅=+-+=++'=+-令()0l x '=得唯一驻点x =.即当x =.13. 甲、乙两用户共用一台变压器(如13题图所示),问变压器设在输电干线AB 的何处时,所需电线最短? 解:所需电线为()(03)()L x x L x =+<<'=在0<x <3得唯一驻点x =1.2(km),即变压器设在输电干线离A 处1.2km 时,所需电线最短. 14. 在边长为a 的一块正方形铁皮的四个角上各截出一个小正方形,将四边上折焊成一个无盖方盒,问截去的小正方形边长为多大时,方盒的容积最大? 解:设小正方形边长为x 时方盒的容积最大.232222(2)44128V a x x x ax a x V x ax a=-⋅=-+'=-+令0V '=得驻点2a x =(不合题意,舍去),6a x =.即小正方形边长为6a 时方盒容积最大.15. 判定下列曲线的凹凸性:(1) y =4x -x 2;解:42,20y x y '''=-=-<,故知曲线在(,)-∞+∞内的图形是凸的.(2) y =sinh x ;解:cosh ,sinh .y x y x '''==由sinh x 的图形知,当(0,)x ∈+∞时,0y ''>,当(,0)x ∈-∞时,0y ''<, 故y =sinh x 的曲线图形在(,0]-∞内是凸的,在[0,)+∞内是凹的.1(3) (0)y x x x=+> ;解:23121,0y y xx'''=-=>,故曲线图形在(0,)+∞是凹的.(4) y =x arctan x . 解:2arctan 1x y x x'=++,2220(1)y x ''=>+故曲线图形在(,)-∞+∞内是凹的.16. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:32(1) 535y x x x =-++;解:23103y x x '=-+610y x ''=-,令0y ''=可得53x =.当53x <时,0y ''<,故曲线在5(,)3-∞内是凸弧; 当53x >时,0y ''>,故曲线在5[,)3+∞内是凹弧.因此520,327⎛⎫⎪⎝⎭是曲线的唯一拐点.(2) y =x e -x ;解:(1)e , e (2)x x y x y x --'''=-=-令0y ''=,得x =2当x >2时,0y ''>,即曲线在[2,)+∞内是凹的; 当x <2时,0y ''<,即曲线在(,2]-∞内是凸的. 因此(2,2e -2)为唯一的拐点.4(3) (1)e xy x =++;解:324(1)e , e 12(1)0x x y x y x '''=++=++> 故函数的图形在(,)-∞+∞内是凹的,没有拐点.(4) y =ln (x 2+1); 解:222222(1), 1(1)x x y y xx -'''==++令0y ''=得x =-1或x =1.当-1<x <1时,0y ''>,即曲线在[-1,1]内是凹的.当x >1或x <-1时,0y ''<,即在(,1],[1,)-∞-+∞内曲线是凸的. 因此拐点为(-1,ln2),(1,ln2).arctan (5) exy =;解:arctan arctan 222112e,e 1(1)xxx y y xx -'''==++令0y ''=得12x =.当12x >时,0y ''<,即曲线在1[,)2+∞内是凸的; 当12x <时,0y ''>,即曲线在1(,]2-∞内是凹的,故有唯一拐点1arctan21(,e)2.(6) y =x 4(12ln x -7).解:函数y 的定义域为(0,+∞)且在定义域内二阶可导.324(12ln 4),144ln .y x x y x x '''=-=令0y ''=,在(0,+∞),得x =1.当x >1时,0y ''>,即曲线在[1,)+∞内是凹的; 当0<x <1时,0y ''<,即曲线在(0,1]内是凸的, 故有唯一拐点(1,-7).17. 利用函数的图形的凹凸性,证明下列不等式:()1(1)(0,0,,1)22nn nx y x y x y n x y+⎛⎫>>>≠>+⎪⎝⎭; 证明:令 ()n f x x =12(),()(1)0n n f x nx f x n n x --'''==-> ,则曲线y =f (x )是凹的,因此,x y R +∀∈,()()22f x f y x y f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭, 即 1()22nn nx y x y +⎛⎫<+ ⎪⎝⎭. 2e e (2)e()2x yx y x y ++>≠ ;证明:令f (x )=e x()e ,()e 0x xf x f x '''==> .则曲线y =f (x )是凹的,,,x y R x y ∀∈≠则 ()()22f x f y x y f ++⎛⎫<⎪⎝⎭即 2e e e2x yx y++<.(3) ln ln ()ln(0,0,)2x y x x y y x y x y x y ++>+>>≠证明:令 f (x )=x ln x (x >0)1()ln 1,()0(0)f x x f x x x'''=+=>>则曲线()y f x =是凹的,,x y R +∀∈,x ≠y ,有()()22f x f y x y f ++⎛⎫<⎪⎝⎭即1ln(ln ln )222x y x y x x y y ++<+,即 ln ln ()ln 2x y x x y y x y ++>+.18. 求下列曲线的拐点:23(1) ,3;x t y t t ==+ 解:22223d 33d 3(1),d 2d 4y t y t xtxt+-==令22d 0d y x=,得t =1或t =-1则x =1,y =4或x =1,y =-4 当t >1或t <-1时,22d 0d y x>,曲线是凹的,当0<t <1或-1<t <0时,22d 0d y x<,曲线是凸的,故曲线有两个拐点(1,4),(1,-4).(2) x =2a cot θ, y =2a sin 2θ. 解:32d 22sin cos 2sin cos d 2(csc )y a xa θθθθθ⋅⋅==-⋅-222442222d 11(6sin cos 2sin )sin cos (3tan )d 2(csc )y xa aθθθθθθ=-+⋅=⋅--令22d 0d y x=,得π3θ=或π3θ=-,不妨设a >0tan θ>>时,即ππ33θ-<<时,22d 0d y x>,当tan θ>tan θ<π3θ<-或π3θ>时,22d 0d y x<,故当参数π3θ=或π3θ=-时,都是y 的拐点,且拐点为3,32a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭及3,32a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.19. 试证明:曲线211x y x -=+有三个拐点位于同一直线上.证明:22221(1)x x y x -++'=+,(1)y x ''=+令0y ''=,得1,22x x x =-=+=-当(,1)x ∈-∞-时,0y ''<;当(1,2x ∈--时0y ''>;当(22x ∈-+时0y ''<;当(2)x ∈++∞时0y ''>,因此,曲线有三个拐点(-1,-1),11(2(244---+-+.因为111212--+因此三个拐点在一条直线上.20. 问a ,b 为何值时,点(1,3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点? 解:y ′=3ax 2+2bx , y ″=6ax +2b 依题意有3620a b a b +=⎧⎨+=⎩解得 39,22a b =-=.21. 试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a ,b ,c ,d ,使得x =-2处曲线有水平切线,(1,-10)为拐点,且点(-2,44)在曲线上. 解:令f (x )= ax 3+bx 2+cx +d联立f (-2)=44,f ′(-2)=0,f (1)=-10,f ″(1)=0 可解得a =1,b =-3,c =-24,d =16.22. 试决定22(3)y k x =-中的k 的值,使曲线的拐点处的法线通过原点. 解:224(3),12(1)y kx x y k x '''=-=-令0y ''=,解得x =±1,代入原曲线方程得y =4k ,只要k ≠0,可验证(1,4k ),(-1,4k )是曲线的拐点.18x k y =±'=±,那么拐点处的法线斜率等于18k ,法线方程为18y x k= . 由于(1,4k ),(-1,4k )在此法线上,因此148k k =±, 得22321, 321k k ==-(舍去) 故18k =±=±.23. 