2019-2020学年高一数学《112 弧度制》学案.doc

.....中学高一年级数学学案编号: 编制人: 审核：归纳：把角从弧度化为度的方法是：___________把角从度化为弧度的方法是：________________知识点三：用弧度制表示终边相同的角轴线角(1)终边在x轴非负半轴上的角的集合_______________________(2)终边在x轴非正半轴上的角的的集合______________________(3)终边在y轴非负半轴上的角的集合 _____________________(4) 终边在y轴非正半轴上的角的集合 ____________________(5) 终边在x轴上的角的的集合{}ZkkS∈==,|1πββ(6）终边在y轴上的角的集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==ZkkS,2|2ππββ（7）终边在坐标轴上的角的集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==ZkkS,2|3πββ象限角请你用弧度制表示第一、第二、第三、第四象限角的集合。

终边相同的角与α终边相同的角的集合______________知识点四：弧长公式、扇形面积公式弧长公式：_____________________扇形面积公式：_________________三、例题解析例1把下列各角从度化为弧度：(1)0252(2) 030（2）—210º(3)1200º例2填表例3已知两角的和是1弧度，两角的差是1 ，试求这两个角的大小。

例4在直径20cm的圆中，的圆心角34π所对的弧长为___________cm.一、学习目标：1.了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.2.理解1弧度的角的意义;理解弧度制的定义，建立弧度制的概念。

重难点重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.难点：弧度的概念及其与角度的关系. 二、知识及探究：知识点一：角度制、弧度制的概念初中几何研究过角的度量，当时是用度来做单位度量角的。

那么1 的角是如何定义的？1.角度制:规定周角的1360做为1 的角。

2019—2020学年新人教A 版必修一 弧度制 教案一、教学目标：1、知识与技能（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；(4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系。

（6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法,二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.2、过程与方法 创设情境，引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式。

以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制—-—弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。

角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备。

二、教学重、难点重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用。

难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用。

三、学法与教学用具在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制,但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义,在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.教学用具:计算器、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】 有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里,但也有人回答约160英里,请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1。

6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同,一个是公里制,一个是英里制。

2019-2020学年高中数学 1.1.2弧度制学案新人教A 版必修4学习目标： 1．理解弧度制的意义； 2．能正确的应用弧度与角度之间的换算； 3．记住公式r l=α（l 为以α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）； 4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。

知识要点： 1． 叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 。

2． 正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。

如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ,那么角α的弧度数的绝对值是： α的正负由 决定。

3．角度与弧度的换算 0360= rad 0180= rad 01= rad 1rad =（ ）0 ≈ 。

4．一些特殊角的度数与弧度数的互相转化，请补充完整5．弧度是一个量,弧度数表示弧长与半径的比，是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系. 6．弧度制下的扇形弧长公式和扇形面积公式（1） ；（2） ；（3） 。

典型例题： 【例1】按照下列要求，把'03067化成弧度：（1）精确值；（2）精确到0.001的近似值。

【例2】将rad 14.3换算成角度（用度数表示，精确到0.001）。

【例3】证明知识要点6中的三个公式。

【例4】利用计算器比较5.1sin 和085sin 的大小。

当堂检测：1、把下列各角从度化为弧度：(1)22 º30′= （2）—210º= (3)1200º=2、把下列各角从弧度化为度：（1）12π= （2）34π-= （3）103π= 3、用弧度制表示：终边在x 轴上的角的集合为 ；在y 轴上的角的集合为 。

4、在A B C ∆中，若7:5:3::=∠∠∠C B A ，则A ，B ，C 的弧度数分别为 。

5、半径变为原来的21，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍。

6、以原点为圆心，半径为１的圆中，一条弦AB 的长度为3，AB 所对的圆心角α的弧度数为 ．7、半径为120mm 的圆上，有一条弧的长是144mm ，则该弧所对的圆心角的弧度数为 。

【例1】 下列命题中，假命题是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关[思路探究] 由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及到角度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手．D [根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D 项是假命题，A 、B 、C 项均为真命题．]弧度制与角度制的区别与联系1．下列各说法中，错误的说法是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 [答案] D【例2】 设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝35π，β2＝－73π.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有角． [思路探究] 由题目可获取以下主要信息：(1)用角度制给出的两个角－570°，750°，用弧度制给出的两个角35π，－73π；(2)终边相同的角的表示．解答本题(1)可先将－570°，750°化为弧度角再将其写成2k π＋α(k ∈Z,0≤α<2π)的形式，解答(2)可先将β1、β2用角度制表示，再将其写成β＋k ·360°(k ∈Z )的形式．[解] (1)要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2k π＋α0(k ∈Z,0≤α0<2π)的形式，由α0所在象限即可判定出α所在的象限．α1＝－570°＝－196π＝－4π＋56π，α2＝750°＝256π＝4π＋π6.∴α1在第二象限，α2在第一象限．(2)β1＝3π5＝108°，设θ＝β1＋k ·360°(k ∈Z )，由－720°≤θ<0°，得－720°≤108°＋k ·360°<0°， ∴k ＝－2或k ＝－1，∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°. 同理β2＝－420°且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°.角度制与弧度制的转换中的注意点(1)在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键.由它可以得：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数. (2)特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记.(3)在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如α＝2k π＋30°，k ∈Z 是不正确的写法.(4)判断角α终边所在的象限时，若α[－2π，2π]，应首先把α表示成α＝2k π＋β，β∈[－2π，2π]的形式，然后利用角β终边所在的象限来确定角α终边所在的象限.2．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．[解] 因为30°＝π6 rad,210°＝7π6rad ，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，而终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z .1.用公式|α|＝lr求圆心角时，应注意什么问题？[提示] 应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负． 2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？[提示] 若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错．【例3】 (1)设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 rad B ．2 rad C ．3 radD ．4 rad(2)已知扇形的周长为20 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？[思路探究] (1)可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得；(2)可通过建立扇形面积的目标函数来求解．(1)B [设扇形半径为r ，弧长为l ，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12l ·r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝4，r ＝2，则圆心角α＝l r＝2 rad.](2)解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S .则l ＝20－2r ，∴S ＝12lr ＝12(20－2r )·r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25(0＜r ＜10)．∴当半径r ＝5 cm 时，扇形的面积最大，为25 cm 2.此时α＝l r ＝20－2×55＝2 rad.∴当它的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大，最大值为25 cm 2.(变条件)用弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l ＝|α|r ，S ＝12αr 2和S ＝12lr ；(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式； (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.(教师用书独具)1．释疑弧长公式及扇形的面积公式(1)公式中共四个量分别为α，l ，r ，S ，由其中的两个量可以求出另外的两个量，即知二求二．(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是α为弧度制．(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：①l ＝α·r ，α＝l r ，r ＝l α；②S ＝12αr 2，α＝2S r2.2．角度制与弧度制的比较1．把56°15′化为弧度是( ) A.5π8 B.5π4 C.5π6D.5π16D [56°15′＝56.25°＝2254×π180＝5π16.]2．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( ) A.403π B.203π C.2003π D.4003π A [240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝α·r ＝43π×10＝403π，选A.]3．将－1 485°化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为________． －10π＋74π [由－1 485°＝－5×360°＋315°，所以－1 485°可以表示为－10π＋74π.]4．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数． [解] 设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， 则2r ＋l ＝4.①由扇形的面积公式S ＝12 lr ，得12lr ＝1. ②由①②得r ＝1，l ＝2，∴α＝l r＝2 rad. ∴扇形的圆心角为2 rad.。

