第二章 线性算子与线性泛函
第一节 有界线性算子
一、线性算子
本段中只需假设,,X Y Z 等是K 上的向量空间。 定义： 若一个映射:T X Y →满足
()(,,,)T x y Tx Ty
x y X αβαβαβ+=+∈∈K ，
则称T 为从X 到Y 的线性算子。
容易看出，上述等式可推广到更一般的情形：(
)i i
i
i
i
i
T x Tx αα=∑∑。
命题2.1.1 设:T X Y →是一线性算子，则以下结论成立：
（1）任给子空间A X ⊂与子空间B Y ⊂，TA 与1T B -分别为Y 与X 的子空间。特别，
(0)0T =与()R T TX =（值域）是Y 的子空间；1()(0)N T T -是X 的子空间（称为T 的
核或零空间）。
（2）若向量组{}i x X ⊂线性相关，则{}i Tx 亦线性相关；若A 是X 的子空间且
dim A <∞，则dim dim TA A <。
（3）T 是单射(){0}N T ⇔=。
说明：若0()Tx Y x X ≡∈∈，则称T 为零算子，就记为0；若(),Tx x x X αα≡∈∈K 为常数，则称T 为纯量算子（或相似变换，若0α≠），记作I α，当0α=与1时，I α分别是零算子和单位算子。
对线性算子可定义两种自然的运算：线性运算与乘法。若,:T S X Y →是线性算子，
,αβ∈K ，则:T S X Y αβ+→是一个线性算子，它定义为
()().
(2.1.2)T S x Tx Sx x X αβαβ+=+∈
若:R Y Z →是另一个算子，则由
()()().(2.1.3)RT x R Tx x X =∈
定义出一个线性算子:RT X Z →，称它为R 与T 的乘积。实际上，线性算子的乘积就是它们的复合。容易原子能正验证，如上定义的运算有以下性质：
11(),
()();
R T S RT RS R R T RT R T +=+⎧⎨
+=+⎩分配律
()();()Q RT QR T =结合律
()()(),()RT R T R T αααα==∈K
只要以上等式的一端有意义。若线性算子:T X Y →为双射，则称它为线性同构，此时其逆映射1
:T Y X -→亦为线性算子。T 是线性同构的充要条件是，存在线性算子:S Y X →，
使得
,(2.1.4)X Y
ST I TS I ==
二、有界线性算子
定义2.1.2 设:T X Y →是一个线性算子。令
sup /(2.1.5)x T Tx x
≠=
若T <∞，则称T 为从X 到Y 的有界线性算子，且称T 为T 的算子范数，简称为范数。若T =∞，则称T 为无界算子。
约定以(,)L X Y 记从X 到Y 的有界线性算子之全体，(,)L X X 简写为()L X 。 注1：:T X Y →的有界的等价刻画： （1）0,k x X ∃>∀∈，有;Tx k x ≤或 （2）T 映X 中的有界集为Y 中的有界集。 注2：若(,)T L X Y ∈，则对任给的x X ∈有
(2.1.6)Tx T x
≤
注3：范数定义的几种等价形式 （1）1
sup (2.1.7)x T Tx
== （2）1
sup (2.1.8)x T Tx
≤=
（3）inf{0:().(2.1.9)T k Tx k x x X =≥≤∀∈
例2.1.3 设[,]()J a b a b =<，给定()C J ϕ∈。定义
()()()(,()),Tu x x u x x J u C J ϕ=∈∈
T 是从()C J 到自身的线性算子。求T 。
命题2.1.4 设:T X Y →是一个线性算子，则T 有界T ⇔连续。 推论：（1）T 是拓扑同构T ⇔与1
T -皆连续（即T 为同胚）； （2）若(,),{}n T L X Y x X ∈⊂，
n
x
∑收敛，则有
1
1
1
()(lim )lim ()lim n n n
n k k k n n n n n
k k k n
T x T x T x Tx Tx →∞
→∞
→∞
=======∑∑∑∑∑。
例2.1.5：设[0,]J π=，在1
()C J 与()C J 中均采用sup 范数。显然
1:()(),(2.1.10)d
T C J C J u u dx
'=
→→
是一线性算子。令()sin n u x nx =，则0
1n
u =，而0
n u n '=，可见T 是无界算子。
三、有界线性算子的运算与扩张
命题2.1.6：(,)L X Y 依算子范数是一个赋范空间；当空间Y 完备时，(,)L X Y 是Banach 空间。
定理 2.1.7（扩张定理）：设D 是X 的稠密子空间，(,)T L D Y ∈，Y 完备，则T 可保持范数惟一地扩张到X 上。
若线性算子:T X Y →是单射（即(){0}N T =），则1
:()T R T X -→是一确定的线性
算子，当它有界时称为T 的有界逆，并说T 有有界逆。
命题2.1.8线性算子:T X Y →有有界逆的充要条件是存在0k >，使得
().(2.1.14)Tx k x
x X ≥∈。
第二节 常用有界线性算子
一、矩阵
设,X Y 是有限维赋范空间，dim ,dim ,(,)X n Y m T L X Y ==∈。分别取X 的基{}j e 与Y 的基{}i ε。设
(1),j ij i
i
Te a j n ε=≤≤∑
则T 完全由矩阵[]m n
ij A a ⨯=∈K
所确定。若,(,)T S L X Y ∈分别对应矩阵
,,,m n A B αβ⨯∈∈K K ，则算子T S αβ+恰好对应矩阵A B αβ+。这样，线性算子空间
(,)L X Y 线性同构于矩阵空间m n ⨯K ，因而对(,)L X Y 的研究可代之以对m n ⨯K 的研究。
任给[]m n
ij A a ⨯=∈K
，依矩阵乘法自然地定义一个线性算子：
,,
(2.2.1)n m x Ax →→K K
其中x 当作1n ⨯阶矩阵。不妨用同一字母A 表示算子（2.2.1），它也可表成：
