22.1一元二次方程导学案答案
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人教版九年级数学22.1 二次函数的图象和性质一、选择题(本大题共10道小题)1. 已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论正确的是()A.2>y1>y2B.2>y2>y1C.y1>y2>2 D.y2>y1>22. 抛物线与x轴交于点(-1,0)和(3,0),与y轴交于点(0,-3),则此抛物线的解析式为()A.y=x2+2x+3 B.y=x2-2x-3C.y=x2-2x+3 D.y=x2+2x-33. 某人画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列出下表(计算没有错误):根据此表判断:一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1满足下列关系式中的() A.3.2<x1<3.3 B.3.3<x1<3.4 C.3.4<x1<3.5 D.3.1<x1<3.24. 2019·丹东如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-2,0),对称轴为直线x=1.有以下结论:①abc>0;②8a+c>0;③若A(x1,m),B(x2,m)是抛物线上的两点,当x=x1+x2时,y=c;④点M,N是抛物线与x轴的两个交点,若在x 轴下方的抛物线上存在一点P,使得PM⊥PN,则a的取值范围为a≥1;⑤若方程a(x+2)(4-x)=-2的两根为x1,x2,且x1<x2,则-2≤x1<x2<4.其中结论正确的有()A.2个B.3个C.4个D.5个5. 矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴,点A的坐标为(2,1),一张透明纸上画有一个点和一条抛物线,平移透明纸,使这个点与点A重合,此时抛物线的函数解析式为y=x2,再次平移这张透明纸,使这个点与点C重合,则此时抛物线的函数解析式变为()A.y=x2+8x+14 B.y=x2-8x+14C.y=x2+4x+3 D.y=x2-4x+36. 2019·资阳如图是函数y=x2-2x-3(0≤x≤4)的图象,直线l∥x轴且过点(0,m),将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折,在直线l下方的图象保持不变,得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5,则m的取值范围是()A.m≥1 B.m≤0C.0≤m≤1 D.m≥1或m≤07. 二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是()8. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴是直线x=1.有下列结论:①abc<0;②3a+c>0;③(a+c)2-b2<0;④a+b≤m(am+b)(m为实数).其中正确结论的个数为()A.1 B.2 C.3 D.49. (2019•岳阳)对于一个函数,自变量x取a时,函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2,且x1<1<x2,则c的取值范围是A.c<-3 B.c<-2C.c<14D.c<110. 如图,边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′,它们的边B′C′,BC位于同一条直线l上,开始时,点C′与B重合,△ABC固定不动,然后把△A′B′C′自左向右沿直线l平移,移出△ABC外(点B′与C重合)停止,设△A′B′C′平移的距离为x,两个三角形重合部分的面积为y,则y关于x的函数图象是()二、填空题(本大题共8道小题)11. 若物体运动的路程s (m)与时间t (s)之间的关系式为s =5t 2+2t ,则当物体运动时间为4 s 时,该物体所经过的路程为________.12. 【2018·淮安】将二次函数y =x 2-1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象所对应的函数解析式是__________.13. (2019•武汉)抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A -、(4,0)B 两点,则关于x 的一元二次方程2(1)a x c b bx -+=-的解是__________.14. 已知函数y =ax 2+c 的图象与函数y =-3x 2-2的图象关于x 轴对称,则a =________,c =________.15. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2(a >0)与y =a (x -2)2交于点B ,抛物线y =a (x -2)2交y 轴于点E ,过点B 作x 轴的平行线与两条抛物线分别交于D ,C 两点.若A 是x 轴上两条抛物线顶点之间的一点,连接AD ,AC ,EC ,ED ,则四边形ACED 的面积为________.(用含a 的代数式表示)16. (2019•天水)二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,若42Ma b =+,N a b =-.则M 、N 的大小关系为M __________N .(填“>”、“=”或“<”)17. 如图,抛物线y =ax 2+bx +c(a ,b ,c 是常数,a≠0)与x 轴交于A ,B 两点,顶点为P(m ,n).给出下列结论:①2a +c <0;②若(-32,y 1),(-12,y 2),(12,y 3)在抛物线上,则y 1>y 2>y 3;③若关于x 的方程ax 2+bx +k =0有实数解,则k >c -n ;④当n =-1a 时,△ABP 为等腰直角三角形.其中正确的结论是________.(填序号)18. 如图,平行于x 轴的直线AC 与函数y 1=x 2(x ≥0),y 2=13x 2(x ≥0)的图象分别交于B ,C 两点,过点C 作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ,直线DE ∥AC 交y 2的图象于点E ,则DEAB =________.三、解答题(本大题共4道小题)19. 已知抛物线的顶点坐标是(2,3),并且经过点(0,-1),求它的解析式.20. 如图,抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,经过点A的直线交该抛物线于点B,交y轴于点C,且点C是线段AB的中点.(1)求这条抛物线对应的函数解析式;(2)求直线AB对应的函数解析式.21. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,若关于x的方程|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围.22. 如图,对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,且点A的坐标为(-1,0).(1)求此抛物线的解析式;(2)直接写出B、C两点的坐标;(3)求过O,B,C三点的圆的面积.(结果用含π的代数式表示)注:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(-b2a,4ac-b24a)人教版九年级数学22.1 二次函数的图象和性质-答案一、选择题(本大题共10道小题)1. 【答案】A[解析] 根据题意,可得抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1,∴在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.∵-1<1<2,∴2>y1>y2,故选A.2. 【答案】B[解析] 由抛物线与x轴交于点(-1,0)和(3,0),设此抛物线的解析式为y =a(x+1)(x-3).又因为抛物线与y轴交于点(0,-3),把x=0,y=-3代入y=a(x+1)(x-3),得-3=a(0+1)(0-3),即-3a=-3,解得a=1,故此抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.故选B.3. 【答案】B[解析] 从表格中的数据看,当3.2≤x≤3.5时,y随x的增大而增大,且x=3.3时,y=-0.17<0,x=3.4时,y=0.08>0,故y=0一定在3.3<x<3.4这个范围内取得,∴方程的根也在此范围内.故选B.4. 【答案】A5. 【答案】A[解析] 因为矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴,所以矩形ABCD关于坐标原点成中心对称.因为A,C是矩形对角线上的两个点,所以点A,C关于原点对称,所以点C的坐标为(-2,-1),所以抛物线向左平移了4个单位长度,向下平移了2个单位长度,所以平移后抛物线的函数解析式为y=(x+4)2-2=x2+8x+14.故选A.6. 【答案】C7. 【答案】D[解析] 由一次函数y=ax+a可知,其图象与x轴交于点(-1,0),排除A,B;当a>0时,二次函数y=ax2的图象开口向上,一次函数y=ax+a的图象经过第一、二、三象限;当a<0时,二次函数y=ax2的图象开口向下,一次函数y=ax+a的图象经过第二、三、四象限.排除C.8. 【答案】C[解析] ①∵抛物线开口向上,∴a>0. ∵抛物线的对称轴在y轴右侧,∴b<0.∵抛物线与y轴交于负半轴,∴c<0,∴abc>0,所以①错误.②当x=-1时,y>0,∴a-b+c>0.∵-b2a=1,∴b=-2a.把b=-2a代入a-b+c>0中,得3a+c>0,所以②正确.③当x=1时,y<0,∴a+b+c<0.当x=-1时,y>0,∴a-b+c>0,∴(a+b+c)(a-b+c)<0,即(a+c)2-b2<0,所以③正确.④∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴x=1时,函数的最小值为a+b+c,∴a+b+c≤am2+bm+c(m为实数),即a+b≤m(am+b),所以④正确.故选C.9. 【答案】B【解析】由题意知二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2,所以x1、x2是方程x2+2x+c=x的两个不相等的实数根,整理,得:x2+x+c=0,所以∆=1–4c>0,又x2+x+c=0的两个不相等实数根为x1、x2,x1<1<x2,所以函数y=x2+x+c=0在x=1时,函数值小于0,即1+1+c<0,综上则140 110cc->⎧⎨++<⎩,解得c<-2,故选B.10. 【答案】B【解析】由题意知:在△A′B′C′移动的过程中,阴影部分总为等边三角形.当0<x≤1时,边长为x,此时y=12x×32x=34x2;当1<x≤2时,重合部分为边长为1的等边三角形,此时y=12×1×32=34;当2<x≤3时,边长为3-x,此时y=12(3-x)×32(3-x).综上,这个分段函数的图象左边为开口向上的抛物线的一部分,中间为直线的一部分,右边为开口向上抛物线的一部分,且最高点为34.故选B.二、填空题(本大题共8道小题)11. 【答案】88 m[解析] 把t=4代入函数解析式,得s=5×16+2×4=88.故填88 m.12. 【答案】y=x2+2[解析] 二次函数y=x2-1的图象向上平移3个单位长度,平移后的纵坐标增加3,即y=x2-1+3=x2+2.13. 【答案】12x =-,25x =【解析】依题意,得:9301640a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩, 解得:12b a c a=-⎧⎨=-⎩, 所以,关于x 的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx 为:2(1)12a x a a ax --=-+, 即:2(1)121x x --=-+,化为:23100x x --=,解得:12x =-,25x =,故答案为:12x =-,25x =.14. 【答案】3 215. 【答案】8a [解析] ∵抛物线y =ax 2(a >0)与y =a(x -2)2交于点B , ∴BD =BC =2,∴DC =4.∵y =a(x -2)2=ax 2-4ax +4a ,∴E(0,4a),∴S 四边形ACED =S △ACD +S △CDE =12DC·OE =12×4×4a =8a.16. 【答案】<【解析】当1x =-时,0y a b c =-+>,当2x =时,420y a b c =++<,()42M N a b a b -=+--()420a b c a b c =++--+<,即M N <,故答案为:<.17. 【答案】②④ [解析] (1)当x =-1时,y =a -b +c >0.由x =-b 2a <12和a >0可得-b <a.∴0<a -b +c <a +a +c =2a +c ,即2a +c >0,①错误;(2)结合图象易知②正确;(3)方程ax 2+bx +k =0有实数解,即ax 2+bx +c =c -k 有实数解.∵y =ax 2+bx +c≥n ,∴c -k≥n ,即k≤c -n ,③错误;(4)设抛物线的解析式为y =-1n (x -m)2+n(n <0).令y =0,得-1n(x -m)2+n =0. ∴n 2-(x -m)2=0,∴(n -x +m)(n +x -m)=0.∴x 1=m +n ,x 2=m -n.AB =|x 1-x 2|=-2n.设对称轴交x 轴于点H ,则AH =BH =PH =-n ,∴△ABP 为等腰直角三角形,④正确.18. 【答案】3-3 [解析] 设点A 的坐标为(0,b),则B(b ,b),C(3b ,b),D(3b ,3b),E(3 b ,3b).所以AB =b ,DE =3 b -3b =(3-3) b.所以DE AB =(3-3)b b=3- 3. 三、解答题(本大题共4道小题)19. 【答案】解:根据题意,设抛物线的解析式为y =a(x -2)2+3.∵抛物线经过点(0,-1),∴-1=a(0-2)2+3,解得a =-1,∴y =-(x -2)2+3.20. 【答案】解:(1)∵抛物线y =ax 2+2ax +1与x 轴仅有一个交点,∴b 2-4ac =(2a)2-4a =0,解得a =1,a =0(舍去),∴抛物线的解析式:y =x 2+2x +1.(3分)(2)设直线AB 的解析式为y =kx +b ,∵抛物线解析式y =x 2+2x +1=(x +1)2,∴A(-1,0),(4分)过点B 作BD ⊥x 轴于点D ,如解图,∵OC ⊥x 轴,∴OC ∥BD ,∵C 是AB 中点,∴O 是AD 中点,∴AO =OD =1,(6分)∴点B 的横坐标为1,把x =1代入抛物线中,得y =(x +1)2=(1+1)2=4,∴B 的坐标为(1,4).(7分)把点A(-1,0) ,B(1,4)代入y =kx +b ,得⎩⎨⎧0=-k +b 4=k +b ,解得⎩⎨⎧k =2b =2, ∴直线AB 的解析式为: y =2x +2.(8分)21. 【答案】[解析] 先根据题意画出y =|ax 2+bx +c|的图象,即可得出|ax 2+bx +c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根时k 的取值范围.解:根据题意,得y =|ax 2+bx +c|的图象如图所示.由图象易知,若|ax 2+bx +c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根,则k >3. 22. 【答案】解:(1)由抛物线经过点A(-1,0),且对称轴为直线x =2,得⎩⎪⎨⎪⎧-b 2=21-b +c =0,(2分) 解得⎩⎨⎧b =-4c =-5,(3分)解图∴抛物线的解析式为y =x 2-4x -5.(4分)(利用抛物线对称性先求出点B 的坐标,再求出解析式也可)(2)B(5,0),C(0,-5).(6分)(3)如解图,连接BC ,易知△OBC 是直角三角形,∴过O ,B ,C 三点的圆的直径是线段BC 的长度,(8分) 由勾股定理得BC =52+52=52,∴所以所求圆的面积是π×(522)2=252π.(10分)。
第22章一元二次方程导学案九年级数学导学案一元二次方程编辑:况荣兰王琴第二二章一元二次方程简介【学习课题】:22.1一元二次方程【学习目标】:1.进一步认识到该方程是描述现实世界中定量关系的有效数学模型;2、正确理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程转化为一般形式,正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
【学习重点、难点】:要点:从实际问题中列出一元二次方程和一元二次方程的概念。
难点:由实际问题列出一元二次方程。
准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。
【学习过程】(一)研究准备:1、什么是一元一次方程?2、解一元一次方程的步骤有哪些?2.用方程解决应用问题的一般步骤是什么?(二)自主学习:(一)、根据题意列方程:(1)有一块长方形铁皮,长100厘米,宽50厘米。
在四个角上切一个正方形,然后将突出部分折叠起来,做成一个没有盖子的方形盒子。
如果要制作的方形盒子的底部面积是3600cm2,那么应该从铁皮的每个角上切下什么正方形?(2)我校为丰富校园文化氛围,要设计一座2米高的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与全部高度的乘积,等于下部(腰以下)高度的平方,求雕像下部的高度.一九年级数学导学案一元二次方程编辑:况荣兰王琴(3)应该组织一场排球邀请赛。
参加比赛的每两个队应该有一场比赛。
根据场地、时间等情况,计划安排7天,每天安排4场比赛。
全校有多少队?(三)自学检测:1.判断下列方程式是否为一元二次方程式。
(9)5x(x?5)?5x2?3x其中为一元二次方程的是:2.只包含一个未知数且未知数阶数最高的方程称为一元二次方程。
3、一元二次方程的一般形式:,其中二次项,是一次项,是常数项,二次项系数,一次项系数。
组长签名:,等级:。
(四):合作探究:1、(1)、问题:自主学习中的3个方程是不是一元一次方程?有何共同点?①;②;③。
(2)一个变量的二次方程的概念:像这样的等号是___,只包含两个未知数,最大未知数是__。
22.1 一元二次方程教学目标1.知道一元二次方程的定义,能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02=++c bx ax (a ≠0)2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具,增加对一元二次方程的感性认识。
