下载文档原格式
2012年高考数学试题解析 分项版之专题14 复数 推理与证明 教师版 文一、选择题:1. （2012年高考新课标全国卷文科2）复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i2.（2012年高考山东卷文科1）若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为 (A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i 【答案】A 【解析】i ii i i i i i z 5352515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=.故选A. 3.（2012年高考辽宁卷文科3）复数11i=+ (A)1122i - (B)1122i + (C) 1i - (D) 1i +4.(2012年高考广东卷文科1)设i 为虚数单位，则复数34ii+= A -4-3i B -4+3i C 4+3i D 4-3i 【答案】D 【解析】因为34i i +=(34)()1i i +⋅-=43i -,故选D. 【考点定位】本题考查复数的四则运算,属容易题. 5.(2012年高考天津卷文科1)i 是虚数单位，复数534i i+-=（A ）1-i （B ）-1+I（C ）1+I （D ）-1-i 【答案】C 【解析】复数i ii i i i i i +=+=+-++=-+1171717)4)(4()4)(35(435，选C.6．(2012年高考北京卷文科2)在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为 A ． (1 ,3) B ．(3,1) C ．(-1,3) D ．(3 ,-1) 【答案】A【解析】本题考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。
i ii i i i i i i i i 3110301091030)3)(3()3(1031022+=+=--=-+-=+，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A ．7.（2012年高考安徽卷文科1）复数z 满足()2z i i i -=+，则z =（ ） （A ）1i -- （B ）1i - （C ）13i -+ （D ）12i -8. (2012年高考湖南卷文科2)复数z=i （i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数是 A.-1-i B.-1+i C. 1-i D.1+i9. (2012年高考浙江卷文科2) 已知i 是虚数单位，则31ii+-= A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i 【答案】D 【解析】31i i +-(3)(1)2412(1)(1)2i i ii i i +++===+-+. 【命题意图】本题主要考查了复数的四则运算法则，通过利用分母实数化运算求解。
=,故选C ． 15.【2010·全国卷1理数】复数（ ） A.i B. C.12-13 D. 12+13 【答案】A16.【2010·山东理数】已知（a,b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a+b=（ ）A.-1B.1C.2D.3 【答案】B【解析】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，属保分题.由得,所以由复数相等的意义知,所以1,故选B.17.【2010·安徽理数】是虚数单位，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】为分式形式的复数问题，化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用复数的代数运算，结合得结论.，选B.19.【2010·湖北理数】若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数Z ，则表示复数的点是（ ）A.EB.FC.GD.H 【答案】D【解析】观察图形可知,则，即对应点H （2，－1），故D 正确.20.【2010·浙江理数】某程序框图如左图所示，若输出41i ()1-i +244(1i)[]=i =12+3223ii+=-i -i i 2(,)a i b i a b i +=+2a ib i i+=+a+2i=b+i ia+2i=bi-1a=-1,b=2a+b=i 33ii =+13412i -13412i +1326i +1326i -33ii+3i -21i =-(33)3313391241233i i i i i i-+===+++1zi+3z i =+3211z ii i i+==-++。
复数【2021年】1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设i 43i z =+，则z =（ ） A ．–34i -B ．34i -+C ．34i -D ．34i +2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ） A ．312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i --4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i - B ．42i - C ．62i + D ．42i +【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若312i i z =++，则||=z （ ） A ．0 B ．1 CD ．22．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ） A ．0B ．1CD ．23．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））（1–i ）4=（ ） A ．–4 B ．4 C ．–4iD ．4i .4．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））若()11+=-z i i ，则z =（ ） A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））复数113i -的虚部是（ ） A ．310-B ．110-C ．110D ．3106．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设3i12iz -=+，则z =A ．2BC D ．17．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=8．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．–1+2i C ．1–2iD ．–1–2i9．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限10．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））若(1i)2i z +=，则z = A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i11．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．B ．12C ．1 D12．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ））()i 23i +=A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+13．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））12i12i +=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+14．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）(1)(2)i i +-= A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +15．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．i(1+i)2D ．i(1+i)16．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1R z∈，则z R ∈；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； 3p ：若复数12,z z 满足12z z R ∈，则12z z =； 4p ：若复数z R ∈，则z R ∈.其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p pD ．24,p p17．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））(1i)(2i)++= A ．1i - B ．13i + C ．3i +D ．33i +18．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）31ii++＝（ ）A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i19．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限20．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ．12B CD ．221．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））设()()12i a i ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =A ．−3B ．−2C ．2D ．322．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设，其中x ，y 是实数，则i =x y +A ．