一、引入 回忆： 度量角的大小第一种单位制—角度制的定义 二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制 ，它的单位是rad 读作弧度（1）弧度制定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

如图：AOB=1rad AOC=2rad周角=2rad1． 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 2． 角的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径） 3． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

or C 2rad1rad r l=2r o A A B（2）角度制与弧度制的换算 抓住：360=2rad ∴180= rad∴ 1=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad例1 把'3067化成弧度解：⎪⎭⎫ ⎝⎛=2167'3067 ∴ rad rad ππ832167180'3067=⨯=例2 把rad π53化成度解： 1081805353=⨯=rad π 注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行； 2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如：3表示3rad sin 表示rad 角的正弦 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P8） 4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。

任意角的集合 实数集三．例题分析 课本例3 正角 零角 负角正实数 零 负实数。

弧度制导学案1、弧度的定义：_______________________________________________,记作_________.2、特殊角的弧度数与角度制（1）_____360=︒ (2)rad rad ________1≈=︒ (3)︒≈=30.57____1度rad3、弧长公式: 扇形的面积公式:例1、把下列各角从弧度化为度，把下列各角从度化为弧度。

（1）53π（2）5.3 （3）︒252（4）'1511︒例2、已知扇形的周长为cm 8，圆心角为45，求该扇形的面积。

一、练习检测与拓展延伸 1．写出写列各角的弧度数： 角度 0153045607590120135150弧度角度 180210225240270300315330360弧度2.12π的角化成角度制是（ ） A 、︒15 B 、︒30 C 、︒60 D 、︒753、下列各角中与︒-120角终边相同的角为（ ） A 、π34 B 、π65-C 、π34-D 、π677.已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时， 才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？章节与课题1课时 总课时 062课时本课时学习目标或学习任务1．理解弧度制的意义，能正确进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数．2．了解角的集合与实数集R 之间的一一对应关系．3．掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题．本课时重点难点 弧度的意义，弧度与角度的换算每日一言如果命运是块顽石，我就化为大锤，将它砸得粉碎！——欧拉。

