高等代数教学大纲
(Higher Algebra)
前言
教学大纲是一门课程的指导性文件．教学大纲的科学化、规范化，对建设良好的教学秩序，提高教学质量，搞好教学管理等方面都有很重要的意义．为此，我们根据学校有关文件，编写了《高等代数》这门课程的教学大纲．
《高等代数》这门课程是数学系各专业的必修专业基础课程之一，可为后继课程的学习打下必要的基础．它是数学系各专业硕士研究生入学考试的必考课程．它除培养学生掌握必要的基础知识之外，同时着重训练学生掌握数学结构的观念、公理化的方法、纯形式化的思维，从而在知识结构、综合素质、创新能力等方面对学生加以全面培养和整体提高．本课程的基本内容有: 包括：多项式，行列式，线性方程组, 矩阵，二次型，线性空间, 线λ矩阵，欧几里得内积空间，双线性函数和辛空间．重点是下列几章：多项式，行性变换, -
列式，线性方程组, 矩阵，二次型，线性空间, 线性变换,欧几里得内积空间.
通过本课程的学习，学生能正确理解矩阵、行列式、线性空间、线性变换、欧几里得空间等有关概念, 能理解并掌握线性方程组理论和多项式的理论，并能熟练地应用它们，为后续课程的学习打下坚实的基础．
本课程作为基础课，对其它课程依赖不大，当然，如果在学完《空间解析几何》之后开设效果会更好．
本课程作为基础课，应在大学低年级学生中开设，建议对本科一年级学生开设．
本课程为一学年课程．
教材: 《高等代数学》（第三版）北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组, 高等教育出版社，2003年。
参考书:《线性代数》吴赣昌主编，中国人民大学出版社，2006年
《高等代数学》姚慕生编, 复旦大学出版社，1999
《高等代数新方法》王品超主编，山东教育出版社，1989年
《高等代数学》（第二版）张贤科主编，清华大学出版社，2002年
《Linear Algebra》S.K.Jain, A.D.Gunawardena，机械工业出版社，2003年
建议学时分配
课程内容
第一章多项式
[教学目的与要求]通过本章学习，实现如下目的：
(1)理解整除、最大公因式、互素、多项式的不可约性、重因式、本原多项式等概念；
(2)熟练掌握整除的性质；
(3)熟练掌握最大公因式的求法；
(4)熟练掌握有无重因式的判别方法；
(5)熟练掌握整系数多项式的有理根的求法；
(6)熟练掌握整系数多项式在有理数域上不可约的艾森斯坦判别法；
(7)掌握复系数多项式因式分解定理、实系数多项式因式分解定理、有理系数多项式的因
式分解定理的应用；
(8)掌握韦达定理和多元多项式的基本性质．
[教学重点]
整除的性质、最大公因式的求法、有无重因式的判别方法、整系数多项式的有理根的求法、整系数多项式不可约的艾森斯坦判别法；复系数多项式因式分解定理、实系数多项式因式分解定理、有理系数多项式的因式分解定理的应用.
[教学难点]
整系数多项式的有理根的求法、整系数多项式不可约的艾森斯坦判别法.
[教学内容]
§1.1. 数域
数域的定义和例子
§1.2. 一元多项式
一、一元多项式的定义
二、一元多项式的运算和运算律
§1.3. 整除的概念
一、带余除法
二、整除的定义和几个常用的性质
§1.4. 最大公因式
一、最大公因式的定义和求法
二、互素
§1.5. 因式分解定理
一、不可约多项式的定义和简单性质
二、因式分解唯一性定理
§1.6. 重因式
重因式的定义和性质
§1.7. 多项式函数
一、余数定理
二、多项式的根或零点
§1.8. 复系数与实系数多项式的因式分解
一、复系数多项式的因式分解定理 二、实系数多项式的因式分解定理
§1.9. 有理系数多项式
一、本原多项式的定义和高斯引理 二、整系数多项式的有理根的求法 三、爱森斯坦判别法
§1.10. 多元多项式
多元多项式的定义及其次数
§1.11. 对称多项式
一、初等对称多项式
二、对称多项式基本定理
思考题
1． 证明：多项式)(x f 整除任意多项式的充要条件是)(x f 是零次多项式．
2． 设b a ,为两个不相等的常数．证明：多项式)(x f 被))((b x a x --除所得的余式为
b
a b bf a af x b a b f a f --+--)
()()()(
3． 证明：1|1--n d x x 当且仅当n d |．
4． 设k 为正整数．证明：)(|x f x k 当且仅当)(|x f x ．
5． 已知242)(234---+=x x x x x f ，22)(234---+=x x x x x g ，求)(),(x v x u 使
))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+． 6． 证明：如果)(|)(x f x d ，)(|)(x g x d ，且)()()()()(x g x v x f x u x d +=，则)(x d 是)
(x f 与)(x g 的最大公因式．
7． 证明：如果1))(),((=x g x f ，1))(),((=x h x f ，则1))()(),((=x h x g x f ． 8． 证明：如果1))(),((=x g x f ，则1))(),((=m
m
x g x f ． 9． 若1))(),((21=x f x f ，则对任意的)(x g ，
))(),(())(),(())(),()((2121x g x f x g x f x g x f x f =．
１０．判断下列多项式在有理数域上是否有重因式，若有，则求出重因式，并确定重数
（１）1)(2
4
++=x x x f
（２）277251815)(2
3
4
6
+-++-=x x x x x x f
１１．设)(x p 是)(x f '的k 重因式，能否说)(x p 是)(x f 的1+k 重因式，为什么？
１２．设n 为正整数，证明：如果)(|)(x g x f n
n ，则)(|)(x g x f ．
１３．设)(x p 为数域P 上的不可约多项式，)(x f 与)(x g 为数域P 上的多项式．证明：如果
)()(|)(x g x f x p +，且)()(|)(x g x f x p ，则)(|)(x f x p ，且)(|)(x g x p ．
１４．设)(x f 为数域P 上的n 次多项式，证明：如果)(|)(x f x f '，则n
b x a x f )()(-=，
其中P b a ∈,．
１５．求多项式92)(2
4
++=x x x f 与944)(2
3
4
-+-=x x x x g 的公共根．