1BC D ．223．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设复数z 满足3z i i +=-，则z = A ．12i -+B ．12i -C ．32i +D ．32i -24．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知(3)(1)z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 A ．(31)-， B ．(13)-， C ．(1,)+∞ D ．(3)-∞-，25．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）若43z i =+，则z z =A ．1B ．1-C ．4355i +D ．4355i -26．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国3卷））若12z i =+，则41izz =- A ．1 B ．-1 C ．i D ．-i27．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +28．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=A ．1BCD ．229．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））若a 为实数,且2i3i 1ia +=++,则a = A ．4- B ．3- C ．3 D ．430．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a = A ．1-B ．0C ．1D ．231．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））设，则A ．B ．C ．D ．2.32．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））A ．B ．C ．D ．33．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）计算131ii+=- A ．12i +B ．12i -+C ．12i -D ．12i --34．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷））设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =A ．- 5B ．5C ．- 4+ iD ．- 4 - i35．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））212(1)i i +=- A ．112i -- B ．112i -+ C ．112i + D ．112i - 36．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知复数z 满足(3443i z i -=+），则z 的虚部为 A ．-4 B ．45- C ．4D ．4537．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））21i +=A ．B ．2CD ．138．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））设复数z 满足()12i z i -=，则z= （ ） A ．-1+iB ．-1-iC ．1+iD ．1-i39．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））复数32iz i-+=+的共轭复数是 A ．2i +B ．2i -C ．1i -+D ．1i --40．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p。
【2006高考试题】一、选择题（共11题）2．（北京卷）在复平面内，复数1ii+对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 解：1i i +111i i i （＋）＝＝－－故选D 3．（福建卷）设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数(a +b i)(c +d i)为实数的充要条件是 A.ad －bc =0 B.ac －bd =0 C. ac +bd =0 D.ad +bc =04．（广东卷）若复数z 满足方程220z +=，则3z =A.±-- D. ± 解析：由i z i z z 2220232±=⇒±=⇒=+，故选D.5．（江西卷）已知复数z 3i ）z ＝3i ，则z ＝（ ）A ．322 B. 344－ C. 322i D.344＋解：333124i i z ）＝＝故选D 。
6．（全国卷I ）如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =A ．1B ．1-C ．解析：复数2()(1)m i mi ++=(m 2－m)+(1+m 3)i 是实数，∴ 1+m 3=0，m=－1，选B.8．(陕西卷)复数(1+i)21－i等于( )A.1－iB.1+iC.－1+ iD.－1－i解析: 复数(1+i)21－i =2(1)11i i i i i=+=-+-，选C ．11．（浙江卷）已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11 (A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i 【考点分析】本题考查复数的运算及性质，基础题。
解析：()()i n n m ni i m-++=⇒-=+1111，由m 、n 是实数，得⎩⎨⎧=+=-mn n 101 ∴i ni m m n +=+⇒⎩⎨⎧==221，故选择C 。
二、填空题（共4题） 12．（湖北卷）设,x y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y += 。
2012年高考试题分项版解析数学（理科）专题14 复数、推理与证明（学生版）一、选择题:1.(2012年高考广东卷理科1)设i 为虚数单位，则复数56ii-=（ ） A 6+5i B 6-5i C -6+5i D -6-5i2．(2012年高考北京卷理科3)设a ，b ∈R,“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3．(2012年高考浙江卷理科2)已知i 是虚数单位，则3+i1i-＝（ ） A ．1－2i B ．2－i C ．2＋i D ．1＋2i 4 . (2012年高考山东卷理科1)若复数x 满足z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位)，则z 为（ ） A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 5.(2012年高考福建卷理科1)若复数z 满足i zi -=1，则z 等于（ ）A ．i --1B ．i -1C ．i +-1D ．i +1 6.(2012年高考辽宁卷理科2)复数22ii-=+（ ） (A)3455i - (B)3455i + (C) 415i - (D) 315i +8.(2012年高考天津卷理科1)i 是虚数单位，复数7=3iz i-+=（ ） （A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i -- 9．(2012年高考江西卷理科6)观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=则1010a b +=（ ）A ．28B ．76C ．123D ．19910.(2012年高考安徽卷理科1)复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =（ ）()A 22i -- ()B 22i -+()C i 2-2 ()D i 2+211. (2012年高考湖北卷理科1)方程 2x +6x +13 =0的一个根是( ) A -3+2i B 3+2i C -2 + 3i D 2 + 3i 12．(2012年高考上海卷理科15)若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）A ．3,2==c bB ．3,2=-=c bC ．1,2-=-=c bD ．1,2-==c b14. (2012年高考陕西卷理科3)设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数ba i+为纯虚数”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ） 既不充分也不必要条件15. (2012年高考四川卷理科2)复数2(1)2i i-=（ ） A 、1 B 、1- C 、i D 、i - 16.(2012年高考全国卷理科1)复数131ii-+=+（ ） A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i -二、填空题:1. （2012年高考江苏卷3）设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ．2.(2012年高考上海卷理科1)计算：3-i=1+i（i 为虚数单位）.4. (2012年高考福建卷理科14)数列}{n a 的通项公式12cos +=πn n a n ，前n 项和为n S ，则=2012S ___________。
