高一函数值域定义域方法总结

函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。

求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=x tan 中2ππ+≠k x ；y=x cot 中x ≠k π等等。

( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。

常用的求值域的方法： （1）直接法（2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法（5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法（8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(例2 求下列函数的定义域：① 14)(2--=xx f ②2143)(2-+--=x x x x f②=)(x f x11111++④xx x x f -+=)1()(⑤373132+++-=x x y\例3 若函数aax axy 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。

例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2)的定义域。

练习：设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域例7已知f(2x －1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域已知f(3x －1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。

[2,25-）练习：已知f(x 2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域若()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()121f x f x ++-的定义域是（ ）Ａ．[]1,1-Ｂ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 Ｃ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 Ｄ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦已知函数()11xf x x+=-的定义域为Ａ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为Ｂ，则（ ）Ａ．A B B =Ｂ．B A ∈ Ｃ．A B B = Ｄ． A B =2、求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xk y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}；二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}.例1 求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②）（3x 1x32)(≤≤-=x f ③ xx y 1+=（记住图像）例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；练习：1、求函数y =3+√(2－3x)的值域2、求函数[]5,0,522∈+-=x x x y 的值域例3 求函数y=4x －√1-3x(x ≤1/3)的值域。

函数定义域值域求法总结函数的定义域（Domain）和值域（Range）是函数的基本性质之一，它们是通过对函数的规则、图像以及问题的具体要求进行分析和计算得出的。

在数学中，定义域和值域的求法可能会因函数类型的不同而有所不同。

本文将总结一些常见的函数定义域和值域求法方法，并提供一些示例。

一、函数定义域的求法方法1. 使用函数规则：根据函数的定义和规则，确定函数所能接受的变量范围。

例如，对于一个有理函数（Rational Function） f(x) = 1/(x-2)，由于分母不能为零，所以定义域为除去 x=2 的所有实数。

2. 图像法：绘制函数的图像，观察函数在整个定义域上是否有意义。

一般来说，如果函数在一些点处没有定义或出现断点，则这个点不属于定义域。

例如，对于一个分段函数（Piecewise Function）f(x) = ，x，其图像是一条 V 型曲线，因此定义域为所有实数。

3.非负实数法：有些函数定义域存在特定的限制，负数、零或者正数。

例如，对于一个以平方根为主的函数f(x)=√(x-3)，它的定义域要求x-3≥0，即x≥34. 根式定义域法：对于一些函数，如开方函数、对数函数，可以通过求解不等式来确定函数的定义域。

例如，对于对数函数 f(x) = log(x)，由于 log 函数的定义域要求 x > 0，所以它的定义域为所有正实数。

5.分式的定义域法：对于一个分式函数，要求分母不为零。

因此，可以根据分式的分母求解不等式来确定函数的定义域。

例如，对于一个分式函数f(x)=2/(x+1)，由于分母要求不等于零，所以定义域为除去x=-1的所有实数。

二、函数值域的求法方法1. 观察法：通过观察函数的定义和规则，或者通过观察函数的图像，推测函数的值域。

例如，对于一个二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，如果 a > 0，那么函数的值域是 (−∞, f(v)]，其中 f(v) 是顶点的纵坐标。

函数定义域、值域求法总结1、函数的定义域是指自变量“x ”的取值集合。

2、在同一对应法则作用下，括号内整体的取值范围相同。

一般地，若已知 f(x)的定义域为[a,b]，求函数f[g(x)]的定义域时，由于分别在两个函数中的x 和g(x)受同一个对应法则的作用，从而范围相同。

因此f[g(x)]的定义域即为满足条件a ≤g(x)≤b 的x 的取值范围。

一般地，若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b]，求函数 f(x)的定义域时，由于x和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a ≤x≤b 时，g(x)的取值范围。

定义域是X 的取值范围，g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响，所以它们的范围相同。

():f (x),f[g(x)]题型一已知的定义域求的定义域()():f g x ,f (x)⎡⎤⎣⎦题型二已知的定义域求的定义域()[]():f g x ,f h(x)⎡⎤⎣⎦题型三已知的定义域求的定义域()[]()[])x (h f x f x g f →→()的定义域求的定义域已知练习)2(],9,3[log :313-x f x f一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。

