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三 直线的参数方程庖丁巧解牛知识·巧学直线参数方程的形式过定点M 0(x 0,y 0）、倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t 为参数）,我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其中t 为参数.直线参数方程中参数t 的几何意义：表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M （x ，y ）为终点的有向线段M M 0的数量M 0M 。
联想发散 很明显,我们也可以把参数t 理解为以M 0为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上点M 的坐标，其长度单位与原直角坐标系的长度单位相同.t 是直线上有向线段的数量,当α∈（0,π）时，M 在M 0的上方时,t 〉0；M 在M 0的下方时，t<0；M 与M 0重合时,t=0。
当α=90°时，⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t 为参数)可化为x=x 0,因此在使用时,不必研究直线斜率不存在时的情况.特别地,若直线l 的倾角α=0时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=,,00y y t x x 当t>0时，点M 在点M 0的右侧;当t=0时，点M 与点M 0重合；当t<0时，点M 在点M 0的左侧.深化升华 若直线的参数方程为一般形式⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00,(t 为参数),可把它化为标准形式:⎩⎨⎧'+='+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t′为参数),其中α是直线的倾斜角tanα=a b ，此时参数t′才有如前所说的几何意义。
同一直线方程的参数方程有多种形式,如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 222,221（t 为参数)和 ⎩⎨⎧+=-=t y t x 2,1（t 为参数）表示同一条直线，但后者参数t 没有几何意义.直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00,（t 为参数）只有当a 2+b 2=1且b≥0时,参数t 才有意义. 对于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=t b a b y y t b a a x x 220220,(t 为参数)，其中b≥0，若a>0，则直线的倾斜角α为锐角;若a<0,则直线的倾斜角α为钝角；若a=0,则直线的倾斜角α为直角.问题·探究问题1 在解决某些问题时可以使用某些已知的结论或公式，正确使用这些结论可以简化运算，使问题的解决更快捷.那么对于直线的参数方程又有哪些常用的结论呢？探究：根据直线参数方程中参数的几何意义,设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααtsin ,cos 00y y t x x （t 为参数）,直线l 上点A ，B 对应的参数分别为t A 、t B ，则(1）A 、B 两点之间的距离为|AB ｜=|t a -t b ｜,特别地，A 、B 两点到点M 0的距离分别为|t A ｜、|t B ｜；（2)A 、B 两点的中点所对应的参数为2B A t t +，若点M 0是线段AB 的中点,则t A +t B =0，反之亦然； （3）若直线上的点C 所对应的参数为t C ，C 点分AB 所成的比为λ,则t c =λλ++1B A t t 。
三直线的参数方程1．掌握直线的参数方程及参数的几何意义．2．能用直线的参数方程解决简单问题．1．直线的参数方程的标准形式过定点M0（x0，y0)，倾斜角为α(α≠错误!）的直线l的普通方程为y－y0＝（x－x0）tan α,它的参数方程为____________，这种形式称为直线参数方程的标准形式．其中参数t的几何意义是：________________，即|M0M|＝｜t|。
若______,则M M的方向向上；若______，则M M的方向向下；若______,则M与M0重合．【做一做1－1】直线错误!（t为参数）上与点P（－2，3)的距离等于2的点的坐标是( ）．A．(－4,5) B．(－3,4)C．（－3,4)或（－1，2）D．(－4，5)或(0，1)【做一做1－2】参数方程错误!(t是参数）表示的曲线是( ）．A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线2．根据直线的参数方程判断直线的倾斜角根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式，根据方程就可以判断出倾斜角，例如错误! (t为参数），可以直接判断出直线的倾斜角是20°.如果不是标准形式,就不能直接判断出倾斜角了，例如判断直线错误!（t为参数)的倾斜角，有两种方法：第一种方法：化为普通方程，求倾斜角．把参数方程改写成错误!消去t，有y＝－错误!，即y＝（x－3）tan 110°，所以直线的倾斜角为110°。
第二种方法：化参数方程为直线的标准参数方程错误!令－t＝t′，则错误!所以直线的倾斜角为110°.【做一做2－1】直线错误!(t为参数）的倾斜角α等于( ）．A．30°B．60°C．－45°D．135°【做一做2－2】过点(5，－4)，倾斜角α满足tan α＝－错误!的直线l的参数方程是（）．A.错误!(t为参数）B。
三 直线的参数方程一、基础达标1.直线⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝－2＋t sin α(α为参数，0≤a ＜π)必过点( )A.(1，－2)B.(－1，2)C.(－2，1)D.(2，－1)解析 直线表示过点(1，－2)的直线. 答案 A2.下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是( ) A.⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝3＋t(t 为参数) B.⎩⎨⎧x ＝1－t ，y ＝5－2t (t 为参数) C.⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝1－2t(t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋255t ，y ＝5＋55t(t 为参数)解析 题目所给的直线的斜率为2，选项A 中直线斜率为1，选项D 中直线斜率为12，所以可排除选项A 、D.而选项B 中直线的普通方程为2x －y ＋3＝0，故选C. 答案 C3.极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( ) A.直线、直线 B.直线、圆 C.圆、圆D.圆、直线解析 ∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ，即x 2＋y 2＝x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∴ρ＝cos θ所表示的图形是圆.由⎩⎨⎧x ＝－1－t y ＝2＋t (t 为参数)消参得：x ＋y ＝1，表示直线. 答案 D4.(2019·北京卷理，3)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋4t (t 为参数)，则点(1，0)到直线l 的距离是( ) A.15 B.25 C.45 D.65解析 由题意可知直线l 的普通方程为4x －3y ＋2＝0，则点(1，0)到直线l 的距离d ＝|4×1－3×0＋2|42＋（－3）2＝65.