教学过程一、做一做:1.问题1绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900平方米的一块长方形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少?分析:我们可以运用方程解决实际问题.现设长方形绿地的宽为x 米,不难列出方程x(x +10)=900整理可得 x 2+10x -900=0. (1)2.问题2学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.分析:设这两年的年平均增长率为x ,我们知道,去年年底的图书数是5万册,则今年年底的图书数是5(1+x )万册;同样,明年年底的图书数又是今年年底的(1+x )倍,即5(1+x )(1+x)=5(1+x)2万册.可列得方程5(1+x )2=7.2,整理可得 5x 2+10x -2.2=0. (2)3.思考、讨论这样,问题1和问题2分别归结为解方程(1)和(2).显然,这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里?它们有什么共同特点呢?( 学生分组讨论,然后各组交流 )共同特点:(1)都是整式方程;(2) 只含有一个未知数;(3) 未知数的最高次数是2.二、一元二次方程的概念上述两个整式方程中都只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的方程叫做一元二次方程).通常可写成如下的一般形式:ax 2+bx +c =0(a 、b 、c 是已知数,a≠0)。
其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数,c 叫做常数项。
三、 例题讲解与练习巩固1.例1下列方程中哪些是一元二次方程?试说明理由。
第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题. 2.掌握一元二次方程的一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)及有关概念. 3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念.重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索.难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项.一、自学指导.(10分钟) 问题1:如图,有一块矩形铁皮,长100 cm ,宽50 cm ,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?分析:设切去的正方形的边长为x cm ,则盒底的长为__(100-2x)cm __,宽为__(50-2x)cm __.列方程__(100-2x)·(50-2x)=3600__,化简整理,得__x 2-75x +350=0__.①问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?分析:全部比赛的场数为__4×7=28__.设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他__(x -1)__个队各赛1场,所以全部比赛共x (x -1)2__场.列方程__x (x -1)2=28__,化简整理,得__x 2-x -56=0__.② 探究:(1)方程①②中未知数的个数各是多少?__1个__. (2)它们最高次数分别是几次?__2次__.归纳:方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__的方程.1.一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__ax2__是二次项,__a__是二次项系数,__bx__是一次项,__b__是一次项系数,__c__是常数项.点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件,不能漏掉.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)1.判断下列方程,哪些是一元二次方程?(1)x3-2x2+5=0;(2)x2=1;(3)5x2-2x-14=x2-2x+35;(4)2(x+1)2=3(x+1);(5)x2-2x=x2+1; (6)ax2+bx+c=0.解:(2)(3)(4).点拨精讲:有些含字母系数的方程,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知数,这样的方程仍然是整式方程.2.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x2-3x=5x+10.移项,合并同类项,得3x2-8x-10=0.其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10.点拨精讲:将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.求证:关于x 的方程(m 2-8m +17)x 2+2mx +1=0,无论m 取何值,该方程都是一元二次方程.证明:m 2-8m +17=(m -4)2+1, ∵(m -4)2≥0,∴(m -4)2+1>0,即(m -4)2+1≠0.∴无论m 取何值,该方程都是一元二次方程.点拨精讲:要证明无论m 取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m 2-8m +17≠0即可.2.下面哪些数是方程2x 2+10x +12=0的根? -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以x =-2或x =-3是一元二次方程2x 2+10x +12=0的两根.点拨精讲:要判定一个数是否是方程的根,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟) 1.判断下列方程是否为一元二次方程. (1)1-x 2=0; (2)2(x 2-1)=3y ; (3)2x 2-3x -1=0; (4)1x 2-2x =0;(5)(x +3)2=(x -3)2; (6)9x 2=5-4x. 解:(1)是;(2)不是;(3)是; (4)不是;(5)不是;(6)是.2.若x =2是方程ax 2+4x -5=0的一个根,求a 的值. 解:∵x =2是方程ax 2+4x -5=0的一个根, ∴4a +8-5=0, 解得a =-34.3.根据下列问题,列出关于x 的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式: (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x ; (2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x. 解:(1)4x 2=25,4x 2-25=0;(2)x(x -2)=100,x 2-2x -100=0.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),特别强调a≠0.3.要会判断一个数是否是一元二次方程的根.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2解一元二次方程21.2.1配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程.2. 渗透转化思想,掌握一些转化的技能.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次——转化的数学思想.难点:通过根据平方根的意义解形如x2=n(n≥0)的方程,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.一、自学指导.(10分钟)问题1:一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?设正方体的棱长为x dm,则一个正方体的表面积为__6x2__dm2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:__10×6x2=1500__,由此可得__x2=25__,根据平方根的意义,得x=__±5__,即x1=__5__,x2=__-5__.可以验证__5__和-5都是方程的根,但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为__5__dm.探究:对照问题1解方程的过程,你认为应该怎样解方程(2x-1)2=5及方程x2+6x+9=4?方程(2x-1)2=5左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方根的意义,可将方程变形为__2x-1=±5__,即将方程变为__2x-1=5和__2x-1=-5__两个一元一次方程,从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=__1+52,x2=__1-52__.在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式,这个方程可以化成(x+__3__)2=4,进行降次,得到__x+3=±2__ ,方程的根为x1=__-1__,x2=__-5__.归纳:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±p或mx+n=±p.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)解下列方程:(1)2y2=8;(2)2(x-8)2=50;(3)(2x-1)2+4=0; (4)4x2-4x+1=0.解:(1)2y2=8,(2)2(x-8)2=50,y2=4,(x-8)2=25,y=±2,x-8=±5,∴y1=2,y2=-2;x-8=5或x-8=-5,∴x1=13,x2=3;(3)(2x-1)2+4=0,(4)4x2-4x+1=0,(2x-1)2=-4<0,(2x-1)2=0,∴原方程无解;2x-1=0,∴x1=x2=1 2.点拨精讲:观察以上各个方程能否化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,若能,则可运用直接开平方法解.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用直接开平方法解下列方程:(1)(3x+1)2=7; (2)y2+2y+1=24;(3)9n2-24n+16=11.解:(1)-1±73;(2)-1±26;(3)4±113.点拨精讲:运用开平方法解形如(mx +n)2=p(p ≥0)的方程时,最容易出错的是漏掉负根.2.已知关于x 的方程x 2+(a 2+1)x -3=0的一个根是1,求a 的值. 解:±1.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟) 用直接开平方法解下列方程:(1)3(x -1)2-6=0 ; (2)x 2-4x +4=5; (3)9x 2+6x +1=4; (4)36x 2-1=0; (5)4x 2=81; (6)(x +5)2=25; (7)x 2+2x +1=4.解:(1)x 1=1+2,x 2=1-2; (2)x 1=2+5,x 2=2-5; (3)x 1=-1,x 2=13;(4)x 1=16,x 2=-16;(5)x 1=92,x 2=-92;(6)x 1=0,x 2=-10; (7)x 1=1,x 2=-3.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用直接开平方法解一元二次方程. 2.理解“降次”思想.3.理解x 2=p(p ≥0)或(mx +n)2=p(p ≥0)中,为什么p ≥0?学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.1 配方法(2)1.会用配方法解数字系数的一元二次方程.2.掌握配方法和推导过程,能使用配方法解一元二次方程.重点:掌握配方法解一元二次方程.难点:把一元二次方程转化为形如(x -a)2=b 的过程.(2分钟)1.填空:(1)x 2-8x +__16__=(x -__4__)2; (2)9x 2+12x +__4__=(3x +__2__)2; (3)x 2+px +__(p 2)2__=(x +__p2__)2.2.若4x 2-mx +9是一个完全平方式,那么m 的值是__±12__.一、自学指导.(10分钟)问题1:要使一块矩形场地的长比宽多6 m ,并且面积为16 m 2,场地的长和宽分别是多少米?设场地的宽为x m ,则长为__(x +6)__m ,根据矩形面积为16 m 2,得到方程__x(x +6)=16__,整理得到__x 2+6x -16=0__.探究:怎样解方程x 2+6x -16=0?对比这个方程与前面讨论过的方程x 2+6x +9=4,可以发现方程x 2+6x +9=4的左边是含有x 的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程;而方程x 2+6x -16=0不具有上述形式,直接降次有困难,能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗?解:移项,得x 2+6x =16,两边都加上__9__即__(62)2__,使左边配成x 2+bx +(b2)2的形式,得__x 2__+6__x__+9=16+__9__,左边写成平方形式,得__(x +3)2=25__,开平方,得__x +3=±5__, (降次)即 __x +3=5__或__x +3=-5__, 解一次方程,得x 1=__2__,x 2=__-8__.归纳:通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫做配方法;配方的目的是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程.问题2:解下列方程:(1)3x 2-1=5; (2)4(x -1)2-9=0; (3)4x 2+16x +16=9.解:(1)x =±2;(2)x 1=-12,x 2=52;(3)x 1=-72,x 2=-12.归纳:利用配方法解方程时应该遵循的步骤: (1)把方程化为一般形式ax 2+bx +c =0; (2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边; (3)方程两边同时除以二次项系数a ;(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;(5)此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟) 1.填空:(1)x 2+6x +__9__=(x +__3__)2; (2)x 2-x +__14__=(x -__12__)2;(3)4x 2+4x +__1__=(2x +__1__)2. 2.解下列方程:(1)x 2+6x +5=0; (2)2x 2+6x +2=0; (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0. 解:(1)移项,得x 2+6x =-5,配方得x 2+6x +32=-5+32,(x +3)2=4, 由此可得x +3=±2,即x 1=-1,x 2=-5. (2)移项,得2x 2+6x =-2,二次项系数化为1,得x 2+3x =-1, 配方得x 2+3x +(32)2=(x +32)2=54,由此可得x +32=±52,即x 1=52-32,x2=-52-32.(3)去括号,整理得x2+4x-1=0,移项得x2+4x=1,配方得(x+2)2=5,x+2=±5,即x1=5-2,x2=-5-2.点拨精讲:解这些方程可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方式.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(5分钟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8 m,CB=6 m,点P,Q同时由A,B两点出发分别沿AC,BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1 m/s,几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?解:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.根据题意可列方程:12(8-x)(6-x)=12×12×8×6,即x2-14x+24=0,(x-7)2=25,x-7=±5,∴x1=12,x2=2,x1=12,x2=2都是原方程的根,但x1=12不合题意,舍去.答:2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.点拨精讲:设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半,△PCQ也是直角三角形.根据已知条件列出等式.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)1.用配方法解下列关于x的方程:(1)2x2-4x-8=0;(2)x2-4x+2=0;(3)x2-12x-1=0 ; (4)2x2+2=5.解:(1)x1=1+5,x2=1-5;(2)x1=2+2,x2=2-2;(3)x1=14+174,x2=14-174;(4)x1=62,x2=-62.2.如果x2-4x+y2+6y+z+2+13=0,求(xy)z的值.解:由已知方程得x2-4x+4+y2+6y+9+z+2=0,即(x-2)2+(y+3)2+z+2=0,∴x=2,y=-3,z=-2.∴(xy)z=[2×(-3)]-2=1 36.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的注意事项.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.2公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念.2. 会熟练应用公式法解一元二次方程.重点:求根公式的推导和公式法的应用.难点:一元二次方程求根公式的推导.(2分钟)用配方法解方程:(1)x2+3x+2=0;(2)2x2-3x+5=0.解:(1)x1=-2,x2=-1;(2)无解.一、自学指导.(8分钟)问题:如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根?问题:已知ax 2+bx +c =0(a ≠0),试推导它的两个根x 1=-b +b 2-4ac2a,x 2=-b -b 2-4ac2a.分析:因为前面具体数字已做得很多,现在不妨把a ,b ,c 也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.探究:一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根由方程的系数a ,b ,c 而定,因此: (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0,当b 2-4ac ≥0时,将a ,b ,c 代入式子x =-b±b 2-4ac2a 就得到方程的根,当b 2-4ac <0时,方程没有实数根.