专题13 两边夹-2021年高考数学一轮复习优拔尖必刷压轴题(新高考地区专用)

2021届高考数学金榜押题卷（二）（新高考版）【满分：150分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}234,{1,0,1,2,3}A xx x B =+<=-∣，则A B =( )A.{}1,0-B.{}1,1-C.{}1,0,1-D.{}0,1,2,32.已知i 是虚数单位，设复数2ii 2ia b -+=+，其中,a b ∈R ，则a b +的值为( ) A.75B.75-C.15D.15-3.《九章算术》第三章“哀分”中有如下问题：“今有甲持钱四百八十，乙持钱三百，丙持钱二百二十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问乙出几何？”其意为：“今有甲带了480钱，乙带了300钱，丙带了220钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则乙应出( ) A.50B.32C.31D.304.已知0.3 1.132, 2.3,log 6a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c a b <<B.c b a <<C.a c b <<D.b c a <<5.已知首项为2的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若360a a +=，则20202021S S +=( ) A.0B.1C.2D.36.已知直线y ax b =+与曲线()1e x f x x =--相切，则b a -的最小值是( ) A.12e-B.21e -C.2e-D.2e7.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1111,C D A D 的中点，则异面直线DE 与AF 所成角的余弦值是( )A.45B.35310108.已知函数πsin (0)6y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间(0,π)上恰有3个零点，则ω的取值范围是( )A.717,66⎛⎤ ⎥⎝⎦B.230,6⎛⎤ ⎥⎝⎦C.1723,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1723,66⎛⎤ ⎥⎝⎦二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.已知||1,|3=-=∣a a b ,a b 所成的角为60︒，则( ) A.||2=bB.()⊥-a b aC.//a bD.1⋅=a b10.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若实数a b >，则下列不等式不一定成立的是( ) A.1a b> B.222a b ab +<C.2b a a b+ D.11a b< 11.在平面直角坐标系xOy 中，点(4,4)M 在抛物线22(0)y px p =>上，抛物线的焦点为F ，延长MF 与抛物线相交于点N ，则下列结论正确的是( ) A.抛物线的准线方程为1x =- B.17||4MN =C.OMN 的面积为72D.||||||||MF NF MF NF +=12.已知函数()sin ,f x x x x =∈R ，则下列说法正确的有( ) A.()f x 是偶函数 B.()f x 是周期函数C.在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上，()f x 有且只有一个极值点D.过点(0,0)作曲线()y f x =的切线，有且仅有3条 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，若9cos 26cos 50αα++=，则sin α=_________.14.83412x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中7x -的系数为_____________. 15.已知三棱锥A BCD -中，点A 在平面BCD 上的射影与点D 重合，4AD CD ==.若135CBD ∠=︒，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为____________.16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，过点F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为M .若1tan 2MAF ∠=，则C 的离心率为_______________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）在①23sin sin sin sin 3b B c C b C a A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎭；②222cos sin sin sin cos C B C B A +=+；③22cos b a C c =+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，_______________. （1）求角A ；（2）若10,a ABC =的面积为83，求ABC 的周长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足()21n n S a =-，数列{}n b 满足221log log n n n b a a +=+.（1）求数列{}{}n n a b 、的通项公式；（2）若数列{}n c 满足：n n n c a b =⋅，且n T 为数列{}n c 的前n 项和，求n T . 19.（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，,90,,AD BC BCD E F ∠=︒分别是棱BC ，PC 的中点，且122AD CD BC ===.（1）求证：平面PAB 平面FED ；（2）若点P 在平面ABCD 内的射影H 恰为AB 的中点，设1PH =，求二面角C EF D --的余弦值.20.（12分）随着手机游戏的发展，在给社会带来经济利益的同时，也使许多人深陷其中，从而产生一些负面的影响.A ，B 两所学校为了解学生每天玩游戏的时间，各自抽取了100名学生进行调查，得到的数据如表所示： A 学校B 学校（1）以样本估计总体，计算A 学校学生日游戏时间的平均数以及B 学校学生日游戏时间的中位数.（2）为了调查家长对孩子玩游戏的态度，学校相关领导随机抽取了200名男性家长和200名女性家长进行调查，并将所得结果统计如表所示，判断是否有99.9%的把握认为家长对孩子玩游戏的态度与家长性别有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.21.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率e =原点到过点(,0),(0,)A aB b -. （1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线1(0)y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求实数k 的值.22.（12分）已知函数()(ln 1)()f x x k x k =--∈R .（1）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=平行，求实数k 的值； （2）若对于任意12,(0,3]x x ∈，且()()12122122,x x f x f x x x <+<+恒成立，求实数k 的取值范围.答案以及解析一、单项选择题 1.答案：A解析：234x x +<，即(4)(1)0x x +-<，解得41x -<<，所以(4,1)A =-，所以{}1,0A B =-，故选A. 2.答案：D解析：因为22i (2i)34i i 2i (2i)(2i)55a b --+===-++-，所以34,55a b ==-，所以15a b +=-.故选D. 3.答案：D解析：根据分层抽样原理，抽样比例为300348030022010=++，所以乙应交关税为100⨯33010=钱.故选D. 4.答案：C解析：0.30.5 1.13322 1.414, 2.3 2.3,2log 6log 1.5a b c =<==>>=>=，所以a ，b ，c 的大小关系为a c b <<，故选C. 5.答案：C解析：设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠.因为1362,0a a a =+=，所以()23210q q +=，解得1q =-，所以202020212020202121(1)21(1)21111S S ⎡⎤⎡⎤⨯--⨯--⎣⎦⎣⎦+=+=++.故选C.6.答案：A解析：由()1e x f x x =--得()1e x f x '=--，则()0,()f x f x '<单调递减，故直线y ax b =+与曲线()f x 只有一个切点，设切点为(),1e t P t t --，则曲线()f x 在点P 处的切线方程为()1e 1e ()t t y t x t -++=---，即()1e (1)e 1t t y x t =-++-+，所以()1e ,(1)e 1t t a b t =-+=-+，则t (1)e 11e e 2t t b a t t -=-+++=+，设()e 2t g t t =+，则()(1)e t g t t '=+，易知()g t 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，所以当1t =-时，()g t 取得最小值，为12e -，即b a -的最小值为12e-.7.答案：A解析：如图，取11A B 的中点N ，连接EN ，FN ，AN ，由E ，N 分别为11C D ，11A B 的中点，则11//EN A D 且11EN A D =，在正方体中11//AD A D 且11AD A D =，所以//EN AD 且EN AD =，所以四边形ANED 为平行四边形，所以//AN DE ，则FAN ∠(或其补角)为异面直线DE 与AF 所成角.设正方体的棱长为2，则在ANF 中，1112,2NF D B AN ===415AF =+=，所以222cos 2AF AN FN FAN AF AN+-∠=⋅5524.5255+-==⨯⨯故选A.8.答案：D解析：由(0,π)x ∈，可得πππ,π666x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，函数πsin (0)6y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间(0,π)上恰有3个零点，等价于函数sin y x =在区间ππ,π66ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭上恰有3个零点，故π3ππ4π6ω<+，解得172366ω<.