设y =f (x )在x =x 0的某邻域内具有三阶连续导数,如果00()0,()0f x f x '''==,而0()0f x '''≠,试问x =x 0是否为极值点?为什么?又00(,())x f x 是否为拐点?为什么?答:因00()()0f x f x '''==,且0()0f x '''≠,则x =x 0不是极值点.又在0(,)U x δ中,00()()()()()()f x f x x x f xx f ηη''''''''''=+-=-,故()f x ''在0x 左侧与0()f x '''异号,在0x 右侧与0()f x '''同号,故()f x 在x =x 0左、右两侧凹凸性不同,即00(,())x f x 是拐点.24. 作出下列函数的图形:2(1)()1xf x x=+; 解:函数的定义域为(-∞,+∞),且为奇函数,2222222223121(1)(1)2(3)(1)x x xy x x x x y x +--'==++-''=+令0y '=,可得1x =±, 令0y ''=,得x =0,当x →∞时,y →0,故y =0是一条水平渐近线. 函数有极大值1(1)2f =,极小值1(1)2f -=-,有3个拐点,分别为,4⎛- ⎝⎭(0,0),4⎭,作图如上所示.(2) f(x)=x-2arctan x解:函数定义域为(-∞,+∞),且为奇函数,2222114(1)yxxyx'=-+''=+令y′=0,可得x=±1,令y″=0,可得x=0.又()2lim lim(1arctan)1x xf xxx x→∞→∞=-=且lim[()]lim(2arctan)πx xf x x x→+∞→+∞-=-=-故πy x=-是斜渐近线,由对称性知πy x=+亦是渐近线.函数有极小值π(1)12y=-,极大值π(1)12y-=-.(0,0)为拐点.作图如上所示.2(3) ()1xf xx=+;解:函数的定义域为,1x R x∈≠-.22232(1)(2)(1)(1)(1)2(1)x x x x xy xx xyx+-+'==≠-++''=+令0y'=得x=0,x=-2当(,2]x∈-∞-时,0,()y f x'>单调增加;当[2,1)x∈--时,0,()y f x'<单调减少;当(1,0]x∈-时,0,()y f x'<单调减少;当[0,)x ∈+∞时,0,()y f x '>单调增加, 故函数有极大值f (-2)=-4,有极小值f (0)=0 又211lim ()lim1x x xf x x→-→-==∞+,故x =-1为无穷型间断点且为铅直渐近线.又因()lim1x f x x→∞=, 且2lim (())lim 11x x x f x x x x →∞→∞⎡⎤-==--⎢⎥+⎣⎦,故曲线另有一斜渐近线y =x -1.综上所述,曲线图形为:(4)2(1)ex y --=.解:函数定义域为(-∞,+∞) .22(1)(1)22(1)e e2(241)x x y x y x x ----'=--''=⋅-+令0y '=,得x =1.令0y ''=,得12x =±.当(,1]x ∈-∞时,0,y '>函数单调增加; 当[1,)x ∈+∞时,0,y '<函数单调减少;当(,1[1,)22x ∈-∞-++∞ 时,0y ''>,曲线是凹的;当[122x ∈-+时,0y ''<,曲线是凸的,故函数有极大值f (1)=1,两个拐点:1122(1e),(1e)22A B ---+,又lim ()0x f x →∞=,故曲线有水平渐近线y =0.图形如下:25. 逻辑斯谛(Logistic)曲线族,,,,01ecxA y x ABC B -=-∞<<+∞>+建立了动物的生长模型. (1) 画出B =1时的曲线()1ecx A g x -=+的图像,参数A 的意义是什么(设x 表示时间,y 表示某种动物数量)? 解:2e ()0(1e)cxcxAc g x --'=>+,g (x )在(-∞,+∞)内单调增加,222244ee2(1e )ee(1e)()(1e)(1e )cxcxcxcxcxcxcxcxAc Ac Ac g x ---------+⋅+⋅--''==++当x >0时,()0,()g x g x ''<在(0,+∞)内是凸的. 当x <0时,()0,()g x g x ''>在(-∞,0)内是凹的. 当x =0时,()2A g x =.且lim ()0,lim ()x x g x g x A →-∞→+∞==.故曲线有两条渐近线y =0,y =A .且A 为该种动物数量(在特定环境中)最大值,即承载容量.如图:(2) 计算g (-x )+g (x ),并说明该和的意义;解:()()1e 1ecx cxA Ag x g x A --+=+=++.(3) 证明:曲线1e cxA yB -=+是对g (x )的图像所作的平移. 证明:∵()1e1eec x T cxcTA Ay B B -+--==++取e 1cT B -=,得ln B T c=即曲线1ecxA yB -=+是对g (x )的图像沿水平方向作了ln B T c=个单位的平移.26. 球的半径以速率v 改变,球的体积与表面积以怎样的速率改变?解: 324d π,π,.3d rV r A r v t===2d d d 4πd d d d d d 8πd d d V V r r vt rtAA r r v t r t=⋅=⋅=⋅=⋅27. 一点沿对数螺线e a r ϕ=运动,它的极径以角速度ω旋转,试求极径变化率. 解:d d d ee .d d d a a r r a a t tϕϕϕωωϕ=⋅=⋅⋅=28. 一点沿曲线2cos r a ϕ=运动,它的极径以角速度ω旋转,求这动点的横坐标与纵坐标的变化率.解: 22cos 2cos sin sin 2x a y a a ϕϕϕϕ⎧=⎨==⎩d d d 22cos (sin )2sin 2,d d d d d d 2cos 22cos .d d d x x a a t t y y a a ttϕϕϕωωϕϕϕϕωωϕϕ=⋅=⋅⋅-⋅=-=⋅=⋅=29. 椭圆22169400x y +=上哪些点的纵坐标减少的速率与它的横坐标增加的速率相同? 解:方程22169400x y +=两边同时对t 求导,得d d 32180d d x y x y t t ⋅+⋅=由d d d d x y tt-=. 得 161832,9y x y x ==代入椭圆方程得:29x =,163,.3x y =±=±即所求点为1616,3,3,33⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.30. 一个水槽长12m ,横截面是等边三角形,其边长为2m ,水以3m 3·min -1的速度注入水槽内,当水深0.5m 时,水面高度上升多快? 解:当水深为h 时,横截面为212s h =⋅=体积为22212V sh '====d d 2d d V h h tt=⋅当h =0.5m 时,31d 3m m in d V t-=⋅.故有d 320.5d h t=⋅,得d d 4h t=(m 3·min -1).31. 某人走过一桥的速度为4km ·h -1,同时一船在此人底下以8 km ·h-1的速度划过,此桥比船高200m ,求3min 后,人与船相离的速度. 解:设t 小时后,人与船相距s 公里,则d d s s t ===且120d 8.16d t s t==≈ (km ·h-1)32. 一动点沿抛物线y =x 2运动,它沿x 轴方向的分速度为3 cm ·s -1,求动点在点(2,4)时,沿y 轴的分速度.解: d d d 236.d d d y y xx x t x t =⋅=⋅=当x =2时,d 6212d y t=⨯= (cm ·s -1).33. 设一路灯高4 m ,一人高53m ,若人以56 m ·min -1的等速沿直线离开灯柱,证明:人影的长度以常速增长.证明:如图,设在t 时刻,人影的长度为y m.则 53456yy t=+化简得 d 7280,40,40d y y t y t t===(m ·min -1).即人影的长度的增长率为常值.34. 计算抛物线y =4x -x 2在它的顶点处的曲率. 解:y =-(x -2)2+4,故抛物线顶点为(2,4) 当x =2时, 0,2y y '''==- ,故 23/22.(1)y k y ''=='+35. 计算曲线y =cosh x 上点(0,1)处的曲率. 解:sinh ,cosh .y x y x '''==当x =0时,0,1y y '''== ,故 23/21.(1)y k y ''=='+36. 计算正弦曲线y =sin x 上点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的曲率. 解:cos ,sin y x y x '''==- . 当π2x =时,0,1y y '''==- ,故 23/21.