(2)x =-b±b 2-4ac 2a 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有__2个实数根,也可能有__1__个实根或者__没有__实根.(5)一般地,式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式,通常用希腊字母Δ表示,即Δ=b 2-4ac.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 用公式法解下列方程,根据方程根的情况你有什么结论? (1)2x 2-3x =0; (2)3x 2-23x +1=0; (3)4x 2+x +1=0.解:(1)x 1=0,x 2=32;有两个不相等的实数根;(2)x 1=x 2=33;有两个相等的实数根; (3)无实数根.点拨精讲:Δ>0时,有两个不相等的实数根;Δ=0时,有两个相等的实数根;Δ<0时,没有实数根.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.方程x2-4x+4=0的根的情况是(B)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根2.当m为何值时,方程(m+1)x2-(2m-3)x+m+1=0,(1)有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根?(3)没有实数根?解:(1)m<14;(2)m=14;(3)m >14.3. 已知x2+2x=m-1没有实数根,求证:x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根. 证明:∵x2+2x-m+1=0没有实数根,∴4-4(1-m)<0,∴m<0.对于方程x2+mx=1-2m,即x2+mx+2m-1=0,Δ=m2-8m+4,∵m<0,∴Δ>0,∴x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟) 1.利用判别式判定下列方程的根的情况:(1)2x2-3x-32=0; (2)16x2-24x+9=0;(3)x2-42x+9=0 ; (4)3x2+10x=2x2+8x. 解:(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)无实数根;(4)有两个不相等的实数根.2.用公式法解下列方程:(1)x2+x-12=0 ; (2)x2-2x-14=0;(3)x2+4x+8=2x+11; (4)x(x-4)=2-8x;(5)x2+2x=0 ; (6)x2+25x+10=0.解:(1)x 1=3,x 2=-4; (2)x 1=2+32,x 2=2-32; (3)x 1=1,x 2=-3;(4)x 1=-2+6,x 2=-2-6; (5)x 1=0,x 2=-2; (6)无实数根.点拨精讲:(1)一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根是由一元二次方程的系数a ,b ,c 确定的;(2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b 2-4ac ≥0的前提下,把a ,b ,c 的值代入x =-b±b 2-4ac 2a(b 2-4ac ≥0)中,可求得方程的两个根;(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.求根公式的推导过程.2.用公式法解一元二次方程的一般步骤:先确定.a ,b ,c 的值,再算.出b 2-4ac 的值、最后代.入求根公式求解. 3.用判别式判定一元二次方程根的情况.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.3 因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.2. 能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.重点:用因式分解法解一元二次方程.难点:理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.(2分钟)将下列各题因式分解:(1)am +bm +cm =(__a +b +c__)m ; (2)a 2-b 2=__(a +b)(a -b)__;(3)a2±2ab+b2=__(a±b)2__.一、自学指导.(8分钟)问题:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么经过x s物体离地的高度(单位:m)为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到0.01s)设物体经过x s落回地面,这时它离地面的高度为0,即10x-4.9x2=0,①思考:除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①?分析:方程①的右边为0,左边可以因式分解得:x(10-4.9x)=0,于是得x=0或10-4.9x=0,②∴x1=__0__,x2≈2.04.上述解中,x2≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面,而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即0 s时物体被抛出,此刻物体的高度是0 m.点拨精讲:(1)对于一元二次方程,先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积的形式,再使这两个一次因式分别等于零,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.(2)如果a·b=0,那么a=0或b=0,这是因式分解法的根据.如:如果(x+1)(x-1)=0,那么__x+1=0或__x-1=0__,即__x=-1__或__x=1.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)1.说出下列方程的根:(1)x(x-8)=0;(2)(3x+1)(2x-5)=0.解:(1)x1=0,x2=8;(2)x1=-13,x2=52.2.用因式分解法解下列方程:(1)x2-4x=0; (2)4x2-49=0;(3)5x2-20x+20=0.解:(1)x1=0,x2=4; (2)x1=72,x2=-72;(3)x1=x2=2.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.用因式分解法解下列方程:(1)5x2-4x=0;(2)3x(2x+1)=4x+2;(3)(x+5)2=3x+15.解:(1)x1=0,x2=4 5;(2)x1=23,x2=-12;(3)x1=-5,x2=-2.点拨精讲:用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0,另一边可以分解因式.2.用因式分解法解下列方程:(1)4x2-144=0;(2)(2x-1)2=(3-x)2;(3)5x2-2x-14=x2-2x+34;(4)3x2-12x=-12.解:(1)x1=6,x2=-6;(2)x1=43,x2=-2;(3)x1=12,x2=-12;(4)x1=x2=2.点拨精讲:注意本例中的方程可以试用多种方法.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟) 1.用因式分解法解下列方程:(1)x2+x=0; (2)x2-23x=0;(3)3x2-6x=-3; (4)4x2-121=0;(5)(x-4)2=(5-2x)2.解:(1)x1=0,x2=-1;(2)x1=0,x2=23;(3)x1=x2=1;(4)x 1=112,x 2=-112;(5)x 1=3,x 2=1.点拨精讲:因式分解法解一元二次方程的一般步骤: (1)将方程右边化为__0__;(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__; (3)令每个因式分别为__0__,得到两个一元一次方程; (4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.2.把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.解:设小圆形场地的半径为x m . 则可列方程2πx 2=π(x +5)2.解得x 1=5+52,x 2=5-52(舍去). 答:小圆形场地的半径为(5+52) m .学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)1.用因式分解法解方程的根据由ab =0得 a =0或b =0,即“二次降为一次”. 2.正确的因式分解是解题的关键.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca .2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题.重点:一元二次方程的根与系数的关系及运用. 难点:一元二次方程的根与系数的关系及运用.一、自学指导.(10分钟) 自学1:完成下表:问题:你发现什么规律? ①用语言叙述你发现的规律;答:两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项. ②x 2+px +q =0的两根x 1,x 2用式子表示你发现的规律. 答:x 1+x 2=-p ,x 1x 2=q. 自学2:完成下表:问题:上面发现的结论在这里成立吗?(不成立) 请完善规律:①用语言叙述发现的规律;答:两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比.②ax 2+bx +c =0的两根x 1,x 2用式子表示你发现的规律. 答:x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.自学3:利用求根公式推导根与系数的关系.(韦达定理) ax 2+bx +c =0的两根x 1=2a ,x 2=2a.x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟) 根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程的两根之和与两根之积. (1)x 2-3x -1=0 ; (2)2x 2+3x -5=0; (3)13x 2-2x =0. 解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-1;(2)x 1+x 2=-32,x 1x 2=-52;(3)x 1+x 2=6,x 1x 2=0.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(10分钟)1.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积. (1)x 2-6x -15=0; (2)3x 2+7x -9=0; (3)5x -1=4x 2.解:(1)x 1+x 2=6,x 1x 2=-15; (2)x 1+x 2=-73,x 1x 2=-3;(3)x 1+x 2=54,x 1x 2=14.点拨精讲:先将方程化为一般形式,找对a ,b ,c.2.已知方程2x 2+kx -9=0的一个根是-3,求另一根及k 的值. 解:另一根为32,k =3.点拨精讲:本题有两种解法,一种是根据根的定义,将x =-3代入方程先求k ,再求另一个根;一种是利用根与系数的关系解答.3.已知α,β是方程x 2-3x -5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值. (1)1α+1β; (2)α2+β2; (3)α-β. 解:(1)-35;(2)19;(3)29或-29.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟) 1.不解方程,求下列方程的两根和与两根积: (1)x 2-3x =15; (2)5x 2-1=4x 2; (3)x 2-3x +2=10; (4)4x 2-144=0. 解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-15; (2)x 1+x 2=0,x 1x 2=-1; (3)x 1+x 2=3,x 1x 2=-8; (4)x 1+x 2=0,x 1x 2=-36.2.两根均为负数的一元二次方程是( C )A .7x 2-12x +5=0B .6x 2-13x -5=0C .4x 2+21x +5=0D .x 2+15x -8=0点拨精讲:两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数,两根之积为正数.学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)不解方程,根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合,可求得一些代数式的值;求得方程的另一根和方程中的待定系数的值.1.先化成一般形式,再确定a ,b ,c.2.当且仅当b 2-4ac ≥0时,才能应用根与系数的关系.3.要注意比的符号:x 1+x 2=-b a (比前面有负号),x 1x 2=ca(比前面没有负号).学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3 实际问题与一元二次方程(1)1.会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理. 3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:列一元二次方程解决实际问题. 难点:找出实际问题中的等量关系.一、自学指导.(12分钟)问题1:有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析:①设每轮传染中平均一个人传染了x 个人,那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人,第一轮后共有__(x +1)__人患了流感;②第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了__x__人,第二轮后共有__(x +1)(x +1)__人患了流感.则列方程:__(x+1)2=121__,解得__x=10或x=-12(舍)__,即平均一个人传染了__10__个人.再思考:如果按照这样的传染速度,三轮后有多少人患流感?问题2:一个两位数,它的两个数字之和为6,把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008,求原来的两位数.分析:设原来的两位数的个位数字为__x__,则十位数字为__(6-x)__,则原两位数为__10(6-x)+x,新两位数为__10x+(6-x)__.依题意可列方程:[10(6-x)+x][10x+(6-x)]=1008__,解得x1=__2__,x2=__4__,∴原来的两位数为24或42.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2550张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为() A.x(x+1)=2550B.x(x-1)=2550C.2x(x+1)=2550D.x(x-1)=2550×2分析:由题意,每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片,则每人送出(x-1)张相片,全班共送出x(x-1)张相片,可列方程为x(x-1)=2550. 故选B.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,求每个支干长出多少小分支?解:设每个支干长出x个小分支,则有1+x+x2=91,即x2+x-90=0,解得x1=9,x2=-10(舍去),故每个支干长出9个小分支.点拨精讲:本例与传染问题的区别.2.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,设个位数字为x,则列方程为:__x2+(x+4)2=10(x+4)+x-4__.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(7分钟)1.两个正数的差是2,它们的平方和是52,则这两个数是(C)A.2和4B.6和8C.4和6D.8和102.教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟)1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“审”:即审题,读懂题意弄清题中的已知量和未知量;(2)“设”:即设__未知数__,设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种;(3)“列”:即根据题中__等量__关系列方程;(4)“解”:即求出所列方程的__根__;(5)“检验”:即验证根是否符合题意;(6)“答”:即回答题目中要解决的问题.2. 对于数字问题应注意数字的位置.学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)21.3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解.2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点:如何解决增长率与降低率问题.难点:理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x为增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量.一、自学指导.(10分钟)自学:两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?(精确到0.01)绝对量:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元),乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元),显然,乙种药品成本的年平均下降额较大.相对量:从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题.分析:①设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为__5000(1-x)__元,两年后甲种药品成本为__5000(1-x)2__元.依题意,得__5000(1-x)2=3000__.解得__x1≈0.23,x2≈1.77__.根据实际意义,甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__.②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则,列方程:__6000(1-y)2=3600__.解得__y1≈0.23,y2≈1.77(舍)__.答:两种药品成本的年平均下降率__相同__.点拨精讲:经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元,12月份上升到7200元,平均每月增长百分率是多少?【分析】如果设平均每月增长的百分率为x,则11月份的营业额为__5000(1+x)__元,12月份的营业额为__5000(1+x)(1+x)__元,即__5000(1+x)2__元.由此就可列方程:__5000(1+x)2=7200__.点拨精讲:此例是增长率问题,如题目无特别说明,一般都指平均增长率,增长率是增长数与基准数的比.增长率=增长数∶基准数设基准数为a,增长率为x,则一月(或一年)后产量为a(1+x);二月(或二年)后产量为a(1+x)2;n月(或n年)后产量为a(1+x)n;如果已知n月(n年)后产量为M,则有下面等式:M=a(1+x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程.一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.(利息税20%)分析:设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000x·80%;第二次存,本金就变为1000+2000x·80%,其他依此类推.解:设这种存款方式的年利率为x,则1000+2000x·80%+(1000+2000x·80%)x·80%=1320,整理,得1280x2+800x+1600x=320,即8x2+15x-2=0,解得x1=-2(不符,舍去),x2=0.125=12.5%.答:所求的年利率是12.5%.二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(6分钟)青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200 kg,2013年平均每公顷产8460 kg,求水稻每公顷产量的年平均增长率.解:设年平均增长率为x,则有7200(1+x)2=8460,解得x1=0.08,x2=-2.08(舍).即年平均增长率为8%.答:水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.点拨精讲:传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解.学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟)1. 列一元二次方程解应用题的步骤:审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符。