故选D. 二、多项选择题 9.答案：ABD解析：因为,a b 所成的角为60︒，故选项C 错误；由题意得2222||()23-=-=-⋅+=a b a b a a b b ，所以||2=b ，故选项A 正确；2||||cos601,()0︒⋅==⋅-=⋅-=a b a b a b a a b a ，故选项B ，D 正确.故选ABD.10.答案：ACD解析：对于选项A ：当1,2a b =-=-时，满足a b >，此时112a b =<，故A 不一定成立；对于选项B ：因为2222()0a b ab a b +-=->，所以222a b ab +>，即222a b ab +<，所以222a b ab +<一定成立，故B 一定成立；对于选项C ：当1,1a b ==-时，满足a b >，此时1122b aa b+=--=-<，故C 不一定成立；对于选项D ：当1,1a b==-时，满足a b >，此时1111a b=>=-，故D 不一定成立.故选ACD. 11.答案：AD 解析：点(4,4)M 在抛物线20)2(y px p =>上，224242,4p p y x ∴=⋅⇒=∴=，焦点为(1,0)，准线为1x =-，A 正确，因为(4,4)M ，故404413MF k -==-，故直线MF 为：4(1)3y x =-， 联立22416(1)449(1)3y xx x x y x ⎧=⎪⇒-=⇒=⎨=-⎪⎩14或14,,1,||44x N MF ⎛⎫=∴-∴=+ ⎪⎝⎭155,||,||52424p p NF MN ==+=∴=+52544=，B 错误；||||||MF NF MN +==25||||4MF NF =⋅，D 正确； OMN 的面积为()11||22M N OF y y ⋅-=⨯5152⨯=，故C 错误.故选AD.12.答案：ACD解析：对于选项A ：因为函数()f x 的定义域为R ，显然()()f x f x =-，所以函数()f x 是偶函数，故A 正确.对于选项B ：若()f x 是周期函数，则存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=，令0x =，则(0)()sin 0f f T T T ===，因为0T ≠，所以sin 0T =，则π,T k k =∈Z 且0k ≠.则(π)(π)sin(π)sin (),f k x k x k x x x f x k +=++≠=∈Z 且0k ≠，故不存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=，故B 错误.对于选项C ：()sin ,,()sin cos 'f x x x x f x x x x =∈=+R ，令()sin cos g x x x x =+，则()2co si 's n g x x x x =-.当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2cos in 's 0g x x x x =-<，故)'(f x 单调递减.又π10,(π)π02''f f ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭，故'()0f x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个解，故()f x 有且只有一个极值点，故C 正确.对于选项D ：设切点的坐标为(,sin )t t t ，则切线方程为sin (sin cos )()y t t t t t x t -=+-，将(0,0)代入，得2cos 0t t =，解得0t =或ππ,2t k k =+∈Z .若0t =，则切线方程为0y =；若ππ,2t k k =+∈Z ，则切线方程为y x =±，故D 正确. 故选ACD. 三、填空题13.答案：. 解析：由题可知()292cos -1+6cos 5=0αα+，即29cos +3cos 20,(3cos 1)(3cos 2)0.αααα-=∴-+=ππ1,,cos ,sin 223ααα⎛⎫∈-∴=∴== ⎪⎝⎭.14.答案：112解析：8⎛- ⎝的展开式的通项8411148362188C 2(1)C (1)2rr r r rr r rr T x xx----+⎛⎫=⋅⋅-⋅=⋅-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令11476r -=-，解得6r =，故所求系数为6628C (1)2284112⨯-⨯=⨯=.15.答案：解析：如图，设BCD 的外接圆圆心为1O ，半径为r ，三棱锥A BCD -的外接球球心为O ，半径为R ，则1OO ⊥平面BCD ，故122ADOO ==.在BCD 中，由正弦定理得2sin CDr CBD==∠r =，则R ==.故球O 的体积3344ππ33V R ==⨯=.16.答案：5 3解析：如图所示，双曲线2222:1(0,0)x yCa ba b-=>>的右焦点(,0)F c，左顶点(,0)A a-.由双曲线的对称性不妨取渐近线方程为by xa=-，则过点(,0)F c且与直线by xa=-垂直的直线FM的方程为()ay x cb=-.联立(),,ay x cbby xa⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得2,a abx yc c==-，即2,a abMc c⎛⎫-⎪⎝⎭.作MN AF⊥于点N，在AMN中，由1tan2MAF∠=，可得2||1||2()abMN cAN aac-==--，整理得2a c b+=，所以()2222()44a cbc a+==-，整理得223250c ac a--=，即23250e e--=，解得53e=或1e=-（舍去），故双曲线C的离心率为53.四、解答题17.答案：（1）选择①：因为sin sin sin sin b B c C C a A ⎫+=+⎪⎪⎭，所以由正弦定理可得22sin b c C a a ⎫+=+⎪⎪⎭，即222sin b c a C +-=，则由余弦定理可得2cos sin bc A C =，所以sin cos sin C A A C =.因为sin 0C ≠，所以cos A A =，即tan A =. 因为(0,π)A ∈，所以π3A =. 选择②：由222cos sin sin sin cos C B C B A +=+， 得2221sin sin sin sin 1sin C B C B A -+=+-， 即222sin sin sin sin sin B C A B C +-=， 由正弦定理得222b c a bc +-=.由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==. 因为(0,π)A ∈，所以π3A =.选择③：由22cos b a C c =+，结合正弦定理得 2sin 2sin cos sin B A C C =+.因为πA B C ++=，所以sin sin()B A C =+，则2sin()2(sin cos cos sin )2sin cos sin A C A C A C A C C +=+=+， 所以2cos sin sin A C C =.因为(0,π)C ∈，所以sin 0C ≠，故1cos 2A =. 因为(0,π)A ∈，所以π3A =. （2）由（1）知π3A =.因为11πsin sin 223ABCSbc A bc ===，所以32bc =. 由余弦定理得，22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，即22()3100332196b c a bc +=+=+⨯=，所以14b c +=， 所以ABC 的周长为24a b c ++=. 18.答案：(1)21n n S a =-，①当1n =时，1121S a =-，解得11a =； 当2n 时1121n n S a --=-，② ①-②，得122n n n a a a -=-，即12(2)nn a n a -=， ∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，从而12n n a -=.221log log 121n n n b a a n n n +=+=-+=-.(2)由（1）得1(21)2n n c n -=-⋅，2213252(23)2n n T n -∴=+⨯+⨯++-⨯1(21)2,n n -+-⨯① 232123252(23)n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯12(21)2n n n -+-⨯，②①-②，得()12112222n n T --=+⨯++-(21)2n n -⨯122212(21)212n n n --⨯=+⨯--⨯-(23)23n n =-⋅+. (23)23n n T n ∴=-⋅+.19.答案：（1）E 是BC 的中点，12BE BC ∴=. 1,,,2ADBC AD BC AD BE AD BE =∴=，∴四边形ABED 是平行四边形，ED AB ∴.又ED ⊄平面,PAB AB ⊂平面,PAB ED∴平面PAB .,E F 分别是棱BC ，PC 的中点，EFBP ∴.又EF ⊂/平面,PAB BP ⊂平面,PAB EF∴平面PAB .,ED EF 是平面FED 内两条相交直线，∴平面PAB平面FED .（2）连接HE，AE，AC.点P在平面ABCD内的射影H恰为AB的中点，PH∴⊥平面ABCD，,PH AB PH HE∴⊥⊥.由12,2AD CD BC E===是BC的中点，90BCD∠=°，得22222,2,1AB AE BE AC AD CD HE BH=+==+===，222HE BH BE∴+=，则HE AB⊥.故以H为坐标原点，HB，HE，HP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系H xyz-，则11(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,0,1),,1,22H E A C P F⎛⎫---⎪⎝⎭.设平面CEF的法向量(,,)x y z=n，11,0,,(1,1,0)22EF EC⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，0,0,EFEC⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩nn即110,220,x zx y⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩令1z=，得(1,1,1)=n.平面PAB平面,FED∴平面EFD的一个法向量为(0,1,0)=m.由图可知二面角C EF D--的平面角为锐角，∴设二面角C EF D--的平面角为π2θθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，则||13cos||||33θ⋅===n mn m，∴二面角C EF D--的余弦值为33.20.答案：（1）A学校学生日游戏时间的平均数为350.1450.14550.16650.2750.18850.13950.0964.