高一综合复习 函数定义域值域

第三讲 函数的定义域和值域一、知识回顾1、函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量， 叫做函数的定义域；与x 的值对应的y 值叫做函数值， 叫做函数的值域. 2、确定函数定义域的常见方法：（1）分式的 ； （2）偶次方根的 ； （3）零指数幂和负数指数幂的 ； （4）对数式的真数 ，底数 ；（5）正切函数 ；（6）实际问题 。

3、求函数值域的常见方法：（1）直接法——利用常见基本初等函数的值域： ①)0(≠+=k b kx y 的值域 ②)0(≠=k xk y 的值域③c bx ax y ++=2的值域：0>a 时为 ； 0>a 时为 。

④x a y =的值域 ⑤x y alog=的值域⑥x y sin =，x y cos =的值域是 ⑦x y tan =的值域是 （2）配方法——转化为二次函数，配成完全平方式.（3）换元法——通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想 （4）分离常数法——适用于型如：dcx b ax y ++=的函数（5）判别式法——适用于型如：pnxmxc bx ax y ++++=222的函数（6）不等式法：借助于基本不等式ab b a 2≥+（a>0，b>0)求函数的值域.用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”.（7）单调性法：首先确定函数的定义域，然后再根据其单调性求函数的值域。

常用到函数)0(>+=k xk x y 的单调性：增区间为(－∞，－k ]和[k ,＋∞)，减区间为(－k ,0)和(0，k ).二、例题变式例1、求下列函数的定义域： （1）43--=x x y (2)1lg4x y x -=- (3)6522+--=x x x y (4) )13lg(132++-=x xxy变式1、求下列函数的定义域：（1）xxy 513-=（2）y =（3）y =（4）y =例2、已知等腰三角形的周长为17，写出它的底边长y 与腰长x 之间的函数关系式？并指出函数的定义域。

求函数定义域和值域专题1 知识点拨一、函数的定义域及求法1、分式的分母≠0；偶次方根的被开方数≥0；2、对数函数的真数＞0；对数函数的底数＞0且≠1；3、正切函数：x ≠kπ+ π/2 ,k∈Z；4、一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R；5、复合函数定义域的求法：取交集及分类讨论；6、抽象函数定义域的求法；二、含分式的函数在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。

例1：求函数f(x)=211xx-+的定义域．三、含偶次根式的函数注意（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的术语和符号，注意区间的开闭情况.例2 ：求函数y ＝3-ax （a 为不等于0的常数）的定义域.四、复合型函数注意 函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集，通过列不等式组来实现.例3：求函数y ＝23-x ＋30323-+x x ）（的定义域．练习1、求下列函数的定义域。

⑴y=xx -||1 ⑵y=3102++x x （3）y=||11x - （4）y=2121---x x （5）2143)(2-+--=x x x x f五、抽象函数1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