2012年高考试题解析数学（文科）分项版之专题14 复数、推理与证明--教师版一、选择题:1. （2012年高考新课标全国卷文科2）复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i2.（2012年高考山东卷文科1）若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为 (A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i 【答案】A 【解析】i ii i i i i i z 5352515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=.故选A. 3.（2012年高考辽宁卷文科3）复数11i=+ (A)1122i - (B)1122i + (C) 1i - (D) 1i +4.(2012年高考广东卷文科1)设i 为虚数单位，则复数34ii+= A -4-3i B -4+3i C 4+3i D 4-3i 【答案】D 【解析】因为34i i +=(34)()1i i +⋅-=43i -,故选D. 【考点定位】本题考查复数的四则运算,属容易题. 5.(2012年高考天津卷文科1)i 是虚数单位，复数534i i+-=（A ）1-i （B ）-1+I（C ）1+I （D ）-1-i 【答案】C 【解析】复数i ii i i i i i +=+=+-++=-+1171717)4)(4()4)(35(435，选C.6．(2012年高考北京卷文科2)在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为 A ． (1 ,3) B ．(3,1) C ．(-1,3) D ．(3 ,-1) 【答案】A【解析】本题考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。
i ii i i i i i i i i 3110301091030)3)(3()3(1031022+=+=--=-+-=+，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A ．7.（2012年高考安徽卷文科1）复数z 满足()2z i i i -=+，则z =（ ） （A ）1i -- （B ）1i - （C ）13i -+ （D ）12i -8. (2012年高考湖南卷文科2)复数z=i （i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数是 A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i9. (2012年高考浙江卷文科2) 已知i 是虚数单位，则31ii+-= A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i 【答案】D 【解析】31i i +-(3)(1)2412(1)(1)2i i ii i i +++===+-+.【命题意图】本题主要考查了复数的四则运算法则，通过利用分母实数化运算求解。
复数高考真题分类汇编题型一复数的概念及分类1．（2015·天津卷）i 是虚数单位，若复数))(21(i a i +-是纯虚数，则=a ．2．（2016·江苏卷）复数)3)(21(i i z -+=，i 为虚数单位，则z 的实部是．3451 2 A ．i +1 B ．i -1 C ．i +-1 D ．i --13．（2013·福建卷）已知复数的共轭复数i z 21+=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2013·湖北卷）在复平面内，复数i i z +=12（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．（2013·四川卷）如图，在复平面内，点A 表示复数，则图中表示的共轭复数6789=⋅+z i iz （） A ．2- B ．i 2- C ．2 D ．i 211．（2014·全国卷）设i i z +=310，则z 的共轭复数为（） A ．i 31+- B ．i 31--C ．i 31+D ．i 31- 12．（2014·福建卷）复数i i z )23(-=的共轭复数为（）A ．i 32--B ．i 32+-C ．i 32-D ．i 32+13．（2015·广东卷）若复数)23(i i z -=（i 是虚数单位），则=z （）A ．i 32-B ．i 32+C ．i 23+D ．i 23-14．（2015·湖北卷）i 为虚数单位，607i 的共轭复数为（）A ．iB ．i -C ．1D ．1-=+22b a ______，=ab ________．题型三复数的模1．（2013·辽宁卷）复数11-=i z 的模为（） A ．21 B ．22 C ．2 D ．22．（2013·江苏卷）设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为______．3．（2013·陕西卷）设21z z 、是复数，则下列命题中的假命题是（）A ．若021=-z z ，则21z z =B ．若21z z =，则21z z =C ．若21z z =，则2211z z z z ⋅=⋅D ．若21z z =，则2221z z = 4．（2013·重庆卷）已知复数ii z 215+=（i 是虚数单位），则=z _____．567891A ．i +-1 B ．i --1 C ．i +1 D ．i -12．（2013·浙江卷）已知i 是虚数单位，则=-+-)2)(1(i i （）A ．i +-3B ．i 31+-C ．i 33+-D ．i +-13．（2013·广东卷）若复数满足i z i 42+=⋅，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（）A ．)4,2(B ．)4,2(-C ．)2,4(-D ．)2,4(4．（2014·北京卷）复数=-+211(ii ______． 5．（2014·江苏卷）已知复数2)25(i z -=（i 为虚数单位），则z 的实部为____．6．（2014·四川卷）复数=+-ii 122______． 7．（2014·天津卷）i 是虚数单位，复数=++ii 437（）89A ．i 21+ B ．i 21- C ．i 21+- D ．i 21--14．（2015·福建卷）若集合{}432,,,i i i i A =（i 是虚数单位），{}1,1-=B ，则=B A （）A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．Ø15．（2015·湖南卷）已知i zi +=-1)1(2（i 为虚数单位），则复数=z （） A ．i +1 B ．i -1 C ．i +-1 D ．i --116．（2015·四川卷）设i 是虚数单位，则复数=-i i 23（） A ．i - B ．i 3- C ．i D ．i 317．（2016·全国卷Ⅲ）若i z 21+=，则=4i （）134i +1的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．（2013·四川卷）如图，在复平面内，点A 表示复数，则图中表示的共轭复数的点是_____5．（2014·全国卷Ⅱ）设复数21,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，i z +=21，则=21z z （）A ．5-B ．5C ．i +-4D ．i --46．（2014·重庆卷）在复平面内表示复数)21(i i -的点位于（）7 89。
专题14 复数一．基础题组1. 【2014课标Ⅰ，理2】=-+23)1()1(i i （ ）A. i +1B. i -1C. i +-1D. i --1【答案】D【解析】由已知得=-+23)1()1(i i 22(1)(1)2(1)1(1)2i i i i i i i +++==----．2. 【2011全国新课标，理1】复数2+i12i -的共轭复数是( )A ．－3i 5B ．3i 5 C ．－i D ．i【答案】C【解析】3. 【2009全国卷Ⅰ，理】已知i i z+=+21，则复数z=（ ）A.-1+3iB.1-3iC.3+iD.3-i【答案】B【解析】∵i i z+=+21,∴=(2+i)(1+i)=2+3i+i 2=1+3i. ∴ z=1-3i.4. 【2008全国1，理4】设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】D.【解析】()()()22221210,1a i i a ai i a a i a +=+-=-+->=-.5. 【2006全国，理4】如果复数(m 2+i)(1+mi)是实数，则实数=m （ ）（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）-2【答案】B【解析】6. 【2005全国1，理12】复数=--i i 2123 （ ）A ．B ．i -C ．i -22D ．i +-22【答案】A 【解析】322(2)(12)331212(12)(12)i i i i i i i i i i -+++====---+ 7. 【2015高考新课标1，理1】设复数z 满足11z z+-=，则|z|=( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2【答案】A【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.二．能力题组1. 【2013课标全国Ⅰ，理2】若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 【答案】D【解析】∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+.故z 的虚部为45，选D.2. 【2011全国，理1】复数z ＝1＋i ，为z 的共轭复数，则1zz z --= ( )A ．－2iB ．－iC ．iD ．2i【答案】B【解析】1z i =+，则12(1)1zz z i i --=-+-=- 3. 【2010新课标，理2】已知复数z 23(13)i －， 是z 的共轭复数，则z ·＝( ) A.14 B.12C ．1D ．2 【答案】A三．拔高题组1. 【2012全国，理3】下面是关于复数21iz =-+的四个命题：p 1：|z |＝2，p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i ，p 4：z 的虚部为－1，其中的真命题为( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4【答案】C 【解析】2(1i)1i (1i)(1i)z --==---+--，故||2z =p 1错误；z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，p 2正确；z 的共轭复数为－1＋i ，p 3错误；p 4正确．2.【2016高考新课标理数1】设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +( ) （A ）1 （B 2 （C 3 （D ）2【答案】B【解析】试题分析：因为(1i)=1+i,x y +所以i=1+i,=1,1,|i |=|1+i |2,x x y x y x x y +==+=所以故故选B.【考点】复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.３．【2017新课标1，理3】设有下面四个命题 1p ：若复数满足1z∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为A ． 13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B【考点】复数的运算与性质【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成i(,)z a b a b =+∈R 的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.。