22.1 一元二次方程(1)班级 姓名 座号 月 日主要内容:一元二次方程有关概念及一元二次方程一般式一、课堂练习:1.在下列方程中,一元二次方程的个数是( )①2370x +=, ②20ax bx c ++=, ③2(2)(5)1x x x -+=-, ④2530x x-=. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.(课本32页)将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项:(1)2514x x -= (2)2481x =(3)4(2)25x x += (4)(32)(1)83x x x -+=-3.(课本32页)根据下列问题,列出关于x 的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x ; (2)一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长x ;(3)把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的长的平方,求较短一段的长x ;(4)一个直角三角形的斜边长10,两条直角边相差2,求较长的直角边长x .二、课后作业:1.2230px x p q -+-=是关于x 的一元二次方程,则( )A.p =1B.p >0C.p ≠0D.p 为任意实数2.(课本34页)将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项:(1)2316x x += (2)24581x x +=(3)(5)0x x += (4)(22)(1)0x x --=(5)(5)510x x x +=- (6)(32)(1)(21)x x x x -+=-3.(课本34页)根据下列问题列方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)一个圆的面积是6.282m ,求半径.( 3.14π≈) (2)一个直角三角形的两条直角边相差3cm ,面积是92cm ,求较长的直角边的长.(3)一个矩形的长比宽多1cm ,对角线长5 cm ,矩形的长和宽各是多少? (4)有一根1m 长的铁丝,怎样用它围成一个面积为0.062m 的矩形?(5)参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会?三、新课预习:1.下列各数中,是方程(1)2x x -=根的有 .-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.2.写一个以-2为根的一元二次方程: .3.方程2810x -=的两个根是1x = ,2x = .参考答案一、课堂练习:1.在下列方程中,一元二次方程的个数是( A )①2370x +=, ②20ax bx c ++=, ③2(2)(5)1x x x -+=-, ④2530x x-=. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.(课本32页)将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项:(1)2514x x -= (2)2481x =解:移项,得一元二次方程的一般形式 25410x x --= 其中二次项系数为5,一次项系数为-4, 常数项为-1 解:移项,得一元二次方程的一般形式24810x -=其中二次项系数为4,一次项系数为0, 常数项为-81(3)4(2)25x x += (4)(32)(1)83x x x -+=-解:去括号,得24825x x += 移项,得一元二次方程的一般形式 248250x x +-= 其中二次项系数为4,一次项系数为8, 常数项为-25 解:去括号,得2332283x x x x +--=-. 移项,合并同类项,得一元二次方程的 一般形式 23710x x -+=其中二次项系数为3,一次项系数为-7, 常数项为13.(课本32页)根据下列问题,列出关于x 的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x ; (2)一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长x ;解:列方程,得2425x =移项,得一元二次方程的一般形式 24250x -= 解:列方程,得(2)100x x -= 去括号,得22100x x -=移项,得一元二次方程的一般形式221000x x --=(3)把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的长的平方,求较短一段的长x ; 解:列方程,得21(1)x x ⨯=- 去括号,得212x x x =-+ 移项,合并同类项,得一元二次方程的 一般形式2310x x -+= (4)一个直角三角形的斜边长10,两条直角边相差2,求较长的直角边长x .解:列方程,得22(2)100x x +-=去括号,得2244100x x x +-+= 移项,合并同类项,得224960x x --= 化简,得一元二次方程的一般形式22480x x --=二、课后作业:1.2230px x p q -+-=是关于x 的一元二次方程,则( C )A.p =1B.p >0C.p ≠0D.p 为任意实数2.(课本34页)将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项:(1)2316x x += (2)24581x x +=解:移项,得一元二次方程的一般形式 23610x x -+= 其中二次项系数为3,一次项系数为-6, 常数项为1 解:移项,得一元二次方程的一般形式 245810x x +-=其中二次项系数为4,一次项系数为5, 常数项为-81(3)(5)0x x += (4)(22)(1)0x x --=解:去括号,得一元二次方程的一般形式 250x x += 其中二次项系数为1,一次项系数为5, 常数项为0 解:化简,得一元二次方程的一般形式 2210x x -+=其中二次项系数为1,一次项系数为-2, 常数项为1(5)(5)510x x x +=- (6)(32)(1)(21)x x x x -+=-解:去括号,得25510x x x +=- 移项,合并同类项,得一元二次方程的 一般形式2100x += 其中二次项系数为1,一次项系数为0, 常数项为10 解:去括号,得2233222x x x x x +--=- 移项,合并同类项,得一元二次方程的一般形式2220x x +-=其中二次项系数为1,一次项系数为2, 常数项为-23.(课本34页)根据下列问题列方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:(1)一个圆的面积是6.282m ,求半径.( 3.14π≈) (2)一个直角三角形的两条直角边相差3cm ,面积是92cm ,求较长的直角边的长. 解:设圆的半径为x m ,由题意,得 23.14 6.28x = 化简,得一元二次方程的一般形式220x -=解:设较长的直角边的长为xcm ,由题意,得 1(3)92x x -= 化简,得一元二次方程的一般形式 23180x x --=(3)一个矩形的长比宽多1cm ,对角线长5 cm ,矩形的长和宽各是多少? (4)有一根1m 长的铁丝,怎样用它围成一个面积为0.062m 的矩形?解:设矩形的宽为x cm ,由题意,得 222(1)5x x ++=化简,得一元二次方程的一般形式2120x x +-=解:设矩形的长为x m ,由题意,得(0.5)0.06x x -= 化简,得一元二次方程的一般形式 20.50.060x x -+= (5)参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会?解:设有x 人参加聚会,由题意,得1(1)102x x -= 化简,得一元二次方程的一般形式2200x x --=三、新课预习:1.下列各数中,是方程(1)2x x -=根的有 -1,2 .-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.2.写一个以-2为根的一元二次方程:220x x +-= (答案不唯一).3.方程2810x -=的两个根是1x = 9 ,2x = -9 .。
22.1《一元二次方程》(附答案)姓名 得分一、填空题(每空2分,共32分)1.把一元二次方程(x -2)(x +3)=1化为一般形式是 . 2.用配方法解方程2250x x --=时,配方后得到的方程是 ;当x = 时,分式2926x x --的值为零;一元二次方程2x (x -1)=x -1的解是 ;3.方程(x-1)2=4的解是 ;方程2x =x 的解是 .4.足球世界杯预选赛实行主客场的循环赛,即每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场。
共举行比赛210场,则参加比赛的球队共有 支。
5.一个菱形的两条对角线的和是14cm ,面积是24 cm 2,则这个菱形的周长是___ _______。
6.当m 时,关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根,此时这两个实数根是 .7.请你写出一个有一根为1的一元二次方程: .8.某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价,每部售价由3200元降到了2500元.设 平均每月降价的百分率为x ,根据题意列出的方程是 . 9.在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为22*a b a b =-,根据这个规则, 方程(2)50*x +=的解为.10.李娜在一幅长90cm 、宽40cm 的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边,制 成一幅挂图,使风景画的面积是整个挂图面积的54%,设金色纸边的宽度为xcm ,根据题 意,所列方程为: 。
11.若方程2310x x --=的两根为1x 、2x ,则1211x x +的值为 . 12.设a b ,是方程220110x x +-=的两个实数根,则22a a b ++的值为 . 二、选择题(每小题3分,共24分)1.下列方程中,是一元二次方程的是( ) A .221x x y ++=B .2110x x+-= C .20x = D .2(1)(3)1x x x ++=- 2.一元二次方程x 2-3x +4=0的根的情况是( )A .有两个不相等的实根B .有两个相等的实根C .无实数根D .不能确定3.已知代数式2346x x -+的值为9,则2463x x -+的值为( )A .18B .12C .9D .74.直角三角形两条直角边的和为7,面积为6,则斜边为( ) AB .5 C.75.若a+b+c=0,则关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)有一根是( ).A .1B .-1C .0D .无法判断6.在一幅长为80cm ,宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是5400cm 2,设金色 纸边的宽为x cm ,那么x 满足的方程是( )A .213014000x x +-= B .2653500x x +-= C .213014000x x --=D .2653500x x --=7.为执行“两免一补”政策,某地区2007年投入教育经费2500万元,预计2009年投入3600万元.设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x ,那么下面列出的方程正确的是( ) A .225003600x =B .22500(1%)3600x +=C .22500(1)3600x +=D .22500(1)2500(1)3600x x +++=8.关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、,且22127x x +=,则212()x x -的值是( ) A .1 B .12 C .13D .25三、解答题(共64分) 1.解下列方程(10分)(1)解方程:2420x x ++= (2) 解方程2220x x --=2.(8分)关于x 的方程04)2(2=+++kx k kx 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围;(2)是否存在实数k ,使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由。
x22.1 一元二次方程(1)学习目标:1.通过设置问题,建立数学模型,模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义.2.一元二次方程的一般形式及其有关概念.3.解决一些概念性的题目.4.通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.重难点:重点:一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题.难点:通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念.活动1 :完成以下内容。
问题1 要设计一座2m 高的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部(全身)的高度比,雕像的下部应设计为多高?分析:设雕像下部高x m ,则上部高________,得方程 _____________________________整理得_____________________________ ①问题2 如图,有一块长方形铁皮,长100cm ,宽50cm ,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒。
如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡,那么铁皮各角应切去多大的正方形?分析:设切去的正方形的边长为x cm ,则盒底的长为________________,宽为____________.得方程_____________________________整理得 _____________________________ ②问题3 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场。
根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?分析:全部比赛的场数为___________设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场,所以全部比赛共_________________场。
列方程____________________________ 化简整理得 ____________________________ ③请口答下面问题:(1)方程①②③中未知数的个数各是多少?___________(2)它们最高次数分别是几次?___________方程①②③的共同特点是: 这些方程的两边都是_________,只含有_______未知数(一元),并且未知数的最高次数是_____(二次)的方程.1.一元二次方程:_____________________________________________2. 一元二次方程的一般形式:____________________,一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,•经过整理,•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0(a ≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax 2是____________,_____是二次项系数;bx 是__________,_____是一次项系数;_____是常数项。