高一值域和定义域的知识点高一数学知识点：值域和定义域解析数学中的值域和定义域是一项基本概念，特别在高一的课程中，这两个概念被频繁地引用和运用。

理解和掌握这些概念，对于高一学生来说是至关重要的。

一、定义域的概念与运用1.1 定义域的定义在函数的定义中，值域和定义域是两个至关重要的概念。

首先，定义域指的是自变量的取值范围。

也就是说，在一个函数中，自变量可以取到的所有可能值形成的集合就是该函数的定义域。

例如，在函数 y = 2x + 3 中，自变量 x 可以取到任何实数的值，所以定义域是整个实数集R。

1.2 定义域的限制在实际问题中，有时候函数并不适用于所有的自变量取值范围。

例如，对于一个表示温度的函数而言，可能只适用于自变量为正数的情况，因为负温度在实际生活中并没有意义。

所以，在这种情况下，定义域就需要做出相应的限制。

例如，函数y = √x 的定义域就是非负实数集[0, +∞)。

1.3 定义域的确定方法确定一个函数的定义域，首先要注意函数中不能出现负号下的奇次根号，因为这样的根无法在实数范围内取得。

其次，要注意有分数形式的分母，不能等于零，因为除数不能为零。

最后，要留意任何其他潜在的限制条件，如有意义性等。

二、值域的概念与运用2.1 值域的定义与定义域类似，值域也是函数的一个重要概念。

值域指的是函数的因变量所能取到的所有可能值所形成的集合。

例如，在函数 y = 2x + 3 中，对于任何实数的自变量 x ，函数的值域都是整个实数集R。

2.2 值域的限制对于某些函数而言，其值域可能受到一些限制。

例如，函数 y = x^2 的值域就是非负实数集[0, +∞)，因为平方的结果永远不会是负数。

在寻找函数的值域时，我们需要考虑是不是有潜在的限制条件。

2.3 值域的确定方法确定一个函数的值域，可以通过图像分析和数学推导等多种方法。

对于某些函数而言，我们可以通过观察函数的图像，来判断函数的值域。

例如，当一个函数的图像形状是一个开口向上的抛物线时，我们就可以确定其值域是非负实数集。

高一函数定义域和值域知识点在高中数学中，函数是一个非常重要的概念。

函数是一个映射关系，它将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素。

而函数的定义域和值域则是函数的两个基本性质，它们对于理解函数的性质和特点非常关键。

一、函数的定义域函数的定义域是指函数中所有可能输入的取值范围。

也就是说，在定义一个函数时，我们需要确定函数的输入可以采取哪些值。

例如，考虑一个简单的函数f(x) = √x。

这个函数的定义域是什么呢？我们知道平方根是一个实数运算，但是如果x取负值，那么该函数就无法定义了。

因此，这个函数的定义域是所有非负实数。

我们可以表示为：定义域D = [0, +∞)。

同样地，对于一个分式函数g(x) = 1/x，我们知道分母不能为零。

因此，该函数的定义域是除了x=0之外的所有实数。

我们可以表示为：定义域D = (-∞, 0)∪(0, +∞)。

另外，有些函数的定义域可能受到一些附加条件的限制。

比如，如果考虑一个函数h(x) = log(x)，我们知道对数运算要求x必须大于0，因此，该函数的定义域是所有正实数。

我们可以表示为：定义域D = (0, +∞)。

二、函数的值域函数的值域是指函数中所有可能输出的取值范围。

也就是说，在定义一个函数时，我们需要确定函数的输出可以采取哪些值。

例如，考虑函数f(x) = x^2，我们可以通过平方运算得到一个非负数。

因此，该函数的值域是所有非负实数。

我们可以表示为：值域R = [0,+∞)。

同样地，对于函数g(x) = sin(x)，我们知道正弦函数的取值范围是在[-1, 1]之间的所有实数。

因此，该函数的值域是[-1, 1]。

另外，有些函数的值域可能受到一些附加条件的限制。

比如，如果考虑函数h(x) = e^x，我们知道指数函数的取值范围是大于0的实数。

因此，该函数的值域是大于0的所有实数。

我们可以表示为：值域R = (0, +∞)。

总结起来，函数的定义域和值域是函数的两个基本性质。

第二节函数的定义域和值域[知识能否忆起]1．常见基本初等函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝a x，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R.(5)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠k π＋π2，k ∈Z .(6)函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}．(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．2．基本初等函数的值域 (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R.(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≥4ac －b 24a ；当a <0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≤4ac －b 24a . (3)y ＝k x(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}． (4)y ＝a x(a >0且a ≠1)的值域是{y |y >0}． (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R. (6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]． (7)y ＝tan x 的值域是R.[小题能否全取]1．(教材习题改编)若f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,4]，则f (x )的值域为( ) A ．[－1,8] B ．[－1,16] C ．[－2,8]D ．[－2,4]答案：A 2．函数y ＝1x 2＋2的值域为( ) A ．R解析：选D ∵x 2＋2≥2，∴0<1x 2＋2≤12.∴0<y ≤12. 3．(2012·山东高考)函数f (x )＝1ln?x ＋1?＋ 4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x ≠0，－2≤x ≤2.解得－1<x <0或0<x ≤2.4．(教材习题改编)函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，|x |－5≠0，得x ≥4且x ≠5.答案：{x |x ≥4，且x ≠5}5．(教材习题改编)若x 有意义，则函数y ＝x 2＋3x －5的值域是________． 解析：∵x 有意义，∴x ≥0.又y ＝x 2＋3x －5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－94－5，∴当x ＝0时，y min ＝－5. 答案：[－5，＋∞)函数的最值与值域的关系函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域．[注意] 求函数的值域，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意函数定义域．求函数的定义域典题导入[例1] (1)(2012·大连模拟)求函数f (x )＝lg?x 2－2x ?9－x 2的定义域； (2)已知函数f (2x)的定义域是[－1,1]，求f (x )的定义域．