2019-2020学年新人教A 版必修一 弧度制 学案一、弧度制的概念1．角度制：规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2．弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad ，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．思考1：“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？ [提示] “1弧度的角”是一个定值，与所在圆的半径大小无关． 二、角度制与弧度制的换算 1．角度制与弧度制的换算正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0. 思考2：角度制与弧度制之间如何进行换算？[提示] 利用1°＝π180弧度和1弧度＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行弧度与角度的换算． 三、扇形的弧长公式及面积公式1．弧度制下的弧长公式：如图，l 是圆心角α所对的弧长，r 是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr，弧长l ＝|α|r .特别地，当r ＝1时，弧长l ＝|α|.2．扇形面积公式：在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r ，圆心角为α的扇形的面积为S ＝|α|2π·πr 2＝12lr .1．思考辨析(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大．( ) (2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等．( ) (3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× 2．将下列弧度与角度互换 (1)－2π9＝________；(2)2＝________； (3)72°＝________； (4)－300°＝________. (1)－40° (2)⎝⎛⎭⎪⎫360π° (3)2π5 rad (4)－5π3 rad[(1)－2π9 rad ＝－29×180°＝－40°.(2)2 rad ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°.(3)72°＝72×π180 rad ＝2π5rad.(4)－300°＝－300×π180 rad ＝－5π3rad.]3．半径为1，圆心角为2π3的扇形的弧长为________，面积为________．2π3 π3 [∵α＝2π3，r ＝1，∴弧长l ＝α·r ＝2π3， 面积＝12lr ＝12×2π3×1＝π3.]角度制与弧度制的互化【例1】 把下列弧度化成角度或角度化成弧度： (1)－450°；(2)π10；(3)－4π3；(4)112°30′.思路点拨：利用“180°＝π”实现角度与弧度的互化．[解] (1)－450°＝－450×π180 rad ＝－5π2 rad ；(2)π10 rad ＝π10×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝18°； (3)－4π3 rad ＝－4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－240°；(4)112°30′＝112.5°＝112.5×π180 rad ＝5π8rad.角度制与弧度制换算的要点：提醒：度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把度化成弧度．1．将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.[解] (1)20°＝20π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15π180 rad ＝－π12 rad.(3)7π12 rad ＝712×180°＝105°.(4)－11π5 rad ＝－115×180°＝－396°.用弧度制表示角的集合【例2】 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．思路点拨：先写出边界角的集合，再借助图形写出区域角的集合． [解] 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪－π6＋2k π<θ<512π＋2k π，k ∈Z . (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪－3π4＋2k π<θ<3π4＋2k π，k ∈Z. (3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6＋k π<θ<π2＋k π，k ∈Z.表示角的集合，单位制要统一，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2k π(k ∈Z )”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k ·360°(k ∈Z )”中，α必须是用角度制表示的角.提醒：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错.2．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．① ②[解] (1)如题图①，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )，所以阴影部分内的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪－2π3＋2k π＜α＜π6＋2k π，k ∈Z . (2)如题图②，以OA 为终边的角为π3＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为2π3＋2k π(k ∈Z )．不妨设右边阴影部分所表示的集合为M 1，左边阴影部分所表示的集合为M 2，则M 1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＜α＜π3＋2k π，k ∈Z ，M 2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z .所以阴影部分内的角的集合为M 1∪M 2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＜α＜π3＋2k π或2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z .扇形的弧长及面积问题[探究问题]1．公式l ＝|α|r 中，“α”可以为角度制角吗？ 提示：公式l ＝|α|r 中，“α”必须为弧度制角．2．在扇形的弧长l ，半径r ，圆心角α，面积S 中，已知其中几个量可求其余量？举例说明．提示：已知任意两个量可求其余两个量，如已知α，r ，可利用l ＝|α|r ，求l ，进而求S ＝12lr ；又如已知S ，α，可利用S ＝12|α|r 2，求r ，进而求l ＝|α|r .【例3】 一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？思路点拨：设出扇形的圆心角、半径、弧长→用半径表示圆心角→求扇形面积→转化为二次函数求最值[解] 设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，则l ＝αr ， 依题意l ＋2r ＝20，即αr ＋2r ＝20，∴α＝20－2r r.由l ＝20－2r >0及r >0得0<r <10， ∴S 扇形＝12αr 2＝12·20－2r r ·r 2＝(10－r )r＝－(r －5)2＋25(0<r <10)．∴当r ＝5时，扇形面积最大为S ＝25. 此时l ＝10，α＝2，故当扇形半径r ＝5，圆心角为2 rad 时， 扇形面积最大．灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.提醒：(1)在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负. (2)看清角的度量制，选用相应的公式. (3)扇形的周长等于弧长加两个半径长.教师独具1．本节课的重点是弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式，难点是对弧度制概念的理解．2．本节要牢记弧度制与角度制的转化公式(1)π＝180°；(2)1°＝π180 rad (3)1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°. 3．本节课要重点掌握以下规律方法 (1)弧度制的概念辨析； (2)角度与弧度的换算；(3)扇形的弧长公式和面积公式的应用． 4．本节课的易错点表示终边相同角的集合时，角度与弧度不能混用．1．将下列各角的弧度(角度)化为角度(弧度)： (1)2π15＝________；(2)－6π5＝________；(3)920°＝________；(4)－72°＝________. (1)24° (2)－216° (3)469π rad (4)－2π5 rad [(1)2π15 rad ＝215×180°＝24°.(2)－6π5 rad ＝－65×180°＝－216°.(3)920°＝920×π180 rad ＝469π rad.(4)－72°＝－72×π180 rad ＝－2π5rad.]2．若扇形的周长为4 cm ，面积为1 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 2 [设扇形所在圆的半径为r cm ，扇形弧长为l cm.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝4，12lr ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2，r ＝1.所以α＝lr＝2.因此扇形的圆心角的弧度数是2.]3．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为______．{}α| 2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z[若角α的终边落在x 轴的上方，则2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z .]4．设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，0°)范围内找出与它们终边相同的所有角．[解] (1)∵180°＝π rad ，∴α1＝－570°＝－570×π180＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750×π180＝25π6＝2×2π＋π6.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝3π5＝3π5×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝108°，设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )， 则由－720°≤θ＜0°，即－720°≤108°＋k ·360°＜0°， 得k ＝－2，或k ＝－1.故在[－720°，0°)范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°. β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°＜0°，得k ＝－1，或k ＝0. 故在[－720°，0°)范围内，与β2终边相同的角是－420°.。