(1)y k y ''=='+37. 求曲线y =ln(sec x )在点(x ,y )处的曲率及曲率半径. 解:2tan ,sec y x y x '''==故 223/223/2sec cos (1)(1tan )y x k x y x ''==='++ 1sec R x k==.38. 求曲线x =a cos 3t ,y = a sin 3t 在t =t 0处的曲率.解: 22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d yya t tt t x x a t t t===--, 22224d d d (tan )1sec 1(tan )d d d d 3cos sin 3sin cos d y t t t x xxta t ta t tt--=-=⋅==-,故 423/2123sin cos [1(tan )]3sin 2a t tk t a t==+- 且当t =t 0时, 023sin 2k a t =.39. 曲线弧y =sin x (0<x <π)上哪一点处的曲率半径最小?求出该点的曲率半径. 解:cos ,sin y x y x '''==- .23/223/2(1cos )1sin ,sin (1cos )x x R k xRx +===+显然R 最小就是k 最大, 225/22cos (1sin )(1cos )x x k x +'=+令0k '=,得π2x =为唯一驻点.在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内,0k '>,在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭内,0k '<.所以π2x =为k 的极大值点,从而也是最大值点,此时最小曲率半径为23/2π2(1cos )1sin x x R x=+==.40. 求曲线y =ln x 在与x 轴交点处的曲率圆方程. 解:由ln 0y x y =⎧⎨=⎩解得交点为(1,0).1112111,1 1.x x x x y xy x===='==''=-=-故曲率中心 212(1,0)(1)312x y y x y y y y αβ=⎧''⎡⎤+==-⎪⎢⎥''⎣⎦⎪⎨'⎡⎤+⎪==-+⎢⎥⎪''⎣⎦⎩曲率半径为R =故曲率圆方程为:22(3)(2)8x y -++=. 41. 一飞机沿抛物线路径210000xy =( y 轴铅直向上,单位为m )做俯冲飞行,在坐标原点O处飞机速度v =200 m ·s -1,飞行员体重G =70kg ,求飞机俯冲至最低点即原点O 处时,座椅对飞行员的反力.解:0010,5000x x y y =='''== ,23/2(1)5000y R y '+==''飞行员在飞机俯冲时受到的向心力22702005605000m v F R⋅=== (牛顿)故座椅对飞行员的反力560709.81246F =+⨯= (牛顿).42. 设总收入和总成本分别由以下两式给出:2()50.003,()300 1.1R q q q C q q =-=+其中q 为产量,0≤q ≤1000,求:(1)边际成本;(2)获得最大利润时的产量;(3)怎样的生产量能使盈亏平衡?解:(1) 边际成本为:()(300 1.1) 1.1.C q q ''=+=(2) 利润函数为2()()() 3.90.003300() 3.90.006L q R q C q q q L q q=-=--'=-令()0L q '=,得650q =即为获得最大利润时的产量. (3) 盈亏平衡时: R (q )=C (q ) 即 3.9q -0.003q 2-300=0q 2-1300q +100000=0 解得q =1218(舍去),q =82.43. 设生产q 件产品的总成本C (q )由下式给出:C (q )=0.01q 3-0.6q 2+13q .(1)设每件产品的价格为7元,企业的最大利润是多少?(2)当固定生产水平为34件时,若每件价格每提高1元时少卖出2件,问是否应该提高价格?如果是,价格应该提高多少? 解:(1) 利润函数为32322()70.010.6130.010.66()0.03 1.26L q q q q q q q q L q q q =-+-=-+-'=-+-令()0L q '=,得 231206000q q -+= 即 2402000q q -+=得20q =-(舍去) 2034.q =+≈ 此时, 32(34)0.01340.63463496.56L =-⨯+⨯-⨯=(元)(2)设价格提高x 元,此时利润函数为2()(7)(342)(34)220379.44L x x x C x x =+--=-++令()0L x '=, 得5x =(5)121.5696.56L =>故应该提高价格,且应提高5元.44. 求下列初等函数的边际函数、弹性和增长率:(1) y =ax +b ;(其中a ,b ∈R ,a ≠0) 解:y ′=a 即为边际函数.弹性为: 1Ey axa x Ex axb ax b=⋅⋅=++, 增长率为: y aax bγ=+.(2) y =a e bx;解:边际函数为:y ′=ab e bx弹性为: 1e e bxbx Ey ab x bx Ex a =⋅⋅=,增长率为: e ebxy bxab b a γ==.(3) y =x a解:边际函数为:y ′=ax a -1.弹性为: 11a a Ey ax x a Ex x -=⋅⋅=,增长率为: 1.a y aax a xxγ-==45. 设某种商品的需求弹性为0.8,则当价格分别提高10%,20%时,需求量将如何变化? 解:因弹性的经济意义为:当自变量x 变动1%,则其函数值将变动%E y E x ⎛⎫⎪⎝⎭.故当价格分别提高10%,20%时,需求量将分别提高0.8×10%=8%,0.8×20%=16%. 46. 国民收入的年增长率为7.1%,若人口的增长率为1.2%,则人均收入年增长率为多少?解:人均收入年增长率=国民收入的年增长率-人口增长率=7.1%-1.2%=5.9%.。
高等数学上(复旦大学出版社,第四版)教材习题答案第四章,一元函数积分学。
第三节 不定积分与原函数求法,习题4-3,答案5.0 用分部积分,求下列不定积分。
东风冷雪1.0=-=--=--=-+-=-+++⎰⎰⎰⎰⎰222222x sinxdxx dcosx (x cosx 2xcosxdx)(x cosx 2xdsinx)x cosx 2xsinx 2sinxdx x cosx 2xsinx 2cosx c2.0------=-=--=--+⎰⎰⎰x x x x x x xe dx xde (xe e dx)xe e c3.0==-=-+⎰⎰⎰22222111ln xdx (x ln x x *dx)22x11x ln x x c 24x ln xdx4.0==-++-=-+=--+=-+++⎰⎰⎰⎰23332232322322x arctanxdx111x arctanxdx x arctanx 3331x 11x(1x )x x arctanx dx 331x 1111x arctanx (x ln |1x |)3322111x arctanx x ln |1x |c 3665.0=+=-=-+⎰2arccosxdxx *arccosx x *arccosx x *arccosx c6.0=-=-=--=+-=+-+⎰⎰⎰⎰⎰222222x tan xdx1x(sec x 1)dx xdtanx x 21dcos x 1x tanx tanxdx x x tanx x 2cos x 21x tanx ln |cos x |x c 2 7.0------------==-=--=-=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x x x x x x x x x x e cos xdxe dsinx e sinx e dcos xe sinx e cos x cos xe dx2e cos xdx e sinx e cos x1e cos xdx e (sinx cos x)c 28.0==-=--=-++⎰⎰⎰⎰xsinxcosxdx11xsin2xdx xdcos2x 24111(xcos2x cos2xdx)xcos2x sin2x c 4489.0=-=--=-+=--+=---=---+=-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰323233223232232232(lnx)dxx 1ln x 3ln x ln x 1ln xd ()(3ln xd )x x x x xln x 3ln x 6lnx ln x 3ln x 1dx 6lnxd x x x x x xln x 3ln x 6lnx 6dx x x