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（min）.B学校学生日游戏时间的中位数为5037102070107425----+⨯=（min）.（2）由已知可得2×2列联表：则()2240013639161648.17210.828200200297103K⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99.9%的把握认为家长对孩子玩游戏的态度与家长性别有关.21.答案：（1）因为222ca b ca=-=，所以2a b=.原点到直线:1x yABa b-=的距离d==解得4,2a b==.故椭圆C的方程为221164x y+=.（2）由题意联立221,1,164y kxx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y整理得()22148120k x kx++-=，可知0∆>.设()()1122,,,,E x yF x y EF的中点(),M MM x y，则122241,121414M M Mx x kx y kxk k+-===+=++.因为E，F都在以B为圆心的圆上，且(0,2)B-，所以21MMykx+⋅=-，所以20M Mx ky k++=，即224201414k kkk k-++=++，即2(81)0k k-=. 又因为0k≠，所以218k=，解得k=.经检验，k =满足题意. 22.答案：（1）由题意得()'ln f x x k =-，又曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=平行， 所以1'(1)ln12f k =-=，解得12k =-. （2）因为()()122122f x f x x x +<+，所以()()121222f x f x x x -<-. 记2()()h x f x x=-， 因为12,(0,3]x x ∈，且()()1212,x x h x h x <<， 所以2()()h x f x x =-在(0,3]上单调递增. 所以22()ln 0'h x x k x =-+在(0,3]上恒成立且等号不恒成立，即22ln k x x +在(0,3]上恒成立且等号不恒成立. 记22()ln u x x x =+，则23314'4()x u x x x x -=-=.令234()0'x u x x -==，解得2,2x x ==-（舍去） 当02x <<时，()0,'()u x u x <单调递减， 当23x <<时，()0,'()u x u x >单调递增， 所以在(0,3]上，当2x =时，()u x 取得最小值， 221(2)ln 2ln 222u =+=+， 所以1ln 22k +，故实数k 的取值范围为1,ln 22⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦.。

专题22 一类过定点问题的不等式恒成立【方法点拨】将恒成立问题转化为两函数的位置关系问题，难点在于发现两函数过定点.【典型题示例】例1 设a R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝______________．【答案】 【分析】本题解法较多，按照一般思路，则可分为以下两种情况：(A )， 无解； (B )， 无解． 因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x ＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下图)我们知道：函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0，1)．考查函数y 1＝(a －1)x －1：令y ＝0，得M (，0)，还可分析得：a ＞1； 考查函数y 2＝x 2－ax －1：显然过点M (，0)，代入得：，解之得：，或者，舍去，得答案：．点评：本题的关键在于，一是将恒成立问题转化为利用“形”进一步转化为两函数的位置关系问题，二是发现两函数在x 轴的右侧过定点.【巩固训练】 ∈23=a 2(1)1010a x x ax ≤⎧⎨≤⎩－－－－2(1)1010a x x ax ≥⎧⎨≥⎩－－－－11a -11a -211011a a a ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭3a 0==或者a 23=a 0=a 23=a1. 对任意的(0,)x ∈+∞，不等式22(2)ln 0ax a x x +-≥恒成立，则实数a 的取值的集合是 ．2.对任意的(0,)x ∈+∞，不等式2(ln )(210)0x x a x ax a-+-++≤恒成立，则实数a 的取值范围是 ．3.已知不等式2(3)()0ax x b +-≤对于任意的(0,)x ∈+∞恒成立，其中,a b 是整数，则a b +的取值集合为__________.【答案或提示】 1.【答案】{}1【解析】设22()2f x ax a x =+-，()ln g x x = 因为()ln g x x =恒过点（1,0），所以必有2(1)200f a a a ⎧=+-=⎨>⎩，解之得1a =. 2.【答案】【分析】考虑从“形”出发. 设()lnx f x x a a =-+，2()210g x x ax =-++又0a>，所以a =．∴31a =-⎧⎪=，或13a =-⎧⎪= 解之得：31ab =-⎧⎨=⎩，或19a b =-⎧⎨=⎩ 所以28a b +=-或，故a b +的取值集合为}8,2{-.。

2024年高考压轴卷【新高考卷】数学·全解全析一、单选题1．已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（）A ．()1,4-B ．[]1,4-C ．(]1,5-D ．()4,52．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4，则该汝窑双耳罐的体积是（）A ．1784π3B ．1884π3C ．2304π3D ．2504π33．如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A ．10B ．20C ．60D ．120【答案】A【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.4．已知等比数列{}n a 的各项均为负数，记其前n 项和为n S ，若6467813,8S S a a a -=-=-，则2a =（）A ．－8B ．－16C ．－32D ．－485．已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤6．已知函数2()log f x x =，则对任意实数,a b ，“0a b +≤”是“()()0f a f b +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件故选：C.7．已知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c<<8．从椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>外一点()00,P x y 向椭圆引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 称作点P关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ，离心率分别为12,e e ，2C 内含于1C ，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ，若原点O 到直线l 的距离为1，则2212e e -的最大值为（）A ．12B ．13C ．15D ．14二、多选题9．已知非零复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．若1211z z -=-，则12=z z B ．若1212z z z z +=-，则120OZ OZ ⋅=C ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D ．若1212z z z z +=+，则存在实数t ，使得21z tz =10．已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为B，C分别为AE，FD的中点，BD=）⊥A．BE CDB．BE与平面DCE所成角的余弦值为15C．四面体ABCD的内切球半径为30D．四面体ABCD的外接球表面积为8π【点睛】11．对于数列{}n a （N n a +∈），定义k b 为1a ，2a ，…，k a 中最大值（1,2,,k n =⋅⋅⋅）（N n +∈），把数列{}n b 称为数列{}n a 的“M 值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M 值数列”为2，2，3，7，7，则（）A ．若数列{}n a 是递减数列，则{}n b 为常数列B ．若数列{}n a 是递增数列，则有n na b =C ．满足{}n b 为2，3，3，5，5的所有数列{}n a 的个数为8D ．若()1()2N n n a n -+=-∈，记n S 为{}n b 的前n 项和，则1001002(21)3S =-三、填空题12．已知向量()1,1,4a b == ，且b 在a 上的投影向量的坐标为()2,2--，则a 与b的夹角为.13．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足135a a +=，22a =.设22log 7n n b a =-，则当5n ≥时，数列{}n b 的前n 项和n S =.14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 且斜率为34-的直线与C 交于,A B两点．若112AF F F ⊥，则C 的离心率为；线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，则22BF DF =．5.【点睛】方法点睛：椭圆求离心率或者范围关键是找到关于,a c 的齐次式求得.四、解答题15．如图，在平面四边形ABCD ，已知1BC =，3cos 5BCD ∠=-.（1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长；（2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为2的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，11AA A B =．(1)求证：三棱锥1A ABC -是正三棱锥；(2)若三棱柱111ABC A B C -的体积为221AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明1A O ⊥平面ABC 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.【详解】（1）分别取AB ，BC 中点D ，E ，连接CD ，AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心．