历届高考中的“复数”试题（自测卷）1．（2007湖南理）复数22i 1+i ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．4i B ．4i - C ．2i D ．2i -2.（2007全国Ⅱ理）设复数z 满足i z2i 1=+，则z =（ ） (A) -2+i (B) -2-i (C) 2-i (D) 2+i3．（2007山东文）复数43i 1+2i +的实部是（ ） A ．2- B ．2 C ．3 D ．44.（2007全国Ⅰ理）设a 是实数，且211i i a +++是实数，则a ＝（ ） （A ）21 （B ）1 （C ）23 （D ）25.（2006安徽理）等于（ ）A ．iB ．i -C iD i6.（2006北京理）在复平面内，复数1i i +对应的点位于（ ） （A ）第一象限 (B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限7.（2006四川理）复数3)i 1(-的虚部为（ ）（A ）3. （B ）－3. （C ）2 （D ）－28.（2006浙江理）已知=+-=+ni m i n m ni im 是虚数单位，则是实数，，，其中11（ ）(A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)i 2+9．（2005福建理科）复数iz -=11的共轭复数是（ ）A ．i 2121+B ．i 2121- C ．i -1 D ．i +1 10．（2005广东）若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则22b a +=（ ）A ．0B ．2C ．25 D ．5 11．(2005天津理科)若复数i i a 213++（a ∈R ，i 为虚数单位位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） （A ）-2 (B)4 (C) -6 (D)612．（2005湖南理科）复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是（ ）A 、－1B 、0C 、1D 、i13．（2005重庆理科）=-+2005)11(ii （ ） A ．i B ．－i C ．20052 D ．－2005214．（2004北京理科）满足条件||||z i i -=+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）A. 一条直线B. 两条直线C. 圆D. 椭圆15.(2004浙江理科) 已知复数i t z i z +=+=21,43,且21z z ⋅是实数,则实数t=（ ）(A)43 (B) 34 (C) --34 (D) --4316．（2004辽宁）设复数z 满足=+=+-|1|,11z i zz 则（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．2二、填空题：17.（2007重庆理）复数322i i +的虚部为________. 18.（2006上海文）若复数z 满足(2)(1)z m m i =-++（i 为虚数单位）为纯虚数，其中m R ∈。
专题02复数历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 数系的扩充与复数的定义2019年新课标1理科02单选题2018 复数的四则运算2018年新课标1理科01单选题2017 数系的扩充与复数的定义2017年新课标1理科03单选题2016 复数的四则运算2016年新课标1理科02单选题2015 复数的四则运算2015年新课标1理科01单选题2014 复数的四则运算2014年新课标1理科02单选题2013 复数的四则运算2013年新课标1理科02单选题2012 数系的扩充与复数的定义2012年新课标1理科03单选题2011 复数的四则运算2011年新课标1理科01单选题2010 复数的四则运算2010年新课标1理科02历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科02】设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1 B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1 D．x2+（y+1）2＝1【解答】解：∵z在复平面内对应的点为（x，y），∴z＝x+yi，∴z﹣i＝x+（y﹣1）i，∴|z﹣i|，∴x2+（y﹣1）2＝1，故选：C．2．【2018年新课标1理科01】设z2i，则|z|＝（）A．0 B．C．1 D．【解答】解：z2i2i＝﹣i+2i＝i，则|z|＝1．3．【2017年新课标1理科03】设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1；p 4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z＝i满足z2＝﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p3：若复数z1＝i，z2＝2i满足z1z2∈R，但z1，故命题p3为假命题；p 4：若复数z∈R，则z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．4．【2016年新课标1理科02】设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝（）A．1 B．C．D．2【解答】解：∵（1+i）x＝1+yi，∴x+xi＝1+yi，即，解得，即|x+yi|＝|1+i|，故选：B．5．【2015年新课标1理科01】设复数z满足i，则|z|＝（）A．1 B．C．D．2【解答】解：∵复数z满足i，∴1+z＝i﹣zi，∴z（1+i）＝i﹣1，∴z i，∴|z|＝1，6．【2014年新课标1理科02】（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：（1+i）＝﹣1﹣i，故选：D．7．【2013年新课标1理科02】若复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，∴z i，故z的虚部等于，故选：D．8．【2012年新课标1理科03】下面是关于复数z的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【解答】解：∵z1﹣i，∴，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选：C．9．【2011年新课标1理科01】复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i【解答】解：复数i，它的共轭复数为：﹣i．故选：C．10．【2010年新课标1理科02】已知复数，是z的共轭复数，则（）A．B．C．1 D．2【解答】解：由可得．另解：故选：A．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义等，历年考题主要以选择题题型出现，重点考查的知识点为复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算为重点较佳.最新高考模拟试题1．复数52iz=-在复平面上的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】()()()52i 52i 2i 2i 2i z +===+--+，在复平面上的对应点为()2,1，位于第一象限. 故选A. 2．设i z a b =+（a ，b ∈R ，i 是虚数单位），且22i z =-，则有（ ） A ．1a b +=- B ．1a b -=- C ．0a b -= D ．0a b +=【答案】D 【解析】因为2222()()22z a bi a b abi i =+=-+=-，所以220a b -=，22ab =-，解得11a b =⎧⎨=-⎩或11a b =-⎧⎨=⎩，所以0a b +=，故选D.3．若复数1i1ia z +=+为纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1-C ．0D ．2【答案】B 【解析】()()()()()11111i 1i 112ai i a a ia z i i +-++-+===++- 故10,10a a +=-≠ ，解1a =- 故选：B4．复数i （1+i ）的虚部为（ ）A B ．1C ．0D ．1-【答案】B 【解析】∵i （1+i ）=-1+i ， ∴i （1+i ）的虚部为1． 故选：B ．5．已知复数11z i =-+，复数2z 满足122z z =-，则2z = ( )A ．2BCD ．10【答案】B 【解析】 由题得222(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i -------====+-+-+--，所以2z 故选：B6．已知复数312i z i=+，则复数z 的实部为（ ）A ．25-B ．25i -C ．15-D ．15i -【答案】A 【解析】解：∵3(12)2112(12)(12)55i i i z i i i i --===--++-， ∴复数z 的实部为25-． 故选A ． 7．复数122ii-=+（ ） A ．1i - B ．i -C ．iD ．1i +【答案】B 【解析】12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i ------===-++-. 