第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程——一元二次方程的相关概念一、新课导入1.导入课题:情景:要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比,则雕像的下部应设计多少米高?问题1:列方程解应用题的一般步骤是什么?(导出审题的关键是寻找等量关系)问题2:你能画出示意图表示这个问题吗?(用线段AB表示雕像的高度,雕像上部的高度表示为AC,下部的高度表示为BC,在黑板上画出示意图,把这个问题转化为数学问题)问题3:能反映问题的等量关系的是哪一句话?(根据题意导出关系式BC2=2AC)问题4:设雕像下部高BC=x m,请说出你所列的方程,并化简.这个方程是一元一次方程吗?它有什么特点?这个方程就是本节课我们将要学习的一元二次方程.(板书课题)2.学习目标:(1)会设未知数,列一元二次方程.(2)了解一元二次方程及其根的概念.(3)能熟练地把一元二次方程化成一般形式,并准确地指出各项系数.3.学习重、难点:重点:一元二次方程的一般形式及相关概念.难点:寻找等量关系.二、分层学习1.自学指导:(1)自学内容:教材第1页到第2页的问题1、问题2.(2)自学时间:5分钟.(3)自学方法:先寻找问题中的等量关系,再根据等量关系列出方程.(4)自学参考提纲:①问题1中,要制作一个无盖的方盒,四角都要剪去一个相同的正方形,我们设正方形边长为x cm,则盒底的宽为(50-2x) cm,盒底的长为(100-2x) cm,根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2可列方程为(100-2x)(50-2x)=3600,你能把它整理为课本上的方程②吗?试说明具体经过哪几步变形得到.先去括号5000-100x-200x+4x2=3600移项合并同类项4x2-300x+1400=0系数化为1(两边同除以4) x2-75x+350=0②问题2中,本次排球比赛的总比赛场数为28场.设邀请x支队参赛,则每支队与其余(x-1) 支队都要赛一场.整个比赛中总比赛场数是多少?你是怎样算出来的?本题的等量关系是什么?你列出的方程是x(x-1)=28.你能把它整理为课本上的方程③吗?试说明具体经过哪几步变形得到.去括号x2-12x=28系数化为1(两边同乘以2) x2-x=562.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学:(1)师助生:①明了学情:观察了解学生是否会寻找等量关系,是否会化简方程.②差异指导:简要说明问题2中单循环比赛与双循环比赛的区别,对不会寻找等量关系的学生给予辅导,说明化简方程的基本要求.(2)生助生:同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化:(1)总结寻找等量关系的策略,简要指出哪些公式经常被我们作为寻找等量关系的依据.(2)练习:根据下列问题列方程①一个圆的面积是2πm2,求半径.πr2=2π②一个直角三角形的两条直角边相差3cm,面积为9cm2,求较长的直角边的长.1x(x-3)=92③4个完全相同的正方形面积之和是25,求正方形的边长x. 4x2=25④一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x. x(x-2)=100⑤把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方,求较短一段的长x.x=(1-x)21.自学指导:(1)自学内容:教材第3页的内容.(2)自学时间:5分钟.(3)自学方法:观察方程①②③,从方程所含的未知数的个数及其次数等方面找出它们共同的特点.(4)自学参考提纲:①结合一元一次方程的定义,请对一元二次方程进行定义:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.②一元二次方程的一般形式是a x2+b x+c=0(a≠0),为什么要规定a≠0?因为a=0时,未知数的最高次数小于2.③同桌之间相互说说方程①②③的二次项,二次项系数,一次项,一次项系数,常数项各是什么.方程①x2+2x-4=0 二次项:x2二次项系数:1 一次项:2x 一次项系数:2常数项:-4方程②x2-75x+350=0 二次项:x2二次项系数:1 一次项:-75x 一次项系数:-75 常数项:350方程③x2-x=56 二次项:x2二次项系数:1 一次项:-x 一次项系数:-1常数项:-56④举例说明什么是一元二次方程的根.⑤自学例题,说说把一元二次方程化为一般形式,要经过哪些变形?去括号,移项,合并同类项.2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学:(1)师助生:①明了学情:观察学生在回答一元二次方程各项及各项系数时,是否注意了符号.②差异指导:提醒学生一元二次方程的每一项(系数)都应包括它前面的符号.(2)生助生:生生互动交流、订正错误.4.强化:(1)交流总结:确定一元二次方程各项的系数时,若方程不是一般形式,要先经过去括号、移项、合并同类项等步骤把它化成一般形式,通常习惯把二次项系数化为正数,且各项系数均为整数且互质,在指出各项系数时,一定要带上各项前面的符号.(2)练习:①将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数,一次项系数及常数项:5x2-1=4x;4x2=81;解:原式化为5x2-4x-1=0解:原式化为4x2-81=0二次项系数:5一次项系数:-4常数项:-1二次项系数:4一次项系数:0常数项:-81 4x(x+2)=25;(3x-2)(x+1)=8x-3.解:原式化为4x2+8x-25=0解:原式化为3x2-7x+1=0二次项系数:4一次项系数:8常数项:-25二次项系数:3一次项系数:-7常数项:1②若方程(m-1)x2+x=1是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是m≥0且m≠1.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标):这节课你学到了哪些知识?还有什么困惑?2.教师对学生的评价:(1)表现性评价:点评学生参与学习的情况,回答问题,小组互动情况以及存在的问题等.(2)纸笔评价:课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思):(1)注重知识的前后联系,在温故而知新的过程中孕育新知,按照由特殊到一般的规律,降低学生理解的难度.(2)教师创设情境,给出实例,学生积极主动探究,教师引导与启发、点拨与设疑相结合,师生互动,体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.(3)增设例题难度,让学生产生困惑,避免今后犯类似错误,增加课堂练习,巩固知识.(4)对于一元二次方程的根的概念形成过程,要让学生大胆猜测,经过思考、讨论、分析的过程,让学生在交流中体会成功.(时间:12分钟满分:100分)一、基础巩固(70分)1.(10分)一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是(C)A. 3,5B. 3,0C. 3,-5D. 5,02.(10分)下列哪些数是方程x2+x-12=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3, 4.解:-4,33.(20分)将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)3x2+1=6x;(2)4x2=81-5x;解:原式化为3x2-6x+1=0 解:原式化为4x2+5x-81=0二次项系数:3 二次项系数:4一次项系数:-6 一次项系数:5常数项:1 常数项:-81(3)x(x+5)=5x-10; (4)(3x-2)(x+1)=x(2x-1).解:原式化为x2+10=0 解:原式化为x2+2x-2=0二次项系数:1 二次项系数:1一次项系数:0 一次项系数:2常数项:10 常数项:-24.(30分)根据下列问题列方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.(1)一个长方形的长比宽多1cm,面积是132cm2,长方形的长和宽各是多少?解:设长方形的长为x cm,则宽为(x-1)cm,根据题意,得x(x-1)=132,整理,得x2-x-132=0.(2)有一根1m长的铁丝,怎样用它围一个面积为0.06m2的平方的长方形?解:设长方形的长为x m,则宽为(0.5-x)m.根据题意,得x(0.5-x)=0.06,整理,得50x2-25x+3=0.(3)参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会?解:设有x人参加了这次聚会,根据题意,得x(x-1)=10整理,得x2-x-20=0二、综合应用(20分)5.(20分)在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为x cm,则x满足的方程是(B)A. x2+130x-1400=0B. x2+65x-350=0C. x2-130x-1400=0D. x2-65x-350=0三、拓展延伸(10分)6.(10分)如果2是方程x2-c=0的一个根,求常数c及方程的另一个根.解:将2代入原方程中,得22-c=0,得c=4.将c=4代入原方程,得x2-4=0.解得x=±2.即方程的另一个根为-2.21.2解一元二次方程21.2.1配方法第1课时直接开平方法一、导学1.导入课题:情景:一桶油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,求盒子的棱长.问题1:本题的等量关系是什么?问题2:设正方体的棱长为x dm,请列出方程并化简.问题3:根据平方根的意义解方程x2=25.由此导入并板书课题直接开平方法.2.学习目标:(1)能根据平方根的意义解形如x2=p及a x2+c=0的一元二次方程.(2)能运用开平方法解形如(m x+n)2=p(p≥0)的方程.(3)体会“降次”的数学思想.3.学习重、难点:重点:运用开平方法解形如(m x+n)2=p(p≥0)的方程.难点:降次的数学思想.4.自学指导:(1)自学内容:教材第5页到第6页“练习”之前的内容.(2)自学时间:10分钟.(3)自学方法:完成探究提纲.(4)探究提纲:①根据平方根的意义,解方程:x2=36;2x2-4=0;3x2-4=8.x=±6,x2=2,x2=4,x1=6,x2= -6. x=±2,x2=±2,x1=,x2= -. x1=2,x2= -2.②当p>0时,方程x2=p有两个不等的实数根x1= -x2=.当p=0时,方程x2=p有两个相等的实数根x1=x2=0.当p<0时,方程x2=p无实数根.③探究方程(x+3)2=5的根:因为(x+3)2=5,所以x+3是5的平方根,所以x+3等于5或-5.即x+3=,或x+3= -.解x+3=,得x1=-3;解x+3=-,得x2= --3.于是,方程(x+3)2=5的根为x1=-3, x2= --3.解方程(x+3)2=5的过程实质上是把一个一元二次方程降次,转化为两个一元一次方程,再解两个一元一次方程即得原方程的解.二、自学学生可参考自学指导进行自学.三、助学1.师助生:(1)明了学情:看学生能否顺利解决所给问题,注意书写格式方面存在的问题.(2)差异指导:注意帮助学困生复习平方根等知识,紧扣平方根讨论p的符号与方程的解的个数的关系.2.生助生:同桌之间互相批改,相互讨论改正错误.四、强化1.教师示范:解方程x2+4x+4=1.分析:很清楚,x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1.解:由已知,得:(x+2)2=1直接开平方,得:x+2=±1即x+2=1或x+2=-1所以,方程的两根为x1= -1,x2= -3.2.练习:解下列方程:3.上面的方程都能化成x2=p或(m x+n)2=p(p≥0)的形式,那么可由“降次”得到x=±或m x+n=±p≥0)求解.4.以师生对话的形式讨论(m x+n)2=p的解的个数问题.五、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标):你会解哪些形式的一元二次方程?怎样解?2.教师对学生的评价:(1)表现性评价:点评学生的学习态度、方法、积极性及存在的不足之处等.(2)纸笔评价:课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思):(1)本课时通过创设问题情景,激发学生探究新知的欲望.(2)本课时还通过回忆旧知识为新知学习作好铺垫.(3)教师引导学生自主、合作、探究、验证,培养学生分析问题、解决问题的能力.(时间:12分钟满分:100分)一、基础巩固(80分)1.(10分)一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是(D)A. x-6= -4B. x-6=4C. x+6=4D. x+6= -42.(10分)方程3x2+9=0的根为(D)A. 3B. -3C. ±3D. 无实数根3.(10分)若8x2-16=0,则x的值是±2.4.(10分)已知方程2(x-3)2=72,那么这个一元二次方程的两根是x1=9,x2= -3.5.(40分)解下列方程:(1) 4x2=81;(2) (x+6)2-9=0;解:由已知,得:x2=,解:由已知,得:(x+6)2=9,直接开平方,得x=±,直接开平方,得x+6=±3,所以方程的两根为x1=,x2= -. 所以方程的两根为x1= -3, x2= -9.(3) x2+2x+1=4;(4) 9x2+6x+1=4.解:由已知,得:(x+1)2=4,解:由已知,得:(3x+1)2=4,直接开平方,得x+1=±2,直接开平方,得3x+1=±2,所以方程的两根为x1=1, x2= -3. 所以方程的两根为x1= -1, x2=.二、综合应用(10分)6.(10分)如果x=3是一元二次方程a x2=c的一个根,则方程的另一根是(B)A. 3B. -3C. 0D. 1三、拓展延伸(10分)7.(10分)解关于x的方程(x+m)2=n.解:①当n>0时,此时方程两边直接开方.得x+m=±,方程的两根为x1=-m,x2= --m.②当n=0时,此时(x+m)2=0,直接开方得x+m=0,方程的两根为x1=x2= -m.③当n<0时,因为对任意实数x,都有(x+m)2≥0,所以方程无实数根.21.2.1配方法第2课时配方法一、新课导入1.导入课题:情景:请把方程(x+3)2=5化成一般形式,并由一名学生口答.问题:(追问)那么你能将方程x2+6x+4=0转化为(x+3)2=5的形式吗?由此导入课题.(板书课题)2.学习目标:(1)知道用配方法解一元二次方程的一般步骤,会用配方法解一元二次方程.(2)通过配方进一步体会“降次”的转化思想.3.学习重、难点:重点:用配方法解一元二次方程.难点:配方的方法.二、分层学习1.自学指导:(1)自学内容:教材第6页“探究”到第7页例1上面的部分.(2)自学时间:6分钟.(3)自学方法:完成下面的探究提纲,如果觉得有困难就先完成②,③,再完成①.(4)探究提纲:①解方程x2+6x+4=0.移项:把常数项移到方程的右边,得x2+6x= -4;配方:两边都加9,使得左边配成x2+2b x+b2的形式,得x2+6x+9=;变形:把左边写成完全平方形式,得(x+3)2=5;降次:运用平方根的定义把方程转化为两个一元一次方程,得x+3=±;求解:解两个一元一次方程,得x1=-3, x2= --3.②回忆完全平方公式填空:a2+2ab+b2=(a+b )2,x2+6x+9=(x+3)2.③为什么要在x2+6x=-4两边加9而不是其他数?因为两边加9,式子左边可以恰好凑成完全平方式.2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学:(1)师助生:①明了学情:了解学生配方时的难点和易错点.②差异指导:根据具体情况指导学生配方.(2)生助生:小组内相互交流研讨,订正错误.4.强化:(1)配方的依据和步骤.(2)试一试:对下列各式进行配方:1.自学指导:(1)自学内容:教材第7页到第9页的例1.(2)自学时间:10分钟.(3)自学方法:认真阅读分析和解答过程,注意把方程转化为你能解的形式.(4)自学参考提纲:①仿照方程x2+6x+4=0的解法解方程(1),然后对照课本纠错.②方程(2)、(3)中是怎样化二次项系数为1的?方程两边同除以原二次项的系数③方程(3)没有实数根的依据是什么?实数的平方是非负数.④用配方法解一元二次方程时,移项时要注意些什么?移项时需注意改变符号.⑤请小结用配方法解一元二次方程的一般步骤.①移项,二次项系数化为1;②左边配成完全平方式;③左边写成完全平方形式;④降次;⑤解一次方程.⑥解方程(x+n)2=p.①当p>0时,则x+n=±,方程的两个根为x1=-n, x2= --n.②当p=0时,则(x+n)2=0,开平方得x+n=0,方程的两个根为x1=x2= -n.③当p<0时,则方程(x+n)2= p无实数根.2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学:(1)师助生:①明了学情:主要了解学生解方程配方时是否存在困难,计算是否错误,书写格式是否规范.②差异指导:针对学生在学习中出现的问题予以指导.(2)生助生:生生互动,交流研讨.4.强化:(1)用配方法解一元二次方程的一般步骤.(2)用配方法解方程:三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标):你会用配方法解一元二次方程吗?本节课你学习了哪些知识?2教师对学生的评价:(1)表现性评价:点评学生的学习参与情况、小组交流协作状况、学习效果及不足等.(2)纸笔评价:课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思):(1)本节课,重在让学生自主参与,进而获得成功的体验,在数学方法上,仍突出数学研究中转化的思想,激发学生产生合理的认知冲突,激发兴趣,建立自信心.(2)在练习内容上,有所改进,加强了核心知识的理解与巩固,提高了自己解决问题的能力,感受数学创造的乐趣,提高教学效果.(3)用配方法解一元二次方程是学习解一元二次方程的基本方法,后面的求根公式是在配方法的基础上推出的,配方法在使用时又与原来学习的完全平方式联系密切,用配方法解一元二次方程既是对原来知识的巩固,又是对后面学习内容的铺垫.在二次函数顶点坐标的求解中也同样使用的是配方法,因此配方法是一种基本的数学解题方法.(时间:12分钟满分:100分)一、基础巩固(70分)1.(10分)用配方法解方程-x2+6x+7=0时,配方后得的方程为(B)A. (x+3)2=16B. (x-3)2=16C. (x+3)2=2D. (x-3)2=22.(20分)填空.(1) 4x2+4x+1=(2x+1)2(2) x2-x+=(x-)23.(40分)用配方法解下列方程.(1)x2+10x+9=0;(2)4x2-12x-7=0;解:移项,x2+10x=-9, 解:移项,4x2-12x=7,配方,x2+10x+25=16, 系数化为1,x2-3x=,(x+5)2=16, 配方,x2-3x+=4,x+5=±4, ( x-2=4,方程的两个根为x1=-1,x2= -9. x-=±2,方程的两个根为x1=72,x2= -12.(3) x2+4x-9=2x-11; (4) x(x+4)=8x+12解:移项,x2+2x= -2, 解:化简移项,x2-4x=12,配方,x2+2x+1= -1, 配方,x2-4x+4=16,(x+1)2= -1, (x-2)2=16,方程没有实数根. x-2=±4,方程的两个根为x1=6,x2= -2.二、综合应用(10分)4.(10分)用配方法解方程4x2-x-9=0.三、拓展延伸(20分)5.(20分) 当a为何值时,多项式a2+2a+18有最小值?