6 小行星的轨道模型
问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1.
表6.1 坐标数据
由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为
012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .
问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：
（x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）.
由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定
系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧-=++++-=++++-=++++-=++++-=++++.122212221222122212225554253552251454424344224
135342
3333223125242
232222211514213112211y a x a y a y x a x a ，
y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a 这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡111112222222222222225432155
25
5
525
44244424
33233323222
22222
112
11121a a a a a y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x 求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:
12
2
22=+b Y a X 由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴a 和短半轴b 计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长L .
根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:
[]
.02221=+
+C D
Y X λλ 所以,椭圆长半轴:C D a 1λ=;椭圆短半轴: C
D
b 2λ=;椭圆半焦矩:22b a
c -=.
计算求解 首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡=7200.69600.142896.112656.509504
.550520.53360.143807.62127.363802.516460.35180.133233.36433.246841
.454040.25720.124448.11115.155138.39292.1528.114199.04701.72237
.33A
使用计算机可求得
).2165.0,6351.1,6942.0,3440.0,6143.0(),,,,(54321---=a a a a a
从而
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6942.03440.03440.06143.03221
a a a a C C C ,3081.0=的特征值.0005.1,3080
.021==λλ
.12165.06351.12165.06942.03440.06351.13440.06143.015
4
532
321
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a a a a a a a a D .8203.1-=D
于是,椭圆长半轴1834.19=a ,短半轴9045.5=b ,半焦距2521.18=c .小行星近日
点距和远日点距为.4355.37,039313=+==-=c a H c a h
最后,椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分,可以考虑用数值积分解决问题,其近似 值为84.7887.
7 人口迁移的动态分析
问题 对城乡人口流动作年度调查,发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势:每年农村居民的2.5%移居城镇,而城镇居民的1%迁出.现在总人口的60%位于城镇.假如城乡总人口保持不变,并且人口流动的这种趋势继续下去,那么一年以后住在城镇人口所占比例是多少?两年以后呢?十年以后呢?最终呢?
解 设开始时,令乡村人口为,0y 城镇人口为,0z 一年以后有
乡村人口
,1001
1000975100y z y =+ 城镇人口
,100
99
100025100z z y =+ 或写成矩阵形式
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00111009910002510011000975
z y z y . 两年以后,有
.1009910002510011000975
1009910002510011000975002
1122⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y z y . 十年以后,有
.1009910002510011000975
0010
1010⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y