故选B8．已知i 为虚数单位,复数z 满足：()z 12i i +=-，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 因为2(2)(1)131312222i i i i z i i ----====-+，所以复平面上复数z 对应的点为13(,)22-，位于第四象限， 故选D .9．设复数z a i =+，z 是其共轭复数，若3455z i z =+，则实数a =（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】 解: z a i =+Qz a i ∴=-343443++2555555z a a i a i i a z ⎛⎫∴=+⇒+=-⇒= ⎪⎝⎭10．已知i 是虚数单位，复数z 满足2(1)1i i z-=+，则z =（ ）A B ．2 C ．1D 【答案】A 【解析】22(1)(1)22(1)1(1)111(1)(1)i i i i i i z i i i z i i i i ----⋅-=+⇒====--=--+++⋅-，所以1z i =--==A.11．复数()()21z i i =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是（ ） A ．-1 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】解：∴()()212213z i i i i i =+-=-++=-， ∴z 的实部是3 故选：D ．12．已知复数(1)1z i i -=+，则复数z =（ ） A ．2i +B ．2i -C ．iD ．i -【解析】由题意，复数(1)1z i i -=+，则()()()()11121112i i i iz i i i i +++====--+，故选C. 13．已知i 为虚数单位，若1(,)1a bi a b R i=+∈-，则b a =（ ） A ．1 BC2D ．2【答案】C 【解析】 i 为虚数单位，若1(,)1a bi a b R i =+∈-，1112i a bi i +==+- 根据复数相等得到1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.121()22b a ==故答案为：C.14．已知复数z 满足2(1i)(3i)z +=+，则||z =（ ） ABC．D ．8【答案】C 【解析】∵2(1)(3)z i i +=+，∴2(3)86(86)(1)(43)(1)711(1)(1)i i i i z i i i i i i i +++-====+-=-+++-，∴||z === 故选C ．15．已知i 是虚数单位，则复数11i i -+在复平面上所对应的点的坐标为（ ） A ．()0,1B ．()1,0-C ．()1,0D ．()0,1-【解析】 ∵()()()()111111i i i i i i i ---==++-，∴该复数在复平面上对应的点的坐标为()0,1. 故选A.16．若复数z 满足(1i)|1|z +=+，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 由题得22(1)1(1)(1)(1i)i z i i i -===-++-， 所以1z i =+，所以在复平面内z 的共轭复数对应的点为（1,1），在第一象限. 故选：A17．已知复数z 满足12iz i =+，则z 的虚部是（ ） A ．1- B ．i -C ．2D ．2i【答案】A 【解析】 因为12iz i =+所以221222i i i z i i i++===-所以虚部为1- 所以选A 18．已知31iz i-=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为( ) A ．i - B ．1-C ．1D ．2【答案】B 【解析】因为3(3)(1)4221(1)(1)2i i i iz i i i i --++====+--+, 所以2z i =-，故z 的虚部为1-，故选B.19．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为( )A ．1-B ．3-C ．1D ．2【答案】B 【解析】()()2421(1)44213112i i i i z i i i ---+-====-++ 所以z 的虚部为3- 故选B 项.20．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ） A ．2- B ．2C ．12-D ．12【答案】C 【解析】∵()12112z ai a R z i =+∈=+，，∴121(1)(12)12212(12)(12)55z ai ai i a a i z i i i ++-+-===+++-， ∵12z z 为纯虚数， ∴12020a a +=⎧⎨-≠⎩，解得12a =-．故选：C ． 21．设复数z 满足2ii z+=，则z =（ ） A ．1BC ．3D ．5【答案】B【解析】2i i z+=Q , 221i z i i+∴==+ 22112i i i=+=-,z ∴== B.22．已知复数1i z i =-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】∵ ()()()11111122i i i z i i i i +===-+--+，∴ 12z i =+，∴z 在复平面内对应的点的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭，位于第一象限． 故选：A ．23．复数z 满足(1)2z i i -=，则复数z =（ ）A ．1i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -- 【答案】D【解析】 由题意得：()()()2121111i i i z i i i i +===-+--+ 1z i ∴=-- 本题正确选项：D24．若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z=（ ） A ．iB ．i -C ．2iD ．2i - 【答案】B【解析】 复数z ＝m （m +1）+（m +1）i 是纯虚数，故m （m +1）＝0且（m +1）≠0，解得m ＝0，故z ＝i ，故111iz i i i ⋅===-⋅i ．故选：B ．25．设i 为虚数单位，则复数22iz i -=+的共扼复数z =（ ）A ．3455i + B ．3455i -C ．3455i -+ D ．3455i --【答案】A【解析】 解：22i(2i)34i 2i (2i)(2i)55z --===-++-Q ，3455z i ∴=+故选：A ．26．已知复数1z 、2z在复平面内对应的点关于虚轴对称，11z =，则12z z =( )A ．2 BCD ．1【答案】D【解析】由题意，复数1z 、2z在复平面内对应的点关于虚轴对称，11z =，则21z =-，所以12212z z ====，故选D.27．已知复数z 1＝1+2i ，z 2＝l ﹣i ，则12z z =（ ）A ．13i 22--B ．13i 22-+ C ．13i 22- D ．13i 22+【答案】B【解析】∵1212,1z i z i =+=-， ∴1212(12)(1)131(1)(1)22z i i i i z i i i +++===-+--+．故选：B ．28．在复平面内，复数(2i)z -对应的点位于第二象限，则复数z 可取（ ）A ．2B ．-1C ．iD ．2i +【答案】B【解析】不妨设(),z a bi a b R =+∈，则()()()()()2222i z i a bi a b b a i -=-+=++-，结合题意可知：20,20a b b a +<->，逐一考查所给的选项：对于选项A ：24,22a b b a +=-=-，不合题意；对于选项B ：22,21a b b a +=--=，符合题意；对于选项C ：21,22a b b a +=-=，不合题意；对于选项D ：25,20a b b a +=-=，不合题意；故选：B .29．已知i 为虚数单位，则复数3(1)iz i i +=-的虚部为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】C【解析】 因为3(3)(1)122(1)2i i i ii i i i i ++++===--，所以z 的虚部为1-.30．已知复数(i)(1i)z a =+-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线2y x =上，则实数a 的值为（） A ．0 B ．1- C ．1 D ．13-【答案】D【解析】因为(i)(1i)1(1)z a a a i =+-=++-，对应的点为(1,1)a a +-，因为点在直线2y x =上，所以12(1)a a -=+，解得13a =-. 故选D.。
【2006高考试题】一、选择题（共11题）2．（北京卷）在复平面内，复数1ii+对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 解：1i i +111i i i （＋）＝＝－－故选D 3．（福建卷）设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数(a +b i)(c +d i)为实数的充要条件是 A.ad －bc =0 B.ac －bd =0 C. ac +bd =0 D.ad +bc =04．（广东卷）若复数z 满足方程220z +=，则3z =A.±-- D. ± 解析：由i z i z z 2220232±=⇒±=⇒=+，故选D.5．（江西卷）已知复数z 3i ）z ＝3i ，则z ＝（ ）A ．322 B. 344－ C. 322i D.344＋解：333124i i z ）＝＝故选D 。
6．（全国卷I ）如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =A ．1B ．1-C ．解析：复数2()(1)m i mi ++=(m 2－m)+(1+m 3)i 是实数，∴ 1+m 3=0，m=－1，选B.8．(陕西卷)复数(1+i)21－i等于( )A.1－iB.1+iC.－1+ iD.－1－i解析: 复数(1+i)21－i =2(1)11i i i i i=+=-+-，选C ．11．（浙江卷）已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11 (A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i 【考点分析】本题考查复数的运算及性质，基础题。