因为11AA A B CA CB ==，得1CD AB AD AB ⊥⊥，，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以AB ⊥平面1A CD ，又1A O ⊂平面1A CD ，则1AB A O ⊥；取11B C 中点1E ，连接111A E E E ，，则四边形11AA E E 是平行四边形，因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，又11,,EE AE E EE AE =⊂ 平面11AA E E ，所以BC ⊥平面11AA E E ，又1A O ⊂平面11AA E E ，则1BC A O ⊥；又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1A O ⊥平面ABC ，所以三棱锥1A ABC -是正三棱锥．17．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0,2],(2,4]，(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X ，求X 的分布列和期望；(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“20()P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生参加公益劳动时间在(10,12]（单位:小时）内的概率，其中0,1,2,,20k = .当20()P k 最大时，写出k 的值.18．已知双曲线(22:10,0x y C a b a b-=>>）的左右焦点分别为12,F F ，C 的右顶点到直线2:a l x c =的距离为1，双曲线右支上的点到1F 的最短距离为3(1)求双曲线C 的方程；(2)过2F 的直线与C 交于M 、N 两点，连接1MF 交l 于点Q ，证明：直线QN 过x 轴上一定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19．函数()e xf x a x=-图像与x 轴的两交点为()()()1221,0,0A x B x x x >，(1)令()()ln h x f x x x =-+，若()h x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x <；(3)证明：当5a ≥时，以AB 为直径的圆与直线)1y x =+恒有公共点．（参考数据：0.25 2.5e 1.3e 12.2≈≈，）。

（新高考）2021年最新高考冲刺压轴卷数 学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“()0,x ∀∈+∞，2log 1x >”的否定是（ ） A ．()0,x ∀∈+∞，2log 1x ≤ B ．()00,x ∃∈+∞，20log 1x ≤ C ．()0,x ∀∉+∞，2log 1x ≤ D ．()00,x ∃∈+∞，20log 1x >【答案】B【解析】根据全称命题的否定是特称命题可知，命题“()0,x ∀∈+∞，2log 1x >”的否定为“()00,x ∃∈+∞，20log 1x ≤”． 故选B ．2．已知集合{}*28xM x =∈<N ，{}N x x a =<．若MN 有且仅有1个元素，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1 B ．[]0,1C ．(]1,2D ．[]1,2【答案】C【解析】因为{}{}{}**2831,2x M x x x =∈<=∈<=N N ，{}N x x a =<，结合M N 有且仅有1个元素知{}1MN =，所以12a <≤，故选C ．3．已知圆O 的半径为1，A ，B 是圆O 上两个动点，2OA OB OA OB +=-⋅，则OA ，OB 的夹角为（ ） A ．π3B ．2π3C ．3π4D ．5π6【答案】B 【解析】22222cos ,OA OB OA OB OA OB OA OB +=++⋅=+〈〉，22cos ,OA OB OA OB -⋅=-〈〉2cos ,OA OB =-〈〉，解得cos ,1OA OB 〈〉=或1cos ,2OA OB 〈〉=-， 由题意得cos ,0OA OB 〈〉≤，故2π,3OA OB 〈〉=，故OA ，OB 的夹角为2π3．故选B ．4．已知数列{}n a ，1()n a f n =，其中()f n 若{}n a 的前m 项和为20， 则m =（ ） A ．15 B ．30C ．60D ．110【答案】D【解析】由题意知，函数()f n又由()11f =，()21f =，()32f =，()42f =，()52f =，()62f =，()73f =，()83f =，()93f =，()103f =，()113f =，()123f =，，由此可得()f n 2个1，4个2，6个3，8个4，，又由数列{}n a 满足1()n a f n =， 可得1234567812111,,,23a a a a a a a a a ==========， 则122a a +=，34562a a a a +++=，78122a a a +++=，，因为{}n a 的前m 项和为20，即10220m S =⨯=，可得数列{}m 构成首项为2，公差为2的对称数列的前10项和， 所以10910221102m ⨯=⨯+⨯=，故选D ． 5．关于直线m 、n 与平面α、β，有以下四个命题： ①若//m α，βn//且//αβ，则//m n ； ②若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊥，βn//且//αβ，则m n ⊥； ④若//m α，n β⊥且αβ⊥，则//m n ． 其中真命题的序号是（ ） A ．①② B ．③④C ．①④D ．②③【答案】D【解析】对于①，若//m α，βn//且//αβ，则m 与n 平行、相交或异面，①错误； 对于②，如下图所示：设a αβ=，因为αβ⊥，在平面β内作直线l a ⊥，由面面垂直的性质定理可知l α⊥，m α⊥，//m l ∴，n β⊥，l β⊂，n l ∴⊥，因此，m n ⊥，②正确；对于③，若m α⊥，//αβ，则m β⊥， 因为βn//，过直线n 作平面γ使得a βγ=，由线面平行的性质定理可得//n a ，m β⊥，a β⊂，则m a ⊥，因此m n ⊥，③正确；对于④，若//m α，n β⊥且αβ⊥，则m 与n 平行、相交或异面，④错误， 故选D ．6．已知函数()222,0log 0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，，若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，给出下列结论：①121x x +=-，②341x x =，③1234102x x x x <+++<，④123401x x x x <<，其中所有正确命题的编号是（ ） A ．①② B ．②③C ．②④D ．②③④【答案】D【解析】函数()2202,0log x x x f x x x ⎧≤--⎪=⎨>⎪⎩，的图象如下图所示，函数22y x x =--的图象关于直线1x =-对称，则122x x +=-，故①错误； 由()()34f x f x =得2324log log x x =，∴2324log log x x -=， 则()234log 0x x =，∴341x x =，故②正确； 设()()()()1234f x f x f x f x k ====， 由221y x x =--≤，所以01k <<， 由2log 1x =-，得12x =，则3112x <<，∵12343433122x x x x x x x x +++=-++=+-， ∴1234331120,2x x x x x x ⎛⎫+++=+-∈ ⎪⎝⎭，故③正确； 由22y x x =--的对称轴方程为1x =-，由图可知()12,1x ∈--， 又()2123412111122x x x x x x x x x x ==--=--，∴()212341120,1x x x x x x =--∈，故④正确，故选D ．7．已知ABC △中，D 、E 分别是线段BC 、AC 的中点，AD 与BE 交于点O ，且90BOC ∠=︒，若2BC =，则ABC △周长的最大值为（ ）A．2+B．2C．2+D．2+【答案】A【解析】在ABC △中，D 、E 分别是线段BC 、AC 的中点，AD 与BE 交于点O ， 则O 为ABC △的重心， 因为90BOC ∠=°，故112OD BC ==，则33AD OD ==． ()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，2AD AB AC ∴=+，所以()222242AD AB AC AB AC AB AC =+=++⋅，即2222222242cos 22AB AC BC AD AB AC AB AC BAC AB AC AB AC AB AC+-=++⋅⋅∠=++⋅⋅⋅2222222224AB AC BC AB AC =+-=+-，所以，()()22222222240222AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC =+=+++≥++⋅=+，AB AC ∴+≤AB AC ==因此，ABC △周长的最大值为2，故选A ．8．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面11CDD C 上有一个小孔E ，E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDD C 与桌面所成角的正切值为（ ）A B ．12C D ．2【答案】D【解析】由题意知，水的体积为44232⨯⨯=，如图所示，设正方体水槽绕CD 倾斜后，水面分别与棱1111,,,AA BB CC DD 交于,,,M N P Q ， 由题意知3PC =，水的体积为32BCPN S CD ⋅=，322BN PC BC CD +∴⋅⋅=，即344322BN +⨯⨯=，1BN ∴=， 在平面11BCC B 内，过点1C 作1C H NP ∥交1BB 于H ， 则四边形1NPC H 是平行四边形，且11NHPC ==，又侧面11CDD C 与桌面所成的角即侧面11CDD C 与水面MNPQ 所成的角， 即侧面11CDD C 与平面11HC D 所成的角，其平面角为111HC C B HC ∠=∠， 在直角三角形11B HC 中，111114tan 22B C B HC B H ===，故选D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A ．234i i i i 0+++= B ．复数3i z =-的虚部为i -C ．若2(1)i 2z =+，则复平面内z 对应的点位于第二象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 【答案】AD【解析】A 选项，234i i i i i 1i 10+++=--+=，故A 选项正确； B 选项，z 的虚部为1-，故B 选项错误；C 选项，214i 4i 34i z =++=-+，34i z =--，对应坐标为()3,4--在第三象限， 故C 选项错误；D 选项，()111z z z -=+=--表示z 到1,0A 和()1,0B -两点的距离相等， 故z 的轨迹是线段AB 的垂直平分线，故D 选项正确， 故选AD ．