5．1.2 弧度制问题导学预习教材P172－P175，并思考以下问题： 1．1弧度的角是如何定义的？ 2．如何进行弧度与角度的换算？3．以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？1．度量角的两种制度(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad ”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角α＝－3.5 rad 可写成α＝－3.5.而用角度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略.(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值． 2．弧度数的计算与互化 (1)弧度数的计算(2)弧度与角度的互化3．弧度制下扇形的弧长与面积公式(r 是扇形所在圆的半径，n 为扇形的圆心角)(1)在应用扇形面积公式S ＝12|α|r 2时，要注意α的单位是“弧度”．(2)由α，r ，l ，S 中任意的两个量可以求出另外的两个量．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1 rad 的角比1°的角要大．( )(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．( ) (3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( ) (4)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π.( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√8π5弧度化为角度是( ) A ．278° B ．280° C ．288° D ．318°答案：C半径为2，圆心角为π3的扇形的面积是( )A.4π3 B ．π C.2π3 D.π3答案：C(1)18°＝________rad ；(2)310π＝________．答案：(1)π10(2)54°角度制与弧度制的互化将下列角度与弧度进行互化：(1)37°30′；(2)－216°；(3)7π12；(4)－11π5.【解】 (1)37°30′＝37.5°＝⎝⎛⎭⎫752°＝752×π180＝5π24. (2)－216°＝－216×π180＝－6π5.(3)7π12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12×180π°＝⎝⎛⎭⎫712×180°＝105°. (4)－115π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－115π×180π°＝－396°.角度制与弧度制的互化原则(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α·180π°；n °＝n ·π180rad.1．把下列角度化为弧度． (1)－1 500°＝________． (2)67°30′＝________．解析：(1)－1 500°＝－1 500×π180＝－253π.(2)67°30′＝67.5°＝67.5×π180＝3π8.答案：(1)－25π3 (2)3π82．把下列弧度化为角度． (1)23π6＝________．(2)－13π6＝________． 解析：(1)23π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6×180π°＝690°.(2)－13π6＝－⎝⎛⎭⎪⎫13π6×180π°＝－390°. 答案：(1)690° (2)－390°用弧度制表示终边相同的角把－1 480°写成2k π＋α(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？【解】 －1 480°＝－1 480×π180＝－74π9＝－10π＋16π9，其中0≤16π9<2π，因为16π9是第四象限角，所以－1 480°是第四象限角．(变问法)若本例的条件不变，在[－4π，4π)范围内找出与α终边相同的角的集合． 解：与α终边相同的角为2k π＋169π(k ∈Z )．由－4π≤2k π＋169π<4π知k ＝－2，－1，0，1.所以所求角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－209π，－29π，169π，349π.用弧度制表示终边相同角的两个关注点(1)用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍． (2)注意角度制与弧度制不能混用．1．若角θ的终边与8π5角的终边相同，则在[0，2π]内终边与角θ4的终边相同的角是____________．解析：因为θ＝8π5＋2k π，k ∈Z ，所以θ4＝2π5＋k π2，k ∈Z .当k ＝0，1，2，3时，θ4＝2π5，9π10，7π5，19π10且θ4∈[0，2π]． 答案：2π5，9π10，7π5，19π102．如图所示：(1)分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合． (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合． 解：(1)终边在OA 上的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝3π4＋2k π，k ∈Z . 终边在OB 上的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β|β＝－π6＋2k π，k ∈Z . (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|－π6＋2k π≤α≤3π4＋2k π，k ∈Z .扇形的弧长与面积的计算(1)已知扇形的圆心角为120°，半径为 3 cm ，则此扇形的面积为________ cm 2. (2)已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数． 【解】 (1)设扇形的弧长为l ， 因为120°＝120×π180 rad ＝2π3(rad)，所以l ＝αR ＝2π3×3＝23π3(cm)．所以S ＝12lR ＝12×23π3×3＝π(cm 2)．故填π.(2)设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l ，半径为R ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2R ＝10，①12lR ＝4.②①代入②得R 2－5R ＋4＝0，解得R 1＝1，R 2＝4. 当R ＝1时，l ＝8(cm)，此时，θ＝8 rad ＞2π rad 舍去． 当R ＝4时，l ＝2(cm)，此时，θ＝24＝12 (rad)．综上可知，扇形圆心角的弧度数为12rad.扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lR ＝12αR 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π)．(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用扇形弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解．1．已知一个扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则该扇形的周长为________cm.解析：因为1°＝π180rad ，所以54°＝π180×54＝3π10，则扇形的弧长l ＝3π10×20＝6π(cm)，故扇形的周长为(40＋6π)cm.答案：(40＋6π)2．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，所以l ＝40－2r ，所以S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝－(r －10)2＋100.所以当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，这时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad.1．与60°终边相同的角可表示为( ) A ．k ·360°＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋60°(k ∈Z )C ．2k ·360°＋60°(k ∈Z )D ．2k π＋π3(k ∈Z )解析：选D.选项A ，B 中角度的表示混合用到了角度制和弧度制，不符合要求；选项C 错误，故选D.2．1 920°的角化为弧度数为( ) A.163 B.323 C.163π D.323π 解析：选D.因为1°＝π180 rad ，所以1 920°＝1 920×π180 rad ＝323π rad.3．在半径为8 cm 的圆中，5π3的圆心角所对的弧长为( ) A.403π cm B.203π cm C.2003π cm D.4003π cm 解析：选A.根据弧长公式，得l ＝5π3×8＝40π3(cm)．4．把下列各角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角． (1)－1 725°；(2)64π3.解：(1)因为－1 725°＝－5×360°＋75°，所以－1 725°＝－10π＋5π12.所以－1 725°角与5π12角的终边相同．又因为5π12是第一象限角，所以－1 725°是第一象限角．(2)因为64π3＝20π＋4π3，所以64π3角与4π3角的终边相同．又因为4π3是第三象限角，所以64π3是第三象限角．[A 基础达标]1.3π4对应的角度为( ) A ．75° B ．125° C ．135°D ．155°解析：选C.由于1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°，所以3π4＝34π×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝135°，故选C.2．用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝－5π6＋2k π，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋k ·360°，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝2π3＋2k π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋2k π，k ∈Z解析：选 D.150°＝150×π180＝5π6，故与150°角终边相同的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪β＝5π6＋2k π，k ∈Z . 3．(2019·广西贺州期末)角29π12的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选 A.因为29π12＝2π＋5π12，角5π12是第一象限角，所以角29π12的终边所在的象限是第一象限．4．钟表的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A.143 π B ．－143πC.718π D ．－718π解析：选B.分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.5．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为( )A.π2B.π3C. 2D. 3解析：选C.设圆内接正方形的边长为a ，则该圆的直径为2a ，所以弧长等于a 的圆弧所对的圆心角α＝l r ＝a22a ＝2，故选C.6．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角α的集合为________． 解析：若角α的终边落在x 轴上方，则2k π＜α＜2k π＋π(k ∈Z )． 答案：{α|2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z }7．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角α是________弧度，扇形面积S 是________．解析：|α|＝l r ＝128＝32rad ，S ＝12lr ＝12×12×8＝48. 答案：32488．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的____________．解析：设原来圆的半径为r ，弧长为l ，弧所对的圆心角为α(0<α<2π)，则现在的圆的半径为3r ，弧长为l ，设弧所对的圆心角为β(0<β<2π)，于是l ＝αr ＝β·3r ，所以β＝13α.答案：139．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解：设扇形的半径为r ，弧长为l ， 圆心角为α.则2r ＋l ＝4.根据扇形面积公式S ＝12lr ，得1＝12lr .联立⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝4，12lr ＝1.解得r ＝1，l ＝2，所以α＝l r ＝21＝2.故所求圆心角的弧度数为2. 10．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求角γ，使γ与角α的终边相同，且γ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.解：(1)因为－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14π9，所以α＝14π9＋(－3)×2π.因为角α与14π9终边相同，所以角α是第四象限角．(2)因为与角α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α终边相同，所以γ＝2k π＋14π9，k ∈Z .又γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以－π2<2k π＋14π9<π2，k ∈Z ，解得k ＝－1.所以γ＝－2π＋14π9＝－4π9. [B 能力提升]11．若α3＝2k π＋π3(k ∈Z )，则α2的终边在( ) A ．第一象限B ．第四象限C ．x 轴上D ．y 轴上解析：选D.因为α3＝2k π＋π3(k ∈Z )，因为α＝6k π＋π(k ∈Z )，所以α2＝3k π＋π2(k ∈Z )．当k 为奇数时，α2的终边在y 轴的非正半轴上；当k 为偶数时，α2的终边在y 轴的非负半轴上．综上，α2的终边在y 轴上，故选D. 12．(2019·河南新乡期末)若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z )D ．α－β＝2k π＋π2(k ∈Z ) 解析：选D.因为α＝x ＋π4＋2k 1π(k 1∈Z )，β＝x －π4＋2k 2π(k 2∈Z )，所以α－β＝π2＋2(k 1－k 2)π(k 1∈Z ，k 2∈Z )．所以k 1∈Z ，k 2∈Z ，所以k 1－k 2∈Z .所以α－β＝π2＋2k π(k ∈Z )． 13．已知扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求该扇形的圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB 的长度．解：(1)设该扇形AOB 的半径为r ，圆心角为θ，面积为S ，弧长为l . 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2.所以圆心角θ＝l r ＝61＝6或θ＝l r ＝23， 所以该扇形的圆心角的大小为23rad 或6 rad. (2)θ＝8－2r r， 所以S ＝12·r 2·8－2r r＝4r －r 2＝－(r －2)2＋4， 所以当r ＝2，即θ＝8－42＝2时，S max ＝4 cm 2. 此时弦长AB ＝2×2sin 1＝4sin 1(cm)．所以扇形面积最大时，圆心角的大小等于2 rad ，弦AB 的长度为4sin 1 cm.14．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．解：如题图(1)，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12， 所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z . 如题图(2)，因为30°＝π6，210°＝7π6，这两个角的终边所在的直线相同， 因此终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ， 又终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ， 从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z .[C 拓展探究]15．如图，一长为 3 dm ，宽为1 dm 的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为π6，试求点A 走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积．(圆心角为正)解：在扇形ABA 1中，圆心角恰为π2，弧长l 1＝π2·AB ＝π2·3＋1＝π，面积S 1＝12·π2·AB 2＝12·π2·4＝π.在扇形A 1CA 2中，圆心角也为π2，弧长l 2＝π2·A 1C ＝π2·1＝π2，面积S 2＝12·π2·A 1C 2＝12·π2·12＝π4.在扇形A 2DA 3中，圆心角为π－π2－π6＝π3，弧长l 3＝π3·A 2D ＝π3·3＝33π，面积S 3＝12·π3·A 2D 2＝12·π3·(3)2＝π2，所以点A 走过的路程长l ＝l 1＋l 2＋l 3＝π＋π2＋3π3＝（9＋23）π6，点A 走过的弧所在的扇形的总面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＝π＋π4＋π2＝7π4.。