解析：()()i n n m ni i m-++=⇒-=+1111，由m 、n 是实数，得⎩⎨⎧=+=-mn n 101 ∴i ni m m n +=+⇒⎩⎨⎧==221，故选择C 。
二、填空题（共4题） 12．（湖北卷）设,x y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y += 。
【2012 年高考试题】1. 【 2012 高考真题浙江理2】 已知 i 是虚数单位，则 3 i=1 i A .1-2iB.2-iC.2+iD .1+2i2. 【 2012 高考真题新课标理 2的四个命题：其中的真命题为3 】下面是关于复数 z 1 i（）p 1 : z 2p 2 : z 2 2i p 3 : z 的共轭复数为 1 ip 4 : z 的虚部为1( A) p 2 , p 3(B) p 1 , p 2(C ) p , p(D ) p , p3. 【 2012 高考真题四川理2】复数 (1 i )2（ ）2iA 、 1B、 1C 、 iD 、 i 【答案】 B【解析】(1 i )21 2i i 22i 12i2i 2i4. 【 2012 高考真题陕西理3】设 a,b R ， i 是虚数单位，则“ ab 0 ”是“复数 a b为纯i虚数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 B.第 - 1 - 页共 33 页【解析】ab 0 a 0 或 b 0 ，而复数ba bi 是纯虚数 a 0且b 0 ，aiab 0 a bB. 是纯虚数，故选i5. 【 2012 高考真题上海理15】若 1 2i 是关于 x 的实系数方程x2bx c 0的一个复数根，则（）A． b2, c 3 B ． b 2,c 3 C ． b2,c1 D ． b 2, c 16. 【 2012 高考真题山东理1】若复数 z 满足 z(2 i ) 11 7i （ i 为虚数单位），则z 为（A） 3 5i （ B） 3 5i （ C） 3 5i （ D） 3 5i 【答案】A【解析】11 7i (11 7i )(2 i) 15 25i3 5i 。
故选 A。
zi (2 i )( 2 i ) 527. 【 2012 高考真题辽宁理2】复数2i2 i(A) 3 4i (B) 3 4i(C) 1 4i(D) 1 3i5 5 5 5 5 5 9. 【 2012 高考真题广东 5 6i理1】设 i 为虚数单位，则复数=i A． 6+5i B ． 6-5i C ． -6+5i D ．-6-5i第 - 2 - 页共 33 页【答案】 D【解析】 5 6i = (56i)i 6 5i6i ．故选 D．i i 2 1510. 【 2012 高考真题福建理1】若复数 z 满足 zi=1-i ，则 z 等于A.-1-I B.1-i C.-1+I D.1=i【答案】 A.【解析】根据 zi1 ii ，故选 A.1 i 知， z 1i11. 【 2012 高考真题北京理3】设 a， b∈ R。
一．基础题组 1. 【2014全国2，文2】131i i+=-（ ） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --【答案】B【解析】由已知得，131i i+-(13)(1i)2412(1i)(1i)2i i i ++-+===-+-+，选B ． 2. 【2013课标全国Ⅱ，文2】21i +＝( )． A ．22 B ．2 C ．2 D ．．1【答案】：C【解析】：∵21i+＝1－i ，∴21i +＝|1－i|＝2. 3. 【2012全国新课标，文2】复数3i 2iz -+=+的共轭复数是( ) A ．2＋i B ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i【答案】D4. 【2010全国新课标，文3】已知复数z ＝23(13)i i +－，则|z |等于( ) A.14 B.12C ．1D ．2 【答案】B5. 【2015新课标2文数】若为a 实数,且2i 3i 1ia +=++,则a =( ) A ．4- B ．3- C ．3 D ．4【答案】D【解析】由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D.【考点定位】本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念.【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性. 6. 【2016新课标2文数】设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i -【答案】C【考点】复数的运算，共轭复数【名师点睛】复数i(,)a b a b +∈R 的共轭复数是i(,)a b a b -∈R ，据此先化简再计算即可.。
【2006高考试题】一、选择题（共11题）2．（北京卷）在复平面内，复数1ii+对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 解：1i i +111i i i （＋）＝＝－－故选D 3．（福建卷）设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数(a +b i)(c +d i)为实数的充要条件是 A.ad －bc =0 B.ac －bd =0 C. ac +bd =0 D.ad +bc =04．（广东卷）若复数z 满足方程220z +=，则3z =A.±-- D. ± 解析：由i z i z z 2220232±=⇒±=⇒=+，故选D.5．（江西卷）已知复数z 3i ）z ＝3i ，则z ＝（ ）A ．322 B. 344－ C. 322i D.344＋解：333124i i z ）＝＝故选D 。
6．（全国卷I ）如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =A ．1B ．1-C ．解析：复数2()(1)m i mi ++=(m 2－m)+(1+m 3)i 是实数，∴ 1+m 3=0，m=－1，选B.8．(陕西卷)复数(1+i)21－i等于( )A.1－iB.1+iC.－1+ iD.－1－i解析: 复数(1+i)21－i =2(1)11i i i i i=+=-+-，选C ．11．（浙江卷）已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11 (A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i 【考点分析】本题考查复数的运算及性质，基础题。
解析：()()i n n m ni i m-++=⇒-=+1111，由m 、n 是实数，得⎩⎨⎧=+=-mn n 101 ∴i ni m m n +=+⇒⎩⎨⎧==221，故选择C 。
二、填空题（共4题） 12．（湖北卷）设,x y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y += 。
解：(1)(12)2()()112252525x y x i y i x y x y i i y +++=+=+++--， 而55(13)13131022i i i +==+- 所以123252252x y x y +=+=且，解得x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4。
13．(上海卷)若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝ ．解：已知2211i Z iZ i Z i i⇒-=⇒==--；14．(上海卷)若复数z 满足(2)(1)z m m i =-++（i 为虚数单位），其中m R ∈则____z =。
【2005高考试题】1（广东卷）若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=(D)（Ａ）０（Ｂ）２（Ｃ）52（Ｄ）５ 2.（北京卷）若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 38 ．3. （福建卷）复数iz -=11的共轭复数是（ B ）A ．i 2121+B ．i 2121-C ．i -1D ．i +14. （湖北卷）=++-i i i 1)21)(1(（ C ）A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +25. （湖南卷）复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是 （B ）A ．－1B ．0C ．1D ．i6. （辽宁卷）复数.111-++-=iiz 在复平面内，z 所对应的点在 （B ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7. (全国卷II) 设a 、b 、c 、d ∈R ，若iia b c d ++为实数，则 ( A) (A) 0bc ad +≠ (B) 0bc ad -≠ (C) 0bc ad -= (D) 0bc ad +=8. (全国卷III) 已知复数=+=++=z z z z z z i z 则复数满足复数,3,23000i 231-. 9. （山东卷）（1）()()221111iii i -++=+- （ D ）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-10. （天津卷）2．若复数ii a 213++（a ∈R，i 为虚数单位位）是纯虚数，则实数a 的值为（ C ）A ．－2B ．4C ．－6D ．6 11. （浙江卷）在复平面内，复数1i i+＋(1＋3i )2对应的点位于( B ) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限 12. (重庆卷)=-+2005)11(ii（ A ）A ．iB ．－iC ．20052D ．－2005213. （江西卷）设复数：12121,2(),z i z x i x R z z =+=+∈若为实数，则x =（ A ）A ．－2B ．－1C ．1D ．214.（上海）在复数范围内解方程iii z z z +-=++23)(2(i 为虚数单位)【2004高考试题】 1.（北京）当231<<m 时，复数z m m i =-+-()()321在复平面上对应的点位于（ D ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2．（上海）若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是 1 。