10．下列四个函数，同时满足：①直线()12b y x b =+∈R 能作为函数的图象的切线；②函数()()4y f x f x =+的最小值为4的是（ ） A ．()1f x x=B ．()sin f x x =C ．()xf x e =D ．()2f x x =【答案】CD【解析】对于A ：()21f x x '=-，对于任意0x ≠，2112x -=无解， 所以直线12y x b =+不能作为切线； 对于B ：()1cos 2f x x '==，有解，但()()44f x f x +≥，当且仅当()2f x =时取等号， 又sin 1x ≤，所以不符合题意；对于C ：()12xf x e '==，有解，()()444x x f x e f x e +=+≥=， 当且仅当2x e =时，等号成立，故C 正确；对于D ：()122f x x '==，14x =，又2244x x +≥=，当且仅当x =D 正确， 故选CD ．11．已知函数()()πcos 10,2f x A x A ϕϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭，若函数()y f x =的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于直线π6x =对称 B ．函数()f x 的图象关于点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．将函数2sin 1y x =+的图象向左平移5π6个单位可得函数()f x 的图象D ．函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为1,3⎤⎦ 【答案】BC【解析】结合函数()y f x =的图象易知，函数()f x 的最大值3，最小值为1-， 则2A =，()()2cos 1f x x ϕ=++， 代入点()0,2，则2cos 12ϕ+=，1cos 2ϕ=， 因为π2ϕ<，所以π3ϕ=，()π2cos 13f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-+∈Z ，函数()f x 关于()ππ3x k k =-+∈Z 对称， A 错误；πππ32xk k Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，函数()f x 关于点()ππ,16k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z 对称， B 正确；函数2sin 1y x =+的图象向左平移5π6个单位，得出()5ππππ2sin 12sin 12cos 16323f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 正确； 当,02πx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π,ππ363x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，1cos ,132πx ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()[]2,3f x ∈，D 错误，故选BC ．12．过双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点F 引C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若FB AF λ=，23λ≤≤，则C 的离心率可以是（ ）A．2B．3C．2D ．2【答案】BC【解析】右焦点(c,0)F ，设一渐近线OA 的方程为by x a=， 则另一渐近线OB 的方程为by x a=-， 由FA 与OA 垂直可得FA 的方程为()ay x c b=--， 联立方程2222()b y x a c a ax a a b c y x c b ⎧=⎪⎪⇒==⎨+⎪=--⎪⎩， 可得A 的横坐标为2a c；联立方程()2222222b y x a c ca ax a a b a c y x c b ⎧=-⎪⎪⇒==⎨--⎪=--⎪⎩， 可得B 的横坐标为2222ca a c-． 因为FB AF λ=，所以()2222222222()22c c a ca a c a c c a c c a c cλλ---=-⇒=⨯--，可得2222222c e a c e λ==--， 因为23λ≤≤，所以22322e e≤-≤，即22222340432324602e e e e e e ⎧-≥⎪⎪-⇒≤≤⇒≤≤⎨-⎪≤⎪-⎩， BC 满足题意，AD 不合题意， 故选BC ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．写出一个符合“对12,x x ∀∈R ，当12x x ≠时，()()()12120f x x x x --<⎡⎤⎣⎦”的函数()f x =____________．【答案】x -（答案不唯一）【解析】设12,x x ∀∈R ，12x x <，则()()12f x f x >， 由单调性的定义可知，函数()f x 是定义域为R 的减函数， 所以函数()f x x =-满足题意． 故答案为x -．14．100(1的展开式中有理项的个数为________．【答案】34 【解析】131100C (2)r r r T x +=，所以0,3,6,,99r =⋯时为有理项，共34个，故答案为34．15．高三年级毕业成人礼活动中，要求A ，B ，C 三个班级各出三人，组成33⨯小方阵，则来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为______．【答案】1140【解析】根据题意，A ，B ，C 三个班级各出三人，组成33⨯小方阵，有99A 种安排方法， 若来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列，则第一行队伍的排法有33A 6=种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种； 第一行的每个位置的人员安排方法有33327⨯⨯=种，第二行的每个位置的人员安排有2228⨯⨯=种，第三行的每个位置的人员安排有1111⨯⨯=种，则自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率9962278110A 4P ⨯⨯⨯==，故答案为1140． 16．已知实数0a >且1a ≠，()xaf x a x =-为定义在()0,∞+上的函数，则()f x 至多有______个零点；若()f x 仅有1个零点，则实数a 的取值范围为_________． 【答案】2，(){}0,1e【解析】令()0f x =（0x >，0a >且1a ≠），可得x a a x =， 等式x a a x =两边取自然对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=， 构造函数()ln x g x x =，其中0x >，则()21ln xg x x-'=． 当0x e <<时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增； 当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减．所以，()()max 1g x g e e ==，且当1x >时，()ln 0xg x x=>，如下图所示：由图象可知，直线ln a y a=与函数()ln xg x x =的图象至多有两个交点，所以，函数()f x 至多有2个零点． 若函数()f x 只有一个零点，则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得01a <<或a e =． 故答案为2，(){}0,1e ．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90ADC ∠=︒，ABC △为锐角三角形，且3AB =，AC =，60ABC ∠=︒．（1）求sin BAC ∠的值； （2）求BCD △的面积．【答案】（1；（2【解析】（1）在锐角ABC △中，3AB =，AC =，60ABC ∠=︒，由正弦定理得sin sin AB ABC ACB AC ⋅∠∠==，又因为ABC △为锐角三角形，cos ACB ∴∠=．sin sin πππsin 33BAC ACB ACB ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∠=-+∠=+∠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，π1sin sin cos cos sin 331427πBAC ACB ACB ∴∠=∠⋅+∠⋅=+=． （2）//AB CD ，∴∠=∠ACD BAC ，sin sin ACD BAC ∴∠=∠=． 在ADC Rt △中，sin AD AC ACD =⨯∠==，2CD ∴==，BCD ACD S S =△△，又12ACD S AD CD =⨯=△BCD S ∴=△ 18．（12分）给出以下两个条件：①数列{}n a 的首项11a =，23a =，且14n n a a n ++=，②数列{}n a 的首项11a =，且()2121n n n S S n ++=．从上面①②两个条件中任选一个解答下面的问题．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足122n a nb n +=⨯，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）21n a n =-；（2）()1122n n T n +=-⨯+．【解析】若选条件①：（1）由条件14n n a a n ++=，得()2141n n a a n +++=+，两式相减得24n n a a +-=，∴数列{}21k a -，{}2()k a k ∈Z 均为公差为4的等差数列．∵11a =，()2114143k a k k -=+-=-， ∴当n 为奇数时，21n a n =-；∵23a =，∴()234141k a k k =+-=-， 当n 为偶数时，21n a n =-， 综上，21n a n =-． （2）由（1）得1222n a n n b n n +=⨯=⨯，则其前n 项和为212222n n T n =⨯+⨯++⨯①，∴231212222n n T n +=⨯+⨯++⨯②，①-②得()2131211212111222222n n n n n n T n ++-=⨯+⨯-=-⨯+⨯++-⨯-⨯()1122n n +=-⨯-，∴()1122n nT n +=-⨯+．