1．1.2 弧度制1.了解弧度制的意义．2.能正确的将弧度与角度互化．3.掌握弧长公式和扇形面积公式．1．角度制规定周角的1360为1度的角，记作1°.用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2．弧度制(1)长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad ．用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．(2)弧度数①正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0．②角α的弧度数的绝对值|α|＝lr (其中l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的弧长，r 为圆半径)．3．角度与弧度之间的互化及关系(1)度化弧度：360°＝2π rad ，180°＝π rad ，1°＝π180 rad ≈0.017 45 rad.(2)弧度化度：2π rad ＝360°，π rad ＝180°，1 rad ＝180°π≈57.30°.4．扇形的弧长及面积公式(1)弧长公式：l ＝|α|·r ，(r 为圆半径，|α|为圆心角的弧度数)，两个变形：|α|＝l r ，r ＝l|α|.(2)面积公式：S 扇形＝12l ·r (r 为扇形半径，l 为扇形的弧长)，两个变形：S 扇形＝12|α|·r 2，S 扇形＝12l 2|α|(α为扇形圆心角的弧度数)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度指的是1度的角．( )(2)弧长为π，半径为2的扇形的圆心角是直角．( )解析：(1)错误.1弧度指的是长度等于半径长的弧所对的圆心角． (2)正确．若弧长为π，半径为2，则|α|＝π2，故其圆心角是直角．答案：(1)× (2)√ 2.8π5弧度化为角度是( ) A ．278° B ．280° C ．288° D ．318°答案：C3．半径为2，圆心角为π3的扇形的面积是( )A ．4π3B ．πC ．2π3D ．π3答案：C4．(1)18°＝________rad ；(2)310π＝________．答案：(1)π10(2)54°角度与弧度的互化(1)将下列各角度化成弧度： ①1 080°，②－750°； (2)将下列各弧度化成角度： ①－7π9，②512.【解】 (1)①1 080°＝1 080×π180 rad ＝6π rad ，②－750°＝－750×π180 rad ＝－25π6 rad.(2)①－7π9 rad ＝－7π9×180°π＝－140°，②512 rad ＝512×180°π＝75°π.角度制与弧度制的互化原则(1)角度与弧度的换算关系式是角度与弧度互化的重要依据，其中应记住关系式：π＝180°，它能够帮助我们更快、更准确地进行运算．(2)如果角度以度、分、秒的形式给出时，应先将它化为度，再转化为弧度；如果弧度给出的是实数，如2弧度，化为度应是2×180°π＝360°π.1.将下列角度与弧度进行互化．①20°＝________； ②－15°＝________； ③－115π＝________．解析：①20°＝20×π180＝π9.②－15°＝－15×π180＝－π12.③－115π＝－115π×180°π＝－396°.答案：π9 －π12－396°终边相同的角和区域角的弧度制表示(1)设角α1＝－570°，α2＝750°，将α1，α2用弧度制表示出来 ，并指出它们各自所在的象限；(2)用弧度制表示第二象限角的集合，并判断－10π3 是不是第二象限角．【解】 (1)因为－570°＝－19π6＝－4π＋5π6， 750°＝25π6＝4π＋π6.所以α1在第二象限，α2在第一象限． (2)在[0，2π)范围内，第二象限角α∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 所以终边落在第二象限的所有角可表示为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z ，而－10π3＝－4π＋2π3∈⎝⎛⎭⎫－4π＋π2，－4π＋π， 所以－10π3是第二象限角．熟练掌握角度与弧度的互化，准确判断角所在的象限是学习三角函数知识的必备基本功．若需要在某一指定范围内求具有某种特性的角时，通常转化为解不等式去求对应的k 值．[注意] 用弧度制表示角时，不能与角度制混用，如β＝2k π－60°(k ∈Z )这种写法是不正确的．2.(1)在区间(0，2π)内，与－34π5终边相同的角是( )A ．π5B ．2π5C ．4π5D ．6π5(2)①把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π；②在[0，4π]中找出与2π5角终边相同的角．解：(1)选D ．因为－34π5＝－8π＋6π5，则－34π5与6π5终边相同，选D ．(2)①因为－1 480°＝－1 480×π180 rad＝－749π rad ，又－749π＝－10π＋169π，其中α＝169π，所以－1 480°＝169π－10π.②终边与2π5角相同的角为θ＝2π5＋2k π(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝2π5；当k ＝1时，θ＝12π5，所以在[0，4π]中与2π5角终边相同的角为2π5，12π5.弧长与扇形面积公式的应用已知一扇形的圆心角是α，半径是r .(1)若α＝60°，r ＝10 cm ，求扇形的弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，则当α为多少弧度时，该扇形的面积最大？【解】(1)设弧长为l，弓形的面积为S弓．因为α＝60°＝π3，r＝10 cm，所以l＝αr＝103π(cm)，所以S弓＝S扇－S△＝12×103π×10－34×102＝50⎝⎛⎭⎫π3－32(cm2)．(2)由已知2r＋l＝c，所以r＝c－l2(l<c)，所以S＝12rl＝12·c－l2·l＝14(cl－l2)＝－14⎝⎛⎭⎫l－c22＋c216，所以当l＝c2时，S max＝c216，此时α＝lr＝c2c－c22＝2，所以当扇形圆心角为2弧度时，扇形的面积有最大值c216.(1)求扇形的弧长和面积①记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝12lr＝12αr2(其中l是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π)．②找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．(2)扇形周长及面积的最值问题①当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值．其求法是把面积S转化为关于r的二次函数，但要注意r的取值范围．特别注意一个扇形的弧长必须满足0＜l＜2πr.②当扇形面积一定时，扇形的周长有最小值，其求法是把周长C转化为关于r的函数，用基本不等式可求得扇形周长的最小值．特别注意一个扇形的弧长必须满足0＜l＜2πr.3.(1)在半径为12 cm的圆上，有一条弧的长是18 cm，求该弧所对的圆心角的弧度数和该扇形的面积．(2)已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：(1)设该弧所对的圆心角为α，则α＝lr ＝1812＝32(rad)，该扇形面积为S＝12lr＝12×18×12＝108(cm2)．(2)设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，所以l＝40－2r，所以S＝12lr＝12×(40－2r)r＝－(r－10)2＋100.所以当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm2，这时θ＝lr＝40－2×1010＝2 rad.“度”与“弧度”的区别与联系区别(1)定义不同(2)单位不同．弧度制是以“弧度”为单位，单位可以省略，而角度制是以“度”为单位，单位不能省略(3)弧度制是十进制，而角度制是六十进制联系(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值，仅和半径与所含的弧这两者的比值有关(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．【解】设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10，①12lr ＝4，②①代入②得r 2－5r ＋4＝0， 解得r 1＝1，r 2＝4. 当r ＝1 cm 时，l ＝8 cm ， 此时θ＝8 rad>2π rad(舍去)； 当r ＝4 cm 时，l ＝2 cm ， 此时θ＝24＝12(rad)．