[自主解答] (1)要使该函数有意义，需要⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x >0，9－x 2>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >2，－3<x <3，解得－3<x <0或2<x <3，所以所求函数的定义域为(－3,0)∪(2,3)． (2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]， 即－1≤x ≤1，∴12≤2x≤2，故f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.若本例(2)条件变为：函数f (x )的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域． 解：∵函数f (x )的定义域是[－1,1]， ∴－1≤x ≤1，∴－1≤log 2x ≤1，∴12≤x ≤2.故f (log 2x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 由题悟法简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)对抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； ②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．以题试法1．(1)函数y ＝2x －x2ln?2x －1?的定义域是________．(2)(2013·沈阳质检)若函数y ＝f (x )的定义域为[－3,5]，则函数g (x )＝f (x ＋1)＋f (x －2)的定义域是( )A ．[－2,3]B ．[－1,3]C ．[－1,4]D ．[－3,5]解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2≥0，ln?2x －1?≠0，2x －1>0，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠1，x >12.所以函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1,2]．(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤x ＋1≤5，－3≤x －2≤5，解不等式组可得－1≤x ≤4. 所以函数g (x )的定义域为[－1,4]．答案：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1,2] (2)C 求已知函数的值域典题导入[例2] 求下列函数的值域． (1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])； (2)y ＝1－x 21＋x 2；(3)y ＝x ＋4x(x <0)；(4)f (x )＝x －1－2x . [自主解答] (1)(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数， ∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． (2)y ＝1－x 21＋x 2＝21＋x 2－1，∵1＋x 2≥1，∴0<21＋x2≤2.∴－1<21＋x 2－1≤1.即y ∈(－1,1]．∴函数的值域为(－1,1]．(3)∵x <0，∴x ＋4x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －4x ≤－4，当且仅当x ＝－2时等号成立． ∴y ∈(－∞，－4]．∴函数的值域为(－∞，－4]．(4)法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.法二：(单调性法)f (x )的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12容易判断f (x )为增函数，所以f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，即函数的值域是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.由题悟法求函数值域常用的方法(1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数(例(1))． (2)换元法(例(4))． (3)基本不等式法(例(3))． (4)单调性法(例(4))． (5)分离常数法(例(2))．[注意] 求值域时一定要注意定义域的使用，同时求值域的方法多种多样，要适当选择．以题试法2．(1)函数y ＝x －3x ＋1的值域为________． (2)(2012·海口模拟)在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为________．解析：(1)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1， 因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1， 即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}．(2)由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈?1，2]，当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4，－1]； 当x ∈(1,2]时，f (x )∈(－1,6]， 即当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4,6]．答案：(1){y |y ∈R ，y ≠1} (2)[－4,6]与函数定义域、值域有关的参数问题典题导入[例3] (2012·合肥模拟)若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．[自主解答] 函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. [答案] [－1,0]由题悟法求解定义域为R 或值域为R 的函数问题时，都是依据题意，对问题进行转化，转化为不等式恒成立问题进行解决，而解决不等式恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用分离参数法，有时还可利用数形结合法．以题试法3．(2012·烟台模拟)已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个．解析：由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4|x |＋2≤2，得0≤|x |≤2，满足整数数对的有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个．答案：5函数的值域由函数的定义域和对应关系完全 确定，但因函数千变万化，形式各异，值域的求 法也各式各样，因此求函数的值域就存在一定的 困难，解题时，若方法适当，能起到事半功倍的 作用．求函数值域的常用方法有配方法、换元法、 分离常数法、基本不等式法、单调性法(以上例2 都已讲解)、判别式法、数形结合法等．1．数形结合法利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法，如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键．