若选条件②：（1）∵()2121n n n S S n ++=，∴222121S S =，232232S S =，242343S S =，…，()2211n n S n S n -=-， 上面1n -个式子相乘得2211n S n S =（2n ≥），∴2n ≥时，2221121n n S S n a n ===， 而1n =时，111n S S a ===，也满足上面等式，∴2n S n =， ∴2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，而1n =时，11n a a ==，也满足上面等式， ∴21n a n =-．（2）由（1）得1222n a n n b n n +=⨯=⨯，则其前n 项和为212222n n T n =⨯+⨯++⨯①，∴231212222n n T n +=⨯+⨯++⨯②，①-②得()213121*********2222n n nn n n T n ++-=⨯+⨯-=-⨯+⨯++-⨯-⨯()1122n n +=-⨯-，∴()1122n nT n +=-⨯+．19．（12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且13AA =，E ，F 分别为1CC ，1BD 的中点．（1）证明：EF ⊥平面11BB D D ；（2）若60DAB ∠=︒，求二面角11A BE D --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）如图所示：连接AC 交BD 于O 点，连接OF ，F 为1BD 的中点， 所以1//OF DD ，112OF DD =， 又E 为1CC 的中点﹐11//CC DD ，所以1//CE DD ，112CE DD =，所以//OF CE ，OF CE =，所以四边形OFEC 为平行四边形，//OC FE ．直四棱柱1111ABCD A BC D -中，1DD ⊥平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ， 所以1DD OC ⊥．又因为底面ABCD 是菱形，所以OC BD ⊥， 又1DD BD D =，1DD ⊂平面11BB D D ，BD ⊂平面11BB D D ，所以OC ⊥平面11BB D D ，所以EF ⊥平面11BB D D ． （2）建立如图空间直角坐标系O xyz -，由60DAB ∠=︒，知2BD AB BC ===， 又13AA =，则()1,0,0B，32E ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,A ，()11,0,3D -， 设(),,x y z =n 为平面1A BE 的一个法向量，由100A B BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，得30302x z x z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令y =()=n ；设()111,,x y z =m 为平面1D BE 的一个法向量，由100BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即11111230302x z x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令13x =，可得()3,0,2=m ，cos ,⋅===⋅m nn m m n， 如图可知二面角11A BE D --为锐角，所以二面角11A BE D --． 20．（12分）某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元旦礼品．而每个甲系列盲盒可以开出玩偶1A ，2A ，3A 中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶1B ，2B 中的一个．（1）记事件n E ：一次性购买n 个甲系列盲盒后集齐1A ，2A ，3A 玩偶；事件n F ：一次性购买n 个乙系列盲盒后集齐1B ，2B 玩偶；求概率()6P E 及()5P F ；（2）礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为15，购买乙系列的概率为45；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为14，购买乙系列的概率为34；前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为12，购买乙系列的概率为12；如此往复，记某人第n 次购买甲系列的概率为n Q ． ①n Q ；②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．【答案】（1）()62027P E =，()51516P F =；（2）①1151245n n Q -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭；②应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．【解析】（1）由题意基本事件共有：63种情况， 其中集齐1A ，2A ，3A玩偶的个数可以分三类情况， 1A ，2A ，3A 玩偶中，每个均有出现两次，共222642C C C 种；1A ，2A ，3A 玩偶中，一个出现一次，一个出现两次，一个出现三次，共32136313C C C A 种； 1A ，2A ，3A 玩偶中，两个出现一次，另一个出现四次，共142362C A C 种， 故()22232134264263136266C C C C C C A 3A C 20327P E ++==． 根据题意，先考虑一次性购买n 个乙系列盲盒没有集齐1B ，2B 玩偶的概率，即5112P +=， 所以()5511151216P F +=-=． （2）①由题意可知：115Q =，当2n ≥时，()1111124n n n Q Q Q --=-+， ∴1221545n n Q Q -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 所以25n Q ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以15-为首项，14-为公比的等比数列， ∴1151245n n Q -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， ②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，所以，对于每一个人来说，某天来购买盲盒时，可以看作n 趋向无穷大， 所以购买甲系列的概率近似于25，假设用ξ表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则2100,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()2100405E ξ=⨯=，即购买甲系列的人数的期望为40， 所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．21．（12分）已知椭圆()222210x y a ba b +=>>的离心率为2，右焦点为F ，上顶点为A ，左顶点为B ，且 ||||10FA FB ⋅=+ （1）求椭圆的方程；（2）已知()4,0C -，()4,0D ，点P 在椭圆上，直线PC ，PD 分别与椭圆交于另一点M ，N ，若CP CM λ=，DP DN μ=，求证：λμ+为定值．【答案】（1）221105x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）设(),0F c ，由题意得||FA a =，||FB a c =+，2c a =，222a b c =+， ()||||10FA FB a a c ∴⋅=+=+210a =，25b =，∴椭圆的方程为221105x y +=．（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ， 由CP CM λ=，DP DN μ=，得()()00114,4,x y x y λ+=+，()()00224,4,x y x y μ-=-，()010141x x y y λλλ⎧-=-∴⎨=⎩，()020241x x y y μμμ⎧-=-⎨=⎩，()1284x x λμλμ∴-=-+，①又点P ，M ，N 均在椭圆上，由220022222111105105x y x y λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且01y y λ=，得()()01012110x x x x λλλ-+=-，()01512x x λλ∴+=-+．② 同理，由220022222221105105x y x y μμμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且02y y μ=，得()()22002110x x x x μμμ-+=-，()02512x x μμ∴+=+．③ 联立②③得()12552x x λμλμ-=-+-．④联立①④得263λμ+=，λμ∴+为定值263． 22．（12分）已知函数2()1()x f x ax a e=++∈R ． （1）若函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）当0a ≠时，讨论函数()()3g x f x a =--的零点个数，并给予证明．【答案】（1）2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）当0a <时，函数()g x 有且只有一个零点；当0a >时，函数()g x 有两个零点，证明见解析．【解析】（1）2()xf x a e '=-， 由题意得()0f x '≥，即2x a e ≥在区间(1,)+∞上恒成立． 当(1,)x ∈+∞时，220,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2a e≥， 故实数a 的取值范围为2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（2）由已知得2()2x g x ax a e =+--，则22()x x x ae g x a e e-'=-=． 当0a <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，又(0)0g a =->，2(1)20eg =-<，故函数()g x 有且只有一个零点． 当0a >时，令()0g x '<，得2ln x a<，函数()g x 单调递减； 令()0g x '>，得2ln x a >，函数()g x 单调递增， 而222ln ln 0g a a a a ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2220a aa g a e ++⎛⎫=> ⎪⎝⎭， （ln x x <在(0,)+∞上恒成立）由于ln x x >，所以222ln a a a a +>>，所以()g x 在22ln ,a a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在一个零点．又2222ln ln 22a a g a a a a ⎛⎫++⎛⎫=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，且222ln ln 2a a a <++， 设22()ln 2a a h a a ++=-，则222211()1022a a a h a a a a a +-+'=-=>++++在(0,)+∞上恒成立， 故()h a 在(0,)+∞上单调递增．而(0)0h =，所以()0>h a 在(0,)+∞上恒成立，所以22ln 02g a a ⎛⎫> ⎪++⎝⎭， 所以()g x 在222ln ,ln 2a a a ⎛⎫ ⎪++⎝⎭上存在一个零点． 综上所述，当0a <时，函数()g x 有且只有一个零点；当0a >时，函数()g x 有两个零点．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。