有关扇形的弧长l ，圆心角α，面积S 的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用l ＝|α|r ，S ＝12lr ＝12|α|r 2两组公式，采用消元思想或二次函数思想加以解决．1．1 920°转化为弧度数为( ) A ．163B ．323C ．163πD ．323π解析：选D ．因为1°＝π180，所以1 920°＝1 920·π180＝32π3.2．在半径为8 cm 的圆中，5π3的圆心角所对的弧长为( ) A ．403π cmB ．203π cmC ．2003π cmD ．4003π cm解析：选A ．根据弧长公式，得l ＝5π3×8＝40π3(cm)．3．一钟表的分针长为5 cm ，经过40分钟后，分针外端点转过的弧长是________cm. 解析：经过40分钟，分针转过的角是α＝－4×π3＝－43π，则l ＝|α|r ＝5×43π＝203π(cm)．答案：203π[学生用书P79(单独成册)])[A 基础达标]1.3π4对应的角度为( ) A ．75° B ．125° C ．135°D ．155°解析：选C ．由于1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°， 所以3π4＝34π×⎝⎛⎭⎫180π°＝135°，故选C ．2．用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝－5π6＋2k π，k ∈Z B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋k ·360°，k ∈Z C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝2π3＋2k π，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋2k π，k ∈Z 解析：选D ．150°＝150×π180＝5π6，故与150°角终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋2k π，k ∈Z .3．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为( )A ．π2B ．π3C ． 2D ． 3解析：选C ．设圆内接正方形的边长为a ，则该圆的直径为2a ，所以弧长等于a 的圆弧所对的圆心角α＝l r ＝a22a ＝2，故选C ．4．钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A ．143πB ．－143πC ．718 πD ．－718π解析：选B ．显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.5．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形的圆心角大小不变 B ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 C ．扇形的圆心角增大到原来的4倍 D ．扇形的圆心角减小到原来的一半解析：选A ．设扇形原来的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则变化后半径为2r ，弧长为2l ，圆心角为β，所以α＝l r ，β＝2l 2r ＝lr＝α，即扇形的圆心角大小不变．6．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为________． 解析：A ＋B ＋C ＝π，又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7， 所以A ＝3π3＋5＋7＝π5，B ＝5π3＋5＋7＝π3，C ＝7π15.答案：π5，π3，7π157．火车站钟楼上有座大钟，这座大钟的分针20 min 所走的圆弧长是π3 m ，则这座大钟分针的长度为________ m.解析：因为分针20 min 转过的角为－2π3，所以由l ＝|α|r ，得r ＝l|α|＝π32π3＝0.5(m)，即这座大钟分针的长度为0.5 m.答案：0.58．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km ，一列火车用30 km/h 的速度通过，10 s 内转过的弧度为________．解析：10 s 内列车转过的圆形弧长为103 600×30＝112(km)．转过的角α＝1122＝124(弧度)．答案：1249．一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形面积是多少？解：设弧长为l ，所对圆心角为α，则l ＋2r ＝πr ， 即l ＝(π－2)r . 因为|α|＝lr ＝π－2，所以α的弧度数是π－2， 从而S 扇形＝12lr ＝12(π－2)r 2.10．设集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z ， B ＝{x |x 2≤36}，试求集合A ∩B ． 解：由集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z ，可知A ＝…∪⎣⎡⎦⎤－9π4，－7π4∪⎣⎡⎦⎤－5π4，－3π4 ∪⎣⎡⎦⎤－π4，π4∪ ⎣⎡⎦⎤3π4，5π4∪⎣⎡⎦⎤7π4，9π4∪….由B ＝{x |x 2≤36}，可得B ＝{x |－6≤x ≤6}，在数轴上将两个集合分别作出，如图．可得集合A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤－6，－7π4∪ ⎣⎡⎦⎤－5π4，－3π4∪⎣⎡⎦⎤－π4，π4∪⎣⎡⎦⎤3π4，5π4∪⎣⎡⎦⎤7π4，6.[B 能力提升]1．设角α的终边为射线OP ，射线OP 1与OP 关于y 轴对称，射线OP 2与OP 1关于直线y ＝－x 对称，则以OP 2为终边的角的集合是( )A ．{β|β＝k ·2π＋α，k ∈Z }B ．{β|β＝(2k ＋1)·π＋α，k ∈Z }C ．{β|β＝k ·2π＋π2＋α，k ∈Z }D ．{β|β＝k ·2π＋32π＋α，k ∈Z } 解析：选C ．依题意，射线OP 1所对应的角γ满足α＋γ＝k 1·2π＋π，k 1∈Z ，① 射线OP 2所对应的角β满足γ＋β＝k 2·2π－π2，k 2∈Z ，② ②－①得β－α＝(k 2－k 1)·2π－32π，即β＝k ·2π＋π2＋α，k ∈Z . 2．如图，动点P ，Q 从点A (4，0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，则 (1)P ，Q 第一次相遇时所用的时间为________．(2)P ，Q 点各自走过的弧长为________，________．解析：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t 秒，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π， 解得t ＝4.所以第一次相遇时所用的时间是4秒，第一次相遇时点P 已经运动到角π3·4＝43π的终边与圆的交点位置，点Q 已经运动到角－2π3的终边与圆的交点位置，所以点P 走过的弧长为43π×4＝163π， 点Q 走过的弧长为⎪⎪⎪⎪－2π3×4＝23π×4＝83π. 答案：(1)4秒 (2)163π 83π 3．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求：(1)AB ︵的长；(2)扇形所含弓形的面积．解：(1)因为120°＝120180π＝23π， 所以l ＝|α|·r ＝6×23π＝4π，所以AB ︵的长为4π.(2)因为S 扇形OAB ＝ 12lr ＝12×4π×6＝12π， 如图所示有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3.(D 为AB 中点) 所以弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3.4．(选做题)将一条绳索绕在半径为40 cm 的轮圈上，绳索的下端处悬挂着物体B ，如果轮子按逆时针方向每分钟旋转6圈，现将物体B 的位置向上提升100 cm ，那么需要多长时间才能完成？解：如图，设将物体向上提升100 cm ，需要的时间为t s.当BB ′＝100 cm 时，AA ′︵的长是100 cm ，AA ′︵所对的圆心角∠AOA ′＝10040＝52(rad)． 因为轮子每分钟匀速旋转6圈，所以每秒匀速转过6×2π60＝π5(rad)． 于是t s 转过π5t rad ， 所以π5t ＝52， 得t ＝252π≈4(s)．。

