伏安法测电阻及误差分析
【原理】伏安法测电阻是电学的基础实验之一。
它的原理是欧姆定律IR
U
=。
根据欧姆定律的变形公式
I
U
R=
可知，要测某一电阻
x
R的阻值，只要用电压表测出
x
R两端的电压，用电流表测出通过
x
R的电流，代入公式即
可计算出电阻
x
R的阻值。
【内接法与外接法】由于所用电压表和电流表都不是理想电表，即电压表的内阻并非趋近无穷大，电流表也存在内阻，因此实验测量出的电阻值与真实值不同，存在误差。
为了减少测量过程中的系统误差，通常伏安法测电阻的电路有两个基本连接方法：电流表内接法和电流表外接法（如图1所示），简称内接法和外接法。
图1 电路图
【误差分析】对于这两个基本电路该如何选择呢？下面从误差入手进行分析。
外接法：
误差分析方法一：
在图2的外接法中，考虑电表内阻的存在，则电压表的测量值U为R两端的电压，电流表的测量值为干路电流，即流过待测电阻的电流与流过电压表的电流之和，此时测得的电阻为R与v R的并联总电阻，即：R
R
R
R
I
U
v
v
+
⨯
＝
＝
测
R＜R（电阻的真实值）
此时给测量带来的系统误差来源于
v
R的分流作用，系统的相对误差为：
100%
R
R
1
1
100%
R
R
v
⨯
⨯
=
＋
＝
－
测
R
E（1）
误差分析方法二：
当用外接法时，U测＝U真，I测＝I V＋I真＞I真
∴测出电阻值R测＝
测
测
I
U
＝
真
真
＋I
I
V
U
＜R真，即电压表起到分流作用，当R越小时，引起误差越小，说明该接法适应于测小电阻。
图2 外接法
内接法：
误差分析方法一：
在图3内接法中，电流表的测量值为流过待测电阻和电流表的电流，电压表的测量值为待测电阻两端的电压与电流表两端的电压之和，即：
R R I
U
A ＋＝＝测R ＞R （电阻的真实值）
此时给测量带来的系统误差主要来源于A R 的分压作用，其相对误差为： 100%R
R R
R R E A
⨯＝
－＝
测 （2） 误差分析方法二：
当用内接法时，I 测＝I 真，U 测＝U A ＋U 真＞U 真 ∴测出电阻值R 测＝测
涡I U ＝
真
真
＋I U A U ＞R 真，即电流表起了分压作用。
当R A 越小时引起误差越小，说明该接法适应于
测大电阻。
综上所述，当采用电流表内接法时，测量值大于真实值，即“内大”；当采用电流表外接法时，测量值小于真实值，即“外小”。
从（1）式可知，只有当V R 》R 时，才有→E 0，进而有R ＝测R ，否则电表接入误差就不可忽略。
同样，从（2）式也可以得到，只有当A R 《R 时，才有→E 0，进而R ＝测R 。
图3 内接法
【如何选择内接法与外接法】 一、根据待测电阻大小选择
从前面的分析可以知道，当V R 》R 时，选择电流表外接法误差更小；当A R 《R 时，选择电流表内接法误差更小。
但这只给定了待测电阻R 的一个大概的取值范围，在具体的测量中究竟如何根据给定的待测电阻R 的值来确定测量电路的选择呢？
从（1）和（2）式可知，伏安法测电阻时的相对误差不仅与电流表和电压表的内阻有关，而且与待测电阻的大小也有关。
这里我们可以使内接法和外接法分别测电阻时两相对误差相等，即：
R R R
R A V
=+11
计算处理可得：2
42
V
A A A R R R R R ++=
考虑到A R 《V R ，则：
V A R R R •=
由此可对内、外接法的选择作如下判断： 当V A R R R •=
时，内接法和外接法测电阻的相对误差相等；
当R ＞V A R R •时，采用内接法测电阻产生的误差较小； 当R ＜V A R R •时，采用外接法测电阻产生的误差较小。
小结：用伏安法测电阻时，对于连接方法的选择遵循“大内大、小外小”的准则，即若待测电阻为大．电阻，则选用内．接法，测量值比真实值偏大．；若待测电阻为小．电阻，则选用外．接法，测量值比真实值偏小． 二、试触法
试触法电路图如图4所示，先把电压表一端固定在a 端，另一端先后与b 、c 点试触，
当电流表的示数变化明显时，说明电压表内阻分流明显，对电路影响大，即R x 与R V 可比拟，R x 属于大电阻，电路应当采用内接法；当电压表的示数变化明显时，说明电流表内阻分压明显，对电路影响大，即R x 与R A 可比拟，R x 属于小电阻，电路应当采用外接法。
在通过上述的各种方法判定电流表的接法之下，我们可以看出选用恰当的接法能大大减少误差，当然，减少误差的同时还可采用多次测量的，求其平均值的方法，即利用电路控制改变待测电阻两端电压（或流经待测电阻的电流）。
常用滑动变阻器的调节来达到这一目的，但这样只是减小偶然误差。
图4 试触法
【滑动变阻器的限流式接法与分压式接法的选择】
为了减小系统误差，保护仪器，节能、需要正确选择滑动变阻器的接法。
变阻器控制电路有限流电路和分压电路两种接法，其功能分别为限流和分压。
如图（5）所示电路中，变阻器起限流作用，变阻器电阻调到最大时，电路中仍有电流，电路中电流的变化范围为
X R R E +到X
R E
，其中E 为电源电动势（电源
内阻不计），R 为滑动变阻器的最大电阻。
待测电阻X R 两端电压调节的范围为
R
R ER X X
+到E 。
如果X R 》R ，电流变化范围小，变阻器起不到限流作用，此时采
用该接法就不能满足多次测量的要求。
一般来说，以下三种情况不能采用限流接法而采用分压接法：1）电路中最小电流仍超过电流表最大量程或超过待测元件的额定电流；2）要求待测电阻的电压、电流从零开始连续变化；3）待测电阻值远大于变阻器的全部电阻值，滑动变阻器起不到调节作用。
如图（6）所示电路中，变阻器起分压作用。
待测电阻X R 两端电压的变化范围是0到E （电源电动势，不计电源内阻），电压调节范围比限流接法大。
但是当通过待测电阻X R 的电流一定时，图（6）中干路电流大于图（5）中干路电流。
图（6）中电路消耗的功率较大，而且图（6）中的接法没有图（5）简单。
分压电路好处：
电压可以从0开始调节。
从安全性考虑，分压电路电压可从0调起。
故建议选择分压电路为本实验的控制电路。
图5 限流电路
图6 分压电路。