[典例1] 对a ，b ∈R ，记max|a ，b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b .函数f (x )＝max||x ＋1|，|x －2||(x ∈R)的值域是________．[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ≥12，|x －2|，x <12，由图象知函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞[题后悟道] 利用函数所表示的几何意义求值域(最值)，通常转化为以下两种类型： (1)直线的斜率：yx 可看作点(x ，y )与(0,0)连线的斜率；y －bx －a可看作点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (2)两点间的距离： ?x －x 1?2＋?y －y 1?2可看作点(x ，y )与点(x 1，y 1)之间的距离． 针对训练1．函数y ＝?x ＋3?2＋16＋?x －5?2＋4的值域为________． 解析：函数y ＝f (x )的几何意义为：平面内一点P (x,0)到两点A (－3,4)和B (5,2)距离之和．由平面几何知识，找出B 关于x 轴的对称点B ′(5，－2)．连接AB ′交x 轴于一点P 即为所求的点，最小值y ＝|AB ′|＝82＋62＝10.即函数的值域为[10，＋∞)． 答案：[10，＋∞) 2．判别式法对于形如y ＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1a 2x 2＋b 2x ＋c 2(a 1，a 2不同时为零)的函数求值域，通常把其转化成关于x 的一元二次方程，由判别式Δ≥0，求得y 的取值范围，即为原函数的值域．[典例2] 函数y ＝x 2－xx 2－x ＋1的值域为________．[解析] 法一：(配方法) ∵y ＝1－1x 2－x ＋1，又x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y <1.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1.法二：(判别式法)由y ＝x 2－xx 2－x ＋1，x ∈R ，得(y －1)x 2＋(1－y )x ＋y ＝0. ∵y ＝1时，x ∈?，∴y ≠1.又∵x ∈R ，∴Δ＝(1－y )2－4y (y －1)≥0， ∴－13≤y <1.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1 [题后悟道] 本题解法二利用了判别式法，利用判别式法首先把函数转化为一个系数含有y 的二次方程a (y )x 2＋b (y )x ＋c (y )＝0，则在a (y )≠0时，若x ∈R ，则Δ≥0，从而确定函数的最值；再检验a (y )＝0时对应的x 的值是否在函数定义域内，以决定a (y )＝0时y 的值的取舍．针对训练2．已知函数y ＝mx 2＋43x ＋nx 2＋1的最大值为7，最小值为－1，则m ＋n 的值为( )A ．－1B ．4C ．6D ．7解析：选C 函数式可变形为(y －m )x 2－43x ＋(y －n )＝0，x ∈R ，由已知得y －m ≠0，所以Δ＝(－43)2－4(y －m )·(y －n )≥0，即y 2－(m ＋n )y ＋(mn －12)≤0，①由题意，知不等式①的解集为[－1,7]，则－1、7是方程y 2－(m ＋n )y ＋(mn －12)＝0的两根，代入得⎩⎪⎨⎪⎧1＋?m ＋n ?＋mn －12＝0，49－7?m ＋n ?＋mn －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝5.所以m ＋n ＝6.求解函数的值域要根据函数解析式的特点选择恰当的方法，准确记忆常见函数的值域，熟练掌握各种类型函数值域的求法，除前面介绍的几种方法外，还有单调性法、导数法(以后还要讲解)．1．函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是( )解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>0，2x －1>0得x >23.2．(2012·汕头一测)已知集合A 是函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1x的定义域，集合B 是其值域，则A ∪B的子集的个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．16解析：选C 要使函数f (x )的解析式有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0，x ≠0，解得x ＝1或x ＝－1，所以函数的定义域A ＝{－1,1}．而f (1)＝f (－1)＝0，故函数的值域B ＝{0}，所以A ∪B ＝{1，－1,0}，其子集的个数为23＝8.3．下列图形中可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的图象是( )解析：选C 由题意知，自变量的取值范围是[0,1]，函数值的取值范围也是[0,1]，故可排除A 、B ；再结合函数的定义，可知对于集合M 中的任意x ，N 中都有唯一的元素与之对应，故排除D.4．(2013·长沙模拟)下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x 2－2x ＋1 B ．y ＝x ＋2x ＋1(x ∈(0，＋∞)) C ．y ＝1x 2＋2x ＋1(x ∈N)D ．y ＝1|x ＋1|解析：选D 选项A 中y 可等于零；选项B 中y 显然大于1；选项C 中x ∈N ，值域不是(0，＋∞)；选项D 中|x ＋1|>0，故y >0.5．已知等腰△ABC 周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，则函数的定义域为( ) A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5}解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，10－2x >0，即0<x <5.6．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2B ．(－∞，2]∪[2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选A ∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)， 故x －1∈(－∞，0)∪[1,4)， ∴2x －1∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2. 7．(2013·安阳4月模拟)函数y ＝x ＋1＋x －1?0lg?2－x ?的定义域是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，2－x >0，2－x ≠1得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，x <2，则⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <2，x ≠1，所以定义域是{x |－1≤x <1，或1<x <2}．答案：{x |－1≤x <1，或1<x <2}8．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________． 解析：y ＝x －x ＝－(x )2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，即y max ＝14.