并求出这个最小值. 解:对原式进行配方,则原式=(a+1)2+17∵(a+1)2≥0,∴当a= -1时,原式有最小值为17.21.2.2公式法——根的判别式及求根公式一、新课导入1.导入课题:(1)用配方法解一元二次方程的步骤是什么?(2)你能用配方法解一般形式的一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)吗?我们继续学习另一种解一元二次方程的方法——公式法.2.学习目标:(1)知道一元二次方程根的判别式,能运用根的判别式直接判断一元二次方程的根的情况.(2)会用公式法解一元二次方程.3.学习重、难点:重点:用求根公式解一元二次方程.难点:计算时的符号处理.二、分层学习1.自学指导:(1)自学内容:教材第9页到11页例2之前的内容.(2)自学时间:15分钟.(3)自学方法:认真阅读书上的内容,并动手推导出求根公式.(4)自学参考提纲:②Δ=b2-4ac叫做一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的根的判别式.当b2-4ac>0时,方程a x2+b x+c=0(a≠0)有两个不等的实数根;当b2-4ac=0时,方程a x2+b x+c=0(a≠0)有两个相等的实数根;当b2-4ac<0时,方程a x2+b x+c=0(a≠0)无实数根.注意:上述的叙述,反过来也成立.③当Δ≥0时,一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的实数根可写为的形式,这个式子叫做一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的求根公式.④不解方程,利用判别式判断下列方程的根的情况.x2+5x+6=0;9x2+12x+4=0;Δ=b2-4ac=52-4×1×6=1>0 Δ=b2-4ac=122-4×9×4=0方程有两个不等的实数根. 方程有两个相等的实数根.2x2+4x-3=2x-4;x(x+4)=8x+12.方程化为2x2+2x+1=0 方程化为x2-4x-12=0Δ=b2-4ac=22-4×2×1=-4<0 Δ=b2-4ac=(-4)2-4×(-12)=64>0方程无实数根. 方程有两个不等的实数根.2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学:(1)师助生:①明了学情:了解学生配方的过程以及配方后是否讨论.②差异指导:指导学生配方变形;指导学生对b2-4ac的符号进行讨论.(2)生助生:小组内相互交流、研讨.4.强化:(1)公式的推导,判别式定义解读;(2)练习:不解方程,利用判别式判断下列方程的根的情况.1.自学指导:(1)自学内容:教材第11页到第12页的例2.(2)自学时间:8分钟.(3)自学方法:阅读解答过程,注意解题步骤和格式.(4)自学参考提纲:①先独立运用公式法解所给方程,然后对照课本找错误、分析错因.x2-4x-7=0;2x2-22x+1=0;5x2-3x=x+1;x2+17=8x.x1=2+x1=x2=x1=1 无实数根x2=2-x2= -②说说运用公式法解一元二次方程的一般步骤,有哪些易错点?先将方程化为一般形式,确定a,b,c的值;计算判别式Δ=b2-4ac的值,判断方程是否有解;若Δ≥0,利用求根公式计算方程的根,若Δ<0,方程无实数根.计算Δ时,注意a,b,c符号的问题.③解答本章引言中的问题.2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学:(1)师助生:①明了学情:看学生能否从例2的学习中总结出用公式法解方程的一般步骤及注意事项.②差异指导:注意强调运用公式法解方程的前提条件.(2)生助生:同桌之间互相找错,分析错因.4.强化:(1)用公式法解一元二次方程的一般解题步骤及注意事项.(2)解下列方程:三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标):这节课你学到了哪些知识?有何收获或不足?你知道一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的根的判别式与其根的个数有什么关系吗?2.教师对学生的评价:(1)表现性评价:点评学生的学习态度、积极性、学习效果、方法及不足之处等.(2)纸笔评价:课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思):(1)本课时容量较大,难度较大,计算的要求较高,因此教学设计各环节均围绕着利用公式法解一元二次方程这一重点内容展开,问题设计、课堂学习有利于学生强化运算能力、掌握基本技能,也有利于教师发现教学中存在的问题.(2)在教学设计中,引导学生自主探究一元二次方程的求根公式,在师生讨论中发现求根公式,并学会利用公式法解一元二次方程.(3)整个课堂都以学生动手训练为主,让学生积极介入探究活动,体验到成功的喜悦.(4)公式法是在配方法的基础上推出的一种解一元二次方程的基本方法,它使解一元二次方程更加简便,在公式的运用中,涉及到根的判别式,使公式法解一元二次方程得到延续和深化.(时间:12分钟满分:100分)一、基础巩固(80分)1.(10分)一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,则b2-4ac满足的条件是(B)A. b2-4ac=0B. b2-4ac>0C. b2-4ac<0D. b2-4ac≥02.(10分)已知一元二次方程:①x2+2x+3=0,②x2-2x-3=0.下列说法正确的是(B)A. ①②都有实数解B. ①无实数解,②有实数解C. ①有实数解,②无实数解D. ①②都无实数解3.(10分)利用求根公式求5x2+=6x的根时,a,b,c的值分别是(C)A. 5,,6B. 5,6,C. 5,-6,D. 5,-6,-4.(20分)不解方程,利用判别式判断下列方程的根的情况:(1)x2-3x-32=0;(2) 16x2-24x+9=0;方程有两个不等的实数根. 方程有两个相等的实数根.(3)x2-42x+9=0;(4)3x2+10=2x2+8x.解:Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×9= -4<0, 解:方程化为x2-8x+10=0方程无实数根. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×10=24>0方程有两个不等的实数根.5.(30分)用公式法解下列方程:二、综合应用(10分)6.(10分)解方程x2=3x+2时,有一位同学解答如下:请你分析以上解答有无错误,如有错误,请指出错误的地方,并写出正确的解题过程.解:有错误,方程化为标准形式x2-3x-2=0, ∴a=1,b= -3,c= -2, b2-4ac=17.三、拓展延伸(10分)7.(10分)无论p取何值,方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根吗?给出你的答案并说明理由.解:方程化简为x2-5x+6-p2=0.∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1≥1,∴Δ>0.∴无论p取何值,方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根.21.2.3 因式分解法一、新课导入1.导入课题:根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛,那么经过x s后物体离地面的高度(单位:m)为:10x-4.9x2.问题1:你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?问题2:设物体经过x s落回地面,请说说你列出的方程.问题3:你能用配方法或公式法解这个方程吗?是否还有更简单的方法呢?(板书课题)2.学习目标:(1)会用因式分解法解一元二次方程.(2)能选用合适的方法解一元二次方程.3.学习重、难点:重点:用因式分解法解一元二次方程.难点:选择合适的方法解一元二次方程.二、分层学习1.自学指导:(1)自学内容:教材第12页到第13页的内容.(2)自学时间:5分钟.(3)自学方法:可先解答②,再解答①.(4)自学参考提纲:①解方程10x-4.9x2=0.分解因式:左边提公因式,得x(10-4.9x)=0,降次:把方程化为两个一次方程,得x=0或10-4.9x=0,求解:解这两个一次方程,得x1=0, x2=.②将一个多项式进行因式分解,通常有哪几种方法?提公因式法,公式法,十字相乘法用因式分解法解一元二次方程的依据是:如果ab=0,则a=0或u.③请小结因式分解法解一元二次方程的步骤:移项,合并同类项,因式分解,写出一元二次方程的根.④解下列方程:(x-2)·(x-3)=0;4x2-11x=0.x1=2, x2=3 x1=0, x2=2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学:(1)师助生:①明了学情:是否理解用因式分解法解一元二次方程的依据,是否掌握用因式分解法解方程的步骤.②差异指导:根据学情进行个别或分类指导.(2)生助生:小组内互相交流、研讨.4.强化:(1)用因式分解法解方程的一般步骤:第一步,把方程变形为x2+p x+q=0的形式;第二步,把方程变形为(x-x1)(x-x2)=0的形式;第三步,把方程降次为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式;第四步,解两个一次方程,求出方程的根.(2)点两名学生板演第④题,并点评.1.自学指导:(1)自学内容:教材第14页例3及“归纳”.(2)自学时间:5分钟.(3)自学方法:先独立作业,然后小组互相改正.(4)自学参考提纲:①方程x(x-2)+x-2=0左边可用提公因式法进行因式分解,分解为(x+1)(x-2).②方程5x2-2x-=x2-2x+左右两边都有含未知数的项,无法因式分解,因此,可先将其化为一般形式4x2-1=0,再用平方差公式法对左边进行因式分解.③说说运用因式分解法解一元二次方程要注意哪些问题.④解下列方程:2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学:(1)师助生:①明了学情:了解学生对运用因式分解法解一元二次方程的方法是否掌握.②差异指导:指导学生观察题目特点,选用适当的方法分解因式.(2)生助生:同桌之间互相改错、分析错因.4.强化:(1)点6名学生板演自学参考提纲第④题,并点评.(2)说说运用因式分解法解一元二次方程要注意的问题.1.自学指导:(1)自学内容:选择合适的方法解一元二次方程.(2)自学时间:15分钟.(3)自学方法:完成探究提纲.(4)探究提纲:①直接开平方法适用于哪种形式的方程?x2=p;配方法适用于哪种形式的方程?(m x+n)2=p;公式法适用于哪种形式的方程?a x2+b x+c=0(a≠0);因式分解法适用于哪种形式的方程?x2-(m+n)x+mn=0.②前面这些解法各有什么优缺点?③解一元二次方程的基本思想是什么?④选择适当的方法解下列方程:。
22.1一元二次方程(第1课时)1.填空:(1)把5x2-1=4x化成一元二次方程的一般形式,结果是,其中二次项系数是,一次项系数是,常数项是;(2)把4x2=81化成一元二次方程的一般形式,结果是,其中二次项系数是,一次项系数是,常数项是;(3)把x(x+2)=15化成一元二次方程的一般形式,结果是,其中二次项系数是,一次项系数是,常数项是;(4)把(3x-2)(x+1)=8x-3化成一元二次方程的一般形式,结果是,其中二次项系数是,一次项系数是,常数项是 .2.填空:(1)一个一元二次方程,它的二次项系数为2,一次项系数为3,常数项为-5,这个一元二次方程是;(2)一个一元二次方程,它的二次项系数为1,一次项系数为-3,常数项为3,这个一元二次方程是;(3)一个一元二次方程,它的二次项系数为5,一次项系数为-1,常数项为0,这个一元二次方程是;(4)一个一元二次方程,它的二次项系数为1,一次项系数为0,常数项为-6,这个一元二次方程是 .22.1一元二次方程(第2课时)1.填空:(1)只含有个未知数,并且未知数的最高次数是的方程,叫做一元二次方程;(2)ax2+bx+c=0(a≠0)这种形式叫做一元二次方程的形式,其中是二次项系数,是一次项系数,是常数项.2.填空:(1)把(x+3)(x-4)=0化成一元二次方程的一般形式,结果是,其中二次项系数是,一次项系数是,常数项是;(2)把(2x+1)2=4x化成一元二次方程的一般形式,结果是,其中二次项系数是,一次项系数是,常数项是 .3.填空:在-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4这些数中,是一元二次方程x2-x-6=0的根的是 .4.填空:方程x2-36=0的根是x1= ,x2= .5.完成下面的解题过程:(1)解方程:2x2-6=0;解:原方程化成 .开平方,得,x1= ,x2= .(2)解方程:9(x-2)2=1.解:原方程化成 .开平方,得,x1= ,x2= .22.2.1配方法(第1课时)1.完成下面的解题过程:(1)解方程:2x2-8=0;解:原方程化成 .开平方,得,x1= ,x2= .(2)解方程:3(x-1)2-6=0.解:原方程化成 .开平方,得,x1= ,x2= .2.完成下面的解题过程:解方程:9x2+6x+1=4;解:原方程化成 .开平方,得,- 1 -x1= ,x2= .3.填空:(1)x2+2·x·2+ =(x+ )2;(2)x2-2·x·6+ =(x- )2;(3)x2+10x+ =(x+ )2;(4)x2-8x+ =(x- )2.4.完成下面的解题过程:解方程:x2-8x+1=0;解:移项,得 .配方,得, .开平方,得,x1= ,x2= .5.用配方法解方程:x2+10x+9=0.课外补充作业:6.填空:(1)x2-2·x·3+ =(x- )2;(2)x2+2·x·4+ =(x+ )2;(3)x2-4x+ =(x- )2;(4)x2+14x+ =(x+ )2.7.完成下面的解题过程:解方程:x2+4x-12=0.解:移项,得 .配方,得, .开平方,得,x1= ,x2= . 8.用配方法解方程:x2-6x+7=0.22.2.1配方法(第2课时)1.完成下面的解题过程:用配方法解方程:x2-12x+35=0.解:移项,得 .配方,得, .开平方,得,x1= ,x2= .2.填空:(1)x2-2·x·13+ =(x- )2;(2)x2+5x+ =(x+ )2;(3)x2-32x+ =(x- )2;(4)x2+x+ =(x+ )2.3.完成下面的解题过程:用配方法解方程:x2-x-74=0.解:移项,得 .配方, .开平方,得,x1= ,x2= .4.完成下面的解题过程:- 2 -用配方法解方程:3x2+6x+2=0.解:移项,得 .二次项系数化为1,得.配方, .开平方,得,x1= ,x2= .5.用配方法解方程:9x2-6x-8=0.22.2.1配方法(第3课时)1.完成下面的解题过程:用配方法解方程:3x2+6x-4=0.解:移项,得 .二次项系数化为1,得.配方, .开平方,得,x1= ,x2= .2.完成下面的解题过程:用配方法解方程:(2x-1)2=4x+9.解:整理,得 .移项,得 .二次项系数化为1,得.配方, .开平方,得,x1= ,x2= .3.用配方法解方程:(2x+1)(x-3)=x-9.22.2.2公式法(第1课时)1.完成下面的解题过程:利用求根公式解方程:x2+x-6=0.解:a= ,b= ,c= .b2-4ac== >0.=_________,1x=_________,1x=__________.2.利用求根公式解下列方程:(1)21x=04;- 3 -- 4 -(2)24x ;(3)3x 2-4x+2=0.22.2.2公式法(第2课时) 1.完成下面的解题过程: 用公式法解下列方程:(1)2x 2-3x-2=0.解:a= ,b= ,c= .b 2-4ac= = >0.=_________,1x =_________,1x =__________.解:整理,得 . a= ,b= ,c= . b 2-4ac= = .=_________,12x =x =_________.(3)(x-2)2=x-3.解:整理,得 . a= ,b= ,c= . b 2-4ac== <0.方程 实数根.2.利用判别式判断下列方程的根的情况:(1)x 2-5x=-7;(2)(x-1)(2x+3)=x ;(3)x 2x.22.2.3因式分解法(第1课时) 1.完成下面的解题过程:用公式法解方程:2x(x-1)+6=2(0.5x+3) 解:整理,得 . a= ,b= ,c= . b 2-4ac== >0.x=__________________=______, 1x =_________,2x =__________.2.完成下面的解题过程:用因式分解法解方程:x2解:移项,得 .因式分解,得 .于是得或,x1= ,x2= .3.用因式分解法解下列方程:(1)x2+x=0;(2)4x2-121=0;(3)3x(2x+1)=4x+2;(4)(x-4)2=(5-2x)2. 22.2.3因式分解法(第2课时)1.填空:解一元二次方程的方法有四种,它们是直接开平方法、、、 .2.完成下面的解题过程:(1)用直接开平方法解方程:2(x-3)2-6=0;解:原方程化成 .开平方,得,x1= ,x2= .(2)用配方法解方程:3x2-x-4=0;解:移项,得 .二次项系数化为1,得.配方, .开平方,得,x1= ,x2= .(3)用公式法解方程:x(2x-4)=2.5-8x.解:整理,得 .a= ,b= ,c= .b2-4ac== >0.=_________,x1= ,x2= .(4)用因式分解法解方程:x(x+2)=3x+6.解:移项,得 .因式分解,得 .于是得或,x1= ,x2= .2.指出下列方程用哪种方法来解比较适当:(1)(2x+3)2=-2x;- 5 -(2)(2x+3)2=4(2x+3);(3)(2x+3)2=6.课外补充作业:3.先指出下列方程用哪种方法来解比较合适,然后再按这种方法解:(1)(2x-3)2=25;(2)(2x-3)2=5(2x-3);(3)(2x-3)=x(3x-2).4.用配方法解方程:x2+2x-1=0.22.3实际问题与一元二次方程(第1课时)1.完成下面的解题过程:一个直角三角形的两条直角边相差5cm,面积是7cm2,求两条直角边的长.解:设一条直角边的长为 cm,则另一条直角边的长为 cm.根据题意列方程,得.整理,得 .解方程,得x1= ,x2= (不合题意,舍去).答:一条直角边的长为 cm,则另一条直角边的长为 cm.2.一个菱形两条对角线长的和是10cm,面积是12cm2,(1)求菱形的两条对角线长;(2)求菱形的周长.(提示:菱形的面积=两条对角线积的一半)- 6 -22.3实际问题与一元二次方程(第2课时)1.填空:(1)有一人得了流感,他把流感传染给了10个人,共有人得流感;第一轮传染后,所有得流感的人每人又把流感传染给了10个人,经过两轮传染后,共有人得流感.(2)有一人得了流感,他把流感传染给了x个人,共有人得流感;第一轮传染后,所有得流感的人每人又把流感传染给了x个人,经过两轮传染后,共有人得流感.2.完成下面的解题过程:有一个人知道某个消息,经过两轮传播后共有49人知道这个消息,每轮传播中平均一个人传播了几个人?解:设每轮传播中平均一个人传播了x个人.根据题意列方程,得.提公因式,得( )2= .解方程,得 x1= ,x2= (不合题意,舍去).答:每轮传播中平均一个人传播了个人.3.