【关键字】高中求】1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系．3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．【学法指导】1．通过类比长度、重量的不同度量制，体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．2．弄清1弧度的角的含义是了解弧度制，并能进行弧度与角度换算的关键．3．引入弧度制后，应与角度制进行对比，明确角度制和弧度制下弧长公式和扇形面积公式的联系与区别.1．1弧度的角：把长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号表示，读作．2．弧度制：用作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．3．角的弧度数的规定：一般地，正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是 .如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．4．角度与弧度的互化：(1)角度转化为弧度：360°＝ rad；180°＝ rad；1°＝ rad≈0.017 45 rad.(2)弧度转化为角度：2π rad＝；π rad＝；1 rad＝°≈57.30°＝57°18′.探究点一弧度制问题11弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？答把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半径无关．如图所示，∠AOB就是1弧度的角．问题2如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么_______________________，即_________.问题3除了角度制，数学还常用弧度制表示角．请叙述一下弧度制的内容．答一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．问题4角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整.探究点二弧度制下的弧长公式和扇形面积公式问题1我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r，圆心角弧度数为α)．答半径为r，圆心角为n°的扇形弧长公式为l＝，扇形面积公式为S扇＝.∵＝，∴l＝|α|r.∵＝＝，∴S扇＝|α|r2.∵＝＝，∴S扇＝|α|r2.问题2 角度制与弧度制下扇形的弧长及面积公式对比：探究点三 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z)，其中α的单位必须是弧度．问题2 利用弧度制表示终边落在各个象限的角的集合.【典型例题】例1 (1)把112°30′化成弧度；(2)把－7π12化成角度．解 先将112°30′化为112.5°，然后乘以π180 rad ，即可将112°30′化成弧度，－7π12乘以⎝⎛⎭⎪⎫180π°即可化为角度．所以，(1)112°30′＝112.5°＝⎝⎛⎭⎪⎫2252°＝2252×π180＝5π8.(2)－7π12＝－7π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－105°.小结 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°即可．跟踪训练1 将下列角按要求转化：(1)300°＝________rad ； (2)－22°30′＝________rad ； (3)8π5＝________度．例2 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.所以当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.小结 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题．跟踪训练2 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.例3 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z)的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角． (2)∵23π6＝2π＋11π6，(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2<2π－4<π.小结 在同一问题中，单位制度要统一，角度制与弧度制不能混用． 跟踪训练3 将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z)的形式是___________．解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°， ∴－1 485°可以表示为－10π＋7π4.课后小练1．时针经过一小时，时针转过了( )A ．π6 radB ．－π6 radC ．π12 radD ．－π12rad解析 时针经过一小时，转过－30°，又－30°＝－π6rad ，故选B. 2．若α＝－3，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析 ∵α＝－3 rad ＝－3×57°18′＝－171°54′， 而－171°54′为第三象限角，∴α＝－3为第三象限角．3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4 解析 设扇形半径为r ，中心角弧度数为α， 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝612αr 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2α＝1.4．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是________．解析 －114π＝－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π＝2×(－1)π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π.∴θ＝－34π. 课后小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．易知：度数×π180 rad ＝弧度数，弧度数×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