3．（湖北）复数ii 31)31(2++-的值是（ A ）A ．－16B ．16C ．41-D ．i 4341- 4．（湖南）复数4)11(i+的值是 （ D ）A ．i 4B ．－i 4C ．4D ．－4【2003高考试题】※3.（2002京皖春，4）如果θ∈（2π，π），那么复数（1＋i ）（cos θ＋i sin θ）的辐角的主值是（ ）A.θ＋49πB.θ＋4π C.θ4π-D.θ＋47π 4．（2002全国，2）复数（2321+i ）3的值是（ ） A. －iB.iC.－1D.15.（2002上海，13）如图12—1，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）※6.（2001全国文，5）已知复数ｚ＝i 62+，则arg z1是（ ）A.6π B.611πC.3π D.35π※9.（2000上海理，13）复数z ＝)5sin5(cos3ππi --（i 是虚数单位）的三角形式是（ ）A.3［cos （5π-）＋i sin （5π-）］ B.3（cos5π＋i sin5π）C.3（cos 54π＋i sin 54π）D.3（cos 56π＋i sin 56π）10.（2000京皖春，1）复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限※12.（1998全国，8）复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是（ ） A.i 2123±B.i 2123±-C.±i 2123+D.±i 2123-13.（1996全国，4）复数54)31()22(i i -+等于（ ）A.1+3iB.－1+3iC.1－3iD.－1－3i14.（1994上海，16）设复数z =－2321+i （i 为虚数单位），则满足等式z n=z 且大于1的正整数n 中最小的是（ ）A.3B.4C.6D.715.（1994全国，9）如果复数z 满足|z +i |+|z －i |=2，那么|z +i +1|的最小值是（ ） A.1B.2C.2D.5二、填空题16.（2003上海春，6）已知z 为复数，则z +z ＞2的一个充要条件是z 满足 . 17.（2002京皖春，16）对于任意两个复数z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i （x 1、y 1、x 2、y 2为实数），定义运算“⊙”为：z 1⊙z 2＝x 1x 2＋y 1y 2．设非零复数w 1、w 2在复平面内对应的点分别为P 1、P 2，点O 为坐标原点．如果w 1⊙w 2＝0，那么在△P 1OP 2中，∠P 1OP 2的大小为 ．18.（2002上海，1）若z ∈C ，且（3＋z ）i ＝1（i 为虚数单位），则z ＝ ． 19.（2001上海春，2）若复数z 满足方程z i =i －1（i 是虚数单位），则z =_____. 20.（1997上海理，9）已知a =ii 213+--（i 是虚数单位），那么a 4=_____.21.（1995上海，20）复数z 满足（1+2i ）z =4+3i ，那么z =_____. 三、解答题26.（2001上海理，20）对任意一个非零复数z ，定义集合M z ＝｛w |w ＝z 2n－1，n ∈N ｝．（Ⅰ）设α是方程x ＋21=x的一个根，试用列举法表示集合M α； （Ⅱ）设复数ω∈M z ，求证：M ω⊆M z ．27.（2001上海文，20）对任意一个非零复数z ，定义集合M z ＝｛w |w ＝z n，n ∈N ｝．（Ⅰ）设z 是方程x +x1=0的一个根，试用列举法表示集合M z ．若在M z 中任取两个数，求其和为零的概率P ；（Ⅱ）若集合M z 中只有3个元素，试写出满足条件的一个z 值，并说明理由． 28.（2000上海春，18）设复数z 满足|z |＝5，且（3＋4i ）z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，|2z －m |＝52（m ∈R ），求z 和m 的值.※30.（1999全国理，20）设复数z ＝3cos θ＋i ·2sin θ.求函数y ＝θ－arg z （0＜θ＜2π）的最大值以及对应的θ值.※31.（1999上海理，19）已知方程x 2＋（4＋i ）x ＋4＋ai ＝0（a ∈R ）有实数根b ，且z =a +bi ，求复数z （1－ci ）（c ＞0）的辐角主值的取值范围.※32.（1999上海文，19）设复数z 满足4z +2z =33+i ，ω=sin θ－i cos θ（θ∈R ）.求z 的值和|z －ω|的取值范围.※33.（1998上海文，18）已知复数z 1满足（z 1－2）i =1+i ，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求复数z 2的模.※34.（1998上海理，18）已知向量OZ 所表示的复数z 满足（z －2）i =1+i ，将OZ 绕原点O 按顺时针方向旋转4π得1OZ ，设1OZ 所表示的复数为z ′，求复数z ′+2i 的辐角主值.※35.（1997全国文，20）已知复数z =2321+i ，w =2222+i ，求复数zw +zw 3的模及辐角主值.38.（1996上海理，22）设z 是虚数，w =z +z1是实数，且－1＜ω＜2. （Ⅰ）求|z |的值及z 的实部的取值范围； （Ⅱ）设u =zz+-11，求证：u 为纯虚数； （Ⅲ）求w －u 2的最小值.39.（1995上海，22）已知复数z 1、z 2满足|z 1|=|z 2|＝1，且z 1+z 2=2321+i .求z 1、z 2的值.※40.（1995全国文，22）设复数z =cos θ+i sin θ，θ∈（π，2π）.求复数z 2+z 的模和辐角.※41.（1995全国理，21）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z 1，Z 2，Z 3，O （其中O 是原点），已知Z 2对应复数z 2=1+3i ，求Z 1和Z 3对应的复数.※42.（1994全国理，21）已知z =1+i ，（Ⅰ）设w =z 2+3z －4，求w 的三角形式.（Ⅱ）如果122+-++z z bax z =1－i ，求实数a ，b 的值.43.（1994上海，22）设w 为复数，它的辐角主值为43π，且ωω4)(2-为实数，求复数w .●答案解析2.答案：A解析：由已知z =51)21)(21()21)(2(212=-+--=+-i i i i m i i m ［（m －4）－2（m +1）i ］在复平面对应点如果在第一象限，则⎩⎨⎧<+>-0104m m 而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于第一象限.3.答案：B解析：（1＋i ）（cos θ＋i sin θ）＝2（cos4π＋i sin4π）（cos θ＋i sin θ）＝2［cos （θ＋4π）＋i sin （θ＋4π）］∵θ∈（2π，π） ∴θ＋4π∈（43π，45π）∴该复数的辐角主值是θ＋4π．6.答案：D 解法一：35arg 21arg ),3sin 3(cos 22)2321(22ππππ=-=+=+=z z i i z 解法二：)31(2i z +=∴22311iz -=∴z 1,0223,0221<->应在第四象限，tan θ＝3-，θ＝arg z 1．∴argz 1是35π．8.答案：B解析：根据复数乘法的几何意义，所求复数是i i i i i 32)2321)(33()]3sin()3)[cos(33(-=--=-+--ππ．9.答案：C解法一：采用观察排除法.复数)5sin5(cos3ππi z--=对应点在第二象限，而选项A 、B中复数对应点在第一象限，所以可排除.而选项D 不是复数的三角形式，也可排除，所以选C.解法二：把复数)5sin5(cos3ππi z--=直接化为复数的三角形式，即).54sin 54(cos 3)]5sin()5[cos(3)5sin5cos(3ππππππππi i i z +=-+-=+-=12.答案：D解法一：∵－i =cos23π+i sin 23π∴－i 的三个立方根是cos 3223sin 3223ππππk i k +++（k =0，1，2）当k =0时，i i i =+=+2sin 2cos 323sin 323cos ππππ；当k =1时，i i i 212367sin 67cos 3223sin 3223cos--=+=+++ππππππ； 当k =2时，i i i 2123611sin 611cos 3423sin 3423cos -=+=+++ππππππ. 13.答案：B解法一：)4sin4(cos2222ππi i +=+，故（2+2i ）4=26（cos π+i sin π）=－26，1－)3sin3(cos23ππi i -=，故3sin3cos 2)31(55ππi i +=-.于是i i i i i 31)2321(22)35sin 35(cos2)31()22(5654+=--=+-=-+ππ, 所以选B.解法二：原式=i i i i i 23212)2321()2(21)2321(2)1(1622554--=+--=+--+i i i314)31(4314+-=--=+-=∴应选B14.答案：B解析：z =－2321+i 是z 3=1的一个根，记z =ω，ω4=ω，故选B.17.答案：2π解析：设i y x z i y x z OP OP221121,+=+=∵w 1⊙w 2＝0 ∴由定义x 1x 2＋y 1y 2＝0 ∴OP 1⊥OP 2 ∴∠P 1OP 2＝2π．21.答案：2+i 解析：由已知i ii i i i z -=-++=+-+=++=25)83(6441)21)(34(2134，故z =2+i .22.解法一：设z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ），则（1＋3i ）z ＝a －3b ＋（3a ＋b ）i ． 由题意，得a ＝3b ≠0． ∵|ω|＝25|2|=+iz， ∴|z |＝10522=+b a ．将a ＝3b 代入，解得a ＝±15，b ＝±15． 故ω＝±ii++2515＝±（7－i ）． 解法二：由题意，设（1＋3i ）z ＝ki ，k ≠0且k ∈R ， 则ω＝)31)((i i k ki++．