一个人知道某个消息,设每轮传播中一个人传播了x个人,填空:(1)经过一轮传播后,共有人知道这个消息;(2)经过两轮传播后,共有人知道这个消息;(3)经过三轮传播后,共有人知道这个消息;(4)请猜想,经过十轮传播后,共有人知道这个消息.22.3实际问题与一元二次方程(第3课时)1.填空:(1)扎西家2006年收入是2万元,以后每年增长10%,则扎西家2007年的收入是万元,2008年的收入是万元;(2)扎西家2006年收入是2万元,以后每年的增长率为x,则扎西家2007年的收入是万元,2008年的收入是万元.2.完成下面的解题过程:某公司今年利润预计是300万元,后年利润要达到450万元,该公司利润的年平均增长率是多少?解:设该公司利润的年平均增长率是x.根据题意列方程,得.- 7 -解方程,得x1≈,x2≈(不合题意,舍去).答:该公司利润的年平均增长率是 %.3.某公司今年利润预计是300万元,设该公司利润的年平均增长率是x,填空:(1)明年该公司年利润要达到万元;(2)后年该公司年利润要达到万元;(3)第三年该公司年利润要达到万元;(4)第十年该公司年利润要达到万元.第二十二章一元二次方程复习(第1、2、3课时)1.填空(以下内容是本章的基础知识,是需要你理解的,先直接用铅笔填,想不起来再在课本中找)(1)只含有个未知数,并且未知数的最高次数是的方程,叫做一元二次方程. (2)ax2+bx+c=0这种形式叫做一元二次方程的形式,其中是二次项系数,是一次项系数,是常数项.(3)能使一元二次方程左右相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫一元二次方程的 .(4)一元二次方程的四种解法是:直接开平方法、、、.(5)一元二次方程ax2+bx+c=0,当b2-4ac 时,方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac 时,方程有两个相等的实数根;当b2-4ac 时,方程没有实数根. (6)b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的,用来表示.(7)利用一元二次方程解决实际问题的步骤是:审题,,,, .2.填空:(1)把(x+2)(x-5)=1化成一元二次方程的一般形式,结果是,其中二次项系数是,一次项系数是,常数项是 .(2)把(x+3)(x-3)=5x2-2化成一元二次方程的一般形式,结果是,其中二次项系数是,一次项系数是,常数项是 .(3)已知一元二次方程x2-kx+2=0的一个根是-3,则k= .(4)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x.根据这个问题,可以列出的方程是 .(5)x2+12x+ =(x+ )2,x2-43x+ =(x- )2.(6)在方程①3x2,②5x2,③8x2=3x-1中,没有实数根的是,有两个不相等的实数根是,有两个相等的实数根是 .(7)有一人得了流感,他把流感传染给了x个人,则经过两轮传染后,共有人得流感.(8)经过两年的努力,某村的青稞亩产由250千克达到300千克,求每年的平均增长率x.根据这个问题,可以列出的方程是.3.完成下面解题过程:(1)用直接开平方法解方程:4(x+2)2-9=0;解:原方程化成 .开平方,得,x1= ,x2= .(2)用配方法解方程:x2+2x-4=0;解:移项,得 .配方,得,.开平方,得,x1= ,x2= .(3)用公式法解下列方程:2x(x-1)=3(x+1);解:整理,得 .a= ,b= ,c= .b2-4ac= = >0.- 8 -- 9 -=_________,1x =_________,2x =__________. (4)用因式分解法解方程:(2x-3)2=x 2.解:移项,得 . 因式分解,得 . 于是得或 , x 1= ,x 2= .4.用适当的方法解下列方程:(1)196x 2-1=0;(2)x 2+8x=0;(3)x(2x-5)=4x-10;(4)x(x-7)=1;(5)2x 2+3x+3=0;(6)4x 2+12x+9=81.5.一元二次方程kx 2-2x+1=0,填空:(1)当k 时,方程有两个不相等的实数根;(2)当k 时,方程有两个相等的实数根;(3)当k 时,方程没有实数根. 6.把小圆形场地的半径增加5米得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.7.某银行经过最近的两次降息,使一年期存款的年利率由4%降至2%,平均每次降息的百分率是多少?8.一个直角梯形的下底比上底大2cm ,高比上底小1cm ,面积等于8cm 2,求这个直角梯形的周长.。
22.1一元二次方程(1)导学案一 学前准备:1._______________ _____________________________叫方程;______________________________ _______________叫一元一次方程。
__________________________ ___________________叫二元一次方程。
___________________________ __________________叫分式方程。
2.下列方程是一元一次方程的有___ ___;是分式方程的有___ __;二元一次方程的有____ _. ①3x-2=0;②x 2x 1=+;③x +2y=3;④1y 3y 221y +=-++;⑤s+t=8; ⑥;04x 2x 2=-+⑦;0350x 75x 2=+-⑧.56x x 2=- 二 探究活动(一) 独立思考·解决问题1、剪一块面积为1502cm 的长方形铁片,使它的长比宽多5cm ,这块铁皮该怎么剪呢?如果铁皮的宽为x (cm ),那么铁皮的长为_____ ____cm .根据题意,可得方程是:______________ ________6,求这两个数。
设其中较小的一个数位x ,请列出满足题意的方程____ ______________.3、正方形的面积是22cm ,求它的边长?_______________________________________.4、矩形花圃一面靠墙,另外三面所围得栅栏的总长度是19m ,如果花圃的面积是242m ,求花圃的长和宽。
__________________ ______________ _________.(二) 师生探究·合作交流议一议:1、上面的方程有哪些共同的特点呢?你知道什么是一元二次方程了吗?2、结合上面的方程的特点你能够用一个式子表示一元二次方程的一般形式吗?3、20(0)ax bx c a ++= ≠其中_____ _叫做二次项,a 叫做_____ _, bx 叫做_____ __,b 叫做_____ __, c 是常数项。
华师大版2020-2021年九年级数学上册导学案第22章一元二次方程22.1 一元二次方程学习目标:1.了解一元二次方程的相关概念(重点);2.会根据实际问题列出一元二次方程(难点).自主学习一、新知预习绿苑小区在规划设计时,准备在两幢楼房之间,设置一块面积为900平方米的矩形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少?解:设绿地的宽为x米,则它的长为_________米,根据题意,可得方程:______________.整理,得__________________________.观察上述得出的方程,这个方程的特点是:(1)只含有一个未知数,都是关于x的____ ____方程;(2)x的最高次数都为_________.像这样的方程我们称之为一元二次方程.一元二次方程的一般形式可以归纳为________________.合作探究一、探究过程探究点1:一元二次方程的定义及一般形式问题1 关于x的方程(2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程?解:关于x的方程的二次项系数为_________,因为方程为一元二次方程,所以其二次项系数不为零.所以___________________,即_________________.综上所述,关于x的方程(2a-4)x2-2bx+a=0为一元二次方程的条件是________.问题2 将下列一元二次方程化为一般形式,并写出二次项系数、一次项系数及常数项.(1)2x2+3x=x2-3x-2;(2)(2x-1)(3x+2)=(x-2)2-1;(3)4x2=3x-2+1.【归纳总结】利用等式的性质可将任何一个一元二次方程化为一般形式,其步骤是去括号、去分母、移项、合并同类项.【针对训练】1.若关于x 的方程(k -3)x |k |-1-x -2=0是一元二次方程,则k=_____.2.已知关于x 的方程(m 2-16)x 2+(m +4)x -9=0.(1)当m 为何值时,此方程是一元一次方程?并求出此时方程的解.(2)当m 为何值时,此方程是一元二次方程?并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项.探究点2:一元二次方程的解问题 若x =1是关于x 的一元二次方程x 2+3mx +n =0的解,求6m +2n 的值.【归纳总结】已知解求关于待定系数的代数式的值,将解代入方程,求得关于待定系数的等量关系,通常运用整体代入的思想求解.【针对训练】已知一元二次方程ax 2-8x +b =0的两根为x 1=3,x 2=-13,求a ,b 的值.探究点3:列一元二次方程问题 列方程:某公司一月份营业额为10万元,三月份营业额为12.1万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?【归纳总结】根据实际问题列一元二次方程的一般步骤如下:【针对训练】列方程:在一块宽20m 、长32m 的矩形空地上,修筑宽相等的三条小路(两条纵向,一条横向,纵向与横向垂直),把矩形空地分成大小一样的六块,建成小花坛.如图,要使花坛的总面积为570m 2,问小路的宽应为多少?二、课堂小结定义及一般形式 一般式___________________二次项系数为_____,一次项系数为____,常数项为____. 一元二次方程的根(解) 使方程左右两边_______相等的未知数的值.根据实际问题列一元二次方程分析 找 设 列方程当堂检测1.将一元二次方程2(x +1)(x -2)=x (x +3)-5化为一般形式为( ) A .x 2-5x +1=0 B .x 2+x -9=0C .x 2-4x +3=0D .x 2-x +1=02.下列各数是一元二次方程2x 2+5x +2=0的根的是( ) A .1 B .-1C .2D .-23.若关于x 的方程x 2-2x +c =0有一个根是1,那么c 的值是( ) A .1 B .2 C .3 D .44.用一根长为30cm 的铁丝围成一个长方形,若设该长方形的一边长为x cm ,面积为50 cm 2,则可列方程为____________.5.方程3)2)(1(=++x x 化为一般式为________,它的二次项系数为______,一次项系数为_______,常数项为______.6.如图,在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上,要修建一条长方形道路LMPQ 及一条平行四边形道路RSTK ,剩余部分种上草坪,使草坪面积为300平方米.若LM=RS=x 米,请根据题意列出方程.7.有一个两位数,它的个位数字与十位数字的和等于6,且这两个数字的积等于这个两位数的13,设这个两位数的十位数字为x ,求这个两位数.请根据题意列出方程并化为一般形式.参考答案自主学习 一、新知预习(x +10) x (x +10)=900 x ²+10 x -900=0 (1)一元二次 (2)2ax ²+bx +c =0(a 、b 、c 是已知数,a ≠0) 合作探究 一、探究过程探究点1:问题1 2a -4 2a -4≠0 a ≠2 a ≠2 问题2 解:(1)x ²+ 6x+2=0;0,6,-2. (2)5x ²+ 5x-5=0;5,5,-5. (3)4x ²-3x+2-1=0;4,-3,2-1. 【针对训练】1.-32. 解:(1)由题意,得m 2-16=0且m +4≠0,则m =4.此时方程的解为x =98. (2)由题意,得m 2-16≠0,m ≠±4. 这个方程的二次项系数为m 2-16,一次项系数为m +4,常数项为-9.探究点2:问题 解:由题意,得1+3m +n =0,则3m +n =-1,6m +2n =-2. 【针对训练】3. 解:将x 1=3,x 2=-13代入,得9240,80.93⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩a b a b 解得3,3.=⎧⎨=-⎩a b探究点3:问题 解:设这两个月营业额的平均增长率是x ,由题意可得10(1+x )2=12.1. 【针对训练】4.解:设小路的宽为x m ,根据题意,得(20-x )(32-2x )=570.二、课堂小结ax ²+bx +c =0 a b c 式子 题意 等量关系 未知数 当堂检测1.A2.D3. A4. x (15-x )=505. x ²+3x -1=0 1 3 -16.解:由题意得(22-x )(17-x )=300.7.解:根据题意,得x (6-x )=13[10x +(6-x )],即x 2-3x +2=0. 温馨提示:配套课件及全册导学案WORD 版见光盘或网站下载:(无须注册,直接下载)。
大象出版社《基础训练》九年级数学(全一册)第22章参考答案与人教版义务教育课程标准实验教科书配套基础训练(含单元评价卷) 数学 九年级 全一册参考答案课时练习部分参考答案第二十二章 一元二次方程22.1 一元二次方程课前预习1.x (x +10)=900 2.C课堂练习1.A 2.A 3.C 4.B 5.m ≠3 6.(1)一般形式为x 2+5x -1=0,二次项系数为1,一次项系数为5,常数项为-1; (2)一般形式为x 2+4x -12=0,二次项系数为1,一次项系数为4,常数项为-12.课后训练1.B5. 36. 478x 2+2x -3=0.9.因为m 是方程x 2-2011x +1=0的一个根,则有m 2-2011m =-1,m 2+1=2011m ,所以原式=-1+2011=2010.中考链接m +n =-2.22.2 降次——解一元二次方程22.2.1 配方法第1课时课前预习1.±2 2. 3 -3 3. 4课堂练习1.± 5 2. 1或-7 3.(1)9 3 (2)16 (3)6x4.(1)x 1=2,x 2=-2; (2)x 1=5-3,x 2=5+3; (3)x 1=2,x 2=-1;-350=0.解得x 1=5,x 2=-70(舍去).所以金色纸边宽5 cm.课后训练1.设原正方形铁皮边长为x cm ,由题意得5(x -10)2=720.即(x -10)2=144,解得x 1=22,x 2=-2(舍去).所以原正方形铁皮的边长为22 cm.2.设经过x 秒,由题意得12(6-x )·2x =8,即x 2-6x +8=0,所以x 1=2,x 2=4.当经过2秒时,点P 在离A 点1×2=2 cm 处,点Q 在离B 点2×2=4 cm处.当经过4秒时,点P 在离A 点1×4=4 cm 处,点Q 在离B 点2×4=8 cm 处.所以经过2秒或4秒,△PBQ 的面积等于8 cm 2.3.设每千克应涨价x 元,由题意得(10+x )(500-20x )=6000,解得x 1=5,x 2=10(舍去).所以每千克应涨价5元.第二十二章复习课课前回顾1.D 2.C 3.D课堂练习1. 4x 2-3x -9=0 -32. 23.k ≤924.(1)x 1=2+7,x 2=2-7; (2)x 1=2,x 2=-15. 课后训练1.B 2.D 3.B 4. 5 5.答案不唯一,如x 2=46. 6或10或127.(1)x 1=2-73,x 2=2+73; (2)x 1=5,x 2=-2; (3)x 1=32,x 2=3; (4)x 1=3,x 2=1.8.把x =0代入方程,得m 2+2m -8=0.解得m 1=-4,m 2=2(舍去).当m=-4时,得-6x 2+3x =0,解得x 1=0,x 2=12,所以方程有两个不相等的实数根.9.依题意得⎩⎨⎧Δ1=16-4m >0,Δ2=4-4m <0,解得1<m <4. 中考链接设单价降低x 元,80×200+(80-x )(200+10x )+40-50×800=9000,x 1=x 2=10.∴ 80-x =70,即第二个月T 恤的单价应为70元.。
新人教版九年级数学上册22.1 一元二次方程导学案学习目标:1、进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型;2、正确理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程转化为一般形式,正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
重点:由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。
难点:由实际问题列出一元二次方程。
准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。
学习过程:(一)学生预习教师导学根据题意列方程:(1)有一块正方形铁皮,周长为10,求边长? (2)有一块正方形铁皮,面积为12,求边长?(3)有一块长方形铁皮,长比宽多2,周长为14,求边长? (4)有一块长方形铁皮, 长比宽多3,面积为16,求边长?(二)学生探究(1)、问题:上述3个方程是不是一元一次方程?有何共同点?①_______________________;②____________________;③________________________。
(2)一元二次方程的概念:像这样的等号两边都是________,只含有_____个未知数,并且未知数的最高次数是________的方程叫做一元二次方程。
(3)任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 _______________(a,b,c为常数)的形式,我们把它称为一元二次方程的一般形式。
a为 _______,b为 ____,c为 ____ 。
(三)学生展示121、下列方程中,哪些是关于x 的一元二次方程?(1)250x-= (2223x x x -= (3)22=+y x (4)330x x -= (5)21x xx =+ (6) 2233x x x +=- 2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项:(1) 2351xx =- (2) (2)(1)6x x +-= (3) 2470x -=3、完成课本练习(四)归纳(1)一元二次方程必须满足三个条件:1、 ______ ;2、 _____ ; 3、 ______ 。