x x 1(ln x 3ln x 6lnx 6)c x10.0===-=--=++-=+++=+=++⎰⎰⎰⎰⎰222222222atant,a sec tdtant a sec t tant a tan tsec tdta (sec t tant (sec t 1)sec tdta (sec t tant ln |sec t tant |sec tdtant)1a (sec t tant ln |sec t tant |)21x x a (*ln ||2a a a 1ln |x 2+|c6.0 求下列不定积分;1.0++-+=+++-+-+-+-+++=+==-=+=-++-+-+=-+++⎰⎰⎰222222222222x 1dx(x 1)(x 1)x 1a b c x 1x 1(x 1)(x 1)(x 1)a(x 1)b(x 1)c(x 2x 1)x 111a ,b 1,c 2211x 1122dx ()dx x 1x 1(x 1)(x 1)(x 1)11ln |x 1|c 2x 12.0++=+++-+-+-++++===-=-==-++-+-+--=+--+=+--++-+=+⎰⎰⎰⎰⎰3222222223dx x 13a bx c x 1(x 1)(x x 1)x x 1a(x x 1)(bx c)(x 1)3a 1,b 1,c 23dx 1x 2dx ()dx x 1(x 1)(x x 1)x x 112x 13ln |x 1|2x x 1131ln |x 1|ln |x x 1|1322(x )24ln |+2c3.0 (这道题,有些坑人,没有意思)+--+-+-++-=----=++++---=+++-+-+-=++-+-+-=-+++-==-=-⎰⎰⎰⎰5423332332233323222x x 8x (x x)x(x x)x x x x 8dx dx x x x x 123x x 33(x x 1)dx x x x x 23x 1113x x x ln |x x |dx 323x(x 1)(x 1)23x a b c 3x(x 1)(x 1)x x 1x 123x a(x 1)b(x x)c(x x)323101a ,b ,c 33-=---+-+=---++++-+---+=---++--=+++--⎰⎰⎰543323323x 12310133dx ()x(x 1)(x 1)3x x 1x 1231013ln |x |ln |x 1|ln |x 1|3331(ln |x |ln |x 1|ln |x 1|23ln |x |10ln |x 1|13ln |x 1|31ln(24ln |x |9ln |x 1|12ln |x 1|)3x x 8dxx x 11x x x 8ln |x |3ln |x 1|32-++4ln |x 1|c 4.0+==++⎰⎰263332x dxx 11dx 1arctanx c 33(x )15.0+-==-=--=-++⎰⎰⎰⎰222sinx dx1sinx sinx(1sinx)dx (tanxsecx tan x)dx cos xsecx (sec x 1)dx secx tanx x c6.0++==+--+==+-++++++-==-=-=-+⎰⎰⎰⎰⎰222222222cot x dxsinx cos x 1x 2t tan ,dx dt 21t 1t 21t 1t 22t *dt **dt 2t 22t 2t 1t 1t 1t 11t 1t 11t 1111()dt (1)dt lnt t 2t 2t 221x 1x ln |tan |tan c 22227.0=====+=++⎰⎰⎰2sect 2sec t tant dt 2sectdt sect tant 2ln |sect tant |2ln ||c8.0==-===-=-+=-+++=-+++⎰⎰⎰(1t,2tdt12(1)2t2ln|1t|2ln|1t11tx4ln|1|c记住口诀,反,对,幂,指,三。
高等数学(上)第一章 函数与极限1. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x ,求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6sin )6(ππϕ=21= 224sin )4(==ππϕ()0222)4sin()4(==-=-ϕππϕ2. 设()x f 的定义域为[]1,0,问:⑴()2x f ;⑵()x f s i n ; ⑶()()0>+a a x f ; ⑷()()a x f a x f -++()0>a 的定义域是什么?(1)][;,-的定义域为所以知-11)(,111022x f x x ≤≤≤≤ []ππππ)12(,2)(sin ),()12(21sin 0)2(+∈+≤≤≤≤k k x f Z k k x k x 的定义域为所以知由][a a a x f ax a a x -+-≤≤≤+≤1,)(110)3(-的定义域为所以知-由][φ时,定义域为当时,定义域为当从而得-知由211,210111010)4(>-≤<⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a a a a a x a a x a a x a x3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ,()xe x g =,求()[]x gf 和()[]x fg ,并做出这两个函数的图形。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=-1,1,11,)]([.)20,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([.)11)(x e x x e e x f g x x x x g f x g x g x g x g f x f 从而得4.设数列{}nx 有界,又,0lim =∞→nn y证明:.0lim =∞→n n n y x{}结论成立。
从而时,有,当自然数即又有对有界,∴=<=-<>∃>∀=≤∀>∃∴∞→ ..0)(,0,0lim ,,0εεεεMM y x y x My N n N y Mx n M x n n n n n n n n n5. 根据函数的定义证明: ⑴()813lim 3=-→x x8)13(lim 813303,033,33813,03=-<--<-<>∀<-<-=-->∀→x x x x x x x 所以成立时,恒有,当=取故即可。
习题四1. 利用定义计算下列定积分: (1)d ();bax x a b <⎰解:将区间[a , b ]n 等分,分点为(), 1,2,,1;i i b a x a i n n-=+=- 记每个小区间1[,]i i x x -长度为,i b ax n-∆=取, 1,2,,,i i x i n ξ== 则得和式211()2(1)()[()]()2n ni i i i i b a b a n n f x a b a a b a n n n ξ==--+∆=+-⋅=-+∑∑ 由定积分定义得220122()(1) d lim ()lim[()]21().2nbi i an i b a n n x x f x a b a nb a λξ→→∞=-+=∆=-+=-∑⎰(2)1e d .x x ⎰解:将区间[0, 1] n 等分,分点为 (1,2,,1),i ix i n n==-记每个小区间长度1,i x n∆=取 (1,2,,),i i x i n ξ==则和式111()i n nni i i i f x enξ==∆=∑∑ 12101111111e d lim e lim (e e e )1e (1e )1e (e 1)limlim 1e e 11e (e 1)1lim e 1.1i n n xn n n nn n i n nnnn n n n n x n n n nn n n →∞→∞=→∞→∞→∞==+++--==---==-∑⎰2. 利用定积分概念求下列极限:111(1)lim 122n n n n →+∞⎛⎫+++⎪++⎝⎭解:原式11011111lim d ln 2.ln(1)121111n x x n n x n n n →+∞⎛⎫+++⎪=⋅===++++ ⎪+⎝⎭⎰221(2)lim).n n n →+∞+解:原式13200122lim ..33n n x x n n →+∞⎫====+⎪⎭⎰3. 用定积分的几何意义求下列积分值:1(1)2 d x x ⎰;解:由几何意义可知,该定积分的值等于由x 轴、直线x =1、y =2x 所围成的三角形的面积,故原式=1.(2)(0)x R >⎰.解:由几何意义可知,该定积分的值等于以原点为圆心,半径为R 的圆在第一象限内的面积,故原式=21π4R . 4. 