求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。

( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。

常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x⎩⎨⎧≠-≥21x x 例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x ∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x即 x<37-或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x 例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。

函数定义域、值域求法总结（一）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；（二）求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C 是B的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结一、定义域是函数()y f x =中的自变量x 的范围。

求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。

(6)0x 中x 0≠二、值域是函数()y f x =中y 的取值范围。

高一数学求函数的定义域与值域的常用法:求函数解析式 1、换元法： 例1.已知 题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。

心） X t 解：设 2 f （x ） X X X ,则1,x 1 。

x 2 X 1 x 2 ,试求 f （X ）。

1 t 1,代入条件式可得: f （t ）t 2 t 1，t ≠ 1。

故得: 说明：要注意转换后变量围的变化，必须确保等价变形。

2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出 另一个程，联立求解。

f (X) 例2. ( 1)已知 (2)已知 f (X) 2f(2f(1) 3X 24X 5 XX）3X 2解：（1）由条件式，以 • 1 消去 X ,则得: X 代2_ X X,则得 8 3x4X 5f(1) X X 24x 3(2) 由条件式，以一 X 代X 则得： X 24x -3。

f( 去说明： 定义域由解析式确定，不需要另外给出。

例4.求下列函数的解析式： （1） (2) (3) ,试求f (X)；f(x).3厶 X试求 2f(x)5 3OX) 2f (X)3X 24X5,与条件式联立,,与条件式联立，消,则得: 本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系, 故所求函数的 已知 已知 已知 f （X ）是二次函数，且f （0） f （∙一 X 1） 心） X 3f （x ） 2, f (X 1) f(X) X 1 ,求 f(X)； 2 X ,求 f (x)， f (x 1)， f (x 2) 1 1 亠 2 ,求 X X f (X)；（4） 【题意分析】（1） 设法求出a,b,c 即可。