专题13 结构不良题（三角函数与解三角形）结构不良题型是新课改地区新增加的题型，所谓结构不良题型就是给出一些条件，另外的条件题目中给出三个，学生可以从中选择1个或者2个作为条件，进行解题。

一、题型选讲题型一 、研究三角形是否存在的问题例1、【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B =，6C π=，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】方案一：选条件①．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a ．222=b c =．由①ac =1a b c ==．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =． 方案二：选条件②．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a ．222=b c =，6B C π==，23A π=．由②sin 3c A =，所以6c b a ===．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c = 方案三：选条件③．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a ．222=b c =．由③c =，与b c =矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．例2、（2021年徐州联考）在①cos cos 2c B b C +=，②πcos()cos 2b Cc B -=，③sin cos B B +条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求ABC △的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π6A =，______________，4b =？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】选择①：由余弦定理可知，222222cos cos 222a c b a b c c B b B c b a ac ab+-+-+=⋅+⋅==，……4分由正弦定理得，sin sin 1b A B a ==，又(0,π)B ∈，所以π2B =，…………………6分所以ABC △是直角三角形，则c =ABC △的面积12S ac ==…10分 选择②：由正弦定理得，πsin cos()sin cos 2B C C B -=，即sin sin sin cos B C C B =， 又(0,π)C ∈，所以sin 0C ≠，所以sin cos B B =，即tan 1B =， 又(0,π)B ∈，所以π4B =．……………………………………………………………4分由正弦定理得，sin sin b Aa B==，…………………………………………………6分所以ABC △的面积1ππsin )sin()2246S ab C A B ==+=+=+.…10分 选择③：因为πsin cos )4B B B ++=πsin()14B +=， 又(0,π)B ∈，所以ππ5π(,)444B +∈，所以ππ42B +=，即π4B =．…………………4分由正弦定理得，sin sin b Aa B==，…………………………………………………6分所以ABC △的面积1ππsin )sin()2246S ab C A B ==+=+=+.…10分 题型二、运用正余弦定理研究边、角及面积例3、【2020年高考北京】在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【解析】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==-，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=（Ⅱ）1cos (0,)sin 77A A A π=-∈∴==，由正弦定理得：7sin sin sin sin 7a c C A C C ==∴=11sin (118)8222S ba C ==-⨯⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，sin 816A B ∴====由正弦定理得：6sin sin a b a A B === （Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos 8161684C A B A B B A =+=+=+⨯=11sin (116)622S ba C ==-⨯=例4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC . 如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .【解析】 选择①：113sin 2sin 2224ABC S AB BC ABC BC π∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=所以BC = 由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠482220⎛=+-⨯⨯= ⎝⎭所以AC ==选择②设BAC CAD θ∠=∠=，则04πθ<<，4BCA πθ∠=-，在ABC ∆中sin sin AC ABABC BCA =∠∠，即23sin sin 44AC ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭所以sin 4AC πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭在ACD ∆中，sin sin AC CD ADC CAD=∠∠，即4sin sin 6AC πθ=所以2sin AC θ=.所以2sin sin 4πθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得2sin cos θθ=， 又04πθ<<，所以sin 5θ=，所以2sin AC θ==例5、（湖北黄冈高三联考）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知的内角，，所对的边分别是，，，若______.（1）求角；（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积.【解析】（1）选①，由正弦定理得，∵，即，∵，∴，∴，∴. ··········································5分选②，∵，，由正弦定理可得，∵，∴，∵，∴. ·················································5分 选③，∵，由已知结合正弦定理可得， ∴，∴，∵，∴. ·················································5分 （2）∵，即，∴，解得，当且仅当时取等号，b a =2sin tan b A a B =()()sin sin sin ac A c A B b B -++=ABC A B C a b c B 4a c +=ABC ABC sin sin B A =sin 0A ≠cos 1B B -=π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0πB <<ππ5π666B -<-<ππ66B -=π3B =2sin tan b A a B =sin 2sin cos a Bb A B =sin 2sin sin sin cos BB A A B=⋅sin 0A ≠1cos 2B =()0,πB ∈π3B =()()sin sin πsin A BC C +=-=()22a c a cb -+=222a cb ac +-=2221cos 222a cb ac B ac ac +-===()0,πB ∈π3B =()22222cos 3163ba c ac B a c ac ac =+-=+-=-2316acb =-221632a c b +⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭2b ≥2a c ==∴，周长的最小值为6，此时的面积. ··········10分 例6、（2021年南京金陵中学联考）现给出两个条件：①2c －3b ＝2a cos B ，②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，________． (1)求A ；(2)若a ＝3－1，求△ABC 周长的最大值．【解析】若选择条件①2c －3b ＝2a cos B ．(1)由余弦定理可得2c －3b ＝2a cos B ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，整理得c 2＋b 2－a 2＝3bc ，………2分可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32．…………………………………………………3分 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6． …………………………………………………………5分 (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得(3－1)2＝b 2＋c 2－2bc ·32，………6分即4－23＝b 2＋c 2－3bc ＝(b ＋c )2－(2＋3)bc ，亦即(2＋3)bc ＝(b ＋c )2－(4－23)， 因为bc ≤(b ＋c )24，当且仅当b ＝c 时取等号， 所以(b ＋c )2－(4－23)≤(2＋3)×(b ＋c )24，解得b ＋c ≤22，…………………………………………………………8分 当且仅当b ＝c ＝2时取等号． 所以a ＋b ＋c ≤22＋3－1，即△ABC周长的最大值为22＋3－1．