答案：149．(2012·太原模考)已知函数f (x )的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，则函数f (x ＋2)的定义域为____________，值域为__________．解析：由已知可得x ＋2∈[0,1]，故x ∈[－2，－1]，所以函数f (x ＋2)的定义域为[－2，－1]．函数f (x )的图象向左平移2个单位得到函数f (x ＋2)的图象，所以值域不发生变化，所以函数f (x ＋2)的值域仍为[1,2]．答案：[－2，－1] [1,2] 10．求下列函数的值域．(1)y ＝1－x2x ＋5；(2)y ＝2x －1－13－4x .解：(1)y ＝1－x2x ＋5＝－12?2x ＋5?＋722x ＋5＝－12＋722x ＋5， 因为722x ＋5≠0，所以y ≠－12， 所以函数y ＝1－x 2x ＋5的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12. (2)法一：(换元法)设13－4x ＝t ，则t ≥0，x ＝13－t 24， 于是y ＝g (t )＝2·13－t 24－1－t ＝－12t 2－t ＋112＝－12(t ＋1)2＋6， 显然函数g (t )在[0，＋∞)上是单调递减函数，所以g (t )≤g (0)＝112， 因此函数的值域是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，112. 法二：(单调性法)函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤134， 当自变量x 增大时，2x －1增大，13－4x 减小，所以2x －1－13－4x 增大，因此函数f (x )＝2x －1－13－4x 在其定义域上是单调递增函数，所以当x ＝134时，函数取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝112， 故函数的值域是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，112. 11．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a 、b 的值． 解：∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1. 即[1，b ]为f (x )的单调递增区间．∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1① f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32，b ＝3. 12．(2013·宝鸡模拟)已知函数g (x )＝x ＋1, h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域；(2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域． 解：(1)f (x )＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a ](a >0)． (2)函数f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14， 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32， f (x )＝F (t )＝t t 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2， 当t ＝4t 时，t ＝±2?⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，又t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，t ＋4t 单调递减，F (t )单调递增，F (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613. 即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613.1．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( )A ．[－2,2]B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[－2，2] 解析：选C －x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，0≤－x 2＋4x ≤2，－2≤－－x 2＋4x ≤0，0≤2－－x 2＋4x ≤2，所以0≤y ≤2.2．定义区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝|log 12x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．解析：由函数f (x )＝|log 12x |的图象和值域为[0,2]知，当a ＝14时，b ∈[1,4]；当b ＝4时，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以区间[a ，b ]的长度的最大值为4－14＝154，最小值为1－14＝34.所以区间长度的最大值与最小值的差为154－34＝3. 答案：3 3．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解：(1)行车所用时间为t ＝130x (h)， y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]． 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]． (2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝1318x ， 即x ＝1810时，上述不等式中等号成立．当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．1．已知函数f (x )＝2x ＋4－x ，则函数f (x )的值域为( )A ．[2,4]B ．[0,2 5 ]C ．[4,2 5 ]D ．[2,2 5 ] 解析：选D ∵x ∈[0,4]，∴可令x ＝4cos 2θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 则y ＝2·2cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)，tan φ＝2.又0≤θ≤π2，φ≤θ＋φ≤π2＋φ， 故cos φ≤sin(θ＋φ)≤1，而cos φ＝15， ∴2≤y ≤2 5.2．若函数f (x )＝ ?a 2－1?x 2＋?a －1?x ＋2a ＋1的定义域为R ，求实数a 的取值范围． 解：由函数的定义域为R ，可知对x ∈R ，f (x )恒有意义，即对x ∈R ，(a 2－1)x 2＋(a －1)x ＋2a ＋1≥0恒成立．①当a 2－1＝0，即a ＝1(a ＝－1舍去)时，有1≥0，对x ∈R 恒成立，故a ＝1符合题意； ②当a 2－1≠0，即a ≠±1时，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1>0，Δ＝?a －1?2－4?a 2－1?×2a ＋1≤0，解得1<a ≤9.综上，可得实数a 的取值范围是[1,9]．。