若能将X 2 - X 适当变形，用.XX 1 设 为一个整体，不妨设为 X X ， 已知 2 f ( x) X 3 ,求 f (x)。

由已知f (X)是二次函数，所以可设 f(X) ax 2 bx c(a 0)，(2) (3) 1的式子表示就容易解决了。

高中函数界说域和值域的求法总结之南宫帮珍创作一、惯例型即给出函数的解析式的界说域求法, 其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组, 解此不等式（或组）即得原函数的界说域.例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的界说域. 解：要使函数有意义, 则必需满足 由①解得 3x -≤或5x ≥. ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5.故所求函数的界说域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且.例2 求函数2x 161x sin y -+=的界说域. 解：要使函数有意义, 则必需满足 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π，③ 由②解得4x 4<<-④由③和④求公共部份, 得故函数的界说域为]0(]4(ππ--，，评注：③和④怎样求公共部份？你会吗？ 二、笼统函数型笼统函数是指没有给出解析式的函数, 不能惯例方法求解, 一般暗示为已知一个笼统函数的界说域求另一个笼统函数的解析式, 一般有两种情况.（1）已知)x (f 的界说域, 求)]x (g [f 的界说域.（2）其解法是：已知)x (f 的界说域是［a, b ］求)]x (g [f 的界说域是解b )x (g a ≤≤, 即为所求的界说域.例3 已知)x (f 的界说域为［－2, 2］, 求)1x (f 2-的界说域. 解：令21x 22≤-≤-, 得3x 12≤≤-, 即3x 02≤≤, 因此3|x |0≤≤, 从而3x 3≤≤-, 故函数的界说域是}3x 3|x {≤≤-.（2）已知)]x (g [f 的界说域, 求f(x)的界说域.其解法是：已知)]x (g [f 的界说域是［a, b ］, 求f(x)界说域的方法是：由b x a ≤≤, 求g(x)的值域, 即所求f(x)的界说域.例4 已知)1x 2(f +的界说域为［1, 2］, 求f(x)的界说域.解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，. 即函数f(x)的界说域是}5x 3|x {≤≤. 三、逆向型即已知所给函数的界说域求解析式中参数的取值范围.特别是对已知界说域为R, 求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决.例5 已知函数8m mx 6mx y 2++-=的界说域为R 求实数m 的取值范围.分析：函数的界说域为R, 标明0m 8mx 6mx 2≥++-, 使一切x ∈R 都成立, 由2x 项的系数是m, 所以应分m=0或0m ≠进行讨论.解：当m=0时, 函数的界说域为R ；那时0m ≠, 08m mx 6mx 2≥++-是二次不等式, 其对一切实数x 都成立的充要条件是综上可知1m 0≤≤.评注：很多学生容易忽略m=0的情况, 希望通过此例解决问题. 例6 已知函数3kx 4kx 7kx )x (f 2+++=的界说域是R, 求实数k 的取值范围.解：要使函数有意义, 则必需3kx 4kx 2++≠0恒成立, 因为)x (f 的界说域为R, 即03kx 4kx 2=++无实数①当k ≠0时, 0k 34k 162<⨯-=∆恒成立, 解得43k 0<<；②当k=0时, 方程左边=3≠0恒成立.综上k 的取值范围是43k 0<≤.四、实际问题型这里函数的界说域除满足解析式外, 还要注意问题的实际意义对自变量的限制, 这点要加倍注意, 并形成意识.例7 将长为a 的铁丝折成矩形, 求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式, 并求函数的界说域. 解：设矩形一边为x, 则另一边长为)x 2a (21-于是可得矩形面积.ax 21x 2+-=. 由问题的实际意义, 知函数的界说域应满足2a x 0<<⇒.故所求函数的解析式为ax21x y 2+-=, 界说域为（0, 2a ）.例8 用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架, 如图, 若矩形底边长为2x, 求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式, 并求界说域.解：由题意知, 此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积, 如图.因为CD=AB=2x, 所以x CD π=⋂, 所以2xx 2L 2CD AB L AD π--=--=⋂,故2x 2x x 2L x 2y 2π+π--⋅= 根据实际问题的意义知故函数的解析式为Lxx )22(y 2+π+-=, 界说域（0, 2L +π）.五、参数型对含参数的函数, 求界说域时, 必需对分母分类讨论.例9 已知)x (f 的界说域为［0, 1］, 求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的界说域.解：因为)x (f 的界说域为［0, 1］, 即1x 0≤≤.故函数)x (F 的界说域为下列不等式组的解集：⎩⎨⎧≤-≤≤+≤1a x 01a x 0, 即⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-a1x a a 1x a即两个区间［－a, 1－a ］与［a, 1+a ］的交集, 比力两个区间左、右端点, 知（1）那时0a 21≤≤-, F （x ）的界说域为}a 1x a |x {+≤≤-；（2）那时21a 0≤≤, F （x ）的界说域为}a 1x a |x {-≤≤；（3）当21a >或21a -<时, 上述两区间的交集为空集, 此时F（x ）不能构成函数.六、隐含型有些问题从概况上看其实不求界说域, 可是不注意界说域, 往往招致错解, 事实上界说域隐含在问题中, 例如函数的单调区间是其界说域的子集.因此, 求函数的单调区间, 必需先求界说域. 例10 求函数)3x 2x (log y 22++-=的单调区间.解：由03x 2x 2>++-, 即03x 2x 2<--, 解得3x 1<<-.即函数y 的界说域为（－1, 3）. 函数)3x 2x (log y 22++-=是由函数3x 2x t t log y 22++-==，复合而成的.4)1x (3x 2x t 22+--=++-=, 对称轴x=1, 由二次函数的单调性,可知t 在区间]1(，-∞上是增函数；在区间)1[∞+，上是减函数, 而t log y 2=在其界说域上单调增； 3)[1)[1)31(]11(]1()31(，，，，，，，=∞+--=-∞- , 所以函数)3x 2x (log y 22++-=在区间]11(，-上是增函数, 在区间)31[，上是减函数. 函数值域求法十一种1. 直接观察法对一些比力简单的函数, 其值域可通过观察获得. 例1. 求函数x 1y =的值域.解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域. 解：∵0x ≥故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一. 例3. 求函数]2,1[x ,5x 2xy 2-∈+-=的值域.解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时, 4y min =, 那时1x -=, 8y max = 故函数的值域是：[4, 8] 3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域.解：原函数化为关于x 的一元二次方程 （1）那时1y ≠, R x ∈解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时, 0x =, 而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域.解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈ ∴0y 8)1y (42≥-+=∆解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的界说域由0)x 2(x ≥-, 得2x 0≤≤由0≥∆, 仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根, 而不能确保其实根在区间[0, 2]上, 即不能确保方程（1）有实根, 由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围年夜, 故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21.可以采用如下方法进一步确定原函数的值域. ∵2x 0≤≤21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即那时22222x 41-+=,原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时, 若原函数的界说域不是实数集时, 应综合函数的界说域, 将扩年夜的部份剔除. 4. 反函数法直接求函数的值域困难时, 可以通过求其原函数的界说域来确定原函数的值域.例6. 求函数6x 54x 3++值域.解：由原函数式可得：3y 5y 64x --=则其反函数为：3x 5y 64y --=, 其界说域为：53x ≠故所求函数的值域为：⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-53, 5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时, 可以利用已学过函数的有界性, 反客为主来确定函数的值域.例7. 求函数1e 1e y xx +-=的值域.解：由原函数式可得：1y 1y e x -+=∵0e x >∴01y 1y >-+解得：1y 1<<-故所求函数的值域为)1,1(-例8. 求函数3x sin xcos y -=的值域.