∵|ω|＝52，∴k ＝±50．故ω＝±（7－i ）． 23.解：∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝（a ＋2b ）＋（a －2b ）i ，（a ＋2z ）2＝（a ＋2）2－4＋4（a ＋2）i ＝（a 2＋4a ）＋4（a ＋2）i ， 因为a ，b 都是实数，所以由az ＋2b z ＝（a ＋2z ）2得⎩⎨⎧+=-+=+).2(42,422a b a a a b a 两式相加，整理得a 2＋6a ＋8＝0， 解得a 1＝－2，a 2＝－4， 对应得b 1＝－1，b 2＝2．所以，所求实数为a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2．（Ⅱ）z 7＝1，z ＝cos α＋i sin α∴z 7＝cos7α＋i sin7α＝1，7α＝2k πz ＋z 2＋z 4＝－1－z 3－z 5－z 6＝－1－［cos （2k π－4α）＋i sin （2k π－4α）＋cos （2k π－2α）＋i sin （2k π－ 2α）＋cos （2k π－α）＋i sin （2k π－α）］＝－1－（cos4α－i sin4α＋cos2α－i sin2α＋cos α－i sin α） ∴2（cos α＋cos2α＋cos4α）＝－1， cos α＋cos2α＋cos4α＝－21解法二：z 2·z 5＝1，z 2＝551-=z z同理z 3＝4-z，z ＝6-z∴z ＋z 2＋z 4＝－1－4-z－2-z －z∴z ＋＋2-z＋z ＋4-z ＋z ＝－1∴cos2α＋cos α＋cos4α＝21-解法二：|z |＝1可看成z 为半径为1，圆心为（0，0）的圆.而z 1可看成在坐标系中的点（2，－2）∴|z －z 1|的最大值可以看成点（2，－2）到圆上的点距离最大.由图12—2可知：|z －z 1|max＝22＋126.（Ⅰ）解：∵α是方程x 2－2x ＋1＝0的根∴α1＝22（1＋i ）或α2＝22（1－i ） 当α1＝22（1＋i ）时，∵α12＝i ，α12n －1＝1121)(αααnni =∴)}1(22),1(22),1(22),1(22{}1,,1,{11111i i i i i iM -+---+=--=ααααα当α2＝22（1－i ）时，∵α22＝－i ∴12}1,,1,{2222ααααααM i i M =--=∴M α＝)1(22),1(22),1(22),1(22{i i i i -+---+｝28.解：设z ＝x ＋yi （x 、y ∈R ），∵|z |＝5，∴x 2＋y 2＝25，而（3＋4i ）z ＝（3＋4i ）（x ＋yi ）＝（3x －4y ）＋（4x ＋3y ）i ， 又∵（3＋4i ）z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上， ∴3x －4y ＋4x ＋3y ＝0，得y ＝7x ∴x ＝±22，y ＝±227 即z ＝±（22＋227i ）；2z ＝±（1＋7i ）．当2z＝1＋7i时，有|1＋7i－m|＝52，即（1－m）2＋72＝50，得m=0，m=2.当2z＝－（1＋7i）时，同理可得m＝0，m＝－2．解：∵该直线上的任一点P（x，y），其经变换后得到的点Q（x＋3y，3x－y）仍在该直线上，∴3x－y＝k（x＋3y）＋b，即－（3k＋1）y＝（k－3）x＋b，30.解：由0＜θ＜2π得tan θ＞0．由z ＝3cos θ＋i ·2sin θ，得0＜arg z ＜2π及tan （arg z ）＝32cos 3sin 2=θθtan θ故tan y ＝tan （θ－arg z ）＝θθθθθtan 2tan 31tan 321tan 32tan 2+=+-∵θtan 3＋2tan θ≥26 ∴θθtan 2tan 31+≤126 当且仅当θtan 3＝2tan θ（0＜θ＜2π）时，即tan θ＝26时，上式取等号.所以当θ＝arctan26时，函数tan y 取最大值126 由y ＝θ－arg z 得y ∈（2,2ππ-）．由于在（2,2ππ-）内正切函数是递增函数，函数y 也取最大值arctan126． 评述：本题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力.明考复数实为三角.语言简练、情景新颖，对提高考生的数学素质要求是今后的命题方向.∴复数z （1－ci ）的辐角主值在［0，2π) 范围内，有arg ［z （1－ci ）］＝arctanc c 2222+-＝arctan （c+12－1），∵0＜c ≤1，∴0≤c+12－1＜1， 有0≤arctan（c +12－1）＜4π，∴0≤arg［z （1－ci ）］＜4π．32.解：设z =a +bi （a ，b ∈R ），则z =a －bi ，代入4z +2z =33+i得4（a +bi ）+2（a －bi ）=33+i .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2123b a .∴z =2123+i . |z －ω|=|2123+i －（sin θ－i cos θ）| =)6sin(22cos sin 32)cos 21()sin 23(2πθθθθθ--=+-=-+- ∵－1≤sin（θ－6π）≤1，∴0≤2－2sin （θ－6π）≤4.∴0≤|z －ω|≤2.评述：本题考查了复数、共轭复数的概念，两复数相等的充要条件、复数的模、复数模的取值范围等基础知识以及综合运用知识的能力.34.解：由（z －2）i =1+i 得z =ii+1+2=3－i ∴z ′=z ［cos （－4π）+i sin （－4π）］=（3－i ）（2222-i ）=2－22i z ′+2i =2－2i =2（2222-i ）=2（cos 47π+i sin 47π） ∴arg（z 1+2i ）=47π评述：本题考查复数乘法的几何意义和复数辐角主值的概念. 35.解法一：zw +zw 3=zw （1+w 2）=（2321+i ）（2222+i ）（1+i ） =22（1+i ）2（2321+i ）=)2123(2)2321(222i i i +-=+⋅ )65sin 65(cos2ππi += 故复数zw +zw 3的模为2，辐角主值为65π. 解法二：w =2222+i =cos 4π+i sin 4πzw +zw 3=z （w +w 3）=z ［（cos4π+i sin 4π）+（cos4π+i sin 4π）3］=z ［（cos4π+i sin 4π）+（cos43π+i sin 43π）］=z （i i 22222222+-+）=)2123(22)2321(i i i +-=⨯+)65sin 65(cos 2ππi += 故复数zw +zw 3的模为2，辐角主值为65π.评述：本题主要考查复数的有关概念及复数的基本运算能力.又因为|OP |=|ωz |=1，|OQ |=|z 2ω3|=|z |2|ω|3=1∴|OP |=|OQ |.由此知△OPQ 为等腰直角三角形. 证法二：∵z =cos （－6π）+i sin （－6π）.∴z 3=－i 又ω=4sin 4cos 2222ππi i +=+. ∴ω4=－1于是i z z z z z z ===2433232||ωωωωωωωω 由此得OP ⊥OQ ，|OP |=|OQ | 故△OPQ 为等腰直角三角形.（2）由z 1=1+mi （m ＞0），z 12=z 2得z 2=（1－m 2）+2mi∴ω=－（1+m 2）+2mi tan θ=－mm m m 12122+-=+ 由m ＞0，知m +m1≥2，于是－1≤tan θ≤0 又 －（m 2+1）＜0，2m ＞0，得43π≤θ＜π 因此所求θ的取值范围为［43π，π）. 38.解：（Ⅰ）设z =a +bi ，a 、b ∈R ，b ≠0 则w =a +bi +i ba bb b a a a bi a )()(12222+-+++=+ 因为w 是实数，b ≠0，所以a 2＋b 2=1， 即|z |=1.于是w =2a ，－1＜w =2a ＜2，－21＜a ＜1， 所以z 的实部的取值范围是（－21，1）. （Ⅱ）i a bb a bi b a bi a bi a z z u 1)1(2111112222+=++---=++--=+-=. 因为a ∈（－21，1），b ≠0，所以u 为纯虚数.39.解：由|z 1＋z 2|=1，得（z 1+z 2）（21z z +）=1，又|z 1|=|z 2|=1，故可得z 12z +1z z 2=－1，所以z 12z 的实部=1z z 2的实部=－21.又|1z z 2|=1，故1z z 2的虚部为±23， 1z z 2=－21±23i ，z 2=z 1)2321(i ±-. 于是z 1+z 1i i 2321)2321(+=±-， 所以z 1=1，z 2=i 2321+-或z 1=i 2321+-，z 2=1.所以⎪⎩⎪⎨⎧+-==i z z 2321121，或⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1232121z i z 40.解法一：z 2+z =（cos θ+i sin θ）2+cos θ+i sin θ=cos2θ+i sin2θ+cos θ+i sin θ =2cos23θcos 2θ+i ·2sin 23θcos 2θ=2cos 2θ（cos 23θ+i sin 23θ） =－2cos2θ［cos （π+23θ）+i sin （π+23θ）］ ∵θ∈（π，2π），∴2θ∈（2π，π），∴－2cos 2θ＞0 ∴复数z 2+z 的模为－2cos2θ，辐角为2k π+π+23θ（k ∈Z ）解法二：设Z 1、Ｚ3对应的复数分别是z 1、z 3，根据复数加法和乘法的几何意义，依题意得⎩⎨⎧=-=+213231iz z z z z z ∴z 1＝21z 2（1－i ）＝21（1－3i ）（1－i ）＝213231-++i z 3＝z 2－z 1＝（1＋3i ）－（213231-++i ）＝231231++-i42.解：（Ⅰ）由z =1+i ，有w =（1+i ）2＋3（1－i ）－4=－1－i ，所以w 的三角形式是2（cos ππ45sin 45i +）43.解：因为w 为复数，arg w ＝π43，所以设w =r （cos π43＋i sin π43），则R,])4(4[22)4)(1(22)4)(2222(1]4)23sin 23(cos )[43sin 43(cos 14)(222222∈-++=-+=---=---=-i r r ri r i r i r i r i r i r w w ππππ，从而4－r 2＝0，得r =2.因此w ＝2（cos )43sin43ππi +＝－2＋2i ．。