高中数学函数的三要素函数的三要素是指定义域、值域、对应法则。

每个要素里掌握的方向不一样。

定义域从具体函数和抽象函数两个方向去把握，值域掌握求值域的方法有哪些，对应法则也掌握的是方法有哪些，下面一一介绍。

一、定义域1、具体函数定义域，主要从以下几个方面去掌握：(1)整式函数的定义域是全体实数。

(2)分式函数的定义域是使得分母不为0的自变量的取值。

(3)含有偶次根式是被开放数大于等于0(4)对数函数是真数大于0(5)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义。

2、抽象函数的定义域，此部分只需记住2句话即可：（1）、凡是出现定义域三个字，统统是指的取值范围。

（2）、相同准则条件下，相同位置取值范围一样。

通俗一句话就是括号里的取值范围一样。

3、实际问题，既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求。

二、对应法则函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法（例如一次函数、二次函数）。

(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围。

(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式。

(4)消去法（构造方程组法）：已知f(x)与fx(1)或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。

三、求值域：求值域的方法：（1）分离常数法：适合分子分母都是一次函数。

（2）反解法。

（3）配方法。

（4）不等式法。

（5）单调性法。

（6）换元法。

（7）数形结合法。

（8）导数法。

高一值域知识点高一阶段的数学学习中，值域是一个重要的概念。

了解和掌握值域知识点对于提高解题能力和数学思维的发展至关重要。

本文将介绍高一阶段数学学习中的值域知识点，帮助同学们深入理解。

一、定义值域是在一个函数或者映射的定义域内，所有可能的函数值或者映射值的集合。

它表示了函数或映射的输出范围。

二、求值域的方法1. 逆向代入法：通过逆向代入的方法，将函数值等式转化成自变量等式，从而求得自变量的取值范围。

2. 图像法：通过绘制函数图像或者观察函数图像的性质，推测函数的值域范围。

3. 分情况讨论法：对于具有多个定义域的函数，可以将值域分为各个定义域下的值域，并再取并集得到最终的值域范围。

三、常见的值域问题1. 一次函数值域问题：对于形如y=mx+c的一次函数，当斜率m大于0时，值域为从最小值到最大值的闭区间；当斜率m小于0时，值域为从最大值到最小值的闭区间。

2. 二次函数值域问题：对于形如y=ax^2+bx+c的二次函数，当系数a大于0时，值域为从最小值到正无穷的开区间；当系数a小于0时，值域为从负无穷到最大值的开区间。

3. 分段函数值域问题：对于分段函数，可以将定义域进行分类讨论，再求得各个部分的值域范围，并取并集得到最终的值域范围。

四、实例分析假设有一个二次函数y=2x^2+3x-2，我们来求其值域。

首先，我们可以观察系数a的取值情况，发现a=2大于0，即这是一个开口向上的二次函数。

所以值域为从最小值到正无穷的开区间。

接下来，我们可以求得函数的最小值。

通过求导数和求得的结果为0的点，我们可以求得最小值对应的自变量x的值为-3/4。

将x=-3/4代入函数中，可以求得函数的最小值为-11/8。

所以，该二次函数的值域为从-11/8到正无穷的开区间。

五、总结值域是在一个函数或者映射的定义域内，所有可能的函数值或者映射值的集合。

我们可以通过逆向代入法、图像法和分情况讨论法等方法来求解值域问题。

在学习高一数学的过程中，我们需要对不同类型的函数或者映射进行分析，判断其值域的范围。

函数定义域、值域求法总结（一）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；（二）求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C 是B的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结一、定义域是函数()y f x =中的自变量x 的范围。

求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。

(6)0x 中x 0≠二、值域是函数()y f x =中y 的取值范围。

高一数学函数的定义域与值域一、知识归纳：（一）函数的定义域与值域的定义：函数y=f(x 中自变量x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 的值叫做函数值。

函数值的集合{f(x│x∈A}叫做函数的值域。

（二）求函数的定义域一般有3类问题：1、已知解析式求使解析式有意义的x 的集合常用依据如下： ①分式的分母不等于0； ②偶次根式被开方式大于等于0；③对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1； ④指数为0时，底数不等于02、复合函数的定义域问题主要依据复合函数的定义，其包含两类：①已知f[g(x]的定义域为x∈（a,b ）求f(x 的定义域，方法是：利用a 求得 g(x 的值域，则 g(x 的值域即是 f(x 的定义域。

②已知f(x 的定义域为x∈（a,b ）求f[g(x]的定义域,方法是：由a 求得x 的范围，即为 f[g(x] 的定义域。

3、实际意义的函数的定义域，其定义域除函数有意义外，还要符合实际问题的要求。

（三）确定函数的值域的原则1、当数y=f(x 用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合。

2、当函数y=f(x 图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合。

3、当函数y=f(x 用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。

常见函数的值域：函数y=kx +b y=ax2+b x+cy=ax y=logax值域 R a>0a<0{y|y ∈R{y|y>R0}且y≠0}4、当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