解：由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-, 可化为：即1y y 3)x (x sin 2+=β+∵R x ∈∴]1,1[)x (x sin -∈β+即11y y 312≤+≤-解得：42y 42≤≤-故函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-42,42 6. 函数单调性法例9. 求函数)10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域. 解：令1x log y ,2y 325x 1-==-则21y ,y 在[2, 10]上都是增函数 所以21y y y +=在[2, 10]上是增函数 当x=2时,8112log 2y 33min =-+=-当x=10时, 339log 2y 35max =+=故所求函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,81 例10. 求函数1x 1x y --+=的值域.解：原函数可化为：1x 1x 2y -++=令1x y ,1x y 21-=+=, 显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数所以1y y =, 2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数所以当x=1时, 21y y y +=有最小值2, 原函数有最年夜值222=显然0y >, 故原函数的值域为]2,0( 7. 换元法通过简单的换元把一个函数酿成简单函数, 其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型, 换元法是数学方法中几种最主要方法之一, 在求函数的值域中同样发挥作用. 例11. 求函数1x x y -+=的值域. 解：令t 1x =-, )0t (≥ 则1t x 2+=∵43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥, 由二次函数的性质可知那时0t =, 1y min = 那时0t →, +∞→y 故函数的值域为),1[+∞例12. 求函数2)1x (12x y +-++=的值域.解：因0)1x (12≥+-即1)1x (2≤+故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+∴1cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β= ∵π≤π+β≤π≤β≤4540,0故所求函数的值域为]21,0[+例13. 求函数1x 2x x x y 243++-=的值域.解：原函数可变形为：222x 1x 1x 1x 221y +-⨯+⨯=可令β=tg x , 则有β=+-β=+2222cos x 1x 1,2sin x 1x 2那时82k π-π=β,41y max =那时82k π+π=β,41y min -= 而此时βtan 有意义. 故所求函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41 例14. 求函数)1x )(cos 1x (sin y ++=, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 的值域.解：)1x )(cos 1x (sin y ++=令t x cos x sin =+, 则)1t (21x cos x sin 2-=由)4/x sin(2x cos x sin t π+=+=且⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x可得：2t 22≤≤∴那时2t =,223y max +=, 那时22t =,2243y +=故所求函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++223,2243. 例15. 求函数2x 54x y -++=的值域.解：由0x 52≥-, 可得5|x |≤故可令],0[,cos 5x π∈ββ=∵π≤β≤0那时4/π=β, 104y max += 那时π=β, 54y min -=故所求函数的值域为：]104,54[+- 8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义, 如两点的距离公式直线斜率等等, 这类题目若运用数形结合法, 往往会更加简单, 一目了然, 赏心悦目.例16. 求函数22)8x ()2x (y ++-=的值域. 解：原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-=上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2）, )8(B -间的距离之和. 由上图可知, 当点P 在线段AB 上时, 10|AB ||8x ||2x |y ==++-=当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时, 10|AB ||8x ||2x |y =>++-=故所求函数的值域为：],10[+∞ 例17. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++++-=的值域. 解：原函数可变形为：上式可看成x 轴上的点)0,x (P 到两定点)1,2(B ),2,3(A --的距离之和, 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时,43)12()23(|AB |y 22min =+++==,故所求函数的值域为],43[+∞例18. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++-+-=的值域. 解：将函数变形为：2222)10()2x ()20()3x (y -++--+-=上式可看成定点A （3, 2）到点P （x, 0）的距离与定点)1,2(B -到点)0,x (P 的距离之差. 即：|BP ||AP |y -=由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时, 如点'P , 则构成'ABP ∆, 根据三角形两边之差小于第三边, 有26)12()23(|AB |||'BP ||'AP ||22=-++=<-即：26y 26<<-（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时, 有26|AB |||BP ||AP ||==-综上所述, 可知函数的值域为：]26,26(-注：由例17, 18可知, 求两距离之和时, 要将函数式变形, 使A 、B 两点在x 轴的两侧, 而求两距离之差时, 则要使A, B 两点在x 轴的同侧.如：例17的A, B 两点坐标分别为：（3, 2）, )1,2(--, 在x 轴的同侧；例18的A, B 两点坐标分别为（3, 2）, )1,2(-, 在x 轴的同侧. 9. 不等式法利用基本不等式abc 3c b a ,ab 2b a 3≥++≥+)R c ,b ,a (+∈, 求函数的最值, 其题型特征解析式是和式时要求积为定值, 解析式是积时要求和为定值, 不外有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧.例19. 求函数4)x cos 1x (cos )x sin 1x (sin y 22-+++=的值域.解：原函数变形为： 当且仅当x cot x tan =即那时4k x π±π=)z k (∈, 等号成立 故原函数的值域为：),5[+∞例20. 求函数x 2sin x sin 2y =的值域. 解：x cos x sin x sin 4y = 当且仅当x sin 22x sin 22-=, 即那时32x sin 2=, 等号成立.由2764y 2≤可得：938y 938≤≤- 故原函数的值域为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-938,938 10. 一一映射法原理：因为)0c (d cx bax y ≠++=在界说域上x 与y 是一一对应的.故两个变量中, 若知道一个变量范围, 就可以求另一个变量范围. 例21. 求函数1x 2x31y +-=的值域. 解：∵界说域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<21x 21x |x 或 由1x 2x 31y +-=得3y 2y 1x +-=故213y 2y 1x ->+-=或213y 2y 1x -<+-=解得23y 23y ->-<或 故函数的值域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323, 11. 多种方法综合运用 例22. 求函数3x 2x y ++=的值域.解：令)0t (2x t ≥+=, 则1t 3x 2+=+（1）那时0t >, 21t1t 11t t y 2≤+=+=, 当且仅当t=1, 即1x -=时取等创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日 号, 所以21y 0≤< （2）当t=0时, y=0.综上所述, 函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0注：先换元, 后用不等式法例23. 求函数42432x x 21x x x 2x 1y ++++-+=的值域. 解：4234242x x 21x x x x 21x x 21y +++++++-= 令2tan x β=, 则β=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2222cos x 1x 1 ∴那时41sin =β,1617y max = 那时1sin -=β, 2y min -= 此时2tan β都存在, 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1617,2注：此题先用换元法, 后用配方法, 然后再运用βsin 的有界性. 总之, 在具体求某个函数的值域时, 首先要仔细、认真观察其题型特征, 然后再选择恰当的方法, 一般优先考虑直接法, 函数单调性法和。