证明下列不等式:2e 22e(1)e e ln d 2(e e)x x -≤≤-⎰;证明:当2e e x ≤≤时,2ln e ln ln e ,x ≤≤即1ln e.x ≤≤ 由积分的保序性知:222e e e e eed ln d 2d x x x x ≤≤⎰⎰⎰即 2e 22ee e ln d 2(e e).x x -≤≤-⎰(2) 211e d e.x x ≤≤⎰证明:当0 1.x ≤≤时,21e e,x ≤≤由积分的保序性知:2111d ed ed x x x x ≤≤⎰⎰⎰即211ed e.x x ≤≤⎰5. 证明: (1) 10lim0;nn x →∞=⎰证明:当102x ≤≤时,0,nn x ≤≤于是111200110d (),12n n x x n +≤≤=⋅+⎰⎰ 而111lim()0,12n n n +→∞⋅=+由夹逼准则知:10lim 0.nn x →∞=⎰(2) π4limsin d 0.n n x x →∞=⎰证明:由中值定理得π440ππsin d sin (0)sin ,44n n x x ξξ=⋅-=⎰其中π0,4ξ≤≤故π4πlim sin d lim sin 0 ( 0sin 1).4n n n n x x ξξ→∞→∞==≤<⎰6. 计算下列定积分:3(1);x ⎰解:原式43238233x ==-221(2)d x x x --⎰;解:原式01222211()d ()d ()d x x x x x x x x x -=-+-+-⎰⎰⎰1232233210111111132233251511.6666x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++= π(3)()d f x x ⎰,其中π,0,2()πsin ,π;2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩ 解:原式πππ2π222π0π221πd sin d cos 1.28x x x x xx=+=-=+⎰⎰ 222(4)max{1,}d ;x x -⎰解:原式121122233211212011d d d 2.333x x x x x x x -----=++=++=⎰⎰⎰(5).x解:原式πππ242π04d (cos sin )d (sin cos )d sin cos x x x x x x x x x ==-+--⎰⎰⎰ππ24π04(sin cos )(cos sin )1).x x x x =++--=7. 计算下列导数:2d (1)d x t x ⎰解:原式2=32d (2)d x x x ⎰解:原式32200d d d d x x x x =-=⎰⎰ 8. 求由参数式2020sin d cos d t t x u uy u u⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定的函数y 对x 的导数d d y x .解:222d d cos d cot .d d sin d yy t t t x x t t=== 9. 求由方程e d cos d 0yxt t t t +=⎰⎰所确定的隐函数()y y x =的导数.解:方程两边对x 求导,有e cos 0y y x '⋅+=又 e 1sin yx =- 故 cos sin 1xy x '=-.10. 求下列极限:203ln(12)d (1)lim;xx t tx→+⎰解:原式21222300ln(12)22lim limln(12).333x x x x x x →→+==+= 2220020e d (2)lim .e d xt x x tt t t→⎡⎤⎣⎦⎰⎰ 解:原式2222222002e d ee d 1lim2lim2lim2.12e e xxt x t xxx x x t tx x x →→→⋅====+⎰⎰11. a , b , c 取何实数值才能使201lim sin x bx t c x ax →=-⎰ 成立.解:因为0x →时,sin 0x ax -→而该极限又存在,故b =0.用洛必达法则,有220000,1,lim lim 2cos cos lim 2, 1.sin x x x a x x x x a x a a x →→→≠⎧⎪==⎨--=-=⎪-⎩所以 1,0,2a b c ===- 或 1,0,0a b c ≠==.12. 利用基本积分公式及性质求下列积分:2(1)5)d x x -;解:原式51732222210d 5d 73x x x x x x c =-=-+⎰⎰. (2)3e d x x x ⎰;解:原式=(3e)(3e)d .ln(3e)xxx c =+⎰23(3)d ;1x x⎛ +⎝⎰ 解:原式=321d 23arctan 2arcsin .1x x x x c x -=-++⎰22(4)d ;1x x x+⎰ 解:原式=22211d d d arcsin .11x xx x x x c x x +-=-=-+++⎰⎰⎰2(5)sin d 2x x ⎰; 解:原式=1cos 1d sin .222x x x x c -=-+⎰21(6);1x x ⎛- ⎝⎰解:原式=357144444d d 4.7x x x x x x c ---=++⎰⎰2d (7);x x⎰解:原式=21d x x c x-=-+⎰.(8);x ⎰解:原式=35222d 5x x x c =+⎰.(9)解:原式=25322d 3x x x c --=-+⎰.2(10)(32)d ;x x x -+⎰解:原式=32132.32x x x c -++ 422331(11)d ;1x x x x +++⎰解:原式=23213d d arctan .1x x x x x c x +=+++⎰⎰3(12)d 2e x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰;解:原式=2e 3ln .xx c ++(13)e d ;1x xx-⎛ ⎝⎰解:原式=e d e .xx x x c-=-⎰2352(14)d ;3x xxx ⋅-⋅⎰解:原式=5222d 5d 2233ln 3x xx x x c ⎛⎫⎛⎫-=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰. (15)sec (sec tan )d x x x x -⎰;解:原式=2sec d sec tan d tan sec x x x x x x x c -=-+⎰⎰.1(16)d 1cos 2x x+⎰;解:原式=22111d sec d tan 2cos 22x x x x c x ==+⎰⎰. cos 2(17)d cos sin xx x x-⎰;解:原式=(cos sin )d sin cos .x x x x x c +=-+⎰22cos 2(18)d cos sin xx x x⎰.解:原式=2211d d cot tan .sin cos x x x x c x x-=--+⎰⎰ 13. 一平面曲线过点(1,0),且曲线上任一点(x , y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程.解:依题意知:22y x '=- 两边积分,有22y x x c =-+又x =1时,y =0代入上式得c =1,故所求曲线方程为221y x x =-+. 14. (略).15. 利用换元法求下列积分:2(1)cos()d x x x ⎰;解:原式=22211cos d sin .22x x x c =+⎰(2)x ;解:原式=12333(sin cos )d(sin cos )(sin cos ).2x x x x x x c ---=-+⎰21x -解:原式=1d 112x c =+-+⎰.c =+ 3(4)cos d x x ⎰;解:原式=231(1sin )d sin sin sin .3x x x x c -=-+⎰(5)cos cos d 2xx x ⎰;解:原式=1133d sin sin .cos cos 232222x x x x c x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰ (6)sin 2cos3d x x x ⎰;解:原式=111(sin 5sin )d cos cos5.2210x x x x x c -=-+⎰2arccos (7)x x ;解:原式=2arccos 2arccos 1110d(2arccos )10.22ln10x xx c -=-⋅+⎰ 21ln (8)d (ln )xx x x +⎰; 解:原式=21(ln )d(ln ).ln x x x x c x x-=-+⎰(9)x ;解:原式=22arctan(arctan .c =+⎰ln tan (10)d cos sin xx x x⎰;解:原式=21ln tan d(ln tan )(ln tan ).2x x x c =+⎰5(11)e d x x -⎰;解:原式=51e5xc --+.12x -解:原式=1ln .122c x -+-(13)t ;解:原式=2sin .c =-⎰102(14)tan sec d x x x ⎰;解:原式=10111tan d(tan )tan .10x x x c =+⎰2d (15)ln xx x⎰;解:原式=21(ln )d(ln ).ln x x c x--=+⎰(16)x ⎰;解:原式=ln .c =-+⎰d (17)sin cos xx x⎰;解:原式=2d d tan ln .tan tan cos tan x xc x x x x==+⎰⎰ 2(18)e d x x x -⎰;解:原式=22211e d()e .22x x x c ----=-+⎰ 10(19)(4)d x x +⎰;解:原式=111(4)11x c ++.