故选D.答案 D5.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎨⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎨⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________. 解析 由⎩⎨⎧x ＝2s ＋1，y ＝s 消去参数s ，得x ＝2y ＋1.由⎩⎨⎧x ＝at ，y ＝2t －1消去参数t ，得2x ＝ay ＋a . ∵l 1∥l 2，∴2a ＝12≠1a ，∴a ＝4. 答案 46.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________. 解析 直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3，0)，代入y ＝x －a 得a ＝3. 答案 37.化直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝－3＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t |的几何意义.解 由⎩⎨⎧x ＝－3＋t y ＝1＋3t 消去参数t ，得直线l 的普通方程为3x －y ＋33＋1＝0.故斜率k ＝3＝tan α，由于0≤α<π，即α＝π3. 因此直线l 的倾斜角为π3.又⎩⎨⎧x ＋3＝t ，y －1＝3t .得(x ＋3)2＋(y －1)2＝4t 2， ∴|t |＝（x ＋3）2＋（y －1）22. 故|t |是t 对应点M 到定点M 0(－3，1)的向量M 0M →的模的一半. 二、能力提升8.椭圆x 225＋y 216＝1上的点到圆x 2＋(y －6)2＝1上的点的距离的最大值是( ) A.11 B.74 C.5 5D.9解析 由平面几何知识，椭圆x 225＋y 216＝1上的点到圆x 2＋(y －6)2＝1上的点的距离最大值＝椭圆上的动点到圆心的最大距离＋圆的半径.如图，设圆x 2＋(y －6)2＝1圆心为O ′，P (5cos θ，4sin θ)是椭圆上的点，则|PO ′|＝（5cos θ）2＋（4sin θ－6）2 ＝25cos 2θ＋16sin 2θ－48sin θ＋36 ＝－9sin 2θ－48sin θ＋61 ＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋832＋125≤－9⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋832＋125＝10(当sin θ＝－1时取等号).则所求距离最大值为11. 答案 A9.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数，0≤θ≤π2)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________.解析 曲线C 1和C 2的直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝5(0≤x ≤5，0≤y ≤5)①，x －y ＝1②，联立①②解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(2，1). 答案 (2，1)10．已知圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为C ，直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝3－22t (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则△ABC 的面积为________．解析 直线的普通方程为x ＋y －2＝0，圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为C (1，0)，半径为1，点C 到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|1＋0－2|2＝22，所以|AB |＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，所以S △ABC ＝12×2×22＝12.答案 1211.在直角坐标系中，参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t ，y ＝12t (t 为参数)的直线l 被以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，极坐标方程为ρ＝2cos θ的曲线C 所截，求截得的弦长.解参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t ，y ＝12t(t 为参数)表示的直线l 是过点A (2，0)，倾斜角为30°，极坐标方程ρ＝2cos θ表示的曲线C 为圆x 2＋y 2－2x ＝0.此圆的圆心为(1，0)，半径为1，且圆C 也过点A (2，0)；设直线l 与圆C 的另一个交点为B ，在Rt △OAB 中，|AB |＝2cos 30°＝ 3.12．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝22t (t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出直线l 的普通方程以及曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 的两个交点分别为M ，N ，直线l 与x 轴的交点为P ，求|PM |·|PN |的值．解(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝22t(t 为参数)，消去参数t ，得x ＋y －1＝0.曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，利用平方关系，得x 2＋(y －2)2＝4，则x 2＋y 2－4y ＝0.令ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ，代入得C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (2)在直线x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得点P (1，0)． 把直线l 的参数方程代入圆C 的方程得t 2－32t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝1.由直线参数方程的几何意义，|PM |·|PN |＝|t 1·t 2|＝1.(k ∈N *)设此方程的两根为t 1，t 2， 三、探究与创新13.已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －3，y ＝3t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2－ 4ρcos θ＋3＝0.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的取值范围.解 (1)直线l 的普通方程为：3x －y ＋33＝0；曲线C 的直角坐标方程为：(x －2)2＋y 2)＝1.(2)设点P (2＋cos θ，sin θ)(θ＝R )，则d ＝|3（2＋cos θ）－sin θ＋33|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ θ＋π6＋532所以d 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤532－1，532＋1.。