高一数学函数知识点总结函数的图象函数的图象是函数的直观体现，应加强对作图、识图、用图能力的培养，培养用数形结合的思想方法解决问题的意识.高一数学函数知识点总结（二）函数的值域与最值(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(____)与其反函数f-1(____)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(____)变形为关于____的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.2、求函数的最值与值域的区别和联系求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.如函数的值域是(0，____]，最大值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-____]∪[2，+∞)，但此函数无最大值和最小值，只有在改变函数定义域后，如____>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.3、函数的最值在实际问题中的应用函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.高一数学函数知识点总结（三）函数的解析式与定义域1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量____有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑;(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：①分式的分母不得为零;②偶次方根的被开方数不小于零;③对数函数的真数必须大于零;④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;⑤三角函数中的正切函数y=tan____(____∈R，且k∈Z)，余切函数y=cot____(____∈R，____≠kπ，k∈Z)等.应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.已知f(____)的定义域是[a，b]，求f[g(____)]的定义域是指满足a≤g(____)≤b的____的取值范围，而已知f[g(____)]的定义域[a，b]指的是____∈[a，b]，此时f(____)的定义域，即g(____)的值域.2、求函数的解析式一般有四种情况(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.(2)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数，可设f(____)=a____+b(a≠0)，其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.(3)若题设给出复合函数f[g(____)]的表达式时，可用换元法求函数f(____)的表达式，这时必须求出g(____)的值域，这相当于求函数的定义域.(4)若已知f(____)满足某个等式，这个等式除f(____)是未知量外，还出现其他未知量(如f(-____)，等)，必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(____)的表达式.高一数学函数知识点总结（四）函数的单调性1、单调函数对于函数f(____)定义在某区间[a，b]上任意两点____1，____2，当____1>____2时，都有不等式f(____1)>(或<)f(____2)成立，称f(____)在[a，b]上单调递增(或递减);增函数或减函数统称为单调函数.对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的____1，____具有任意性，不能用特殊值代替.(3)单调区间是定义域的子集，讨论单调性必须在定义域范围内.(4)注意定义的两种等价形式：设____1、____2∈[a，b]，那么：①在[a、b]上是增函数;在[a、b]上是减函数.②在[a、b]上是增函数.在[a、b]上是减函数.需要指出的是：①的几何意义是：增(减)函数图象上任意两点(____1，f(____1))、(____2，f(____2))连线的斜率都大于(或小于)零.(5)由于定义都是充要性命题，因此由f(____)是增(减)函数，且(或____1>____2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.5、复合函数y=f[g(____)]的单调性若u=g(____)在区间[a，b]上的单调性，与y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的单调性相同，则复合函数y=f[g(____)]在[a，b]上单调递增;否则，单调递减.简称“同增、异减”.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性。