(20)解:原式=123311(23)d(23)(23)32x x x c ----=--+⎰.2(21)cos()d x x x ⎰;解:原式=2211sin()sin().22d x x c =+⎰(22)x ; 解:原式=122222d 1()d()2x x a a x a x -⎛⎫ ⎪=---⎰arcsin .xa c a=⋅- d (23)e ex xx-+⎰; 解:原式=2d(e )arctane .1(e )x x x c =++⎰ ln (24)d xx x⎰; 解:原式=21ln d(ln )(ln ).2x x x c =+⎰23(25)sin cos d x x x ⎰;解:原式=223511sin (1sin )d(sin )sin sin .35x x x x x c -=-+⎰(26)解:原式32tan 444sec cos 1sin d d d(sin )tan sin sin x tt t tt t t t t t =-==⎰⎰⎰令311,3sin sin c t t=-++又cos t t ==故上式.c =+(27);d ln |1|ln(1.1tt t t c c t =-++=++(28);x解:原式3sec 223tan d 3(sec 1)d 3tan 3x tt t t t t t c ==-=-+⎰⎰令,又3tan arccos ,t t x === 故上式33arccosc x+. (29);解:原式2tan 3sec d cos d sin sec x ttt t t t c t ===+⎰⎰令,又sec t =所以sin t =故上式c =+.(30)解:原式sin cos d sin cos x ttt t t =+⎰令① sin d sin cos tt t t +⎰②① + ② = t + c 1② - ① = ln |sin t +cos t | + c 2 故cos 1d ln sin cos sin cos 2211arcsin ln .22t t t ct t t t x c x =++++=+++⎰16. 用分部积分法求下列不定积分:2(1)sin d x x x ⎰;解:原式=222d cos cos 2cos d cos 2d sin x x x x x x x x x x x -=-+⋅=-+⎰⎰⎰2cos 2sin 2cos .x x x x x c =-+++ (2)e d x x x -⎰;解:原式=de e e d e e .x x x x xx x x x c ------=-+=--+⎰⎰(3)ln d x x x ⎰;解:原式=222211111ln d ln d ln 22224x x x x x x x x x c ⋅=-=-+⎰⎰. 2(4)arctan d x x x ⎰;解:原式=3332111arctan d arctan d 3331x x x x x x x=-+⎰⎰ 322111arctan ln(1).366x x x x c =-+++ (5)arccos d x x ⎰;解:原式=arccos arccos x x x x x c +=.2(6)tan d x x x ⎰;解:原式=22211(sec 1)d d tan tan tan d 22x x x x x x x x x x x -=-=--⎰⎰⎰ 21tan ln .cos 2x x x c x =+-+ (7)e cos d x x x -⎰;解:e cos d e d sin e sin e sin d x x x xx x x x x x ----==⋅+⎰⎰⎰e sin e d cos e sin e cos e cos d x x x x x x x x x x x -----=-=--⎰⎰∴原式=1e (sin cos ).2xx x c --+ (8)sin cos d x x x x ⎰;解:原式=1111sin 2d d cos 2cos 2cos 2d 2444x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰ 11cos 2sin 248x x x c =-++.32(ln )(9)d x x x ⎰;解:原式=332111(ln )d (ln )3(ln )d x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 32131(ln )(ln )6ln d x x x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰321366(ln )(ln )ln .x x x c x x x x=----+(10)x .解:原式tan 23sec d .x a ta t t =⎰又32sec d sec (tan 1)d tan d(sec )sec d t t t t t t t t t =+=+⎰⎰⎰⎰ 3tan sec sec d ln sec tan t t t t t t =⋅-++⎰所以 311sec d tan sec ln sec tan 22t t t t c t t '=+++⎰ 故11ln .22x c x =++17. 求下列不定积分:221(1)d (1)(1)x x x x ++-⎰; 解:原式=2111111d ln ln 1122122(1)(1)(1)x c x x x x x x ⎛⎫ ⎪-=++++-++ ⎪+++-⎝⎭⎰ 211ln .112c x x =++-+ 33d (2)1x x +⎰;解:原式=22211112d ln ln d 1122111x x x x x x x x x x x -+⎛⎫=-+++-+⎪-++-+⎝⎭⎰⎰c =++. 5438(3)d x x x x x+--⎰; 解:原式=2843d 111x x x x x x ⎛⎫+++-- ⎪+-⎝⎭⎰ 32118ln 4ln 3ln .1132x x x c x x x =+++--++- 26(4)d 1x x x +⎰;解:原式=33321d()1arctan .31()3x x c x =++⎰ sin (5)d 1sin xx x +⎰;解:原式=222sin 1d tan d (sec 1)d sec tan .cos cos x x x x x x x x x c x x -=--=-++⎰⎰⎰ cot (6)d sin cos 1xx x x ++⎰;解:原式22tan 222222212d 1111111d d d 22(1)22211111x t t t t t t t t t t t t t t t t t t =-⋅-++==-+⎛⎫-++⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰令1111ln ln tan .tan 222222x x t c c t =-+=-+(7)x ;解:原式=2.c =+(8)x ;解:原式=2d 2ln 21x x x x x ⎛=+-+⎝⎰ 又2x2221d 44d 11t t t t t t =+--⎰⎰142ln1t t c c t -''=++=+故原式=1)x c -+.18. 求下列不定积分,并用求导方法验证其结果正确否:d (1)1e xx+⎰; 解:原式=e d 11de ln(1e ).e (1e )e 1e x x x x x x x x x c ⎛⎫==-++- ⎪++⎝⎭⎰⎰验证:e 1(ln(1e ))1.1e 1e x xx xx c '-++=-=++ 所以,结论成立.(2)ln(x x ⎰;解:原式=ln(ln(.x x x x x c -=+验证:ln(ln(x x x x c '⎡⎤=+⎣⎦ln(x =所以,结论成立.2(3)ln(1)d x x +⎰;解:原式=2222ln(1)2d ln(1)22arctan 1x x x x x x x x c x+-=+-+++⎰. 