（四）求函数值域的方法：1、观察法，2、配方法，3、判别式法，4、反函数法，5、换元法，6、图象法等二、例题讲解：【例1】求下列函数的定义域（1）（2）(3y=lg(a x-kb x (a,b>0且a,b≠1，k∈R[解析]（1）依题有∴函数的定义域为(2依题意有∴函数的定义域为（3）要使函数有意义，则a x-kb x>0，即①当k≤0时，定义域为R②当k>0时，（Ⅰ）若a>b>0,则定义域为{x|}(Ⅱ若0 ，则，定义域为 {x| }(Ⅲ若a=b>0，则当0 时定义域为 R ；当k ≥ 1 时，定义域为空集[评析]把求定义域的问题等价转化为关于x的不等式（组）的求解问题，其关键是列全限制条件(组。

高中数学精英讲解——函数（概念理解以及定义域）令狐采学【第一部分】知识复习【第二部分】典例讲解考点一：函数的定义域1）已知解析式，求定义域例1.写出下列函数定义域_________________________；_____________________________．例2例3R围变式1.AB． C．1） D．变式2.2）求抽象函数的定义域例1.是（）A例2__________[0，4]变式1.的定义域（）A变式2.考点二：函数的解析式1）换元法，配凑法，求解析式例1..变式1.（1（22）已知解析式形式，求解析式例1.例2.4变式1 设二次函数()f x 满足f (x +2)=f (2-x )，且方程()0f x =的两实根的平方和为10，)(x f 的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式. 3）求抽象函数的解析式例．已知[]221)(,21)(x x x g f x x g -=-= (x0)，求)21(f ．变式1．设f (x －1)=3x－1,则f (x)=___________________________．例．设函数()f x 对任意x 、y 满足()()()f x y f x f y +=+，且(2)4f =，则(1)f -＝____A ．－2B ．±21 C ．±1D ．2变式．函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=，若(1)5f =-，求((5))f f ．考点四：分段函数 例1．若函数234(0)()(0)0(0)x x f x x x π⎧->⎪==⎨⎪<⎩，则((0))f f =． 例2已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取A (,1)(2,)-∞-⋃+∞B (1,2)-C (2,1)-D (,2)(1,)-∞-⋃+∞ 例3.已知函数3,1,(),1,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩若()2f x =，则x =. 例4若函数1,0()1(),03x x x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩则不等式1|()|3f x ≥的解集为例5的解集是变式2.a 的取值范围是变式3.定义在R 上的函数f（3）=（）A.-1 B. -2 C.1 D. 2考点五：函数概念的应用例．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）变式1.A ．B ．C ．D ．。

函数定义域函数值域高一数学知识点总结函数定义域函数值域高一数学知识点总结「篇一」一：函数及其表示知识点详解文档包含函数的概念、映射、函数关系的判断原则、函数区间、函数的三要素、函数的定义域、求具体或抽象数值的函数值、求函数值域、函数的表示方法等1. 函数与映射的区别：2. 求函数定义域常见的用解析式表示的函数f(x)的.定义域可以归纳如下：①当f(x)为整式时，函数的定义域为R。

②当f(x)为分式时，函数的定义域为使分式分母不为零的实数集合。

③当f(x)为偶次根式时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合。

④当f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正、底数为正且不为1的实数集合。

⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合，即求各部分有意义的实数集合的交集。

⑥复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集。

⑦对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域除上述外，还要受实际问题的制约。

3. 求函数值域(1)、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域;(2)、配方法;如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域;(3)、判别式法：(4)、数形结合法;通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域;(5)、换元法;以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域;(6)、利用函数的单调性;如果函数在给出的定义域区间上是严格单调的，那么就可以利用端点的函数值来求出值域;(7)、利用基本不等式：对于一些特殊的分式函数、高于二次的函数可以利用重要不等式求出函数的值域;(8)、最值法：对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域;(9)、反函数法：如果函数在其定义域内存在反函数，那么求函数的值域可以转化为求反函数的定义域。

函数复习内容：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、函数的综合应用 一．常见函数（基本初等函数）： 1．)(为常数C C y = 2．)0(≠+=k b kx y 3．)0(2≠++=a c bx axy 4．xy 1=5．幂函数：)(Q a x y a∈=（包括前四个函数） 6．指数函数：)10(≠>=a a a y x且 7．对数函数：)10(log≠>=a a x y a 且8．三角函数：x y sin =，x y cos =，x y tan =，x y cot =，x y sec =，x y csc =由以上函数进行四则运算、复合运算得到的函数都是初等函数。