第五章 三角函数5.1.2 弧度制学案一、学习目标1.理解并掌握弧度制的定义，领会弧度制定义 的合理性.2.掌握并运用弧度制表示的弧长公式，扇形面积公式.3.熟练地进行角度制与弧度制的换算.二、 基础梳理1.我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫 作弧度制.2.角α的弧度数公式：||l rα=（弧长用l 表示），一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.3.角度与弧度的换算：（1）1°=180πrad ≈0.01745rad. （2）1 rad =180π° ≈57.30°. 4.弧长公式：弧长l =R α（R 是圆的半径，(02)ααπ<<为圆心角）.5.扇形面积公式：S =212R α= 12lR （R 是圆的半径，(02)ααπ<<为圆心角）. 三、巩固练习1.将2π3弧度化成角度为( ) A.30︒ B. 60︒ C. 120︒ D. 150︒2.与30°角终边相同的角的集合是( ) A.π360,6k k αα⎧⎫=⋅+∈⎨⎬⎩⎭︒Z ∣ B.{}2π30,k k αα=+︒∈Z ∣ C.{}236030,k k αα=⋅︒+︒∈Z ∣ D.π2π,6k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ 3.设集合|18045,,|18045,24k kM x x k N x x k ︒︒︒⎧⎫⎧⎫==⋅+∈==⋅+∈⎨⎬⎨︒⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ,那么( ) A.M N = B.M N ⊆ C.N M ⊆ D.M N ⋂=∅4.-300°化为弧度是( ) A.4π3- B.5π3- C.45π- D.7π6- 5.把-855°表示成2π()k k θ+∈Z 的形式，且使(0,2π)θ∈，则θ的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.π4 D.7π46.若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )A.π6B.π3C.3 7.（多选）下列转化结果正确的是( )A.6730'︒化成弧度是3π8B.10π3-化成角度是-600°C.-150°化成弧度是7π6-D.π12化成角度是5° 8. （多选）下列说法正确的是( )A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的1360，1rad 的角是周角的12πC.1rad 的角比1°的角要大D.用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关答案以及解析1.答案：C解析：πrad 180=︒，即1802π2π1801rad ,rad 120π33π⎛⎫⎛⎫=︒∴=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭︒︒.故选C. 2.答案：D解析：与30°角终边相同的角可表示为36030,k k α=⋅+︒︒∈Z ，化为弧度制为π2π,6k k α=+∈Z . 3.答案：B解析：由于M 中,180459045(21)45,,2k x k k k N =⋅︒︒︒︒︒+=⋅+=+⋅∈Z 中,180454545(1)45,4k x k k k ︒︒︒=⋅+=︒︒⋅+=+⋅∈Z ,因此必有M N ⊆,故选B. 4.答案：B 解析：π5π3003001803-=-⨯=-°.故选B. 5.答案：B解析：855︒-表示成弧度制为19π4-，又19π24π5π5π6π,444θ-+-==-+∴的值为5π4.故选B. 6.答案：D解析：如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角2π3AOB ∠=， 作OM AB ⊥，垂足为M ，在Rt AOM △中，AO r =，π3AOM ∠=，2AM r ∴=，AB =，l ∴=，则圆心角的弧度数l r α=== 7.答案：AB 解析：对于A ，π3π673067.5,1808'=⨯=︒正确;对于B ，10π3-=10π180600,3π︒-=-︒⨯正确;对于C ，π5π150150,1806-=-⨯=-︒错误;对于D ，ππ18015,1212π︒==︒⨯错误.故选AB.8.答案：ABC 解析：由题意，对于A 中，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，所以是正确的；对于B 中，周角为360°，所以1的角是周角的1360，周角为2π弧度，所以1rad 的角是周角的12π是正确的； 对于C 中，根据弧度制与角度制的互化，可得1801rad1π︒ =>︒，所以是正确； 对于D 中，用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径无关的，所以D 项是错误的.故选ABC.。