验证:2222222ln(1)2ln(1).ln(1)22arctan 11x x x x x x x x c x x'=++⋅-+=+⎡⎤+-++⎣⎦++ 所以,结论正确.(4)x ;解:原式=9212)arcsin (.232x x x c ++=++验证:921arcsin (232x x '+⎡++⎢⎣211(2)32x =+== 所以,结论正确.(5)sin(ln )d x x ⎰;解:1sin(ln )d sin(ln )cos(ln )d x x x x x x x x=-⋅⋅⎰⎰ sin(ln )cos(ln )sin(ln )d x x x x x x =--⎰所以,原式=().sin(ln )cos(ln )2xc x x +- 验证: ()sin(ln )cos(ln )2x c x x '⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦()111sin(ln )cos(ln )cos(ln )sin(ln )22sin(ln ).x x x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+⋅ ⎪⎝⎭= 故结论成立.2e (6)d (e 1)xx x x +⎰; 解:原式=1e 1d d d e 1e 1e 11e e 1x x x x x x x x x x x --⎛⎫-=-+=-+ ⎪+++++⎝⎭⎰⎰⎰ ln(1e ).e 1xxx c --=-+++ 验证:22(e 1)e e e ln(1e )(e 1)1e (e 1)e 1x xx x xx x x x x x x c ---'-++--⎡⎤=-=-++⎢⎥++++⎣⎦. 故结论成立.23/2ln (7)d (1)xx x +⎰;解:原式=1ln d d ln(.x x x c x ==-++⎰ 验证:ln(x c '⎤++⎥⎦2223/223/2(1ln )(1)ln ln .(1)(1)x x x x x x x =++-==++所以,结论成立.sin (8)d 1cos x x x x++⎰;解:原式=2dcos d d tan ln(1cos )1cos 22cos 2x x xx x x x x -=-++⎰⎰⎰tan tan d ln(1cos )22tan ln(1cos )ln(1cos )2tan 2x xx x x xx x x c x x c=--+=++-++=+⎰验证:2221sin sin (tan)tan sec 22221cos 2cos 2cos 22x x x x x x xx c x x x x+'+=+⋅=+=+ 所以,原式成立.(9)()d xf x x ''⎰;解:原式=d ()()()d ()().x f x xf x f x x xf x f x c ''''=-=-+⎰⎰验证:[]()()()().()()f x xf x f x xf x xf x f x c ''''''''=+-=-+ 故结论成立.(10)sin d n x x ⎰ (n >1,且为正整数).解:1sin d sin d cos n n n I x x x x -==-⎰⎰1221212cos sin (1)cos sin d cos sin (1)sin d (1)sin d cos sin (1)(1)n n n n n n n nx x n x x xx x n x x n x x x x n I n I ------=-+-=-+---=-+---⎰⎰⎰ 故 1211cos sin .n n n n I x x I n n---=-+ 验证: 1211cos sin sin d n n n x x x x n n --'-⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦⎰ 22222111sin cos (1)sin cos sin 111sin (1sin )sin sin sin .n n n n n n n n x x n x x x n n n n n x x x x n n n x -----=-⋅-⋅+--=--+= 故结论成立.19. 求不定积分max(1,)d x x ⎰.解: ,1max(1,)1,11,1x x x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩故原式=212231,12,111,12x c x x c x x c x ⎧-+<-⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪+>⎩又由函数的连续性,可知:213111,1,2c c c c c c =+=+= 所以 221,121max(1,)d ,11211,12x c x x x c x x x c x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-≤≤⎨⎪⎪++>⎪⎩⎰20. 利用被积函数奇偶性计算下列积分值(其中a 为正常数)(1)sin d ;||aa xx x -⎰解:因sin ||xx 为[-a , a ]上的奇函数, 故sin d 0.||aa xx x -=⎰(2)ln(aax x -⎰;解:因为ln(ln(x x -=-+即被积函数为奇函数,所以原式=0.12212sin tan (3)d ln(1)3cos3x x x x x -⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦⎰;解:因为2sin tan 3cos3x xx+为奇函数,故原式=111222111222d 0ln(1)d ln(1)1xx x x x x x---++-=--⎰⎰()121231ln3ln 2 1.ln3ln 2ln(1)22x x -==----+-π242π23(4)sin d sin ln 3x x x x x -+⎛⎫+ ⎪-⎝⎭⎰.解:因为3ln3xx+-是奇函数,故 原式=ππ6622π02531π5sin d 2sin d 2π642216x x x x -==⋅⋅⋅⋅=⎰⎰21. 计算下列积分:4(1)x ⎰;333211221313d .36222t t t t ⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2e 1(2)⎰;解:原式=221e211).(1ln )d(1ln )x x -=++=⎰1(3);解:原式=211112⎛⎫+ ⎪-== π40sin (4)d 1sin xx x+⎰;解:原式=πππ244422000sin(1sin )sin d d tan d cos cos x x x x x x x x-=-⎰⎰⎰π40π1 2.tan 4cos x x x ⎛⎫==+-+ ⎪⎝⎭ ln3ln 2d (5)e e x xx--⎰;解:原式=ln3ln32ln 2ln 2de 113e 1ln ln .(e )1222e 1x x x x-==-+⎰(6)x ⎰;解:原式=πππ2π02d cos d cos d cos x x x x x x x ==⎰⎰ππ2π02x x==(7)x ⎰;解:原式=π33π222π02d sin dsin sin dsin x x x x x x =-⎰⎰⎰ππ55222π02422.sin sin 555x x =-=231(8)ln d x x x ⎰;解:原式=22243411111151ln d d 4ln 2.ln 44164x x x x x x =-=-⎰⎰π220(9)e cos d x x x ⎰;解:ππππ222222220e cos d e dsin e sin 2e sin d xx xx x x x xx x ==⋅-⎰⎰⎰πππ2π2π22220e 2e dcos e 2e cos 4e cos d xxx x xx x =+=+-⎰⎰所以,原式=π1(e 2)5-.120ln(1)(10)d (2)x x x +-⎰;解:原式=111000111ln(1)ln(1)d d 2212x x x x x x x ++=-⋅--+-⎰⎰101100111ln 2d 321111ln 2ln 2ln(2)ln(1)333xx x x x ⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭=+-=-+⎰322d (11)2xx x +-⎰;解:原式=3322111111d ln ln 2ln5.333122x x x x x -⎛⎫==-- ⎪-++⎝⎭⎰21(12)x ⎰; 解:原式11611d 6d (1)t 1t t t t t ⎫=-⎪++⎝⎭()67ln 26ln ln ln(1)1t t ==--+ππ3π(13)sin d 3x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰;解:原式ππ3πcos 03x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭ 212(14)e d t t t -⎰;解:原式=221212200ed e 12t t t --⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭⎰π22π6(15)cos d u u ⎰.