函数定义域函数值域高一数学知识点总结函数定义域函数值域高一数学知识点总结「篇一」一：函数及其表示知识点详解文档包含函数的概念、映射、函数关系的判断原则、函数区间、函数的三要素、函数的定义域、求具体或抽象数值的函数值、求函数值域、函数的表示方法等1. 函数与映射的区别：2. 求函数定义域常见的用解析式表示的函数f(x)的.定义域可以归纳如下：①当f(x)为整式时，函数的定义域为R。

②当f(x)为分式时，函数的定义域为使分式分母不为零的实数集合。

③当f(x)为偶次根式时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合。

④当f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正、底数为正且不为1的实数集合。

⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合，即求各部分有意义的实数集合的交集。

⑥复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集。

⑦对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域除上述外，还要受实际问题的制约。

3. 求函数值域(1)、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域;(2)、配方法;如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域;(3)、判别式法：(4)、数形结合法;通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域;(5)、换元法;以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域;(6)、利用函数的单调性;如果函数在给出的定义域区间上是严格单调的，那么就可以利用端点的函数值来求出值域;(7)、利用基本不等式：对于一些特殊的分式函数、高于二次的函数可以利用重要不等式求出函数的值域;(8)、最值法：对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域;(9)、反函数法：如果函数在其定义域内存在反函数，那么求函数的值域可以转化为求反函数的定义域。

数学高一专题函数的定义域、值域一、概念定义域：其中x叫作自变量，y叫因变量，集合A叫做函数的定义域。

二、求法求定义域：1、分母不等于02、偶次方根的被开方数大于等于03、0次方的底数不等于04、对数的底数大于0且不等于1,真数大于0求值域：1、直接法（观察法）2、配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型3、换元法：其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元4、反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数类型题型一：基本函数例题精讲1、函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1） D．[0，1]例2、(0)=+≠的值域是．y kx b k1、函数f （x ）=+的定义域为（ ） A ．（2，+∞） B ．（﹣∞，0） C ．（0，2）D ．[0，2]2235y x x =+-的值域是 ．3、2(0)y ax bx c a =++≠的值域是：当0a >时，值域为 ；当0a <时，值域为 ．题型二：抽象函数例题精讲例1、已知f （x ）=2x+3，g （x+2）=f （x ），则g （x ）等于（ ）A ．2x+1B ．2x ﹣1C ．2x ﹣3D ．2x+7 变式练习1、已知函数()=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a f x x f 1,3则（ ） A.a 1 B.a3 C.a D.a 3 2、函数y=f(x+1)定义域为[0，1]，则y=f(x-1)定义域为____________3、 函数f (x)为R 上的减函数，且f (xy) = f (x) + f (y) .（1） 求f (1).（2）解不等式f (2x -3) < 0题型三：已知求参数例题精讲例1、已知函数()xx f +=11且()6=t f ，则t= 。