…………………………………………………10分 若选择条件②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ． (1)由条件得2b cos A ＝3a cos C ＋3c cos A ，由正弦定理得2sin B cos A ＝3(sin A cos C ＋sin C cos A )＝3sin(A ＋C )＝3sin B ．………2分 因为sin B ≠0，所以cos A ＝32，…………………………………………………3分 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6． (2)同上例7、（2020·全国高三专题练习（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满()(sin sin )sin )b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小； （2）再在①2a =，②4B π=，③=c 这三个条件中，选出两个使ABC 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC 的面积.min 2b =ABCABC 1sin 2S ac B ==【答案】（1）6A π=；（2）见解析【解析】（1）因为()(sin sin )sin )b a B A c B C -+=-， 又由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得()())b a b a c c -+=-，即222b c a +-=，所以222cos 222b c A bc bc a +===-， 因为0A π<<， 所以6A π=.（2）方案一：选条件①和②.由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin ab B A ==由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222222cos4c c π=+-⨯，解得c =所以ABC 的面积11sin 2122S ac B ==⨯⨯=. 方案二：选条件①和③.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222433b b b =+-，则24b =，所以2b =.所以c =，所以ABC 的面积111sin 2222S bc A ==⨯⨯=题型三、考查三角函数的图像与性质例8、（2020届山东省泰安市高三上期末）在①函数()()1sin 20,22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象，()g x 图象关于原点对称；②向量()3sin ,cos 2m x x ωω=，()11cos ,,0,24n x f x m n ωω⎛⎫=>=⋅ ⎪⎝⎭；③函数()1cos sin 64f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()0ω>这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知_________，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）若02πθ<<，且sin 2θ=，求()f θ的值； （2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间． 【解析】解：方案一：选条件① 由题意可知，22T ππω==，1ω∴= ()()1sin 22f x x ϕ∴=+，()1sin 226g x x πϕ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，又函数()g x 图象关于原点对称，,6k k Z πϕπ∴=+∈，2πϕ<，6πϕ∴=，()1sin 226f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，（1）0,sin 2πθθ<<=，4πθ∴=，()4f f πθ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12sin 23π=4=； （2）由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令0k =，得263x ππ≤≤，令1k =，得7563x ππ≤≤，∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间为275,,,6363ππππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．方案二：选条件②()113sin ,cos 2,cos ,24m x x n x ωωω⎛⎫== ⎪⎝⎭，()f x m n ∴=⋅1cos cos 24x x x ωωω=+112cos 222x x ωω⎫=+⎪⎪⎝⎭1sin 226x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又22T ππω==，1ω∴=，()1sin 226f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，（1）0,sin 2πθθ<<=，4πθ∴=，()4f f πθ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12sin 23π=4=； （2）由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令0k =，得263x ππ≤≤，令1k =，得7563x ππ≤≤，∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间为275,,,6363ππππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．方案三：选条件③()1cos sin 64f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1cos sin cos cos sin 664x x x ππωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭211cos cos 24x x x ωω=+-12cos 24x x ωω=+112cos 2222x x ωω⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭1sin 226x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又22T ππω==，1ω∴=，()1sin 226f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，（1）0,sin 22πθθ<<=，4πθ∴=，()4f f πθ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12sin 23π==； （2）由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令0k =，得263x ππ≤≤，令1k =，得7563x ππ≤≤.∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间为275,,,6363ππππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．二、达标训练1、（2021年江苏连云港联考）已知有条件①(2)cos cos b c A a C -=, 条件②45cos 2cos 2=+⎪⎭⎫⎝⎛+A A π;请在上述两个条件中任选一个，补充在下面题目中，然后解答补充完整的题目．在锐角△ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为a , b,c , a =7, b +c =5, 且满足．(1) 求角A 的大小； (2) 求△ABC 的面积．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）【解析】（1）选择条件①()2cos cos b c A a C -=,…………………………………1分 法1：由正弦定理得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=, ………2分所以()2sin cos sin sin B A A C B =+=,………………………3分 因为sin 0B ≠, 所以1cos 2A =………………………………4分 又π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,…………………5分 所以3A π=. ………………………………………………………6分法2：由余弦定理得()222222222b c a a b c b c abc ab+-+--=，……2分 化简得222b c a bc +-=………………………………………3分则2221cos 22b c a A bc +-==， ………………………………4分又π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,……………………5分 所以3A π=. ………………………………………………6分（1）选择条件②25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭………………………………………1分 法3：因为cos sin 2A A π⎛⎫+=-⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A += ……………2分因为22sin cos 1A A +=，所以251cos cos 4A A -+=…………3分化简得21cos 02A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得1cos 2A =, ………………………4分 又()0,A π∈,………………………5分 所以3A π=. ……………………………………………………6分 （2）由余弦定理2222cos3a b c bc π=+-, ……………………………7分 得()273b c bc =+-，…………………………………………………8分所以()2763b c bc bc +-=⇒=， ……………………………10分于是ABC ∆的面积11sin 62222S bc A ==⨯⨯=．………12分 2、（2021年泰州高三期中）在①a=√2,②S=C 2 cosB ， ③C=π3这三个条件中任选-一个，补充在下面问题中，并对其进行求解.问题:在∆A BC 中，内角A, B,C 的对边分别为a,b,c,面积为S ，√3bcosA=acosC+ccosA ，b=1,____________，求 c 的值.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。