1 反思:【学习目标】1、体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型;2、理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程转化为一般形式,正确识别二次项系数、一次项系数及常数项. 【学习重点】由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念. 【学习过程】【活动一】知识链接(5分钟)(1) 多项式2321x y x --是 次 项式,其中最高次项是 ,二次项系数为 ,一次项系数为 ,常数项为 .(2) 叫方程,我们学过的方程类型有 . 【活动二】自主交流 探究新知(25分钟)1.自学教材P17——19,回答以下问题.(1)一元二次方程的定义:只含有 个求知数(一元),并且求知数的最高次数是 (二次)的 方程,叫做一元二次方程. (2)一元二次方程的一般形式:一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式: (a ≠0),这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中 是二次项, 是二次项系数, 是一次项, 是一次项系数, 是常数项.【注意】①方程20ax bx c ++=只有当a ≠0时才叫一元二次方程,如果a=0,b ≠0时就是 方程了.所以在一般形式中,必须包含a ≠0这个条件.②二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.2. 一元二次方程的解:一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____,即使一元二次方程等号左右两边值相等的_______________的值. 【活动三】课内小结 (学生归纳总结) (3分钟)【活动四】快乐达标(学生先独立完成5分钟,后组内互查2分钟.)1.下列方程是一元二次方程的是有 :(1)3239x x +=,(2)(1)(1)0x x +-=,(3)220y =,(4)01122=-+xx ,(5)232m =, (6)05322=-+y x .2.把方程()()11212=+-y y 化为一般形式为: ;其二次项系数是 ;一次项系数是 ;常数项是 .3.若033)3(2=++--nx x m n 是关于x 的一元二次方程,则m= ,n= .4.下面哪些数是方程260x x --=的根? -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.5. 已知m 是方程260x x --=的一个根,则代数式2m m -=________.6.已知:关于x 的方程()()021122=-++-x k x k . (1)当k 取何值时,此方程为一元一次方程. (2)当k 取何值时,此方程为一元二次方程.【活动五】拓展延伸(独立完成3分钟,班级展示2分钟)1.当a______时,关于x 的方程22()(1)a x x x +=-+是一元二次方程.2.若关于x 的方程27(3)(5)50m m x m x -++-+=是一元二次方程,试求m 的值,•并指出这个方程的各项系数.3.关于x 的方程21()36m m m x x +-+=可能是一元二次方程吗?为什么?2 反思:§22.2.1《一元二次方程的解法——直接开平方法》导学案【学习目标】1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.2、提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a (ex+f )2+c=0型的一元二次方程. 【学习重点】运用开平方法解形如(x+m )2=n (n ≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想. 【学习过程】【活动一】知识链接(5分钟) 1.我们知道x 2=25,根据平方根的意义,直接开平方得x= ,如果x 换元为2x-1,即2(21)5x -=,也用直接开平方的方法可以这样求解. 2.(1) 解:由方程 2(21)5x -=,得21x -=_______即 21x -=____,21x -=_____∴ 1x =_______, 2x =_____(2) 解:由方程 2692x x ++=,得(_________)2=2∴ ______________=_______ 即 ____________, ____________ ∴ 1x =_______, 2x =_____ 【活动二】自主交流 探究新知(15分钟) 仿照知识链接中的方法解下列方程:(1) 28x = (2) 22(1)4x -=(3) 2694x x++=(4)2490m -= (5)291241x x ++=【活动三】课内小结 (学生归纳总结) (3分钟)1、形如2x p =(0)p ≥或2()mx n p +=(0)p ≥的一元二次方程可利用平方根的定义用开平方的方法直接求解,这种解方程的方法叫做直接开平方法.2、如果方程能化成2x p =或2()mx n p +=(0)p ≥的形式,那么可得x =mx n +=【活动四】快乐达标(学生先独立完成5分钟,后组内互查2分钟.) 1.若224()x x p x q-+=+,那么p 、q 的值分别是( ).A .p=4,q=2B .p=4,q=-2C .p=-4,q=2D .p=-4,q=-2 2.方程2390x +=的根为( ).A .3 B .-3 C .±3 D .无实数根 3.解方程:(1)28160x -=(2)22(3)72x -=【活动五】拓展延伸(独立完成8分钟,班级展示2分钟) 1.如果a 、b 21236b b -+=0,求ab 的值.2.用直接开平方法解方程:22(1)180x --=3.解关于x 的方程2()(0)x m n n +=≥.4. 已知关于x 的一元二次方程043)2(22=-++-m x x m 有一个解是0,求m 的值.3 反思:§22.2.2《一元二次方程的解法——因式分解法》导学案【学习目标】1.正确理解因式分解法的实质.2.熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程. 【学习重点】用因式分解法解一元二次方程. 【学习过程】【活动一】知识链接(5分钟)1.分解因式:(1)2832x - (2)244x x -+ (3)228x x --2.填空:填上适当的数,使下列等式成立:(1) 25____(____x x x ++=+2) (2) 21____(____2x x x ++=+2) (3) 2____(____x x +=-2) (4) 2____(____bx x x a++=+2) 【活动二】自主交流 探究新知(20分钟)仿照知识链接中的方法解下列方程:(1)2410x -= (2)22150x x --=【活动三】课内小结 (学生归纳总结) (3分钟)总结因式分解的步骤: ①通过___________把一元二次方程右边化为0; ②将方程左边分解为两个一次因式的______;③令每个因式分别为______,得到两个一元一次方程; ④解 ,它们的解就是原方程的解。
4.1 一元二次方程〔第一课时〕学习目标:1、会根据具体问题列出一元二次方程,体会方程的模型思想,提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念;知道一元二次方程的一般形式;会把一个一元二次方程化为一般形式;会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
重点:由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。
难点:由实际问题列出一元二次方程。
准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。
导学流程:〔一〕课前延伸:1、我们已经学过的一元一次方程是怎么定义的?2、根据题意列方程:〔1〕正方形桌面的面积是2m 2,求它的边长?〔2〕矩形花圃一面靠墙,另外三面所围的栅栏的总长度是19米。
如果花圃的面积是24 m 2,求花圃的长和宽?-------------------------------------------------(二)课内探究:1、自主学习:自学课本124—125页,认识一元二次方程。
2、合作探究:探究新知【例1】小明把一张边长为10cm 的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子,如果要求长方体的底面积为81cm 2,那么剪去的正方形的边长是多少?设剪去的正方形的边长为xcm ,你能列出满足条件的方程吗?你是如何建立方程模型的?合作交流动手实验一下,并与同桌交流你的做法和想法。
列出的方程是 〔1〕.【做一做】根据题意列出方程:1、一个正方形的面积的2倍等于50,这个正方形的边长是多少?2、一个数比另一个数大3,且这两个数之积为这个数,求这个数。
3、一块面积是150cm 2长方形铁片,它的长比宽多5cm,那么铁片的长是多少?观察上述三个方程以及方程〔1〕的结构特征,类比一元一次方程的定义,自己试着归纳出一元二次方程的定义。
3、精讲点拨:〔1〕只含有 个未知数,并且未知数的最高次数是 ,这样的 方程,叫做一元二次方程。
〔2〕一元二次方程的一般形式: ,其中是二次项, 是一次项, 是常数项, 是二次项系数, 是一次项系数。
一元二次方程学习目标:1、知识和技能:了解一元二次方程根的概念;根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目.会估算实际问题中方程的解,并理解方程解的实际意义。
2、过程和方法:经历探究方程的解的过程,增进对方程的解的认识,开展估算的意识与能力。
3、情感、态度、价值观:培养学生积极参与活动的意识。
学习重点:判定一个数是否是方程的根;学习难点:由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根。
导学方法:课时:导学过程一、课前预习:阅读课本P25——28的有关内容,完成《导学》教材导读中的问题及自主测评。
二、课堂导学:1、导入通过上节课的学习,我们认识了一元二次方程,并感受到一元二次方程在解决实际问题时的重要性,列出方程时,怎样求出方程中的未知数的值呢?2、出示任务自主学习阅读课本P27—28的有关内容,完成《导学》教材导读中的问题及自主测评。
什么是方程的解?你能从表格中发现方程的解吗?什么是一元二次方程的根?该方程只有一个根吗?对于排球邀请赛问题来说,答案是什么?由此你有什么思考3、合作探究《导学》难点探究和展题设计.三、展示与反应:检查自学情况,解决学生疑问。
四、学习小结:1、一元二次方程根的概念;2、会判断一个数是否是一元二次方程的根;3、要会用一些方法求一元二次方程的根.五、达标检测1.方程x〔x-1〕=2的两根为〔〕.A.x1=0,x2=1 B.x1=0,x2=-1 C.x1=1,x2=2 D.x1=-1,x2=22.方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,那么m的值为________.3、假设x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2021(a+b+c)的值课后作业:《导学》板书设计:21.1一元二次方程〔2〕1、一元二次方程根的概念;2、会判断一个数是否是一元二次方程的根;第二套学习目标:1、知识和技能:关系;2、会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解;3.会用估算方法估计一元二次方程的根.2、过程和方法:经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程,进一步理解体会方程与函数之间的联系.3、情感、态度、价值观:通过探究二次函数图像与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的情况的关系,进一步体会数形结合思想.学习重点:一元二次方程与二次函数之间的联系。
2.1 一元二次方程
1.会根据具体问题列出一元二次方程,体会方程的模型思想.
2.能理解一元二次方程的概念;会把一个一元二次方程化为一般形式;会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
3.通过探究实际问题,培养观察、类比和归纳问题的能力.
自学指导阅读教材第26至27页,并完成预习内容.
问题1如图,有一块长方形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?
分析:设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为100-2x,宽为50-2x.得方程(100-2x)·(50-2x)=3 600,整理得4x2-300x+1400=0.化简,得x2-75x+350=0. ①
问题2 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?
分析:全部比赛的场数为28.
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他(x-1)个队各赛1场,所以全部比赛共__
(x1)
2
x-
___场.
列方程__
(x1)
2
x-
___=28. 化简整理得x2-x-56=0.②
知识探究
(1)方程①②中未知数的个数各是多少?1个
(2)它们最高次数分别是几次?2次
方程①②的共同特点是:这些方程的两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是二次的整式方程.
自学反馈
1.一元二次方程的概念:
方程的两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是二次的整式方程叫做一元二次方程 2.一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.
二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件,不能漏掉.
问题3:一个面积为120m2的矩形苗圃,它的长比宽多2m,•苗圃的长和宽各是多少?
分析:设苗圃的宽为xm,则长为_______m.
根据题意,得___________________.
整理,得________________________.
(1)下面哪些数是上述方程的根?
0,1,2,3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
(2)一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____,即使一元二次方程等号左右两边相等的_______________的值。
(3)将x=-12代入上面的方程,x=-12是此方程的根吗?
(4)虽然上面的方程有两个根(______和______)但是苗圃的宽只有一个答案,即宽为_______.因此,由实际问题列出方程并解得的根,并不一定是实际问题的根,还要考虑这些根是否确实是实际问题的解.
活动1小组讨论
例1将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
解:2x2-13x+11=0;2,-13,11.
将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.
例2判断下列方程是否为一元二次方程:
(1)1-x2=0 ; (2)2(x2-1)=3y ; (3)2x2-3x-1=0;
(4)2
12
x x
-
=0 ; (5)(x+3)2=(x-3)2; (6)9x2=5-4x.
解:(1)是;(2)不是;(3)是;(4)不是;(5)不是;(6)是.
(1)一元二次方程为整式方程;(2)类似(5)这样的方程要化简后才能判断.
例3下面哪些数是方程x2-x-6=0的根?-2,3.
-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.
直接将x值代入方程,检验方程两边是否相等.
活动2 跟踪训练
1.下列各未知数的值是方程3x2+x-2=0的解的是
( B )
A.x=1
B.x=-1
C.x=2
D.x=-2
2.已知方程3x2-9x+m=0的一个根是1,则m的值是6.
3.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
(1)5x2-1=4x ; (2)4x2=81;
(3)4x(x+2)=25 ; (4)(3x-2)(x+1)=8x-3.
解:(1)5x2-4x-1=0; 5, -4, -1;
(2)4x2-81=0; 4, 0, -81;
(3)4x2+8x-25=0; 4, 8, -25;
(4)3x2-7x+1=0; 3, -7, 1.
4.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;
(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x;
(3)把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的长的平方,求较短一段的长x.
解:(1)4x2=25;4x2-25=0; (2)x(x-2)=100;x2-2x-100=0;
(3)x=(1-x)2;x2-3x+1=0.
5.求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程.
证明:∵二次项系数a=m2-8m+17=m2-8m+16+1=(m-4)2+1>0.∴二次项系数恒不等于零.∴不论m 取何值,该方程都是一元二次方程.
第5题可用配方法说明二次项系数不为零.
2.下面哪些数是方程x2+x-12=0的根?
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4。
3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗?
(1)
2250
x-=
(2)
2
31
x=
(3)
2
9160
x-=
(4) x2-36 = 0 (5) 4x2-9 = 0
活动3课堂小结
4.小结:(1)使一元二次方程成立的____________的值,叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的________。
(2)一元二次方程的一般形式____________特别强调____________.
(3)由实际问题列出方程并得出解后,还要考虑这些解______________
问题解决评价:
一、课堂练习
1.写出下列方程的根:
(1)9x2 = 1 (2)25x2-4 = 0 (3)4x2 = 2
2.下列各未知数的值是方程
2
320
x x
+-=
的解的是()
A.x=1
B.x=-1
C.x=2
D. x=-2
3.已知方程
2
390
x x m
-+=的一个根是1,则m的值是______
4.如果x2-81=0,那么x2-81=0的两个根分别是x1=________,x2=__________.
5.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为________.
6、试写出方程x2-x=0的根,你能写出几个?
二、巩固练习
1.若关于X的一元二次方程
22
(1)10
a x x a
-++-=
的一个根是0,a的值是几?你能得出这个方程的其他根吗?
2、若
222
x x
-=,则2
243
x x
-+=_____________。
已知m是方程260
x x
--=的一个根,则代数式
2
m m
-=________。
3. 如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根,求(a-b)2+4ab的值.
4、请用以前所学的知识求出下列方程的根。
⑴(x-2)=1 ⑵9(x-2) 2=1 ⑶x2+2x+1=4 ⑷x2-6x+9=0
问题拓展评价:
1.如果2是方程x2-c=0的一个根,那么常数c是几?你能得出这个方程的其他根吗?。