如：d cx bxax y +++=23，xx y 2log1sin +=，xxy 513+=，试着分析以上函数的构成。

二．定义域： 1．“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、换元时易忽略定义域。

2．求定义域：例1求下列函数定义域：（1）2()lg (31)f x x =+ （2）)25(logsin )(221x x x f -+=例2设2()lg 2x f x x+=-，则2()()2x f f x+的定义域为__________变式练习：24)2(xx f -=-，求)(x f 的定义域。

三．值域：1．①432+=xx y ②11y 22+-=xx2． ①1+=x x y ②11+-=x x y③]5,1(,14522∈-+-=x xx xy ④1sin 10sin 7sin2+++=x x x y3． ①2123y x x =++； ②22422--=x xx y4． ①12-+-=x x y ； ②y x =-5． ①)3)(cos 3(sin ++=x x y②已知直角三角形的三边之和为2，求此三角形面积S 的最大值。

③1cos 2cos --=x x y ④2sin 1cos --=x x y6．函数23x x21)x (f 2+-=的定义域和值域都是]b ,1[(b>1),求b 的值。

数学高一专题函数的定义域、值域一、概念定义域：其中x叫作自变量，y叫因变量，集合A叫做函数的定义域。

二、求法求定义域：1、分母不等于02、偶次方根的被开方数大于等于03、0次方的底数不等于04、对数的底数大于0且不等于1,真数大于0求值域：1、直接法（观察法）2、配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型3、换元法：其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元4、反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数类型题型一：基本函数例题精讲1、函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1） D．[0，1]例2、(0)=+≠的值域是．y kx b k1、函数f （x ）=+的定义域为（ ） A ．（2，+∞） B ．（﹣∞，0） C ．（0，2）D ．[0，2]2235y x x =+-的值域是 ．3、2(0)y ax bx c a =++≠的值域是：当0a >时，值域为 ；当0a <时，值域为 ．题型二：抽象函数例题精讲例1、已知f （x ）=2x+3，g （x+2）=f （x ），则g （x ）等于（ ）A ．2x+1B ．2x ﹣1C ．2x ﹣3D ．2x+7 变式练习1、已知函数()=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a f x x f 1,3则（ ） A.a 1 B.a3 C.a D.a 3 2、函数y=f(x+1)定义域为[0，1]，则y=f(x-1)定义域为____________3、 函数f (x)为R 上的减函数，且f (xy) = f (x) + f (y) .（1） 求f (1).（2）解不等式f (2x -3) < 0题型三：已知求参数例题精讲例1、已知函数()xx f +=11且()6=t f ，则t= 。

高一数学必修一函数的定义域和值域资料
函数的定义域和值域是高一数学中的重要概念。

它们是相关函数与变量之间的关系，关系到函数求值。

因此，学习高一数学，必须深入了解它们。

定义域：定义域也称为函数的定义区域，是指给定函数f ←→y=f(x)（其中x,y为实变量）的实变量x的取值范围的集合，也就是为了使f(x)的值确实存在，z取值范围的集合。

一般而言，x的取值范围通常为数轴上的所有实数或部分实数，也就是x∈R。

而如果有些函数涉及有理数，那么定义域x取值范围为:x∈Q，也就是定义域只能取到有理数。

值域：函数值域就是函数在给定定义域上可能出现的值集合，称为函数值域。

记f ←→y=f(x)（其中x,y为实变量），则值域Df={y：y=f(x)，x∈Df }，其中，Df为定义域。

举例说明：
1. 不等式f(x)<2的值域
当x∈R时，函数f(x)的定义域就是R，而值域为｛y:y<2,x∈R｝=｛y:y<2｝。

以上就是函数的定义域和值域的概念及其具体的表示方法的介绍，希望小伙伴们能够更好的理解这些概念，为学习数学提供助力。

高中数学函数的定义域及值域高中数学函数的定义域及值域定义域(高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，假如按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A.其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域;值域名称定义函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合常用的求值域的方法(1)化归法;(2)图象法(数形结合)，(3)函数单调性法，(4)配方法，(5)换元法，(6)反函数法(逆求法)，(7)判别式法，(8)复合函数法，(9)三角代换法，(10)根本不等式法等关于函数值域误区定义域、对应法那么、值域是函数构造的三个根本“元件”。

平时数学中，实行“定义域优先”的原那么，无可置疑。

然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的'位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的互相转化)。

假如函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联络函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。

才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，理论证明，假如加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。

“范围”与“值域”一样吗?“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。

“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值)，而“范围”那么只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。