解:原式=ππ22ππ661π11(1cos 2)d sin 22624u u u u ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭⎰ 22. 证明下列等式:232001(1)()d ()d 2aa x f x x xf x x =⎰⎰ (a 为正常数);证明:左222222000111()d()()d ()d 222a a a x t x f x x tf t t xf x x ====⎰⎰⎰令右 所以,等式成立.(2)若()[,]f x C a b ∈,则ππ220(sin )d (cos )d f x x f x x =⎰⎰.证明:左πππ0222π02(cos )(d )(cos )d (cos )d x tf t t f t t f x x =--==⎰⎰⎰令.所以,等式成立.23. 利用习题22(2)证明:ππ2200sin cos πd d sin cos sin cos 4x x x x x x x x ==++⎰⎰,并由此计算a⎰(a 为正常数)证明:由习题22(2)可知ππ2200sin cos d d sin cos sin cos x xx x x xx x =++⎰⎰又 πππ222000sin cos πd d d .sin cos sin cos 2x x x x x x x x x +==++⎰⎰⎰故等式成立.a⎰πsin 20cos πd .sin cos 4x a tx t t t ==+⎰令24. 已知201(2),(2)0,()d 12f f f x x '===⎰, 求120(2)d x f x x ''⎰.解:原式=11122000111d (2)2(2)d (2)222x f x xf x x x f x ''='-⎰⎰11100012001111(2)d (2)0(2)d (2)22221111(2)(2)d(2)1()d 1402444f x f x f x x xf x f f x x f t t '=-=-+=-+=-+=-+⨯=⎰⎰⎰⎰25. 计算下列积分(n 为正整数): (1)1;n x ⎰解:令sin x t =,d cos d x t t =, 当x =0时t =0,当x =1时t=π2, ππ12200sin cos d sin d cos n n n tx t t t t t==⎰⎰⎰由第四章第五节例8知11331π, 24221342, 253n n n n n n x n n n n n --⎧⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-=⎨--⎪⋅⋅⋅⋅⎪-⎩⎰为偶数, 为奇数.(2)π240tan d .n x x ⎰解:πππ2(1)22(1)22(1)4440π2(1)411tan tan d tansec d tan d 1tan d tan 21n n n n n n n I x x x x x x x xx x I I n ------==-=-=--⎰⎰⎰⎰由递推公式 1121n n I I n -+=- 可得 111(1)(1)[(1)].43521n nn I n π--=---+-+- 26. 用定义判断下列广义积分的敛散性,若收敛,则求其值:22π11(1)sin d x x x+∞⎰; 解:原式=22ππ1111lim sin d lim coslim cos 1.b bb b b x bx x →+∞→+∞→+∞⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎰ 2d (2);22xx x +∞-∞++⎰解:原式=02200d(1)d(1)arctan(1)arctan(1)(1)1(1)1x x x x x x +∞+∞-∞-∞+++=+++++++⎰⎰πππππ.4242⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭ 0(3)e d n x x x +∞-⎰(n 为正整数)解:原式=10e d deen x n xn xn x x x x +∞+∞+∞----+-=-⎰⎰100e d !e d !n x x n x x n x n +∞+∞---=+===⎰⎰(4)(0)aa >⎰;解:原式=000πlim lim arcsin lim arcsin .12a a xa a εεεεεε+++--→→→⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰e1(5)⎰;解:原式=()e e 0110πlim arcsin(ln )lim lim arcsin .ln(e )2x εεεεεε+++--→→→===-⎰1(6)⎰.解:原式=110+⎰22122111202lim 2lim πππlim arcsin lim 2222π.424εεεεε++-→→→→=⎛⎫=+=⋅+=- ⎪⎝⎭⎰27. 讨论下列广义积分的敛散性:2d (1)(ln )kxx x +∞⎰;解:原式=2122112,1ln(ln )1d(ln ),1(ln )1(ln )1(ln 2),1(ln )11k kkk k x x k x k x k x kk +∞+∞-+∞-+∞-⎧=∞=⎪⎪⎪=∞<=⎨-⎪⎪=>⎪--⎩⎰ 故该广义积分当1k >时收敛;1k ≤时发散.d (2)()()b kaxb a b x >-⎰. 解:原式=1100011lim ()()1,1lim ()d()1lim 1ln()b kk b a k a b a k b x b a k k b x b x k k b x εεεεεε+++-----→→-→⎧>⎧⎪⎪=-⎨--⎪-<---=⎪⎨-⎩⎪⎪-=-⎩⎰ 发散,发散, 综上所述,当k <1时,该广义积分收敛,否则发散.28. 已知0sin πd 2x x x +∞=⎰,求: 0sin cos (1)d ;x x x x+∞⎰解:(1)原式=001sin(2)1sin πd(2)d .2224x t x t x t +∞+∞==⎰⎰ 22sin (2) d .xx x +∞⎰解:222002200200020000sin 1cos 2d d 21cos 2d d 22111d cos 2d 2211111d cos 2dcos2222111sin 2cos 2d2222ππ0.22xx x xx x x x x x x x x x xx x x x x xx x xx x x +∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞-==-=+=+⋅-⎡⎤=-+⋅+⎢⎥⎣⎦=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 29. 已知()d 1p x x +∞-∞=⎰,其中1,()0,1,x p x x <=≥⎩求C .解:1111()d 0d 0d p x x x x x x +∞-+∞-∞-∞--=⋅++⋅=⎰⎰⎰⎰⎰11001arcsin arcsin π1x x C xC x C --=+=⋅+⋅==⎰⎰所以1πC =. 30. 证明:无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式,即节第六节定理2. 证明:如果|()|lim0()x f x g x ρ→+∞=≠,那么对于ε(使0ρε->),存在x 0,当0x x ≥时|()|0()f xg x ρερε<-<<+ 即 ()()|()|()()g x f x g x ρερε-<<+ 成立,显然()d ag x x +∞⎰与|()|d af x x +∞⎰同进收敛或发散.如果0ρ=,则有|()|()f x g x ε<, 显然()d ag x x +∞⎰收敛, 则|()|d af x x +∞⎰亦收敛.如果ρ=+∞,则有|()|()()f x g x ρε>-,显然()d ag x x +∞⎰发散,则|()|d af x x +∞⎰亦发散.。