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。

则称f:为A 到B 的一个函数。

2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。

由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。

3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。

（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。

4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。

（1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。

（2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。

二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。

（1）常见要是满足有意义的情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。

③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1.（2()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。

高一数学知识点总结之函数定义域值域数学的学习不像文科要死记硬背，学好高中数学最主要的是要掌握好课本上的基本公式，熟练运用，才能解考试过程中的各种题型。

定义域(高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。

其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域。

值域名称定义函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合。

常用的求值域的方法(1)化归法;(2)图象法(数形结合);(3)函数单调性法;(4)配方法;(5)换元法;(6)反函数法(逆求法);(7)判别式法;(8)复合函数法;(9)三角代换法;(10)基本不等式法等关于函数值域误区定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本元件。

平时数学中，实行定义域优先的原则，无可置疑。

然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手硬一手软，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。

如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。

才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。

高一数学求函数得定义域与值域得常用法一：求函数解析式１、换元法:题目给出了与所求函数有关得复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。

例1、 已知，试求。

解:设,则,代入条件式可得：，t ≠1。

故得:。

说明:要注意转换后变量围得变化,必须确保等价变形.2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关得复合函数得条件式，可以据此构造出另一个程，联立求解。

例2、 （１）已知，试求; (2)已知,试求; 解：（1)由条件式,以代ｘ,则得，与条件式联立,消去，则得：。

(2)由条件式，以—x 代ｘ则得:,与条件式联立，消去,则得：.说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数得定义域由解析式确定，不需要另外给出。

例4、 求下列函数得解析式:（1)已知就是二次函数，且，求； （2）已知,求，,； (3)已知，求； (4）已知，求. 【题意分析】（1)由已知就是二次函数，所以可设,设法求出即可。

（2)若能将适当变形，用得式子表示就容易解决了。

(３）设为一个整体，不妨设为,然后用表示，代入原表达式求解。

(4),同时使得有意义,用代替建立关于,得两个程就行了。

【解题过程】⑴设,由得， 由，得恒等式，得。

故所求函数得解析式为。

（２）1)1(112)(2)1(22-+=-++=+=+x x x x x x f ， 又。

（3)设，则1)1()1(111111)1()(22222+-=-+-+=++=++=+=t t t t x xx x x x x f t f 所以。

（４）因为 ① 用代替得 ② 解①②式得。

【题后思考】求函数解析式常见得题型有：(1）解析式类型已知得，如本例⑴，一般用待定系数法。

对于二次函数问题要注意一般式，顶点式与标根式得选择；(２）已知求得问题,法一就是配凑法，法二就是换元法，如本例（2)（3); (３)函数程问题，需建立关于得程组,如本例（4）。

若函数程中同时出现，，则一般将式中得用代替,构造另一程。

高一数学求函数的定义域与值域的常用方法一：求函数解析式 1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。

例1. 已知2211()x x x f x x +++=，试求()f x 。

解：设1x t x +=，则11x t =-，代入条件式可得：2()1f t t t =-+，t ≠1。

故得：2()1,1f x x x x =-+≠。

说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。

2、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。

例2. （1）已知21()2()345f x f x x x +=++，试求()f x ；（2）已知2()2()345f x f x x x +-=++，试求()f x ； 解：（1）由条件式，以1x 代x ，则得2111()2()345f f x x x x +=++，与条件式联立，消去1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则得：()222845333x f x x x x =+--+。

（2）由条件式，以－x 代x 则得：2()2()345f x f x x x -+=-+，与条件式联立，消去()f x -，则得：()2543f x x x =-+。

说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。

例4. 求下列函数的解析式：（1）已知)(x f 是二次函数，且1)()1(,2)0(-=-+=x x f x f f ，求)(x f ；（2）已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f ，)1(+x f ，)(2x f ；（3）已知x xx x x f 11)1(22++=+，求)(x f ； （4）已知3)(2)(3+=-+x x f x f ，求)(x f 。

【题意分析】（1）由已知)(x f 是二次函数，所以可设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，设法求出c b a ,,即可。